[009-1a]
欽定四庫全書
九章算術卷九 晋 劉 徽 注
唐 李淳風 注釋
句股以御髙深廣逺
今有句三尺股四尺問為弦㡬何答曰五尺
今有弦五尺句三尺問為股㡬何答曰四尺
今有股四尺弦五尺問為句㡬何
句股
[009-1b]
短面曰句長面曰股相與結角曰弦句其股短股短
其弦將以施于諸率故先具此術以見其源也
術曰句股各自乘并而開方除之即得
句自乘為朱方股自乘為青方令出入相補各從其
類因就其餘不移動也合成弦方之幂案注内以朱/青分句股之
方幂則知舊有圖/而缺今補圖于後開方除之即弦也
又股自乘以減弦自乘其餘開方除之即句
淳風等按此術以句股幂合成弦幂句方于内則句
[009-2a]
短于股今股自乘以減弦自乘餘者即句幂也故開
方除之即句也
句股幂合以成弦幂令去其一則餘在者皆可得而
知之
[009-4a]
今有圓材徑二尺五寸欲為方版今厚七寸問廣幾何
答曰二尺四寸
術曰令徑二尺五寸自乘以七寸自乘減之其餘開方
除之即廣
此以圓徑二尺五寸為弦版厚七寸為句所求廣為
股也
今有木長二丈圍之三尺葛生其下纏木七周
齊問各長幾何答曰二丈九尺
[009-4b]
術曰以七周乘三圍為股木長為句為之求弦弦者葛
之長
㩀圍廣求從為木長者案此句有舛誤當云㩀/圍廣木長求葛之長其形
萬卷裏袤以筆官青線宛轉有似葛之纏木解而觀
之則每周之間自有相間成句股弦則其間葛青七
弦周乘三圍并合衆句以為一句木長而股短術云
木長謂之股言之倒案此數句訛舛不可通當云則/其間木長股圍為之為句葛長
為弦弦七周乘三圍是并合衆句以為一句則句長/而股短故術以木長謂之句圍之謂之股言之倒互
[009-5a]
句互與股求弦亦無圍二十五青弦之自乘幂出上
第一圍案此亦訛舛當云句與股求弦亦如前圖句/三自乘為味幂股四自乘為青幂合朱青得
二十五為弦五自/乘幂出上第一圍句股幂合為弦幂明矣然二幂之
數謂倒在于弦幂之中而已可更相裏者則成方幂
其居表者老成矩
句幂之矩青卷白表是其幂以股弦差為廣股弦并
為袤而股幂方其裏股幂之矩青卷白表是其幂以
句弦差為廣句弦并為袤而句幂方其裏是其幂之
[009-5b]
與并用除之短長互相乘也案此上亦多訛舛又非/本術所該特因論句幂
股幂合為弦幂旁推交相言之據君卿注周趙髀算/經云凡并句股之實即成弦實或矩于外或方于内
形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股弦差為廣/股弦并為袤而股實方其裏股實之矩以句弦差為
廣句弦并為袤而句實方其裏君卿漢人此注葢用/其説而傳冩失真加以後人竄改遂不可通其圖已
見/上
今有池方一丈葭生其中央出水一尺引葭赴岸適與
岸齊問水深葭長各幾何答曰水深一丈二尺葭長一
丈三尺
[009-6a]
術曰半池方自乘
此以池方半之得五尺為句水深為股葭長為
句弦見股故令自乘先矩見幂也案此注有脱誤當/云以句及股弦差
求弦股故令句自/乘先見矩幂也
以出水一尺自乘減之
出水者股胘差減此差幂于矩幂則除之案此三字/舛誤當云
餘為倍股弦差/乘股為之矩幂
餘倍出水除之即得水深
[009-6b]
差為矩廣之幂案此句有脱誤當云/倍差為矩幂之廣水深是股令此
幂得出水一尺為長故為矩而得葭長也案此二字/有脱誤當
云欲先見葭長者出水一尺自乘以加于半池方自/乘尺数倍出水除之即得令此幂得出水一尺為袤
故為矩而/得葭長也
加出水數得葭長
淳風等按此葭本出水一尺既見水深故加出水尺
數而得葭長也
今有立木繫索其末委地三尺引索卻行本去八尺而
[009-7a]
索盡問索長幾何答曰一丈二尺六分尺之一
此以去本八尺為句所求索者弦也引而索盡開門
去閫者句及股弦差同一術案此句有脫誤當云與/閫者去閫者句及股弦
差求股弦/同一術去本自乘者先張矩幂
今如委數而一
委地者股弦差也以除矩幂即是股胘并也
所得加委地數而半之即索長
