[004-1a]
欽定四庫全書
九章算術卷四 晉 劉 徽 注
唐 李淳風 注釋
少廣以御積幂方圓
淳風等按一畝之田廣一步長二百四十歩今欲截
取其從少以益其廣故曰少廣
術曰置全歩反分母子以最下分母徧乘諸分子及全
歩
[004-1b]
淳風等按以分母乘全少者通其分也以母乘子者
齊其子也
各以其母除其子置之子左命通
諸分子反已通者皆通而同之并之為法
淳風等按諸子悉通故可并之為法亦宜用合分術
列數尤多若用乘則算數至繁故别置此術從省約
置所求歩數以全歩積分乘之為實實如法而一得從
歩案此句實如法之上原水以劉幾總注列入求注又/誤截為三中間法有分者至子如母而一凡三十五
[004-2a]
字訛作正攵語意遂/横隔不句通今改正
此以田廣為法以畝積歩為實案此十二字原本截/作置所求步數以全
歩積分乘之為實下注又今攷其文意乃劉注總解/田廣求從之術定以田廣為廣以畝積步為實非専
釋二/語也法有分者當同其母齊其子以同乘法實而使
齊子法今以分母乘全歩及子子如母而一案此三/十五字
原本訛作正文今改正攷注有分者言田廣既有分/母子須令母同子齊也以同乘法實言母相乘為同
既以子來法通其子母又必以之乘實則實齊子法/也今以分母乘全步及子之如母而一即正文所云
以孜下分母偏乘諸分子及/全歩也以其母除其子也竝以并全法則法實俱
[004-2b]
長意亦等也故如法而一得從步數案此二十三字/原本截作上文
法有分者已下之注今攷竝以并全法即此文所云/并之為法也則法寳俱長意亦等也承土法既以分
母通之而長畝積步為實者亦以通之而長實與法/方相等此二句始専釋置所求步數以余歩積分乘
之為實二語前後文意相貫自中間/訛作正立截首尾而三遂不可通
今有田廣一歩半求田一畝間從幾何答曰一百六十
步
術曰下有半是二分之一以一為二半為一并之得三
為法置田二百四十歩亦以一為二乘之為實實如法
[004-3a]
得從歩
今有田廣一步半三分步之一求田一畝問從幾何答
曰一百三十歩
術曰下有三分以一為六半為三三分之一為二并之
得一十一為法置田二百四十步亦以一為六乘之為
實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分歩之一求田一畝
問從幾何答曰一百一十五步五分步之一
[004-3b]
術曰下有四分以為一十二半為六三分之一為四四
分之一為二并之得二十五以為法置田二百四
亦以一為一十二乘之為實實如法而一得従步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之
一求田一畝問從幾何答曰一百五步一百三十七分
步之一十五
術曰下有五分以一為六十半為三十三分之一為二
十四分之一為一十五五分之一為一十二并之得一
[004-4a]
百三十七以為法置田二百四十步亦以一為六十乘
之為實實如法得從步
一六分步之一求田一畝問從幾何答曰九十七步四
十九分步之四十七
術曰下有六分以一為一百二十半為六十三分之一
為四十四分之一為三十五分之一為二十四六分之
一為二十并之得二百九十四以為法置田二百四十
[004-4b]
步亦一為一百二十乘之為實實如法得從步
一六分步之一七分步之一求田一畝問從幾何答曰
九十二步一百二十一分歩之六十八
術曰下有七分以一為四百二十半為二百一十三分
之一為一百四十四分之一為一百五五分之一為八
十四六分之一為七十七分之一為六十并之得一千
八十九以為法置田二百四十步亦以一為四百二十
[004-5a]
乘之為實實如法得
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一求田一畝問
從幾何答曰八十八步七百六十一分步之二百三十
二
術曰下有八分以一為八百四十半為四百二十三分
之一為二百八十四分之一為二百一十五分之一為
一百六十八六分之一為一百四十七分之一為一百
[004-5b]
二十八分之一為一百
為法置四二百四十步亦以一為八百四十乘之為實
實如法得從歩
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一
求田一畝問從幾何答曰八十四步七千一百二十九
分步之五千九百六十四
術曰下有九分以一為二千五百二十半為一千二百
[004-6a]
六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十五
