[066-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十三
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷四
或問三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端/喜同學之好問事事必求其所以然故不憚為
之詳複以/暢厥㫖
一三角形用正弦為比例之理
一和較相求之理
[066-1b]
一用切線分外角之理
一三較連乗之理
附三較求角
[066-2a]
問各角正弦與各邉皆不平行何以能相為比例曰凡
三角形一邉必對一角其角大者正弦大而所對之
邉亦大角小者正弦小而所對之邉亦小故邉與邉
之比例如正弦與正弦也
兩正弦為兩邉比例圖
乙丙丁三角形丁乙邉大對丙角
丁丙邉小對乙角術為以丁乙邉
比丁丙邉若丙角之正弦與乙角
[066-2b]
之正弦
解曰試以丁丙為半徑作丁甲線為丙角正弦又截戊
乙如丁丙半徑作戊己線為乙角正弦丁甲正弦大於
戊己故丁乙邉亦大於丁丙
問丁甲何以獨為丙角正弦也曰此以丁丙為半徑故
也若以丁乙為半徑則丁甲即為乙角之正弦
如圖用丁乙為半徑作丁甲線為乙角正弦又引丙
丁至戊令戊丙如丁乙半徑作戊己線為丙角正弦
[066-3a]
即見乙角之正弦丁甲小於戊己
故丁丙邉亦小於丁乙
解曰正弦者半徑所生也故必兩
半徑齊同始可以較其大小前圖
截戊乙如丁丙此圖引丁丙如丁乙所以同之也
三正弦逓相為三邉比例圖
乙丁丙鈍角形丁鈍角對乙丙大邉丙次大角對乙
丁次大邉乙小角對丁丙小邉其各邉比例皆各角
[066-3b]
正弦之比例
試以乙丁為半徑作丁甲線為乙
小角之正弦又引丙丁邉至戊使
戊丙如乙丁作戊己線為丙角之
正弦又展戊丙線至庚使庚丙如乙
丙作庚辛線為丁鈍角之正弦如此則三邉皆若/弦三正弦皆若股
其比例為以乙丙大邉同庚/丙比乙丁次邉同戊/丙若丁
鈍角之正弦庚辛與丙角之正弦戊己
[066-4a]
又以乙丁次大邉同戊/丙比丁丙小邉若丙角之正弦
戊己與乙角之正弦丁甲
又以丁丙小邉比乙丙大邉同庚/丙若乙小角之正弦
丁甲與丁鈍角之正弦庚辛
問庚辛何以為丁角正弦曰凡鈍角以外角之正弦為
正弦試作乙癸線為丁角正弦乙丁癸角外角也故/其正弦即為丁鈍角
正/弦必與庚辛等何也庚丙辛句股形與乙丙癸形等
庚丙弦既同乙丙又同用丙角辛/與癸又同為方角故其形必等則庚辛必等乙癸
[066-4b]
而乙癸既丁角正弦矣等乙癸之庚辛又安得不為
丁角正弦乎凡取正弦必齊其半徑此以丁甲為乙/角正弦是用乙丁為半徑也而取丙角
正弦戊己必引戊丙如乙丁其丁角正弦庚也/辛又即外角之正弦乙癸是三半徑皆乙丁
試取壬丙如丁丙作庚壬線即同
乙丁半徑則壬角同丁角壬外角
即丁外角而庚辛正弦之半徑仍
為乙丁庚壬同/乙丁故
此以庚壬當乙丁易乙丁丙形為
[066-5a]
庚壬丙則庚辛正弦亦歸本位與前圖互明
試以各角正弦同居一象限較其弧度
如圖甲乙丙形丙角最大其正弦乙丁亦最大所對
甲乙邉亦最大甲角次大其正弦丑壬亦次大所對
乙丙邉亦次大乙角最小其正弦
丙夘亦小所對丙甲邉亦最小丙/乙
二角正弦並乙丙為半徑甲角取/正弦截丑甲如乙丙亦以乙丙為
半/徑乃别作一象弧如戊/己仍用乙丙
[066-5b]
為半徑取戊庚/如乙丙而以先所得各角
之餘弦取度於丁作乙丁為丙角
之正弦於壬作丑壬為甲角之正
弦於夘作丙夘為乙角之正弦即
如元度而各角之差數覩矣戊庚半徑既同乙丙則/丁庚即丁丙而為丙角
餘弦又壬庚即甲壬為甲角餘/弦夘庚即夘乙為乙角餘弦
解曰角無大小以弧而知其大小今乙丁正弦其弧
乙己是丙角最大也丑壬正弦其弧丑己是甲角次
[066-6a]
大也丙夘正弦其弧丙己是乙角最小也而對邉之
