[001-1a]
欽定四庫全書
九章算術卷一 晉 劉 徽 注
唐 李淳風 注釋
方田以御田疇界域
今有田廣十五步從十六步問為田幾何答曰一畝
又有田廣十二步從十四步問為田幾何答曰一百六
十八步
方田
[001-1b]
此積為田幂凡廣從相乘謂之幂
淳風等按經云廣從相乗得積步注云廣從相乘謂
之幂觀斯注意積幂義同以理推之固不當爾何則
幂是四方單布之名積乃衆數聚居之稱循名責實
二者全殊雖欲同之竊恐不可今以據言幂者據廣
從之一方其言積者舉衆步之都數經云相乗得積
歩即是都數之明文注云謂之為幂全乖積步之本
意此注前云積為田幂于理得通復云謂之為幂繁
[001-2a]
而不當今者注釋存善去非畧為科簡遺諸後學
以畝法二百四十步除之即畝數百畝為一頃
淳風等按此為篇端故特舉頃畝二法餘數不復言
者從此可知一
五行則每行廣一步而從十六步又横而截之令為
十六行則每行廣一步而從十五步此即從疏横截
之步各自為方凡有二百四十步一畝之地步數正
同以此言之則廣從相乘得積步驗以二百四十步
[001-2b]
者畝法也百畝者頃法也故以除之即得
今有田廣一里從一里為田幾何答曰三頃七十五畝
又有田廣二里從三里問為田幾何答曰二十二頃五
十畝
里田
即畝數
按此術廣從里數相乘得積里方里之中有三頃七
十五畝故以乘之即得畝數也
[001-3a]
今有十八分之十二問約之得幾何答曰三分之二
又有九十一分之四十九問約之得幾何答曰十三分
之七
約分
按約分者物之數量不可悉全必以分言之分之為
數繁則難用設有四分之二者繁而言之亦可為八
分之四約而言之則二分之一也雖則異詞至于為
[001-3b]
分
術曰可半者半之不可半者副置分母子之數以少減
多更相減損求其等也以等數約之
等數約之即除也其所以相減者皆等數之重疊故
以等數約之
今有三分之一五分之二問合之得幾何答曰十五分
之十一
又有三分之二七分之四九分之五問合之得幾何答
[001-4a]
曰得一六十三分之五十
得幾何答曰得二六十分之四十三
合分
淳風等按合分知數非一端分無定準諸分子雜互
羣母參差麤細既殊理難從一故齊其衆分同其羣
母令可相併故曰合分
術曰母互乘子并以為實母相乘為法
[001-4b]
母互乘子約而言之者其分麤繁而言之者其分細
雖則麤細有殊然其實一也衆非錯雜非細不㑹乘
而散之所以通之通之則可并也凡母互乘子謂之
齊羣母相乘謂之同同者相與通同共一母也齊者
子與母齊勢不可失本數也方以類聚物以羣
同類者無逺數異類者無近逺而通體知雖異位而
相從也近而殊形知雖同列而相違也然則齊同之
術要矣錯綜度數動之斯諧其猶佩觿解結無往而
[001-5a]
不理焉乘以散之約以聚之齊同以通之此其算之
綱紀乎其一術者可令母除為率率乘子為齊
實如法而一不滿法者以法命之
今欲求其實故齊其子又同其母令如母而一其餘
以等數約之即得知所謂同法為母實餘為子皆從
此例
其母同者直相從之
今有九分之八減其五分之一問餘幾何答曰四十五
[001-5b]
分之三十一
又有四分之三減其三分之一問餘幾何
之五
減分
淳風等按諸分子母數各不同欲知餘幾減餘為實
故曰減分
術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘為法實如法
而一
[001-6a]
母互乘子者知以齊其子也以少減多者知齊故可
相減也母相乘為法者同其母也母同子齊故如母
而一即得
今有八分之五二十五分之十六問孰多多幾何答曰
二十五分之十六多多二百分
