[010-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡卷十
元 李冶 撰
三事和八問
或問甲乙同立於乾隅乙向東行不知步數而立甲向
南直行多於乙步望見乙復就東北斜行與乙相㑹
二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八
十步問答同前
[010-1b]
法曰共步内減四之小差復以自之於上以十八个
小差冪減於上為實四之共步内減十六个小差於
上却以十八小差加上為益從四步常法開平方得
中差
草曰别得共步為三事和也不及步即小差也立天
元一為中差加二之小差得□□為大小差併以加
入三事和得□□為三弦也倍三事得三千二百内
去大小差併得□□為三和也内減三弦餘□□為
[010-2a]
三个黄方以自之得□□□為九段黄方冪寄/左再置
天元中差加小差得□□為大差以小差□乘之得
□□為半个黄方冪就一十八之得□□為同數與
左相消得□□□開平方得二百八十步即中差也
其餘各依法求之合問
或問以前三事和又云大差三百六十步問答同前
法曰倍云數以云數乘之又九之於上倍云數加三
事和為前數倍云數減二之三事和為後數二數又
[010-2b]
相減餘一百六十為泛率以自乘減上位為平實十
八之云數内又加四之泛率為從四常法得中差
草曰立天元一為中差置云步倍之内減天元得□
□為大小差共數加於三事和得□□為三弦也倍
三事内減大小差共數得下式□□為三和也内減
三弦得□□為三个黄方靣也以自之得□□/□□為
九段黄方冪寄/左再以天元減大差得下式□□為小
差又倍之得□□以云數乘之得下式□□又就分
[010-3a]
九之得下式□□與左相消得下式□□□開平方
得二百八十步即中差也合問
或問依前見三事和又云中差二百八十步問答同前
法曰和步加差步以自乘於上又和步内減差步以
自乘加上位為平實四之和步為從二步益隅得大
弦
草曰立天元一為大弦減共步得□□為和副置之
上位減差步得□□為二勾以自之得丨□□為四
[010-3b]
段勾冪也下位加差步得□□為二股以自之得丨
□□為四段股冪也二位相併得□□□為四段弦
冪寄/左然後以天元自之又四之得□□為同數與左
相消得□□□開平方得六百八十步即大弦也倍
之以減於三事和餘即城徑也合問
或問依前見三事和又云小差大差併四百四十步問
答同前
法曰併前後二數三而一為弦反以減共步得數又
[010-4a]
以減弦得城徑
草曰二數相併得□三而一得□即弦也以弦減三
事和得□即和也弦和又相減餘二百四十步即城
徑也合問
或問依前見三事和又云小差中差大差共七百二十
問答同前
法曰半云數自之又三之於上以三事減上位為平
實按以三事減上位有誤此係偶合三事之數耳當/云加半段三事冪又倍三事和加大差復以大差
[010-4b]
乘之減上/位為平實倍三事於上半云數而五之加上位為益
從二常法得小差
草曰别得三差共為二大差也立天元一為小差併
大差加入三事和得□□為三弦也以自之得丨□
□為十八積九較冪寄/起又以共三事步自之得□方
於上又以天元小差乘大差倍之得□加於上得□
□為十二積四較冪又加五按即三/因二歸得□□為十八
个直積六个較冪以減寄起餘得丨□□為三个較
[010-5a]
冪寄/左然後以天元小差減大差得□□為中差以自
之得丨□□又三之得下式川□□為同數與寄左
相消得□□□平方而一得八十步即小差也餘各
依數求之合問
或問依前見三事和又云明黄方叀黄方共六十六問
答同前
法曰二事内加二之共步復以二之共步乘之於上
位三事内減二之共步復以二之共步乘之得數減
[010-5b]
上位為平實三事内加二之共步又倍之於上又三
按三當/作六之共步加上位為泛寄三事内減二之共步
又四之於上又三按三亦/當作六之共步減上位得數以減
泛寄為從作十八段虚平方開之得虚黄方
草曰别得共步即虚大小差也立天元一為虚黄方
以三之加入倍之共步得□□為圓徑也以圓徑加
三事得□□為二通和以圓徑減三事得□□為二
通弦又副置圓徑上加天元得□□為二虚和下減
[010-6a]
天元得□□為二虚弦乃置二大和以二小弦乘之
得下□□□寄/左然後置二大弦以二小和乘之得下
式□□□與左相消得□□□平方開之得三十六
步即虚黄方也其餘各依法求之合問
或問依前見三事和又云皇極弦二百八十九步問答
同前
法曰二數相乘為實從空一益隅得大弦
草曰立天元一為通弦内減皇弦餘□□為皇極勾
[010-6b]
股和以自之得丨□□於上以皇極弦冪減上位得
丨□為二直積合於皇極除之不除寄為母便以此
為城徑寄/左乃以二之天元弦減共步得□□為黄方
面以皇弦通之得□□與左相消得丨□□開平方
得六百八十步即大弦也合問
或問依前見三事和又云見太虚弦一百二步問答同
前
法曰半虚弦乘三事為實三事為從四虚隅翻開之
[010-7a]
得半大弦
草曰識别得以虚弦減大弦半之為皇極弦以虚弦
加大弦半之為皇極勾股共也立天元一為半大弦
以二之内減虚弦得□□折半得□□為皇極弦也
又以虚弦加大弦而半之得□□為皇極和也和自
之得丨□□於上又以弦自之得丨□□減上位餘
得下□為二直積合以皇極弦除之不除寄為分母
便以此為城徑寄/左然後以四之天元減三事共餘□
[010-7b]
□又以皇極弦分母通之得□□□為同數與左相