大小亦如之故皆以正弦為比例也
或疑鈍角之度益大其正弦反漸小而其所對之邉則
漸大何以能相為比例乎曰此易知也凡鈍角正弦
即外角之正弦而外角度原兼有餘兩角之度故鈍
角之正弦必大于餘兩角而得為大邉之比例也
如乙丙甲鈍角形丙鈍角最大其正弦乙丁亦最大
而所對乙甲邉亦最大乙角次大其正弦丙夘亦次
[066-6b]
大而所對甲丙邉亦次大甲角最小其正弦丑壬亦
小而所對乙丙邉亦最小截甲丑如乙丙從丑/作丑壬即甲角正弦
乃從乙作乙庚弧以丙為心乙/丙為半徑為
丙外角之度又作辛丙半徑與甲
乙平行分乙庚弧度為兩則辛庚
即甲角之弧度其餘辛乙亦即乙
角之弧度從辛作辛未正弦與丑
壬等又自庚截癸庚度如辛乙則
[066-7a]
癸庚亦乙角之弧作癸子正弦與丙夘等此顯丙外
角之度兼有乙甲兩角之度其正弦必大於兩角正
弦也雖丙鈍角加大而外角加小則乙甲兩角必又
小於外角又何疑於鈍角正弦必為大邉比例乎
試更以各角切員觀之則各角之對邊皆為其對弧之
通弦
如圖三角形以各角切員則乙丙邉為丙戊乙弧之
通弦而對甲角甲丙邉為丙己甲弧之通弦而對乙
[066-7b]
角甲乙邉為乙庚甲弧之通弦而
對丙角則是各角之對邉即各角
對弧之通弦也夫通弦者正弦之
倍數則三邉比例即三正弦之比
例矣
又試以各邉平分之則皆成各角之正弦
於前圖内更以各邉所當之弧皆平分之丙戊乙弧/平分于戊
㸃丙己甲弧平分于己㸃/乙庚甲弧平分于庚㸃自員心丁/各作半徑至其
[066-8a]
㸃即分各邊為兩平分以丁/壬戊
半徑分乙丙邊于壬以丁辛/己半徑分甲丙邊于辛以丁
癸庚半徑分甲乙邊于癸/則所分之邊皆為兩平分則
弧之平分者即原設各角之
度而邊之平分者即皆各角
之正弦丙丁戊角以丙戊為/弧丙壬為正弦而丙
丁戊角原為丙丁乙角之半/必與甲角同大故丙戊半弧
即甲角之本度丙壬半邊即/甲角之正弦乙丁戊角亦然
[066-8b]
凖此論之則甲丁己角原為甲丁丙角之半必與/乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半邊
即乙角之正弦己丁丙角亦然又乙丁庚角原為/乙丁甲角之半必與丙角同大故乙庚半弧即丙
角之本度乙癸半邊即丙/角之正弦庚丁甲角亦然夫分其邊之半即皆成
正弦則邊與邊之比例亦必如正弦與正弦矣全/與
全若半/與半也
問三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角為員
心真度乃見今三角皆切員邊則所作通弦之弧皆
倍度也故半之乃為角之本度
[066-9a]
如圖以甲角爲心甲丁爲半徑作員則其弧丑丁子
乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙兩弧並與
丑丁子弧等試作戊丙及乙戊兩弦必相等又/並與丑子弦等凡弦等者弧亦等故乙
戊丙弧必爲甲角之倍度
餘角/類推
[066-9b]
問三邉求角何以用和較相乗也曰欲明和較之用當
先知和較之根凡大小兩方以其邉相併謂之和相減
謂之較和較相乗者兩方相減之餘積也
如圖甲癸小方丁癸大方於大方
内依小方邉作己庚横線又取己
辛如小方邉作辛壬線成己壬小
方與甲癸等大方内減己壬小方
則所餘者為乙庚及庚壬兩長方
[066-10a]
形夫乙己及丁庚及庚辛並兩邉之較也甲己庚則和
也若移庚壬長方為乙甲長方即成丁甲大長方而為
較乗和之積故凡兩方相減之餘積為實以和除之得
較以較除之亦得和矣
依此論之若有兩方形相減又别有兩方相減而其餘
積等則為公積故以此兩方之和較相乗為實而以彼
兩方之和為法除之得彼兩方之較或以彼兩方之較
為法除之亦必得和
[066-10b]
如圖有方二十九之冪八百/四十一與方二十七之冪七
百二十九相减成較二乗和/五十六之積
又有方十六之冪二百五十/六與方十二之冪一百四十