分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一為
三百六十八分之一為三百
八十并之得七千一百二十九以為法置四二百四十
步亦以一為二千五百二十乘之為實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一
十分步之一求田一畞問從幾何答曰八十一步七千
[004-6b]
三百八十一分步之六千九百三十九
術曰下有一十分以一為二千五百二十半為一千二
百六十三分之一為八百四十四分之一為六百三十
五分之一為五百四六分之一為四百二十七分之一
為三百六十八分之一為三百一十五九分之一為二
百八十十分之一為二百五十二并之得七千三百八
十一以為法置田二百四十步亦以一為二千五百二
十乘之為實實如法得從步
[004-7a]
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一
十分步之一十一分步之一求田一畝問從幾何
七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六
百三十一
術曰下有一十一分以一為二萬七千七百二十半為
一萬三千八百六十三分之一為九千二百四十四分
之一為六千九百三十五分之一為五千五百四十四
[004-7b]
六分之一為四千六百二十七分之一為三千九百六
十八分之一為三千四百六十五九分之一為三千八
十一十分之一為二千七百七十二十一分之一為二
千五百二十并之得八萬三千七百一十一以為
法置
田二百四十步亦以一為二萬七千
實實如法得從步
今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之
一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一
[004-8a]
十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一畝
問從幾何答
萬九千一百八十三
術曰下有一十二分以一萬八萬三千一百六十半為
四萬一千五百八十三分之一為二萬七千七百二十
四分之一為二萬七百九十五分之一為一萬六千六
百三十二六分之一為一萬三千八百六十七分之一
為一萬一千八百八十八分之
[004-8b]
九分之一為九千二百四十一十分之一為八千三百
一十六十一分之一為七千五百六十十二分之一為
六千九百三十并之得二十五萬八千六十三以為法
置田二百四十步亦以一為八萬三千一百六十乘之
為實實如法得從步
淳風等按凡為術之意約省為善宜云下有一十二
分以一為二萬七千七百二十半為一萬三千八百
六十三分之一為九千二百四十四分之一為六千
[004-9a]
九百三十五分之一為五千五百四十四六分之一
為四千六
之一為三千四百六十五九分之一為三千八十十
分之一為二千七百七十二十一分之一為二千五
百二十十二分之一為二千三百一十并之得八萬
六千二十一以為法置田二百四十步亦以一為二
萬七千七百二十乘之以為實實如法得從步其術
亦得如不繁也
[004-9b]
今有積五萬五千二百二十五步問為方幾何答曰二
百三十五步
今有積二萬五千二百八十二步問為方幾何答曰一
百五十九步
今有積七萬一千八百二十四步問為方幾何
百六十八步
今有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一問
為方幾何答曰七百五十一步半
[004-10a]
今有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步
問為方幾何答曰六萬三千二十五步
開方
求方幂之一面也
術曰置積為實借一算步之超一位
言百之面
議所得以一乘所借一算為法而以除
先得黄甲之而上下相命是自乘而除也案注而有/黄甲黄乙
[004-10b]
朱青幂之文則知舊有圖/而缺今補鬬方圖附于後
除已倍法為定法
倍之者豫張兩面求幂定袤以待復除故曰定法
其復除折法而下
欲除朱幂者本當副置所得成方倍之為定法以折
議乘而以除如是當復步之而止乃得相命故使就
上折下
復置借算步之如初以復議一乘之
[004-11a]
欲除朱幂之角黄乙之幂其意如初之所得也
所得副以加定法以除以所得副從定法
冄以黄乙之面加定法是則張兩青幂之袤