又有九分之八七分之六問孰多多幾何答曰九分之
八多多六十三分之二
又有二十一分之八五十分之十七問孰多多幾何答
[001-6b]
曰二十一分之八多多一千五十分之四十三
課分
淳風等按分各異名理不齊一較其相近之數故曰課分
也
術曰母互乘子以少減多餘為實母相乘
而一即相多也
淳風等按此術母互乘子以少分減多分與減分義
同惟相多之數意與減分有異減分知其餘數有幾
[001-7a]
課分知其餘數相多也
今有三分之一三分之二四分之三問減多益少各幾
何而平答曰減四分之三者二三分之二者一并以益
三分之一而各平于十二分之七
又有二分之一三分之一四分之三問減多益
何而平答曰減三分之二者一四分之三者四并以益
二分之一而各平于三十六分之二十三
平分
[001-7b]
淳風等按平分知諸分參差欲令齊等減彼之多増
此之少故曰平分也
術曰母互乘子
齊其子也
副并為平實
淳風等按母互乗子副并為平實知定此平實主限
衆子所當損益知限為平案此注有舛誤據首問第/二數母三第三數母四互
乘第一數子一得十二第一數母三第三數母四互/乘第二數子二得二十四第一第二數母各三互乘
[001-8a]
第三數子三得二十七并之共六十三為平實母三/三相乘又與四乗得三十六為法列數凡三即以三
乗二十得三十六乗二十四得七十二乗二十七得/八十一為列實亦以三乗法三十六得一百八平實
六十三減列實三十六少二十七減七十二餘九減/八十一餘十八約之九為一則十八為二而二十七
為三平實六十三為七法一百八為十二命為十二/分之七設以十二作三數三分之一則四也三分之
二則八也四分之三則九也定平實七立限八減一/九減二皆七所減之一二益于四亦七損多益少適
如其限宜云定此平實立限如限為/平立訛作主如訛作知遂不可通
母相乘為法
母相乘為法知亦齊其子又同其母
[001-8b]
以列數乘未并者
此當副并列數為平實若然則重有分故反以列數
乘周齊
淳風等按問云所平之分多少不定或三或二列位
無常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例
一準平分不可豫定多少故直云列數而已
以平實減列實餘約之為所減并所減以益于少以法
命平實各得其平
[001-9a]
今有七人分八錢三分錢之七問人得幾何答曰人得
一錢二十一分錢之四
又有三人三分人之一分六錢三分錢之一四
三問人得幾何答曰人得二錢八分錢之一
經分
淳風等按經分者自合分已下皆與諸分相齊此乃
直求一人之分以人數分所分故曰經分也
術曰以人數為法錢數為實實如法而一有分者通之
[001-9b]
母互乘子知齊其子母相乘者同其母以母通之者
分母乘全内子散全則為積分積分則與子相通故
可令相通凡數相與者謂之率率知自相與通有分
則可散分重疊則約也等除法實相與率也故散分
者必令兩分母相乘為法也
重有分者同而通之
又以法分母乗實實
令分母各乗全分内子又令分母互乗上下
[001-10a]
今有田廣七分步之四從五分步之三問為田幾何答
曰三十五分步之十二
又有田廣九分步之七從十一分步之九問為田幾何
答曰十一分步之七
又有田廣五分步之四從九分步之五問為田幾何
曰九分步之四
乘分
淳風等按乗分者分母相乗為法子相乘為實故曰
[001-10b]
乘分
術曰母相乗為法子相乗為實實如法而一
凡實不滿法者而有母子之名若有分以乗其實而
長之則亦滿法乃為全耳又以子所乘乗故母當報
除報除者實如法而一也今子相乘則母各當報除
因令分母相乗而連除也此田有廣從難以廣諭設