四相减成較四乗和二十八/之積
兩積同為一百一十二故以/先有之較二和五十六相乗
為實以今有之和二十八為法/除之即得較四為今所求数
是故三角形以兩弦之和乗較為實以兩分底之和為
法除之得較者為兩和較相乗同積也兩和較相乗同
[066-11a]
積者各兩方相减同積也
何以明之曰凡三角形以中長線分為兩句股則兩形
同以中長線為股而各以分底線為句是股同而句不
同也句不同者弦不同也弦大者句亦大弦小者句亦
小故兩弦上方相減必與兩句上方相減之餘積等而
兩和較相乗亦等
如圖甲乙丙三角形以甲丁中長線分為兩句股形則
丙乙為兩句之和未寅及子/夘並同丙戊為兩句之較未子及/寅夘並
[066-11b]
同/未夘長方為兩句之較乗
和也又丙己為兩弦之和辰/壬
同/酉丙為兩弦之較辰癸及/辛庚壬
午並/同癸壬長方為兩弦之較
乗和也此兩長方必等積
問兩弦上方大於兩句上方何以知其等積曰依句股
法弦上方冪必兼有句股上方冪是故甲丙弦冪内即/癸
甲大/方必兼有甲丁股丙丁句兩冪乙甲弦冪内即辛己/小方
[066-12a]
亦兼有甲丁股乙丁句兩冪則是甲丁股冪者兩弦冪
所同也其不同者句冪耳股冪既同則弦冪相减時股/冪俱對减而盡使非句冪不
同巳無/餘積然則兩弦冪相減之餘積于癸甲大方内减己/辛相同之申甲小方
所餘者癸辛申丙/兩長方成磬折形豈不即為兩句冪相減之餘積乎于/丁
子方内减丁寅相同之戊丑小方所形/所餘者丑子及戊未兩長方成磬折由是言之兩和較
相乗之等積信矣于弦冪相减之癸辛申丙磬折形内/移申丙補庚壬即成和較相乗之癸
壬長方又于句冪相减之丑子未戊磬折形内移戊未/補丑夘即成和較相乗之未夘長方兩磬折形既等積
則兩長方/亦等積
[066-12b]
問和較之列四率與諸例不同何也曰此互視法也同
文算指謂之變測古九章謂之同乗異除乃三率之别
調也何則凡異乗同除皆以原有兩率之比例為今兩
率之比例其首率為法必在原有兩率之中互視之術
則反以原有之兩率為二為三以自相乗為實其首率
為法者反係今有之率與異乗同除之序相反故曰别
調也
然則又何以仍列四率曰以相乗同實也三率之術二
[066-13a]
三相乗與一四相乗同實故可以三率求一率二三相/乗以一
除之得四以四除之即仍得一若一四相乗/以二除之亦可得三以三除之亦仍得二互視之術
以原有之兩率自相乗與今有之兩率自相乗同實故
亦以三率求一率原兩率自相乗以今有之率除之得/今有之餘一率若今兩率自相乗以
原有之率除之亦即/得原有之餘一率但三率之術以比例成其同實互
視之術則以同實而成其比例既成比例即有四率故
可以列而求之也
如圖長方形對角斜剖成兩句股則相等而其中所成
[066-13b]
小句股亦相等甲壬戊與甲/己戊等則甲
乙丙與甲辛丙等丙丁戊與/丙庚戊等並長方均剖故也
即所成長方之積亦必相等
于甲壬戊句股形内减去相/等之甲乙丙及丙丁戊兩小
句股存乙丙丁壬長方又于甲己戊句股形内减去相/等之甲辛丙及丙庚戊兩小句股存辛己庚丙長方所
减之数等則所存之数亦等故兩長/方雖長濶不同而知其必為等積今以甲乙為首率
乙丙為次率丙丁為三率丁戊為四率則乙丁長方即/乙
丙丁/壬形為二三相乗之積此形以乙丙二率為濶丙丁三/率為長是二率三率相乗也
[066-14a]
辛庚長方即辛己/庚丙形為一四相乗之積此形以辛丙為長/丙庚為濶而辛丙
原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊/乃四率也是一率四率相乗也既兩長方相等則
二三相乗與一四相乗等實矣此列率之理也
一 甲乙
二 丙乙
三 丙丁
四 戊丁
在異乗同除本術則甲乙及丙乙為原有之數丙丁為
[066-14b]
今有之數戊丁為今求之數其術為以原有之甲乙股
比原有之丙乙句若今有之丙丁股與戊丁句也故于
