九章算術音義
唐 李籍 撰
序
九九之術 食律切術者其所述也前漢梅福傳臣聞
齊桓之時有以九九見者桓公不逆欲以致大也師
古曰九九算術若今九章五曹之輩隋書經籍志九
九算術二卷楊淑撰
[010-1b]
九數 色具切即九章是也以算言之故曰九數以篇
言之故曰九章周官保氏教國子以六藝一曰禮二
曰樂三曰射四曰馭五曰書六曰數鄭康成注云九
數方田粟米差分少廣商功均輸方程贏不足旁要
今有重差夕桀句股案周禮疏曰云今有重差句股/也者此漢法增之馬氏注以為
今有重差夕桀夕桀亦是算術之名與鄭異據疏所/言鄭注惟云今有重差句股也夕桀二字乃馬注賈
公彦後始竄入鄭注内此所引與/今本周禮注同葢訛舛已久矣隋書律厯志云一
曰方田以御田疇界域二曰粟米以御交質變易三
[010-2a]
曰衰分以御貴賤稟税
曰商功以御功程積實六曰均輸以御逺近勞費七
曰盈朒以御隠雜互見八曰方程以御錯糅正負九
曰句股以御髙深廣逺
隸首 郎計切世本曰黄帝時隸首作數
探賾 上吐南切下士革切賾者含蓄含蓄者探之可
及故易曰探賾
索隠 上色白切下於謹切隠者隠匿隠匿者索之可
[010-2b]
得故易曰索隠
重差 上直容切下楚佳切重復也差不齊也重差句
股名也
率 所律切數相與也又音律約數也
可度 徒各切揆也
考論 盧敦切
孤離 吕支切
九章第一
[010-3a]
方田 徒年切田者圍周之以為疆横從之以為理平
夷著見興作利養之地也方田者田之正也諸田不
等以為為正故曰方田
以御牛倨切理也
田疇 直留切耕治之
界域 雨逼切疆也
廣 如字濶也
從 即容切長也
[010-3b]
幾何 上居豈切下如字幾何數之疑也
相乘 食陵切登也登之使其數多隋書曰乘以散之
案此引隋書乘以散之後又引隋書除以散之考之/隋書亦然扵乘除之義適相反乘乃合其數當云乘
以聚之除乃分數當云除以散之此該諸分為/言最謂通之以衍而多聚謂約之使專而少焉
淳風 竝如字李淳風岐州雍人幼爽秀通羣書明步
天厯算正觀初與傅仁均争厯法議者多附淳風故
以將仕郎直太史局制渾天儀詆摭前世得失著法
象書七篇上之擢承務郎遷太常博士改太史丞與
[010-4a]
諸儒修書遷為令于占侯吉凶若節契然當世術家
意有鬼神相之非學習可致終不能測也以勞封昌
樂縣男奉詔與算博士梁述㫑教王真儒等是正五
曹孫子等書刋定注解立于學官九章即其一也
畆法 莫厚切司馬法六尺為步步百為畆秦孝公之
制二百四十步為一畆
除之 直魚切去也去之使其少隋書曰除以聚之案/聚
非除之義蓋指/約分諸術而言
[010-4b]
一頃 去穎切百畆也
約分 於略切約者欲其不煩分之為數煩則難用設
有言四分之二者煩而言
言之則二分之一也雖則異辭至于為數亦同歸耳
副置 上敷救切别下陟吏切設也别設算算位有所
分也
合分 古沓切合分者欲其不離數非一端分無定準
分子雜互羣母參差粗細既殊理難從一故齊其衆
[010-5a]
分同其羣母分可相并故曰合分
參差 上楚金切下楚宜切不齊也三相參為參兩相
差為差
觿 音攜所以解結詩曰童子佩攜
減分 古斬切減損也減分者欲其其餘諸分子母數
各不同以少減多欲知餘幾以餘為實故曰減分
課分 苦卧切校也欲知其相多分各異名理不齊一
校其相多之數故曰課分
[010-5b]
平分 符兵切均也平分者欲減多増少而至于均諸