[009-7b]
子不可半者倍其母加差者并而成長故又半之其
減差者并而半之也案此注脫誤不可通據句自乘/之矩幂如股弦差而一得股弦
并加差為兩弦減差為兩股當云加差于并則成/兩索長故又半之其減差于并而半之得木長也
今有垣髙一丈倚木于垣上與垣齊引木卻行一尺其
木至地問木長幾何答曰五丈五寸
術曰以垣髙一十尺自乘如卻行尺數而一
郤行尺數而半之即木長數
此以垣髙一丈為句所求倚木者為弦引卻行一尺
[009-8a]
為股弦差為術之意與繫索問同也
今有圓材埋在壁中不知大小以鐻鐻之深一寸鐻道
長一尺問徑幾何答曰材徑二尺六寸
術曰半鐻道自乘
此術以鐻道一尺為句材徑為弦鐻深一寸為股弦
差之一半鐻長是半也案此五字舛誤當云/故鐻長亦半之也
淳風等按下鐻深得一寸為半股弦差注云為股弦
差者鐻道也案此言下鐻道得一寸為半股弦差即/注所謂鐻深一寸為股弦差之一半也
[009-8b]
更綴注云為股弦差者鐻道五寸字舛誤不可通據/割圓術鐻深寸即一可為股弦差半鐻道五寸為句
材半徑為弦若以/此言之尤合術意
如深寸而一以深寸増之即
亦以半増之如上術去本當半之今此皆同半差不
復半也
今有開門去閫一尺不合二寸開門廣幾何答曰一尺
一寸
術曰以去閫一尺自乘所得以不合二寸半之而一所
[009-9a]
得増不合之半即得門廣
此去閫一尺為句門廣為股不合二寸以半之得一
寸為股弦差求弦故當半之今次以兩弦為廣数案/次
字誤當云今即/以兩弦為廣数故不復半之也
今有户髙多于廣六尺八寸兩隅相去適一丈問户髙
廣各幾何
術曰令一丈自乘為實半相多令自乘倍之減實半其
餘以開方除之所得減相多之半即户廣加相多之半
[009-9b]
即户髙
今户廣為句髙為股兩隅相去一丈為弦髙多于廣
六尺八寸為句股差按圖為位弦幂適滿萬守倍之
減句股差幂開方除之其所得即高廣并數以差減
并而求之即廣户加相多之數即户髙也今此術先
求其半一丈自乘為朱幂四黄幂一半差自乘又倍
之
幂四半一丈案此亦訛當云/黄幂四分之一其于大方棄四分之二
[009-10a]
故開方除之即户廣并數半并数案此亦訛當云棄/四分之三適得四
分之一故開方除之/得髙廣并数之半減差半得廣加得户髙又按此
圓幂案圓字誤當作圖據注文知/舊有圖而缺今補圖于後句股相并而加其
差幂亦減弦幂為積葢先見其弦然後知其句與股
案此亦訛舛據句股并自乘加差幂為兩弦幂半之/開方得弦今倍弦幂減差幂求句葢并葢先見其弦
然後知其/句股也今適自等乘亦各為方先見其弦然而後
知其句與股適等者今自乘亦今為弦幂案此亦訛/舛據句股
適等者并而自乘即為兩弦幂皆各為方先見其弦/然後知其句與股者倍弦幂即為句股適等者并兩
[009-10b]
自乘/之幂令半相多而自乘倍之亦為弦幂而差数復先
此各自乘之而與相乘数各為門實案此亦訛舛不/可通據半相多
自乘倍之又半句股并自乘亦倍之合為弦幂其無/差数者句股各自乘并之為實與句股相乘倍之為
實皆開方得弦弦幂半/之為實開方即得句幂及股長句股同源而分流焉
假令句股各五弦幂五十開方除之得七尺有餘一
不盡假令弦十其幂有百半之為句股弦三幂各得
五十案此句舛誤當云為/句股二幂各得五十當亦不可開故曰圓三徑
一方五斜七雖不正得盡理亦可言相近
[009-11a]
合而自相之乘幂者令自乘為四幂以減之開方除
之其餘為句股差加于合而半為股減差于合而半
之為句案此亦訛舛當云其句股合而自乘之幂令/弦自乘而之為兩弦幂以減之其餘開方除
之為句弦差于合而合而半之/為股減差于合而半之為句股弦即髙廣袤其出
此圖也其倍弦為廣袤今矩句即為幂得廣即句股
差廣此亦訛舛據趙君卿注周髀算經云其倍弦為/ 袤合而令句股見者自乘為其實四實以減之
開其餘所得為差以差減合半其餘為廣減廣于弦/即所求也此注似用其説而傳寫舛誤後人又妄加
改竄遂不可通就君卿説攷之倍弦自乘得弦實四/内有句實股實各四減四句實餘即四股實開之得