原有中取丙乙句與今有之丙丁股以異名相乗為實
又于原有中取同名之甲乙股為法除之即得今所求
之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成兩長
方二率乗三率成乙丁長方以/首率除之必變為辛庚長方故曰以比例成其同實
也
互視之術則乙丙與丙丁為原有之數甲乙為今有之
[066-15a]
數丁戊為今求之數術為以乙丙較乗丙丁和之積若
丙庚較即丁/戊乗丙辛和即甲/乙之積故以原有之乙丙較
丙丁和自相乗為實以今有之甲乙和即辛/丙為法除之
即得今所求之丁戊較即丙/庚是先知兩長方同積而以
四率取之故曰以同實成其比例也
然則又何以謂之互視曰三率之用以原有兩件自相
比之例為今有兩件自相比之例是視此之差等為彼
之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股大句/小于
[066-15b]
大股幾倍小句亦小于小股幾倍又大句/大于小句幾倍大股亦大于小股幾倍互視之用以
原有一件與今一件相比之例為今又一件與原又一
件相比之例是此視彼之所來以往彼亦視此之所往
以來如互相酬報故弦之較比句之較反若句之和比
弦之和弦之和大于句故句之較反大于弦若和之數/弦大于句幾倍則較之數句大于弦亦幾倍
是以别之為互視也
如圖以甲乙為一率丙乙為二率丙丁為三率丁戊為
四率作甲戊弦成兩句股次引甲乙及丁戊㑹于壬成
[066-16a]
乙丁長方為二三相乗之積
亦引乙丙至庚引丁丙至辛
作甲辛及戊庚線並引長之
㑹于己成辛庚長方為一四
相乗之積是先有比例而成
同實之長方
如圖乙丙乗丙丁為乙丁長
方辛丙乗丙庚為辛庚長方
[066-16b]
兩長方以角相連于丙次引
己辛及乙壬㑹于甲引己庚
及壬丁㑹于戊乃作甲戊線
則辛丙與丙丁若乙丙與丙
庚是先知同實而成其比例
也
[066-17a]
問三角形兩又術用外角切線何也曰此分角法也一
角在兩邉之中則角無所對之邉邉無所對之角不可
以正弦為比例今欲求未知之兩角故借外角分之也
然則何以用半較角曰較角者本形中未知兩角之較
也此兩角之度合之即為外角之度必求其較角然後
可分而較角不可求故求其半知半較知全較矣此用
半較角之理也
如圖甲丙乙形先有丙角則甲丙丁為外角外角内作
[066-17b]
丙辛線與乙甲平行則辛
丙丁角與乙角等辛丙甲
角與甲角等
其辛丙庚角為兩角之較而辛丙己角其半較也己
丙丁及己丙甲皆半外角也以半較角與半外角相
減成乙角于丁丙己内减辛丙己/其餘丁丙辛即乙角度若相加亦成甲角
于己丙甲加辛丙己/成辛丙甲即甲角度
半較角用切線何也曰此比例法也角與所對之邉並
[066-18a]
以正弦為比例今既無正弦可論而有其所對之邉故
即以邉為比例角之正弦可以例邉則/邉之大小亦可以例角是故乙丁者兩
邉之總也乙癸者兩邉之較也而戊己者半外角之切
線也壬己者半較角之切線也以乙丁比乙癸若戊己
與壬己故以切線為比例也
然則何以不徑用正弦曰凡一角分為兩角則正弦因
度離立不同在一線不可以求其比例其在一線者惟
切線耳而邉之比例與切線相應切線比例又原與正
[066-18b]
弦相應故用切線實用正弦也
如圖甲丙丁外角其弧甲
己丁於辛作辛丙線分其
角為兩則小角之弧丁辛
其正弦夘丁大角之弧辛
甲其正弦甲丑小角正弦/當乙角之
對邉甲丙大角正弦/當甲角之對邉乙丙
今欲移正弦之比例於一線先作甲丁通弦割分角線
[066-19a]
於子則子甲與子丁若甲丑與夘丁甲丑子與丁夘子/兩句股形有子交
角等丑夘皆正角即兩形相似而比例等然則子甲者/大形之弦子丁者小形之弦而甲丑者大形之股夘丁
者小形之股也弦與弦若股與股/故子甲比子丁若丑甲與夘丁而甲丁即兩正弦之
總甲丁為子甲子丁之總/亦即為甲丑夘丁之總辰子即兩正弦之較以子丁/减子甲