有問者曰馬二十匹直金十二斤今賣馬二十匹三
十五人分之人得幾何答曰三十五分斤之十二其
[001-11a]
為之也當如經分術以十二斤金為實三十五人為
法設更言馬五匹直金三斤今賣馬四匹七人分之
人得幾何答曰人得三十五分斤之十二其為之也
當齊其金人之數皆合初問
相乘為實者猶齊其金也母相乘為法者猶齊其人
也同其母為二十馬無事于同但欲求齊而已又馬
五匹直金三斤完全之率分而言之則為一匹直金
五分斤之三七人賣四匹馬一人賣七分馬之四分
[001-11b]
子與人交互相生所從言之異而計術則三術同歸
也
今有田廣三步三分步之一從五步五分步之二問為
田幾何答曰十八步
又有田廣七步四分步之三從十五步九分步之五問
為田幾何
又有田廣十八步七分步之五從二十三步十一分步
之六問為田幾何答曰一畝二百步十一分步之七
[001-12a]
大廣田
淳風等按大廣田知初術直有全步而無餘分次術
空有餘分而無全步此術先見全步復有餘分可以
廣兼三術故曰大廣
術曰分母各乘其全分子從之
分母各乘其全分子從子者通全步内分子如此則
母子皆為實矣
相乘為實分母相乘為法
[001-12b]
猶乘分也
實如法而一
今為術廣從俱有分當各自通
出之故令分母相乘為法而連除之
今有圭田廣十二步正從二十一步問為田幾何答曰
一百二十六步
又有圭田廣五步二分步之一從八步三分步之二問
為田幾何答曰二十三步六分步之五
[001-13a]
術曰半廣以乘正從
半廣知以盈補虚為直田也亦可半正從以乘廣按
半廣乘從以取中平之數故廣從相乘為積步畝法
除之即得也
四步問為田幾何答曰九畝一百四十四步
又有斜田正廣六十五步一畔從一百步一畔從七十
步步問為田幾何答曰二十三畝七十步
[001-13b]
術曰并兩斜而半之以乘正從若廣又可半正從若廣
以乘并畝法而一
并而半之者以盈補虚也
幾何答曰一畝一百三十五步
又有箕田舌廣一百一十七步踵廣五十步正從一百
三十五步問為田幾何答曰四十六畝二百三十二步
半
[001-14a]
術曰并踵舌而半之以乘正從畝法而一
中分箕田則為兩斜田故其術相似又可并踵舌半
正從以乘之
今有圓田周三十步徑十步
淳風等按術意以周三徑一為
步今依密率合徑九步十一分步之六
問為田幾何答曰七十五步
此于徽術當為田七十步一百五十七分步之一百
[001-14b]
三
淳風等按依密率為田七十一步二十二分步之一
十三
今有圎田周一百八十一步徑六十步三分步之一
淳風等按周三徑一周一百八十一步徑六十步三
分步之一依宻率徑五十七步二十二分步之一十
三
問為田幾何答曰十一畝九十步十二分步之一
[001-15a]
此于徽術當為田十畝二百八步三百一十四分步
之一百一十三
步之八十七
術曰半周半徑相乘得積步
按半周為從半徑為廣故廣從相乘為積步也假令
圎徑二尺圎中容六觚之一
亦有六八角形其平面亦有八古人謂之六觚八觚/若截圎形為六古人謂之觚背具弧即圎周不得云
[001-15b]
圎中容六弧之一面後或言弧或言觚義各不/同原本觚皆訛作弧遂䝉混不可通今並改正與圎
徑之半其數均等合徑率一而外周率三也案劉徽/以周三
徑一乃六觚之率圎内容六觚其觚
説非圗莫顯今/補圗附于後
[001-16a]
[001-16b]
又按為圎以六觚之一面乘一弧半徑案一弧二/字衍當刪二
因而六之案此句有訛舛當改云/三之上衍二因而三字得十二觚之幂若
又割之次以十二觚之一面乘一弧之半面案一弧/之三字
亦衍/當刪四因而六之案此句亦有訛舛當云/六之上衍四因而三字則得二十