[009-11b]
倍股減四股實餘即四句實開之淂倍句所謂開其/餘所得為差也減即四于倍弦半其餘為股弦差減
倍句于倍弦半其餘為句弦差所謂以差減合半其/餘為廣也減股弦差于弦即股減句弦差于弦即句
所謂減廣于弦即所求也凡股弦差為廣股弦并為/袤其幂即向幂句弦差為廣句弦并為袤其幂即股
幂合廣袤皆成倍弦故曰倍弦為
廣袤合而倍/句倍股即廣袤差此云廣即句股差其謬甚矣其倍
句之幂倍為從法開之亦句股差其餘以句股幂減
半其餘差為從法開法除之即句也案此亦訛舛據/趙君卿云減矩
句之實于弦實開其餘即股倍股在兩邉為從法開/矩句之角即股弦差減矩股之實于弦實開其餘即
句倍句在兩邉為從法開矩服之角即句弦/差此注亦用其説而殘缺失次遂不可通
[009-13a]
[009-13b]
今有竹髙一尺末折抵地去本三尺問折者髙
曰尺四二十分尺之一十一
術曰以去本自乘
以去三尺為句折之餘髙為股以先令自乘之幂案/此
句有脱誤當云末折折地為弦以句及/股弦并求朕故先令句自乘見矩幂
令如髙而一
凡為髙一丈為股弦并之案此句有舛誤當云/竹髙一丈為股弦并以除
此幂得差
[009-14a]
所得以減竹髙而半餘即折者之髙也
此術與繫索之類更相反覆也亦可如上術令自乘
為朕弦并幂案此句脱一髙字當云/令髙自乘為股弦并幂去本自乘為矩
幂減之餘為實倍髙為法則得折之髙数也
今有二人同所立甲行率七乙行率三乙東行甲南行
十步而斜東北與乙㑹問甲乙行各㡬
一十步半甲斜行一十四步半及之
術曰令七自乘三亦自乘并而半之以為甲斜行率斜
[009-14b]
行率減于七自乘餘為南行率以三乘七為乙東乙率
案此問甲行率七者設句弦并七也乙南率者三設股/三也術令七自乘三亦自乘并而半之以為甲斜行率
者句股并自乘加股自乘半之即弦乘句弦并所得数/以為弦率斜行率減于七自乘餘為南行率者句弦并
自乘減弦乘句弦并餘即句乘句弦并所得數以為句/率弦率句率皆句弦并乘出之率故所設股三亦以乘
句弦并七及為股率句率二十股率二十一弦率三/十九則句之十步股必十步股必十步半步半矣
此以南行為句東行為股斜行為弦并句率七句并/ 二
字誤當云/句弦并七欲行者當以為幂案此亦訛舛當云欲知/弦者當以股自乘為幂
如并而一所淂為句弦差加半之半為率以率減餘
[009-15a]
為句率案此亦訛舛當云加差于并而/半之為弦以弦減差餘為句如是或有分
當通而約之及定術以可使為分母案此亦說誤當/云乃定術以句
弦并為分母/差
自乘為青矩之矩以句弦并為袤差為廣今有相引
之直加損同上案上當/作之其圖大體案圖原本訛/作圖今改正以兩
弦為袤句股為廣案此句誤當云/句股并為廣引黄㫁其半為弦
率七自乘者句弦并之率故弦減之餘為句率同立
䖏是中停也列用率案此三字原本訛在上斷/其半為弦率之下今訂正皆句
[009-15b]
弦并為率故亦以句率同其袤也案此亦說誤當云/皆句弦并為袤弦
與句各為之廣故亦/以股率同其袤也
置南行十步以甲斜行率乘之副置十步以乙東行率
乘之各自為實實如南行率而一各淂行数
南行十步者所見有句求見弦股故以弦股率如句
率而一
[009-16a]
[009-16b]
今有向五步股十五步問句中容方㡬何答曰方三步
十一七分步之九
字下原本衍一步二字/乃後人妄加今刪正
句股相乘為朱黄幂青各二案此及下注舊皆有圖/而缺今各補圖于後
令黄袤于隅朱青各以其類令從以兩徑共幂共成
脩之幂案此有訛舛據後容圓術注云可用畫于小/紙分裁正之㑹令顛倒相補各各以類合成
修幂則此亦謂令黄幂連于下隅朱/青各以其類移而相補共成脩幂也方中黄案此三/字下有
[009-17a]
脫文當云中/方黄為幂并句股為袤故并句股為法幂圓方在
句中案圓字誤/當作圖則方之兩亷各自成小股袤案此句/誤當云
各自成/小句股而其相與之勢不失本率也句中之小股股
面之半為中率案此亦訛舛當是言句面之小股股/面之小句從連相連合而成中方