其較辰子是辰子為子甲子丁/之較亦即為甲丑夘丁之較平分甲丁半之於酉則
酉丁為半總酉子為半較其比例同也全與全若半與/半故甲丁與辰
子為兩正弦之總與較則半之而為酉/丁與酉子亦必若兩正弦之總與較
於是作午戊切員線引平分線丙酉至己分甲己丁弧/于己自己作午戊線與己丙為十
[066-19b]
字垂線即此/線為切員線與甲丁平行引諸線至其上引丙甲至午/引丙丁至戊
引丙辰割庚㸃至未/引丙夘割辛㸃至壬則午戊切線上比例與甲丁通弦
等而正弦之比例在切線矣先以甲丁與辰子當兩正/弦之總與較今午戊與未
壬亦可當兩正弦之總與較則先以酉丁與酉子為半/總半較者今亦以己戊與己壬為半總半較矣
故曰用切線實用正弦也切線與正弦所以能同比/例者以有通弦作之合也
問三較連乗之理曰亦句股術也以句股為比例而以
三率之理轉換之則用法最精之處也故三較連乗即
得容員半徑上方乗半總之積
[066-20a]
假如甲乙丙三角形甲丙邉
一百五十甲乙邉一百二十
二乙丙邉一百一十二術以
半總一百九十二較各邉得
甲丙之較四十二甲乙之較
七十乙丙之較八十三較連
乗得數二十三萬五千二百
即容員半徑自乗又乗半總
[066-20b]
之積也
置三較連乗數以半總除之得數一千二百/二十五平方開
之得容員半徑三十/五倍之得容員徑七/十
置三較連乗數以半總乗之得數四千五百一十/五萬八千四百平
方開之得三角形積六千七/百二十
若如常法求得中長線一百/二十以乗乙丙底而半之所
得積數亦同
然則何以見其為句股比例曰試從形心如法作線
[066-21a]
分為六句股形形心即/容員心又引甲丙邉至夘使夘丙如
乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙則甲夘甲辰並
半總六小句股形之句各于其兩/相同者而取其一即成半總而丙夘為甲丙邉
之較即乙戊/或乙辛乙辰為甲乙邉
之較即己丙/或辛丙甲己為乙丙邉
之較己丙同辛丙又丙夘同/乙辛則夘己同乙丙而
甲己為其較若用辰戊以/當乙丙則甲戊為較亦同又
從夘作夘壬十字垂線至壬
[066-21b]
此線與丁己/員半徑平行引甲丁分角線出形外遇於壬成甲夘
壬大句股形與甲己丁小句股之比例等從辰作辰/壬線成甲
辰壬大句股與甲戊丁/小句股為比例亦同術為以丁己比壬夘若甲己
與甲夘也次以丁己自乗方為一率以丁己乗壬夘
之長方為次率則其比例仍若甲己三率與甲夘四
率也乗之者並丁己故所乗之/丁己與壬夘比例不變也
以數明之甲己八十甲夘一百九十二為二倍四分
比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁
[066-22a]
己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四
十亦二倍四分比例故曰比例等
又移辛㸃至癸截丙癸如丙夘則乙癸亦如乙辰引
丙夘至午使夘午同乙辰亦同/乙癸引乙辰至未使辰未
同丙夘亦同/丙癸則午丙及未乙並同乙丙又作丙壬乙
壬午壬未壬四線成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各
三角形皆相等丙夘壬句股形與未辰壬等則丙壬/必等未壬又午夘壬句股形與乙辰
壬等則午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬兩三角形/必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙與兩三角形同
[066-22b]
底又同用丙壬乙壬/兩弦亦不得不等於是自
癸作癸壬垂線夘壬辰壬並/垂線故癸壬
亦必/垂線成丙癸壬句股形與丙
夘壬形等即成癸丙夘壬四
