[007-1a] 
欽定四庫全書
九章錄要卷七
松江屠文漪撰
商功法
古九章五曰商功以御功程積實
塹堵求積尺 凡築城墻堤塹之類上下廣不等者法
并上下廣折半以髙乘之復以長乘之得積
塹堵求積又法 堤塹之類亦有兩頭之上廣之下廣
[007-1b]
之髙各不等者法倍東髙加入西髙以東頭上下廣
并而乘之折半又倍西髙加入東髙以西頭上下廣
并而乘之折半并二數以長乘之以六除之或不用
兩度折半者則以十二除之右一條/新訂
方臺求積 法同粟米章方窖
長方臺求積法同長方窖
員臺求積 法同員窖
長員臺求積法同長員窖
[007-2a]
方錐求積 法同粟米方尖堆
方錐改方臺求各數法 假如方錐下方二十四尺髙
三十二尺今改方臺上方六尺問髙幾何
一率 二十四原下方尺/數無減
二率 三十二原髙/尺數
三率 一十八今上下方/較尺數
四率 二十四今髙/尺數
又如前例問截去幾何
[007-2b]
一率 二十四下方/
二率 三十二原髙/
三率 六今臺上方即/今截下方
四率 八今所截/之髙
右二例若求今髙以減原髙亦得所截之髙求截髙以減
原髙亦得今髙而必備其法者庻各得所求不須借徑也
又如前例今髙二十四尺問上方幾何
一率 三十二原髙/
[007-3a]
二率 二十四下方/
三率 八今髙減原髙/為所截之髙
四率 六今截下方即/今臺上方
右例亦可以今髙列三率求得四率為今上下方較
以減下方而得上方也
員臺改員錐求各數 假如員臺下周七十二尺上周
一十八尺髙二十四尺今改員錐問髙㡬何
一率 五十四原上下/周較
[007-3b]
二率 二十四原髙/
三率 七十二今下周/無減
四率 三十二今髙/
又如前例問增髙㡬何
一率 五十四原上下/周較
二率 二十四原髙/
三率 一十八原臺上周即/今增下周
四率 八今所增/之髙
[007-4a]
又如前例今髙三十二尺問上周
一率 二十四原髙/
二率 五十四原上下/周較
三率 三十二今髙/
四率 七十二今上下周較以減下/周適盡知為員錐也
右例亦可以今所增之髙列三率求得四率為所增
上下周較以減原上周適盡而知為員錐也
又右六法方減員增特互舉以見例而法則相通且
[007-4b]
方或以周算員或以徑算亦皆同耳
塹堵增減求數法 假如築墻上廣二尺下廣六尺髙
二十尺今已築至上廣三尺六寸問髙㡬何
一率 四十原上下廣/較化寸數
二率 二十原高/尺數
三率 二十四今上下廣/較化寸數
四率 一十二今高/尺數
又如前例今欲築至髙二十四尺問上廣㡬何
[007-5a]
一率 二十原高/尺數
二率 四十原上下廣/較化寸數
三率 二十四今高/尺數
四率 四十八今上下廣較寸數以減下/廣得一十二寸為今上廣
塹堵以直高求斜高以斜高求直高 法以上下廣較
半之為勾直高為股斜高為弦以勾股法互求之右/一
條新/増
功程遲速例 假如乙匠製造四十五日而畢加甲匠
[007-5b]
則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法以十八日減
四十五日得二十七日為乙匠未畢之工知甲匠十
八日當乙二十七日也列率求之
一率 二十七
二率 一十八
三率 四十五
四率 三十
又如甲匠製造六十日而畢乙匠則百日而畢問兩
[007-6a]
匠并營須㡬日法以六十日除百日得甲匠一日之
工當乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日
又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之
一為并營日數或以百日除六十日得乙匠一日之
工當甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分
日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一