分參差欲令齊等減彼之多増此之少故曰平分
副并 畀政切兼也别兼算位有所合也
經分 如字釋名曰經者徑也經分欲欲徑求一人而
至于徑自合分已下皆于諸分相齊此乃徑求
之分以人數分所分故曰經分下經率同
乘分 如字乘分者欲知其所積分母相乘為法子相
乘為積故曰乘分自合分已下獨乘言田而皆列于
[010-6a]
方田者欲其學數者不可後也故説算者以謂為術
者先治諸分能治諸分則數學之能事盡矣
大廣田 竝如字初術有全步而無餘分次術有餘分
而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術
故曰大廣田
圭田 古攜切圭田者其形上鋭有如圭然白虎通曰
圭者上鋭象物皆生見於上也
箕田 居之切箕田者有舌有踵其形哆侈有如箕然
[010-6b]
詩曰哆兮侈兮成是南箕
圓田 王權切圓田之率有三一曰古率周三徑一是
也二曰徽率周一百五十七徑五十是也三曰密率
周二十二徑七是也為算之術有四一曰半周半徑
相乘得積步二曰周徑相乘四而一三曰徑自相乘
三之四而一四曰周自相乘十二而一
徽術 許歸切徽術以五十乘周
徑以一百五十七乘徑五十而一即周此率本于劉
[010-7a]
徽故曰徽術
密率 美畢切密率以七乘周二十二而一即徑以二
十二乘徑七而一即周此率本於宋南徐州從事史
祖沖之沖之以圓徑一億為一丈圓周盈數三丈一
尺四寸一分五釐九毫二秒七忽朒數三丈一尺四
寸一分五釐九毫二秒六忽正數在盈朒二限之間
密率圓徑一百一十三圓周三百五十五約率圓徑
七周二十二此乃率之最密也
[010-7b]
秒忽 上亡沼切下呼骨切忽者數之始也一蠶所吐
謂之忽孫子算術云蠶所生吐絲為忽十忽為秒十
秒為毫十毫為釐為釐為分
億 於力切十萬曰億萬者物數也以人之億數為足
以勝物數故也或曰萬萬曰億黄帝為法數有十等
及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗
正載也三等者謂上中下之數也下數者十十變之
若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京中數者萬萬變
[010-8a]
之
數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京詩云
不稼不穡胡取禾三百億兮毛氏曰萬萬曰億鄭氏
曰十萬曰億據如此言則鄭用下數毛用中數也
嘉量 音亮周禮考工記㮚氏為量鬴深尺内方尺而
圓其外其實一鬴其臋一寸其實一豆其耳三寸其
實一升重一鈞其聲中黄鍾㮣而不税其銘曰時文
思索允臻其極嘉量既成以觀四國永啟厥後兹器
[010-8b]
維則春秋左氏傳曰齊舊四量豆區鬴鍾四升曰豆
各自其四以登於鬴六斗四升也鬴十則鍾六十四
斗也鄭康成以為方尺積千寸比九章粟米法少二
升八十一分升之二十二祖沖之以算術考之積凡
一千五百六十二寸半方尺而圓其外減旁一釐八
毫其徑一尺四寸一分四釐七秒二忽有竒而深尺
即古斛之制也王莽作銅斛名曰律嘉量其意葢本
于此銅斛之法方尺而圓其外旁有庣焉其上為斛
[010-9a]
其下為
禄上三下二參天兩地圓而函方左一右二隂陽之
象也圓象規其重二鈞備氣物之數各萬有一千五