邉形與丁己丙辛小四邉形
為相似形夘與癸俱方角而方/小形之己與辛亦
角則大形之丙角與壬角合之亦兩方角也而小形之/丙角原為大形丙角之外角合之亦兩方角也則小形
之丙角與大形之壬角等而小形之丁角亦與大形/之丙角等是大小兩形之四角俱等而為相似形
[066-23a]
則丁己丙句股形與丙夘壬形亦相似而比例等大/小
兩四邉形各均剖其半以成句股則其/相似之比例不變全與全若半與半也術為以丁己
比己丙若丙夘與夘壬也
一 丁己
二 己丙
三 丙卯 即甲丙之較戊乙
四 卯壬
凡三率法中二三相乗一四相乗其積皆等則己丙
[066-23b]
乗丙卯之積即丁己乗卯壬之積可通用也先定以
丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己與甲卯今以三率
之理通之為以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己
與甲卯
一 丁己自乗方 即容員半徑自乗
二 己丙乗丙卯長方 即甲乙之較乗甲丙之數
三 甲己 即乙丙之較
四 甲卯 即半總
[066-24a]
復以三率之理轉換用之則三較連乗之積以己丙/較乗戊
乙較為二率又以甲己較為三率/乗之是二三相乗即三較連乗即容員半徑自乗
方乗半總之積也以丁己半徑自乗為首率以甲卯/半總為四率乗之是一四相乗也
凡一四相乗必與/二三相乗之積等
以數明之丁己三十/五卯壬八十/四相乗得二千九百四
十己丙七/十丙卯四十/二相乗亦二千九百四十故可通
用
己丙乗丙卯二千九/百四十又以甲己八/十乗之得二十三萬
[066-24b]
五千二百丁己自乗一千二百/二十五又以甲卯一百九/十二乗
之亦二十三萬五千二百故可通用
問三較之術可以求角乎曰可其所求角皆先得半角
即銳鈍通為一術矣
術曰以三邊各減半總得較各以所求角對邊之較乗
半總為法以餘兩較各與半徑全數相乗又自相乗為
實法除實得數平方開之為半角切線撿表得度倍之
為所求角
[066-25a]
假如甲乙丙三角形甲丙邊
七十五甲乙邊五十六乙丙
邊六十一與半總九十六各
相減得甲丙之較二十一甲
乙之較四十乙丙之較三十
五
今求乙角術以乙角所對邊
甲丙之較二/一乗半總九/六得數
[066-25b]
二○/一六為法以餘兩較甲乙較/四○乙
丙較/三五各乗半徑全數又自相
乗得數一四○○○○○/○○○○○○○為
實法除實得數六九四四四/四四四四四
平方開之得數八三三/三三為半
角切線撿表三十九度四十/八分一十九秒
倍之得乙角七十九度三十/六分三十八秒
次求丙角術以丙角所對邊甲乙之較四/○乗半總得
[066-26a]
數三八/四○為法餘兩較甲丙二一/乙丙三五各乗半徑全數又自
相乗得數七三五○○○○/○○○○○○為實法除實得數一九/一四
○六二/五○○平方開之得半角切線四三七/五○撿表二十三/度三十
七分五十/二秒半倍之得丙角四十七度一十/五分四十五秒
次求甲角術以甲角所對邉乙丙之較三/五乗半總得
數三三/六○為法餘兩較甲丙二一/甲乙四○各乗半徑全數又自
相乗得數八四○○○○○/○○○○○○為實法除實得數二五/○○
○○○/○○○平方開之得半角切線五○○/○○撿表二十六/度三十
[066-26b]
三分五/十三秒倍之得甲角五十三度○七/分四十六秒
問前條用三較連乗今只用一較為除法何也曰前條
求總積故三較連乗今有専求之角故以對邉之較為
法也然則用對邉何也曰對邉之較在所求角之兩旁
為所分小句股形之句今求半角切線故以此小句為
法也
如求乙半角則所用者角旁小句股心戊乙或/心丁乙其句乙/戊
或乙/丁並二十一即對邉甲丙之較也術為以乙戊比心
[066-27a]
戊若半徑與乙角小形之角/即半角也之切線
其與半總相乗何也曰將以半