復除折下如前若開之不盡者為不可開當以面命之
術或有以
也凡開積為方方之自乘當還復有積分令不加借
算而命分則常微少其加借算而命分則又微多其
数不可得而定故惟以面命之為不朱耳譬猶以三
[004-11b]
除十以其餘為三分之一而復其數可以舉不以面
命之加定法如前求其微数微数無名者以為分子
其一退以十為母其冄退以百為母退之彌下其分
彌細則朱幂雖有所乘之数不足言之也
若實有分者通分内子為定實乃開之訖開其母報除
淳風等按分母可開者竝通之積先合二母既開之
後一母尚存故開分母求一母為法以報除也
若母不可開者又以母冄乘定實乃開之訖令如母而
[004-12a]
一
淳風等按分母不可
合二母既開之後亦一母存焉故令如母而一得全
面也
又按此術開方者求方幂之一面也借一算者假借
一算空有列位之名而無除積之實方隅得面是故
借算列之于下也步之超一位者方十自乘其積有
百方百自乘其積有萬故超位至百而言十至萬而
[004-12b]
言百也議所得以一乘所借一算為法而以除者先
得黄甲之面以方為積者兩相乘故開方除之還令
呐面上下相命是自乘而除之也除已倍法為定法
者實積未盡當復更除故豫張兩面朱幂定袤以待
復除故曰定法也其復除折法而下者欲除朱幂本
當副置所得成方倍之為定法以折議乘之而以除
如是當復步之而止乃得相命故使就上折之而下
也復置借算步之如初以復議一乘之所得副以加
[004-13a]
定法以除之欲除朱幂之角黄乙之
定法者再以黄乙之幂加定法是則張兩青幂之袤
故如前開之即合所問
[004-14a]
今有積一千五百一十八步四分步之二問為圓周幾
何答曰一百三十五步
于徽術當周一百三十八步一十分步之一
淳風等按此依宻率為周一百三十八步五十分步
之九
今有積三百步問為圓周幾何答曰六十步
于徽術當周六十一步五十分步之十九
[004-14b]
一
術曰置積步数以十二乘之以開方除之即得周
此術以周三徑一為率與舊圓田術相反覆也于徽
術以三百一十四乘積如二十五而一所得開方除
之即周也開方除之即徑是為據見幂以求周猶失
之于微少其以二百乘積一百五十七而一開方除
之即徑猶失之于微多
淳風等按此注于徽術求周之法其中不用開方除
[004-15a]
之即徑六字今木有者衍賸也依宻率八十八乘之
七而一按周三徑一之率假令周三徑二半周半徑
相乘得幂三周六自乘得三十六俱以等数除得幂
一周之数十二也其積本周自乘合
而一得積三也術為一乘不長故以十二而一得此
積今還原置此積三以方二乘之者復其本周自乘
之数凡物自乘開方除之復其本数故開方除之耶
周
[004-15b]
今有積一百八十六萬八百六十七尺
此尺謂立方尺也凡物有高深深而言積者曰立方
問為立方幾何答曰一百二十三尺
今有積一千九百五十三尺八分尺之一問為立方幾
何答曰一十二尺半
四十七問為立方幾何答曰三十九尺八分尺之七
今有積一百九十三萬七千五百四十一尺三十七分
[004-16a]
尺之一十七問為立方幾何答曰一百二十四尺太半
尺
開立方
立方適等求其一面也
術曰置積為實借一算步之超二位
言千之面十言百萬之面百
議所得以冄乘所借一算為法
冄乘者亦求為方幂以上議命而除之則立方等也
[004-16b]
除已三之為定法
為當復除故豫張三面已定方幂為定法也
復除折而下
復除者三面方幂已皆自乘之数湏得折議定其厚
薄耳開平幂者方百之面十開立幂者方千之面十
據定法也有成方之幂故復除當以千為百折下一
等也
以三乘所得数置中行
[004-17a]
設三亷之定長
復借一算置下行
欲以為隅方立方等未有定数且置一算定其位
步之中超一下超二位
上方法長自乘而折中亷法但有長故除一等下隅
法無面長故又降一等也
復置議以一乘中
為三亷借幂也
[004-17b]
冄乘下
令隅自乘為方幂也
皆副以加定法以定
三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三袤
之厚也
除已倍下并中従定法
凡冄以中三以下加定法者三亷各當以兩面之幂
連于兩方之面一隅連于三亷之端案原本脱兩方/之面一隅連于
[004-18a]
凡八字今據李淳風/注釋所舉此文補入以待復除也言不盡意解此要
當以棊乃得明耳
復除折下如前開之不盡者亦為不可開
術亦有以定法命分者不如故幂開方以微数為分
也
若積有分者通分内子為定實定實乃開之託開其母
以報除
淳風等按分母可開者竝通之積先合三母既開之
[004-18b]