百二十也聲中黄鍾始於黄鍾而反覆焉其斛銘曰
律嘉量斛方尺而圓外庣旁九釐五毫幂百六十二
寸深一尺積一千六百二十寸容十斗祖沖之以圓
率考之此斛當徑一尺四寸三分六釐一毫九秒二
忽庣旁一分九毫有竒劉歆庣旁少一釐四毫有竒
[010-9b]
歆數術不精之所致也魏陳留王景元四年劉徽注
九章商功曰當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五
釐深一尺積一千四百四十一寸十分寸之三王莽
銅斛于今尺為深九寸五分五釐徑一尺三寸六分
八釐七毫以術計之于今斛為容九斗七升四合有
竒此魏斛大而尺長王莽斛小而尺短也
庣 吐雕切不滿之貌也
竒 居宜切餘數也
[010-10a]
攈摭 上居運切下之石切攈摭取拾也攈或作捃
當作宛字之誤也中宛邱又曰邱上有邱為宛邱皆中央隆髙之義也
孤田 户呉切弧田者有弧有矢如弧之形
環田 户闗切環田者有肉有好如環之形爾雅曰肉
好若一謂之環或作鐶
九章第二
粟米 上相玉切下莫禮切粟者禾之未舂米者糓實
[010-10b]
之無殻粟者米之率也諸米不等以粟為率故曰粟
米
交質 陟利切又如字
變易 羊益切
糲米 盧達切麤也凡粟五斗得糲米三斗故粟率五
十而糲率三十
粺米 傍卦切精于糲也凡粟五斗得粺米二斗七升
故粟率五十而粺率二十七詩曰彼疏斯粺鄭康成
[010-11a]
注云米之率糲十粺九糳八侍御七
糳米 音作精于粺也凡粟五斗得糳米二斗四升故
粟率二十四春秋左氏傳
御米 牛倨切精于糳也供王膳之米也蔡邕獨斷曰
所進曰御御者進也凡衣服加于身飲食入于口皆
曰御
小䵂大䵂 音敵麥屑也細曰小䵂麤曰大䵂
菽 音叔大豆也
[010-11b]
荅 都合切小豆也
豉 是義切鹽䜴也廣雅云苦李作豉
飱 音孫説文曰餔也
糱 魚列切麯糱也説文曰米牙
瓴甓 上音靈下扶厯切甎也
箇 古賀切數也數竹曰箇
縑 古甜切説文曰并絲繒也
鈞 居勻切三十斤也
[010-12a]
銖 音殊八銖為錙二十四銖為兩
翭 音侯説文曰羽本也數羽稱其本猶數草木稱其
根株也
榦 古按切榦莖也一本作簳
九章第三
衰分 楚宜切衰差也以差而平分故曰衰分
稟 筆錦切供榖曰稟或作廩非是
大
[010-12b]
夫則以智率人之大者也
不更 古衡切爵名也次大夫取其不與戌更
簪褭 上側吟切下奴了切爵名次不更取其纓冠乘
馬
上造 音皂爵名也次簪褭取其為造士而居上
公士 竝如字爵名也次上造取其為士而在公
爵數 色具切爵數者謂大夫五不更四簪褭三上造
二公士一也墨子號令篇以爵級為賜然則戰國之
[010-13a]
初有此名也
償之 市羊切還也
北鄉算 蘇貫切算者計口出錢漢律人出一算一算
百二十錢賈人與奴婢倍算
傜 音遥役也
耗 呼到切減也
乾 古寒切燥也
保 音寶傭也如所謂酒家保
[010-13b]
貸吐代切以物假人也
九章第四
從之多益廣之少故曰少廣
積幂 上資昔切下莫狄切積者聚也衆數聚居之稱
幂者覆也方面單布之名積幂之義不同如此
半 博漫切物中分也凡言半者以二為分母言太半
少半者以三為分母
[010-14a]
約省 所景切
折法 㫖熱切折者屈而有降意折法即退位也
内子 如字入也既以分母通之必入其分子故曰内
子所謂齊同以通之也又音納
中行 户剛切列也下行同