四觚之幂割之彌細所失彌少割之又割以至于不
可割則與圎周合體而無所失矣觚面之外又有餘
徑以面乘徑則幂出觚矣若夫觚之細者與圎合體
則表無餘徑表無餘徑則幂不外出矣以一面乘半
[001-17a]
徑觚而裁之每輒自倍故以半周乘半徑而為圎幂
此一周徑謂至然之數非周三徑之一率也周三者
從其六觚之環耳以推圎規多少之較案較原本訛/作覺今改正
乃弓之與弦也然世傳此法莫肯精覈學者踵古習
其謬失不有明據辯之斯難凡物類形象不圎則方
方圎之率誠著于近則雖逺可知也由此言之其用
博矣謹按圎驗更造密率恐空設法數昧而難譬故
置諸檢括謹詳其記注焉
[001-17b]
割六觚以為十二觚術曰置圎徑二尺半之為一尺
即圎裏觚之面也案觚之而原本訛作弦之面後觚/之半面訛作弧之半面今改正
令半徑一尺為弦案原本訛作/為弧今改正半面五寸為句為之
求股以句幂二十五寸減弦幂餘七十五寸開方除
之下至秒忽又一退法求其㣲數㣲數無各知以為
分子以下為分母約作五分忽之二故得股八寸六
分六釐二秒五忽五分忽之二案二秒原本訛/作二絲今改正以減
半徑餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三
[001-18a]
謂之小句案此下原本衍小句知/半面五寸之句九字觚之半面又謂之
小股為之求弦其幂二千六百七十九億四千九百
一十九萬三千四百四十五忽餘分棄之案此句原/本訛作全
分并之攷弦幂五忽之下尚有一六餘分無所謂全/分也當是傳寫舛誤遂不可通後數條皆云餘分棄
之令據/以改正開方除之即十二觚之一面也
割十二觚以為二十四觚術曰亦令半徑為弦半面
為句為之求股置上下弦幂四而一得六百六十九
億八千七百二十九萬八千三百六十一忽餘分棄
[001-18b]
之即句幂也以減弦幂其餘開方除之得股六寸六
分五釐九毫二秒五忽五分忽之四以減半徑餘三
分四釐七秒四忽五分忽之一謂之小句觚之半面
又謂之小股為之求小弦其幂六百八十一億四千
八百三十四萬九千四百六十六忽餘分棄之開方
除之即二十四觚之一面也
割二十四觚以為四十八觚術曰亦令半徑為弦半
面為句為之求股置上下弦幂四而一得一百七十
[001-19a]
億三千七百八萬七千三百六十六忽餘分棄之即
句幂也以減弦幂其餘開方除之得股九寸九分一
釐四毫四秒四忽五分忽之四以減半徑餘八釐五
毫五秒五忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂
之小股為之求小弦其幂七百七十一億一千二十
七萬八千八百一十三忽餘分棄之開方除之得小
弦一寸三分八毫六忽餘分棄之即四十八觚之一
面以半徑一尺乘之又以二十四乘之得幂三萬一
[001-19b]
千三百九十三億四千四百萬忽以百億除之得幂
三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四即
九十六觚之幂也
割四十八觚以為六十六觚術曰亦令半徑為弦半
面為句為之求股置次上弦幂四而一得四十二億
七千七百五十六萬九千七百三忽餘分棄之即句
幂也以減弦幂其餘開方除之得股九寸九分七釐
八毫五秒八忽十分忽之九以減半徑餘二釐一毫
[001-20a]
四秒一忽十分忽之一謂之小句觚之半面又謂之
小股為之求小弦其幂四十二億八千二百一十五
萬四千一十二忽餘分棄之開方除之得小弦六分
五釐四毫三秒八忽餘分棄之即九十六觚之一面
以半徑一尺乘之又以四十八乘之得幂三萬一千
四百一十億二千四百萬忽以百億除之得幂三百