總除之又以小形句即對邉/之較除
之今以兩除法一半總一對邉/之較即小形句
相乗然後除之變兩次除為一
次除也古謂之異/除同除
用兩次除亦有說乎曰前條三較連乗必以半總除之
而得容員半徑之方冪今欲以方冪為用故亦以半總
[066-27b]
除也然則又何以對邉之較除曰非但以較除也乃以
較之冪除也何以言之曰原法三較連乗為實今只以
兩較乗是省一乗也既省一對邉之較乗又以對邉之
較除之是以較除兩次也即如以較自乗之冪除之矣
餘兩較相乗先又各乗半徑何也曰此三率之精理也
凡線與線相乗除所得者線也冪與冪相乗除所得者
冪也先既定乙戊句為首率心戊股即容員/半徑為次率半
徑為三率乙角切線為四率而今無心戊之數惟三較
[066-28a]
連乗中有心戊即容員/半徑自乗之冪即三較連乗半/總除之之數故變
四率並為冪以乙戊句冪為首率即對邉之/較除兩次心戊股冪
為次率即半總除/連乗數半徑之冪為三率即半徑/自乗得半角切
線之冪為四率即分形/之乙角
一 乙戊 今用乙戊自乗
二 心戊 心戊自乗
三 半徑 半徑自乗
四 乙角切線 切線自乗
[066-28b]
故得數開方即成切線
又術
以三較連乗半總除之開方為中垂線即容員/半徑以半徑
全數乗之為實各以所求角對邊之較除之即得半角
切線
一 乙戊乙角對/邊之較 丙戊丙角對/邊之較 甲己甲角對/邊之較
二 心戊中垂線 心戊中垂線 心己中垂線亦即/心戊
三 半徑全數 半徑全數 半徑全數
[066-29a]
四 乙半角切線 丙半角切縁 甲半角切線
此即用前圖可解乃本法也
論曰常法三邊求角倘遇鈍角必于得角之後又加審
焉以鈍角與外角同一八線也今所得者既為半角則
無此疑實為求角之㨗法
[066-30a]
補遺
問以邉求角句股第/二術因和較乗除而知正角乃定其為
句股形何也曰古法句弦較乗句弦和開方得股今大
邉壬/丁與小邉癸/丁以和較相乗為實癸壬邉為法除之而
仍得癸壬是適合開方之積也則大邉小邉之和較即
句弦之和較而癸為正角成句股形矣凡句股形弦為/大邉而對正角
今丁壬邉最大即弦也/故所對之癸角為正角
試再以丁壬與壬癸之和較求之
[066-30b]
如法用丁壬壬癸相加得和一百/九十
六/丈相減得較一十/六丈較乗和三千一/百三十
六/丈為實丁癸五十/六丈為法除之亦仍
得五十六丈何則股弦較乗和亦
開方得句故也
然則句股弦和較之法又安從生曰生於割圜
試以丁壬弦為半徑作戊丁丙己圜 全徑二百一十
二 半徑一百○六 乙丁正弦九十即癸/壬股 乙壬餘
[066-31a]
弦五十六即癸/丁句 丙乙正矢五
十即句/弦較 乙庚大矢一百六十
二即句/弦和 正矢乗大矢得數八
千一百開方得正弦即句弦和/乗較開方
得/股
然則此八千一百者既為正矢大矢相乗之積又為正
弦自乗之積故以正弦自乗為實而正矢除之可以得
大矢大矢除之亦得正矢即乙丁股自乗為實而以句/弦較丙乙除之得乙庚為句
[066-31b]
弦和若以句弦和/除之亦得句弦較
更之則正矢乗大矢為實以正弦除之仍得正弦矣即/句
弦較丙乙乗句弦和乙庚為實以/乙丁股為法除之而仍復得股
論曰句股形在平圜内其半徑恒為弦若正弦餘弦則
為句為股可以互用故其理亦可互明以丁壬及丁癸/二邉取和較求
壬癸邉為句弦求股以丁壬及壬癸二邉/取和較求丁癸邉為股弦求句一而已矣
問數則合矣其理云何曰仍句股術也
如上圖於圜徑兩端如丙/如庚各作通弦線至正弦丁/乙之銳
[066-32a]
如庚乙/丙乙成丙乙庚大句股形又
因中有正弦成大小兩句股形
乙丁庚為大形/乙丙丁為小形而相似以乙丁/線分正
角為兩則小形乙角為大形乙/角之餘而與庚角等即大形乙
角亦與小形丙角/等故兩形相似則乙丁正弦
既為小形之股又為大形之句其比例為丙丁小形/句與
乙丁小形/股若乙丁大形/句與丁庚大形/股也故正矢丁/丙乗大