中徑 故官切丸即立圓也
牟合 上莫浮切下胡閤切
㮚氏 力質切㮚氏鑄量之官也一本作粟
[010-14b]
為渾 胡昆切
祖暅之 古鄧切暅之字景鑠沖之之子也少傳家業
究極精㣲亦有巧思入神之妙般倕無以過也當其
詣㣲之時雷霆不能入嘗行遇僕射徐勉以頭觸之
勉呼乃悟父所改何承厯厯時尚未行梁天監初暅
之更修之于是始行焉位至大舟
昭晣 音哲明也
咍哂 上呼開切下式忍切笑也
[010-15a]
九章第五
商功 式羊切商度也以度其功庸故曰商功
穿地 昌緣切掘地也凡穿地四尺為壤五尺為堅三
尺
壤 如兩切壤謂息土書曰厥土惟白壤
堅 古賢切堅謂築土詩曰築之登登
墟 苦虚切墟謂穿坑
垣 音園墉也
[010-15b]
隄 都奚切防也俗作堤
溝 古侯切釋名曰田間之水曰溝溝搆也縱横相交
搆
壍 七豓切長于溝也水之遶城者
渠 强如切長于壍也水之通運者
袤 莫侯切袤長也
礫 郎擊切釋名曰小石曰礫
堢壔 上音寳小城也
[010-16a]
方亭 特丁切釋名曰亭停也人所停集也方亭者其
積之形如亭之方者圓亭亦然
方錐 職誰切方錐者其積之形如錐之方者圓錐亦
然
壍堵 當古切壍堵壍上疊也以立方一邪解得二壍
堵其積居立方二分之一將一壍堵邪解得一陽馬
一鼈臑求壍堵之積以廣長相乘又以高乘之二而
一
[010-16b]
陽馬 莫下切陽馬之形方錐一隅也今以四柱屋隅
為陽馬以立方一邪解得三陽馬其積居立方三分
之一將一陽馬邪解得二鼈臑求陽馬之積以廣長
相乘又以髙乗之三而一
鼈臑 那到切臂節也鼈臑之積半陽馬其形有似鼈
肘故以名云以立方一邪解得六鼈臑其積居立方
六分之一求鼈臑之積以廣長相乗又以髙乗之六
而一臑或作腝非是
[010-17a]
羡除 上以淺切下直魚切羡延也除道也羡除乃隧
道也其所穿地上平下邪似兩鼈臑夾一壍堵即羡
除之形求其積并三廣以深
一
芻甍 上測隅切刈草也俗作蒭下莫耕切屈棟也芻
甍之形似屈葢上苫也求其積倍下長上長從之又
以廣乗之又以髙乗之六而一正解方亭兩邉合之
即其形也
[010-17b]
芻童 徒紅切如倒置砑石求其積倍上長并入下長
以上廣乗之又倍下長并入上長以下廣乗之并二
位以髙乗之六而一曲池盤池冥谷皆同術
曲池 邱玉切
盤池 薄官切
冥谷 莫經切冥谷之形如正置砑石
棚 薄耕切
踟蹰 上直離切下直誅切行不進也
[010-18a]
載輸 上作代切下式朱切
一籠 力董切
委粟 於詭切積也
程粟 直城切課也程粟一斛積二千七百寸米一斛
積一千六百二十寸菽荅麻麥一斛積二千四百三
十寸此據精麤為率使價齊而不等其器
以米斛為正則同于漢志孫子算術曰六粟為圭十
圭為抄十抄為撮十撮為勺十勺為合應劭曰圭者
[010-18b]
自然之形隂陽之始四圭為撮孟康曰六十四黍為
圭漢志曰量者龠合升斗斛也所以量多少也本起
于黄鍾之龠用度數審其容以子榖秬中者千有二
百實其龠以井水準其㮣十龠為合十合為升十升
為斗十斗為斛而五量嘉矣
圓囷 去倫切倉圓曰囷
九章第六
均輸 式朱切均平也輸委也以均平其輸委故曰均
[010-19a]
輸
勞費 芳未切耗也
乗 䋲證切數車曰乗一本作量
衰出 楚危切次也不齊等也管子曰相地衰征
薄塞 上補各切迫也下先代切邉也薄或作博非是
輩之 補妹切配也俗作軰