右一條/新增
方尖堆物求積自此以下皆隙積之法隙積謂積之有/隙者如累棊及積酒罌之類與前積尺
[007-6b]
法不/同 假如方尖堆下廣十二問積㡬何法置下廣
十二别以下廣加一枚為十三而乗之得一百五十
六又以下廣加半枚為十二有半而乗之得一千九
百五十以三除之得積六百五十
方平堆物求積 法以下廣依尖堆法求積别以上廣
減一枚為下廣依尖堆法求積兩尖堆積相減得平
堆積此以平堆先作尖算/乃減上虗尖成平也
長方平尖堆求積旣云尖又云平者上廣只一故謂之/尖上長不止於一故又謂之平也
[007-7a]
假如長方平尖堆下廣十長十二問積㡬何法以
長廣較半之得一又加半枚得一有半并長得十三
有半以廣乗之得一百三十五又以廣加一枚為十
一而乗之得一千四百八十五以三除之得積四百
九十五 又法先以廣長較加一枚得上長而算之
上廣只一/不必言假如平尖堆下廣八長十三問積幾何此
可知上廣一而長六也乃倍下長加上長得三十二
以下廣乗之得二百五十六又以下廣乗之得二千
[007-7b]
零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除
之得積三百八十四
長方平堆求積 法倍上長加下長以上廣乗之又倍
下長加上長以下廣乗之并二數加上下長較上下/廣較
同/以髙乗之上下長較加一數得/髙上下廣較亦同以六除之得積
按此法長方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之蓋
一法而兼四法可云居要者也
三角尖堆求積 假如三角尖堆下廣八問積㡬何法
[007-8a]
置下廣八别以下廣加一枚為九而乗之得七十二
又以下廣加二枚為十而乗之得七百二十以六除
之得積一百二十
三角平堆求積 法以上廣自乗又以下廣自乗又以
上廣乗下廣又倍下廣加上廣并四數以髙乗之上/下
廣較加一/數得髙以六除之得積 按此法亦可用之三角
尖堆
[007-8b]
九章錄要卷七
欽定四庫全書
九章錄要卷七
松江屠文漪撰
商功法
古九章五曰商功以御功程積實
塹堵求積尺 凡築城墻堤塹之類上下廣不等者法
并上下廣折半以髙乘之復以長乘之得積
塹堵求積又法 堤塹之類亦有兩頭之上廣之下廣
[007-1b]
之髙各不等者法倍東髙加入西髙以東頭上下廣
并而乘之折半又倍西髙加入東髙以西頭上下廣
并而乘之折半并二數以長乘之以六除之或不用
兩度折半者則以十二除之右一條/新訂
方臺求積 法同粟米章方窖
長方臺求積法同長方窖
員臺求積 法同員窖
長員臺求積法同長員窖
[007-2a]
方錐求積 法同粟米方尖堆
方錐改方臺求各數法 假如方錐下方二十四尺髙
三十二尺今改方臺上方六尺問髙幾何
一率 二十四原下方尺/數無減
二率 三十二原髙/尺數
三率 一十八今上下方/較尺數
四率 二十四今髙/尺數
又如前例問截去幾何
[007-2b]
一率 二十四下方/
二率 三十二原髙/
三率 六今臺上方即/今截下方
四率 八今所截/之髙
右二例若求今髙以減原髙亦得所截之髙求截髙以減
原髙亦得今髙而必備其法者庻各得所求不須借徑也
又如前例今髙二十四尺問上方幾何
一率 三十二原髙/
[007-3a]
二率 二十四下方/
三率 八今髙減原髙/為所截之髙
四率 六今截下方即/今臺上方
右例亦可以今髙列三率求得四率為今上下方較
以減下方而得上方也
員臺改員錐求各數 假如員臺下周七十二尺上周
一十八尺髙二十四尺今改員錐問髙㡬何
一率 五十四原上下/周較
[007-3b]
二率 二十四原髙/
三率 七十二今下周/無減
四率 三十二今髙/
又如前例問增髙㡬何
一率 五十四原上下/周較
二率 二十四原髙/
三率 一十八原臺上周即/今增下周
四率 八今所增/之髙
[007-4a]
又如前例今髙三十二尺問上周
一率 二十四原髙/
二率 五十四原上下/周較
三率 三十二今髙/