一十四寸六百二十五分寸之六十四即一百九十
二觚之幂也以九十六觚之幂減之餘六百二十五
[001-20b]
分寸之一百五謂之差幂倍之為分寸之二百一十
為分寸者蒙上省文謂六百/二十五分寸之二百一十也即九十六觚之外弧田
所謂以弦乘矢之凡幂也案弧田下原本衍/九千六字今刪加此幂
于九十六觚之幂得三百一十四寸六百二十五分
寸之一百六十九則出圎之表矣故還就一百九十
二觚之全幂三百一十四寸以為圎幂之定率而棄
其餘分以半徑一尺除圎幂倍之得六尺二寸分分
即周數令徑自乘為方幂四百寸與圎幂相折圎幂
[001-21a]
得一百五十七為率方幂得二百為率方幂二百其
中容圎幂一百五十七也圎率猶為㣲少按弧田圗
令方中容圎圎中容方内方合外之半半然則圎幂
一百五十七其中容方幂一百也案一百原本訛/作二百今改正又
令徑二尺與周六尺二寸八分相約周得一百五十
七徑得五十則其相與之率也周率猶為㣲少也晉
武庫中漢時王莽作銅斛其銘曰律嘉量斛内方尺
而圎其外庣旁九釐五毫幂一百六十二寸深一尺
[001-21b]
積一千六百二十寸容十斗以此術求之得幂一百
六十一尺有奇其數相近矣此術㣲少而斛差幂六
百二十五分寸之一百五以十二觚之幂為率消息
當取此分寸之三十六案取此分寸亦䝉上省文謂/六百二十五分寸之三十六
也/以増于一百九十二觚之幂以為圎幂三百一十
四寸二十五分寸之四置徑自乘之方幂四百寸令
與圎幂通相約圓幂三千九百二十七方幂得五千
是為率方幂五千中容圎幂三千九百二十七圎幂
[001-22a]
三千九百二十七中容方幂二千五百也以半徑一
尺除圓幂三百一十四寸二十五分寸之四倍之得
六尺二寸八分二十五分寸之八即周數也全徑二
尺與周數通相約徑得一千二百五十周得三千九
百二十七即其相與之率若此者葢盡其纎微矣舉
而用之上法仍約耳當求一千五百三十六觚之一
面得三千七十二觚之幂而裁其㣲分數亦宜然重
其驗耳
[001-22b]
淳風等按舊術求圎皆以周三徑一為率若用之求
圎周之數則周少徑多用之求其六觚之田乃與此
率合㑹耳何則假令六觚之田觚間各一尺為面自
然從角至角其徑二尺可知案二尺原本訛/作一尺今改正此則周
六徑二與周三徑一已合恐此猶為難曉今更引物
為喻設令刻物作圭形者六枚枚别三面皆長一尺
攢此六物悉使鋭頭向裏則成六觚之周角徑亦皆
一尺更從觚角外畔圍繞為規則六觚之徑盡達規
[001-23a]
矣當面徑短不至外規若以徑言之則為規六尺徑
三尺面徑皆一尺案此三句有舛誤當云若以言觚/言之則為周六尺徑二尺面皆一
尺言觚二字訛作徑周訛作規二訛/作三面字下又衍徑字遂不可通面徑股不至外
畔定無二尺可知故周三徑一之率于圎周乃是徑
多周少徑一周三理非精密葢術從簡要舉大綱畧
而言之劉徽特以為疎遂改張其率但周徑相乘數
難契合徽雖出斯一法終不能究其纎毫也祖沖之
以其不精就中更推其數今者修撰攈摭諸家攷其
[001-23b]
是非沖之為密故顯之于徽術之下冀學者知所裁
焉案沖之密率較徽率為密其約率較徽率為/踈淳風等所稱宻率皆約率以之譏徽似誤
又術曰周徑相乘四而一
此周與上觚同耳周徑相乘各當一半而今周徑兩
全案原本兩訛/作田今改正故兩母相乘為四以報除之于徽術
以五十乘周一百五十七而一即徑也以一百五十
七乘徑五十而一即周也新術徑率猶當㣲少據周
以求徑則失之長據徑以求周則失之短諸據見徑
[001-24a]
以求幂者皆失之于㣲少據周以求幂者皆失之于
㣲多
淳風等按依密率以七乘周二十二而一即徑以二
十二乘徑七而一即周依術求之即