後一母尚存故開分母求一母為法以報除也
若母不可開者又以母冄乘定實乃開之訖令如母而
一
淳
今合三母既開之後一母猶存故令如母而一得全
面也
又按開立方者立方適等求其一面之数也借一算
步之超二位者立方求積方再自乘就積開之故超
[004-19a]
二位言千之面十言百萬之面百也議所得以再乘
所借一算為法而以除者求為方幂以議命之而除
則立方等也除已三之為定法者為積米盡當復更
除故豫張三面已定方幂為定法也復除折而下者
三面方幂皆已有自乘之数湏得折議定其厚薄據
開平方百之面十其開立方則千之面十而定法已
有成方之幂故復除之當以千為百折下一等也以
三乘所得数置中行者設三亷之定長也復借一算
[004-19b]
置下行者欲以為隅方立方等未有数且置一算定
其位也步之中超一下超二者上方法長自乘而一
折中亷法但有長
一等也復置議以一乘中者為三亷借幂也再乘下
者當令隅自乘為方幂也皆副以加定法以定法除
者三面三亷一隅皆已有幂以上議命之而除去三
袤之厚也除已倍下并中從定法者三亷各當以兩
面之幂連于兩方之面一隅連于三亷之端以待復
[004-20a]
除也其開之不盡者折下如前開方即合所問有分
者通分納子開之訖開其母以報除可開者竝適之
積先令三母既開之後一母尚存故開分母者求一
母為法以報除若母不可開者又以母冄乘定實乃
開之訖令如母而一分母不可開者本一母又以母
冄乘今合三母既開之後亦一母尚存故令如母而
一得全面也
今有積四千五百尺
[004-20b]
亦謂立方之尺也
問為立圓徑幾
淳風等按依宻率立圓徑二十八尺計積四千一百
九十尺二十一分尺之一十
今有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬
七千五百尺問為立圓徑幾何答曰一萬四千三百尺
淳風等按依宻率為徑一萬四千六百四十三尺四
分尺之三
[004-21a]
術曰置積尺数以十六乘之九而一所得
即圓徑
立圓即丸也為術者葢依周三徑一之率令圓幂居
方幂四分之三圓囷居立方亦四分之三更令圓囷
為方率十二為丸率九凡居圓囷又四分之三也置
四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六
分之九也故以十六乘積九而一得立方之積丸徑
與立方等故開立方而除得徑也然此意非也何以
[004-21b]
驗之取立方棊八枚皆令立方一寸積之為立方二
寸規之為圓囷徑二寸高二寸又復横因之案此句/有舛誤
後李淳風注釋亦以立方棊為喻有/従規横規之語此當云又復横規之則其形有似牟
合方葢矣八棊皆然似陽馬圓然也按合葢者方率
也丸居其中即圓率也推此言之謂夫圓囷為方率
豈不闕哉以周三徑一為圓率則圓幂傷少令圓囷
為方率則九積傷多互相通補是以九與十六之率
偶與實相近而丸猶傷多耳觀立方之内合葢之外
[004-22a]
雖哀殺有漸而多少不揜
詭互不可等正欲陋形措意懼失正理敢不闗疑以
俟能言者
黄金方寸重十六兩金丸徑寸重九兩率生于此未
曾驗也周官考工記㮚氏為量改煎金錫則不耗不
耗然後權之權之然後凖之凖之然後量之言鍊金
使極精而後分之則可以為率也命丸徑自乘三而
一開方除之即丸中之立方也微令丸中立方立尺
[004-22b]
五尺為句句自乘幂二十五尺倍之得五十尺以為
股幂謂平面方五尺之弦也以此弦幂為股亦以五
尺為句并句股幂得七十五尺是為大弦幂開方除
之則大弦可知也大弦即中立方之長邪邪即丸徑
故中立方自乘之幂于丸徑自乘之幂三分之一也
今大弦還乘其幂即丸外立方之積也大弦幂開之
不盡令囷幂七十五案七十五即大弦幂是為外立/方一面自乘之幂非囷幂也囷
幂當是具/幂之誤冄自乘之為面命得外立方積四十二萬
[004-23a]
一千八百七十五尺
以方乘之得積一百二十五尺一百二十五尺自乘
為面句得積一萬五千六百二十五尺之面案句字/誤彼上
云命得外立方積之面此乃命/得中立方積之面也句當作命皆以六百二十五約
之外立方積六百七十五尺之面中立方積二十五
尺之面也
張衡算又謂立方為質立圓為渾衡言質之與中外
之渾六百七十五尺之面開方除之不足一謂外質
[004-23b]
積二十六也内渾二十五之面謂積五尺也今徽令
質言中渾渾又言質則二質相與之率猶衡二渾相
與之率也衡葢亦先二質之率推以言渾之率也衡
又言質六十四之面渾二十五之面質復言渾謂居
質八分之五也又云方八之面圓案此下有脱文據/前言丸居圓圖四