合股為中方率并句股焉案此四字之下有脱文/當云并句股為廣率據
見句五步而今有之得中方也復令句為中率以句
股為率案此二句有脫誤當云復令句/為中方率以并句股為袤率據股十二步
而今有之則中方又何如案此句舛誤當云/則中方又可知此則雖
[009-17b]
不效而法實有法由生矣案此亦舛誤據上以粟米/章今有術及衰分章列衰
之意解此術大小句股互求并句股即所有率中方/率即所求率見句見股即所有數于事雖不同而意
相倣效實術所生由/也注意當是如此不容圓率而似今有衰分言之
案此二句舛誤當云下容/下容而以今有衰分言之可以見之也
[009-18a]
[009-18b]
令有句八步股十五步一問句中容圓徑幾何答曰六
步
以句乘股倍之為實實如法得徑案徑字下原本衍一/步二字乃後人妄加
今刪/正
句股相乘為圓本體朱青黄幂各二之則田為各四
案此注訛舛當云句股相乘為圖之/本體朱青黄幂各二則倍之為各四可用畫于小紙
分裁邪正之㑹令倒顛相補各以類合成修幂圓徑
[009-19a]
為廣并句股弦為袤故并句股弦以為法又以圓大
體言之案圓字誤/當作圖股中青必令立規于横廣句股又
邪三徑均而復連規案此亦舛誤據容圓之徑即減/弦于句朕并之餘也取半徑規
之又以半徑減句股其餘并之適為弦如是截句股/弦各為二三半徑均而復連于規之中央注意葢以
此為言而殊缺/失次遂不可通從横量度句股必合而成小方矣又
畫中弦以規除㑹則句股之面中央小句股弦案此/亦訛
舛當是言又畫中弦以觀其㑹/則句股之中成小句股弦者四句之小股面面中句
案此二句誤當作句面/之小股股面之小句皆小方之面皆圓徑之半其
[009-19b]
数故可衰以句股弦為列衰副并為法以小句乘未
并者各自為實實如法而一得句面之小股可知也
以股乘列衰為實則得股面之小句可知案以小句/乘未并者
至此訛舛不可通或後人妄加改竄又援衰分章之/文入于此遂漫無辦䖏當是言令股為列衰以見句
乘之為實實如法而一則句面之小股可知也今句/為列衰以見股乘之為實實如法而一則股面之小
句可可此在粟米章即今有實以所求率乘所有數/所有率除之古算家謂之異乘同除注以解大小句
股互乘句率股率為所有率及所求率見句或見/股為所有數不可以見句乘句率見股乘股率也言
雖異矣及其所以成法之實則同
[009-20a]
以句乘之差并案此句亦訛舛當云則又/可以句弦差減句為圓徑句弦差減
股為圓徑案此下有脱文當補云句弦差/股弦差并之以減弦餘為圓徑又弦減句
股并餘為圓徑以句弦差乘股弦差而倍之開方除
之亦圓徑也
[009-21a]
今有邑方二百步各中開門出東門一十五步有木問
出南門幾何步而見木答曰六百六十六步太半步
術曰出東門步數為法
以句率為法也
半邑方自乘為實實如法得一案原本此句之下衍步/字及後人妄加今刪正
此以出門十五步為句率東門南至隅一百步為股
率南門東至隅一百步為見句步欲以見句求股以
為出南門数正合半邑方自乘者股率當乘見句此
[009-21b]
二者數同也
里有木問出南門幾何步而見木答曰三百一十五步
術曰東門南至隅數步以乘南門東至隅步數為實以
木去門步數為法實如法而一
此以東門南至隅四里半為句率出東門一十五里
為股率南門東至隅三里半為見股所問出南門即
見股之句為術之意與上同也
[009-22a]
今有一方不知大小各中開門出北門三十步有木出
西門七百五十步見木問邑方幾何
術曰令兩出門步數相乘因而四之為實開方除之即
得邑方
按半邑方令半方自乘出門除之即步案此注不分/曉應有說誤
據前出東門術半邑方自乘出東門步數/除之即出南門步数似似之以互相證明今之出相
乘案今之二字誤當/云今兩出門相乘故為半方邑自乘居一隅之積
分因而四之即得四隅之積分故為實開方除即邑
[009-22b]
方也
今有邑方不知大小各出開門出北門二十步有木出
南門一十四步折而西行一千七百七十五步見木門