僦 即就切賃
傭 餘封切賃也
[010-19b]
重車 直隴切輕對也
舂 書容切世本曰雍父作舂吕氏春秋曰赤冀作舂
程傅 張戀切傳郵
絡 盧各切
惡 烏各切不善也
金箠 之累切策也
四間 古閑切中間也
錐行 户剛切錐行衰者下多上少如立錐之形
[010-20a]
鳧 防無切野鴨也
牝瓦 毗忍切
牡瓦 莫厚切
矯矢 居夭切説文曰揉箭箝也俗作撟
假田 古雅切借也
發 方伐切伐也詩曰駿發爾私
耕 古莖切犁也詩曰亦服爾耕
耰種 音憂覆種也孟子曰播種而耰之
[010-20b]
九章第七
盈不足 以成切盈者滿也不足者虚也滿虚相推以
求其適故曰盈不足
朒 女六
璡 將鄰切美石次玉曰璡一本作準
適足 施隻切恰也
桶 他孔切
瓠 胡誤切𤓰屬也蔓無販切𤓰蔓也
[010-21a]
醇酒 常倫切厚酒也
行酒 胡剛切市酒也
和漆 如字又胡卧切
易油 羊葢切交易也
惡田 烏各切不善也
駑馬 音奴字林曰駘也
之蜀賈 音古商賈一本作價
返 府逺切還也
[010-21b]
九章第八
方程 直成切方者左右也程者課率也左右課率總
統羣物故曰方程
錯糅 女救切雜也
正負 上之盛切下房久切本數為切非本數為負正
與正同名負與負同名同名相除則異名者相益異
名相除則同名者相益一正一負相反而相為用術
之至也
[010-22a]
秉
稱 昌孕切正斤兩也俗作秤
課 苦卧切程也
衡 户庚切權衡也
武馬 莫下切武馬戎馬也戎馬言武馬者猶曲禮謂
戎車為武車也取其健猛而善行
阪 府逺切不平也俗作坂
借 資者切從人假物也
[010-22b]
引 余忍切引重也易曰引重致逺
綆 古杏切汲水索
令 力正切官名也
從者 疾用切隨也
庖 薄交切
恢演 上苦囘切大也下以淺切廣也
九章第九
句股 上古侯切下公户切句短面月股長面也短長
[010-23a]
相推以求其弦故曰句股
圍之 兩非切周也
纏 持碾切纏繞物也俗作纏
葛長 直良切
葭 古牙切説文曰葦之未秀者
閫 苦本切門限也
折 常列切斷也
[010-23b]
磨邑 莫禾切
參 倉含切俗作参
横 户盲切從横也
九章算術音義
[011-1a]
九章算術後序
九章算經九卷周公之遺書而漢丞相張蒼之所刪補
也算數之書凡數十家獨以九章為經之首以其九數
之法無所不備諸家立術雖有變通推其本意皆自此
出而且知後人無以易周漢之舊也自唐有國用之以
取士本朝崇寧亦立于學官故前世算數之學相望有
人自衣冠南渡以來此學既廢非獨好之者寡而九章
正經亦幾泯没無傳矣近世民間之本題之曰黄帝九
[011-1b]
章豈以為為隸首之所作歟名以不當雖有細草類皆
簡捷殘闕懵于本原無有劉徽李淳風之舊注者古人
之意不復可見每為慨嘆慶元庚申之夏余在都城與
太史局同知算造楊忠輔徳之論厯因從其家得古本
九章乃汴都之故書今秘館所定著亦從此本寫以送
官者也謹按晉志劉徽所注九章實魏之景元四年觀
其序文以謂折理以辭解體用圖又造重差于勾股之
下辭乃令之注文其圖至唐猶在今則亡矣重差之法
[011-2a]
今之海島算經是也又李淳風之注見于唐志凡九卷
而今之盈不足方程之篇咸闕淳風注文意者此書嵗
久傳録不無錯漏猶幸有此存者今此乃是合劉李二
注而為一書云其年六月一日乙酉迪功郎新隆興府
靖安縣主簿括蒼鮑澣之仲祺謹書