四率 七十二今上下周較以減下/周適盡知為員錐也
右例亦可以今所增之髙列三率求得四率為所增
上下周較以減原上周適盡而知為員錐也
又右六法方減員增特互舉以見例而法則相通且
[007-4b]
方或以周算員或以徑算亦皆同耳
塹堵增減求數法 假如築墻上廣二尺下廣六尺髙
二十尺今已築至上廣三尺六寸問髙㡬何
一率 四十原上下廣/較化寸數
二率 二十原高/尺數
三率 二十四今上下廣/較化寸數
四率 一十二今高/尺數
又如前例今欲築至髙二十四尺問上廣㡬何
[007-5a]
一率 二十原高/尺數
二率 四十原上下廣/較化寸數
三率 二十四今高/尺數
四率 四十八今上下廣較寸數以減下/廣得一十二寸為今上廣
塹堵以直高求斜高以斜高求直高 法以上下廣較
半之為勾直高為股斜高為弦以勾股法互求之右/一
條新/増
功程遲速例 假如乙匠製造四十五日而畢加甲匠
[007-5b]
則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法以十八日減
四十五日得二十七日為乙匠未畢之工知甲匠十
八日當乙二十七日也列率求之
一率 二十七
二率 一十八
三率 四十五
四率 三十
又如甲匠製造六十日而畢乙匠則百日而畢問兩
[007-6a]
匠并營須㡬日法以六十日除百日得甲匠一日之
工當乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日
又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之
一為并營日數或以百日除六十日得乙匠一日之
工當甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分
日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一
右一條/新增
方尖堆物求積自此以下皆隙積之法隙積謂積之有/隙者如累棊及積酒罌之類與前積尺
[007-6b]
法不/同 假如方尖堆下廣十二問積㡬何法置下廣
十二别以下廣加一枚為十三而乗之得一百五十
六又以下廣加半枚為十二有半而乗之得一千九
百五十以三除之得積六百五十
方平堆物求積 法以下廣依尖堆法求積别以上廣
減一枚為下廣依尖堆法求積兩尖堆積相減得平
堆積此以平堆先作尖算/乃減上虗尖成平也
長方平尖堆求積旣云尖又云平者上廣只一故謂之/尖上長不止於一故又謂之平也
[007-7a]
假如長方平尖堆下廣十長十二問積㡬何法以
長廣較半之得一又加半枚得一有半并長得十三
有半以廣乗之得一百三十五又以廣加一枚為十
一而乗之得一千四百八十五以三除之得積四百
九十五 又法先以廣長較加一枚得上長而算之
上廣只一/不必言假如平尖堆下廣八長十三問積幾何此
可知上廣一而長六也乃倍下長加上長得三十二
以下廣乗之得二百五十六又以下廣乗之得二千
[007-7b]
零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除
之得積三百八十四
長方平堆求積 法倍上長加下長以上廣乗之又倍
下長加上長以下廣乗之并二數加上下長較上下/廣較
同/以髙乗之上下長較加一數得/髙上下廣較亦同以六除之得積
按此法長方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之蓋
一法而兼四法可云居要者也
三角尖堆求積 假如三角尖堆下廣八問積㡬何法
[007-8a]
置下廣八别以下廣加一枚為九而乗之得七十二
又以下廣加二枚為十而乗之得七百二十以六除
之得積一百二十
三角平堆求積 法以上廣自乗又以下廣自乗又以
上廣乗下廣又倍下廣加上廣并四數以髙乗之上/下
廣較加一/數得髙以六除之得積 按此法亦可用之三角
尖堆
[007-8b]
九章錄要卷七