分之三此當作方八之面圓六之面故斷之云圖渾/相推知其復以圓圖為方率渾為圓率脱六之而三
字/圓渾相推知其復以圓囷為方率渾為圓率也失
之逺矣衡説之自然欲協其陰陽竒偶之説而不顧
[004-24a]
疎宻矣雖有文辭斯亂道破義病也置外質積二十
六以九乘之十六而一得積
中之渾也以分母乘全内子得一百一十七又置内
質積五以分母乘之得四十是謂質居渾一百一十
七分之四十案此言渾圓内所客之立/方是謂質當作是内質而渾率猶為
傷多也假令方二尺方四面并得八尺也謂之方周
其中令圓徑與方等亦二尺也丸半徑以乘圓周之
半即圓幂也半方以乘方周之半即方幂也然則方
[004-24b]
周知方幂之率也圓周知圓幂之率也按如衡術方
周率八之面圓周率五之面也令方周六十四又之
面則圓周四十尺之面也又令徑二尺自乘得徑四
尺之面案上言張衡術立方内容五圓者止圓積居/立方積八分之五以此通之立間外非周之
幂亦居立方外六面之幂八分之五故設立方幂六/七四尺則立圓幂四十尺也此言又令徑二尺白乘
得徑四尺之而二語無從得其解據下云是為圓周/率十二之面而徑率一之面也謂周自乘得十二耆
徑自乘得一置十二開方除之得圓周三四六四三/五弱由此言之衡所定平方與平圓周徑之率古周
四其靣一内容圓之周三四六四三五弱其徑亦一/劉徽所定方圓周徑之率則方周四圓周三一四一
[004-25a]
六其徑一故下言衡增周人多過其實然則當云又/令徑一尺分周四尺自乘得十六尺之面不得言徑
二尺自乘得徑四尺之而或傳冩舛/誤校是書者又有竄改遂致不可通是為圓周率十
二之面而徑率一之面也衡亦以周三徑一之率為
非是故更著此法然僧周太多過其實矣
淳風等按祖一之謂劉徽張衡二人皆以圓囷為方
率丸為圓率乃設新法祖暅之開立圓術曰以二乘
積案此句有脱誤據淳風中明祖暅之所定立圓術/以徑冄司乘十一乘之二十一而一得圓積反是
以求徑當云以二十一乘積十一而一葢立圓積約/居同徑之立方積二十一分之十一也君以二乘積
[004-25b]
則立圓居立方之半疏謬甚矣復云今欲求其本/清故二十一乘之十一而一正承此申明其説開
立方除之即立□徑
樞子左後之下隅從規去其右上之亷又合而横規
之去其前上之亷案此下有脱文據上去立相于左/後之下隅則其隅正與右前之上
隅相對成内外而外之亷皆連于右前之上隔一為/右上之亷一為前上之亷一為右前之亷三亷皆當
規去方是外棊三内慕一不得僅言/規去二亷也疑脱及右前之亷五字于是立方之慕
分而為四規内棊一謂之内棊規外棊三謂之外棊
規案上言規内棊一規外棊三以内棊列/棊稱之此規字不得連上句當是衍文更合四棊
[004-26a]
復横斷之以句股言之令餘高為句内棊斷上方為
股本方之数其弦句股之法以句幂減弦幂則餘為
股幂若令餘高自乘減本方之幂餘即内減其斷上
方之幂也本方之幂即外四棊之斷上幂然則餘高
自乘即外三棊之㫁上幂矣不問卑勢加然也案此/句舛
誤不可通反上文借立方棊以論立圓而所言/一及句脱竝與乎幂不足見圓術當行脱誤然固
有所歸同而途殊者耳而乃控逺以演類借況以析
微按陽馬方高数参等者列而立之横截去上則高
[004-26b]
自乘與㫁上幂数亦等馬夫疊棊成立積緣幂勢既
同則積不容異由此觀之規之外三棊旁蹙為一即
一陽馬也三分立方則陽馬居一内棊居二可知矣
合八小方成一大方合八内棊
方三分之二則合葢居立方亦三分之二較然驗矣
置三分之二以圓幂率三率之如方幂率四而一約
而定之以為九率故曰九居立方三分之一也案此/句舛
誤據上言置三分之二以三乘之如四而一乃九居/立方二分之一非三分之一况已上明祖氏圓術其
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率乃丸居立方二十一分之十一下云圓徑冄自乘/十一乘之如二十一而一是也君二分之一可祖氏
術不隅矣又祖氏方幂率下四圓幂率十一亦不得/用方幂四圓幂三之疎率以解祖氏説自祖暅之開
立方圓術曰至此似因傳冩既訛後又妄亦一改遂/不可通今攷立方與圓圈猶之平方與平圓也其率
亦立方積十四圓囷積十一而丸居圓囷三分之二/與十四分之十一通之分母乘分母得四十二分子
乘分子得二十一是為丸居立方四十二分之二十/二即二十二分之十一也祖氏求圓囷立圓平圖三
法本係/貫為一等数既宻心亦昭晰張衡倣舊貽哂于後劉
徽循故未暇校新夫豈難哉栁未之思也依率立此
圓積本以圓徑冄自乘十一乘之二十一而一約此
[004-27b]
積今欲求其本積故二十一乘之十一而一凡物冄
自乘開立方除之復其本数故立方除之即丸徑也
九章算術卷四