消得□□□倒積開得三百四十步倍之即大弦也
合問
測圓海鏡卷十
欽定四庫全書
測圓海鏡卷十
元 李冶 撰
三事和八問
或問甲乙同立於乾隅乙向東行不知步數而立甲向
南直行多於乙步望見乙復就東北斜行與乙相㑹
二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八
十步問答同前
[010-1b]
法曰共步内減四之小差復以自之於上以十八个
小差冪減於上為實四之共步内減十六个小差於
上却以十八小差加上為益從四步常法開平方得
中差
草曰别得共步為三事和也不及步即小差也立天
元一為中差加二之小差得□□為大小差併以加
入三事和得□□為三弦也倍三事得三千二百内
去大小差併得□□為三和也内減三弦餘□□為
[010-2a]
三个黄方以自之得□□□為九段黄方冪寄/左再置
天元中差加小差得□□為大差以小差□乘之得
□□為半个黄方冪就一十八之得□□為同數與
左相消得□□□開平方得二百八十步即中差也
其餘各依法求之合問
或問以前三事和又云大差三百六十步問答同前
法曰倍云數以云數乘之又九之於上倍云數加三
事和為前數倍云數減二之三事和為後數二數又
[010-2b]
相減餘一百六十為泛率以自乘減上位為平實十
八之云數内又加四之泛率為從四常法得中差
草曰立天元一為中差置云步倍之内減天元得□
□為大小差共數加於三事和得□□為三弦也倍
三事内減大小差共數得下式□□為三和也内減
三弦得□□為三个黄方靣也以自之得□□/□□為
九段黄方冪寄/左再以天元減大差得下式□□為小
差又倍之得□□以云數乘之得下式□□又就分
[010-3a]
九之得下式□□與左相消得下式□□□開平方
得二百八十步即中差也合問
或問依前見三事和又云中差二百八十步問答同前
法曰和步加差步以自乘於上又和步内減差步以
自乘加上位為平實四之和步為從二步益隅得大
弦
草曰立天元一為大弦減共步得□□為和副置之
上位減差步得□□為二勾以自之得丨□□為四
[010-3b]
段勾冪也下位加差步得□□為二股以自之得丨
□□為四段股冪也二位相併得□□□為四段弦
冪寄/左然後以天元自之又四之得□□為同數與左
相消得□□□開平方得六百八十步即大弦也倍
之以減於三事和餘即城徑也合問
或問依前見三事和又云小差大差併四百四十步問
答同前
法曰併前後二數三而一為弦反以減共步得數又
[010-4a]
以減弦得城徑
草曰二數相併得□三而一得□即弦也以弦減三
事和得□即和也弦和又相減餘二百四十步即城
徑也合問
或問依前見三事和又云小差中差大差共七百二十
問答同前
法曰半云數自之又三之於上以三事減上位為平
實按以三事減上位有誤此係偶合三事之數耳當/云加半段三事冪又倍三事和加大差復以大差
[010-4b]
乘之減上/位為平實倍三事於上半云數而五之加上位為益
從二常法得小差
草曰别得三差共為二大差也立天元一為小差併
大差加入三事和得□□為三弦也以自之得丨□
□為十八積九較冪寄/起又以共三事步自之得□方
於上又以天元小差乘大差倍之得□加於上得□
□為十二積四較冪又加五按即三/因二歸得□□為十八
个直積六个較冪以減寄起餘得丨□□為三个較
[010-5a]
冪寄/左然後以天元小差減大差得□□為中差以自
之得丨□□又三之得下式川□□為同數與寄左
相消得□□□平方而一得八十步即小差也餘各
依數求之合問
或問依前見三事和又云明黄方叀黄方共六十六問
答同前
法曰二事内加二之共步復以二之共步乘之於上
位三事内減二之共步復以二之共步乘之得數減
[010-5b]
上位為平實三事内加二之共步又倍之於上又三
按三當/作六之共步加上位為泛寄三事内減二之共步
又四之於上又三按三亦/當作六之共步減上位得數以減
泛寄為從作十八段虚平方開之得虚黄方
草曰别得共步即虚大小差也立天元一為虚黄方
以三之加入倍之共步得□□為圓徑也以圓徑加
三事得□□為二通和以圓徑減三事得□□為二
通弦又副置圓徑上加天元得□□為二虚和下減
[010-6a]
天元得□□為二虚弦乃置二大和以二小弦乘之
得下□□□寄/左然後置二大弦以二小和乘之得下
式□□□與左相消得□□□平方開之得三十六
步即虚黄方也其餘各依法求之合問
或問依前見三事和又云皇極弦二百八十九步問答
同前
法曰二數相乘為實從空一益隅得大弦
草曰立天元一為通弦内減皇弦餘□□為皇極勾
[010-6b]
股和以自之得丨□□於上以皇極弦冪減上位得
丨□為二直積合於皇極除之不除寄為母便以此
為城徑寄/左乃以二之天元弦減共步得□□為黄方
面以皇弦通之得□□與左相消得丨□□開平方
得六百八十步即大弦也合問
或問依前見三事和又云見太虚弦一百二步問答同
前
法曰半虚弦乘三事為實三事為從四虚隅翻開之
[010-7a]
得半大弦
草曰識别得以虚弦減大弦半之為皇極弦以虚弦
加大弦半之為皇極勾股共也立天元一為半大弦
以二之内減虚弦得□□折半得□□為皇極弦也
又以虚弦加大弦而半之得□□為皇極和也和自
之得丨□□於上又以弦自之得丨□□減上位餘
得下□為二直積合以皇極弦除之不除寄為分母
便以此為城徑寄/左然後以四之天元減三事共餘□
[010-7b]
□又以皇極弦分母通之得□□□為同數與左相
消得□□□倒積開得三百四十步倍之即大弦也
合問
測圓海鏡卷十