邑方幾何答曰二百五十步
此以折而西行為股自木至邑一十四步為句案邑/下脱
南字當云自木至/邑南十四步為句以為北門二十步為率為丈弦字/當云
為南/率北門至西隅為單望半廣数案單望二字誤當/云為弦率即半廣
[009-23a]
數/故以出北門乘至南行股以半率乘句之幂案此/二句
訛舛當云故以出北門句率乘/西行股得半廣股率乘句之幂然北門居半以西行
故又倍之合東盡之也案此亦訛舛當云然此幂居/半以西故又倍之合半以東
也/
并出南門步數為從法開方除之即邑方
此術之幂東西南北邑自木盡邑南四十步之幂案/此
三句訛舛當云東西南北邑/南北自木盡邑南十四步各南北步為廣邑方為
袤故連兩廣為法從并案此八字訛舛當云/故建并兩廣為從法以為隅
[009-23b]
外之幂也
今有邑方一十里各中開門甲乙俱從邑中央而出乙
東出甲南出出門不知步數邪向東門磨邑適與乙㑹
率甲行五乙行三問甲乙行各幾
百步邪東北行四八八百八十七步半及乙乙東行四
千三百一十二步半
術曰令五自乘三亦自乘并而半之為邪行率邪行率
減于五自乘者餘為南行率三三乘五為乙東行率
[009-24a]
求三率之意與上甲乙同
置邑方半之以南行率乘之如東行率而一即
門步數
今半方南門東隅五里半邑者謂為小股也求以為
出南門步數案此注有脱誤當云邑半方自南門至/東隅五里以為小股求出南門步數為
小股之句以東行為/股率南行為句率故置邑方半之以南行句率乘
之如股率而一
以増邑方半即南行
[009-24b]
半邑者謂從邑心中停也
置南行步求弦者以邪行率乘之求東者以東行率乘
之各自為實實如法而率得一案原本訛作實如法南/行率得一步據前甲乙
術云實如南行率而一各得行數則/此文法字步字乃後人妄増今刪正
此術與上甲乙同
今有木去人不知逺近立四表相去各一丈令左兩表
與所望参相直從後右表望之入前右表三寸問木去
人㡬何
[009-25a]
術曰令一丈自乘實如法三寸為法實如法而一
此以入前右表三寸為句率右兩表相去一尺為股
率左右兩表相去一丈為見句所問木去人者見句
之股以右行案此三字乃/衍文當刪股率當乘見句此二率俱
一丈故曰自乘之以三寸為實實如法得一
今有山居木西不知其高山去木五十三里木髙九丈
五尺案原本訛作九/尺五寸今改正人立木東三里望木末適與山峯
斜平人目髙七尺問山髙㡬何答曰一百六十四丈九
[009-25b]
尺六寸太半
術曰置木髙減人目髙七尺
此以木髙減人目髙七尺餘有八丈八尺為句率去
人目三里為股率山去木五十三里為見股以木髙
為見股求句加人目之髙案此二句訛舛當云以句/率乘見股如股率而一得
句加木/之髙故為山髙也
餘以乘五十三里為實以人去木三里為實法如法而
一所得加木髙即山髙
[009-26a]
此術句股之義案丄節注文似應接此/句之下衍注端一此字
今有井徑五尺不知其深立五尺木于井上從木末望
水岸入徑四寸問井深㡬何答曰五丈七尺五寸
為實以入徑四寸為法得一法得一案此句之下原本/衍寸字乃後人妄
加今/刪正
此以入徑四寸為句率立木五尺為股率井徑四尺
六寸為見句問井深者見句之股也
[009-26b]
今有户不知髙廣竿不知長短横之不出四尺從之不
出二尺邪之適出問户髙廣袤各㡬何答曰廣六尺髙
八尺袤一丈
術曰從横不出相乘倍而開方除之所得加從不出即
戸廣
此以户廣為句户髙為股戸袤為弦凡句之在股案/此
句有訛舛當云凡并/句股之幂即為弦幂或矩于表或方于裏連之者舉
表矩而端之又句句方裏令為青矩之表未滿黄方
[009-27a]
滿此方則兩端之邪案邪字
差為廣句弦并為袤案并字誤當作差又據注文/舊有圗而缺今補圖于後故
兩端差相乘又倍之則成黄方之幂開方除之得黄
方之面其外之幂知亦以股弦差為廣故以股弦差
加則為句也
加横不出即戸髙兩不出加之得户袤
[009-28a]
[009-28b]
[010-1a]
欽定四庫全書