矢丁/庚與正弦乙/丁自乗等積丙庚全徑為正弦所分其一/丁丙正矢為小形之句而乙
[066-32b]
丁正弦為其股其一丁庚大矢為/大形之股而乙丁正弦為其句
一 丁丙正矢 小形句 凡二率三率相乗與一
二 乙丁正弦 小形股 四相乗等積故乙丁自
三 乙丁正弦 大形句 乗即與丁丙丁庚相乗
四 丁庚大矢 大形股 等積也
論曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故論句
股者必以割圜而論割圜者仍以句股如根株華實之
相須乃本法非旁證也
[066-33a]
或疑切線分外角以正弦為比例恐不可施於鈍角作
此明之
甲丙乙鈍角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求餘角
一率丁乙邉/總二率癸乙邉/較三率己戊半外角/切線四率壬己
[066-33b]
半較角/切線
論曰試作壬丙線與乙甲平行分外角為兩則壬丙丁
即乙角其正弦卯丁又甲丙壬即甲角其正弦甲丑以
兩句股丑子甲/卯子丁相似之故能令兩正弦丑甲/卯丁之比例移
於通弦以成和較丑甲與卯丁既若子甲與子丁則丁/甲即兩正弦之和辰子即兩正弦之
較/而半外角半較角之算以生半外角為和半較角為/較並與兩正弦之和較
同比例即與兩邉/之和較同比例並如銳角
又論曰此所分大角為鈍角故甲丑正弦作於形外然
[066-34a]
雖在形外而引分角線至丑適與之㑹即能成丑子甲
句股形與卯子丁相似而生比例
丙乙甲形先有丙角求餘角與法為邉總丁乙與邉/較乙癸若半外角切線戊己 半較角切線未己
此亦因所分為鈍角故卯丁正弦在形外餘又大邉/為半徑故乙癸較亦在形外而丁乙為和 並同前
[066-34b]
丙甲乙形先有丙角求餘角半法為邉總丁乙與邉較/乙癸若半外角切線己戊與 較角切線己壬 此因
先得鈍角故所分之内反無鈍角而正弦所/作之小句股並在外角之内同銳角法矣
[066-35a]
丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙弦如法作丙壬線/與乙甲股平行分外角為兩則句弦和丁乙與句弦較
癸乙若半外角切線己戊與半較角切線己壬所此以/丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正弦知 得為
正/角
[066-35b]
甲乙丙形先得丙角求餘角辛如法作丙庚線與乙甲/句平行次截辛丁如庚甲作 丙線分外角為兩則小
角之正弦卯丁大角之正弦即丙甲而成兩句股相似/為切線比例 法為句弦和丁乙與句弦較乙癸若半
外角切線己戊與半較角切線己壬辛此以丙甲為半/徑作外角弧而即用丙甲為正弦知 丙甲為正角而
[066-36a]
丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙/甲而乙為正角矣以乙正角减外角餘為甲角
論曰右並以先不知其為句股形故求之而得正角凡
正角之弧九十度别無正弦而即以半徑全數為正弦
得此明之
[066-36b]
甲乙丙形先有正角求餘角己法為句股和丁乙與句/股較癸乙若半外角切線戊 與半較角切線己壬
論曰此因先得者為正角故其外角亦九十度而半外
角四十五度之切線即同半徑全數餘並同前
又論曰句股形求角本易不須外角而外角之用得此益明
[066-37a]
以大邉為半徑作外角弧分角線丙未與次大邉平行/ 邉總乙丁與邉較乙癸若半外角切線戊己與半較
角切線/壬己
以次大邉為半徑作外角弧分角線丙未與小邉乙甲/平行大邉總丁癸與邉較乙癸若半外角切線己戊與
半較角切/線己壬
[066-37b]
問平三角形以一邉為半徑得三正弦比例不識大邉
亦可以為半徑乎小邉次邉為半徑/已具前條故云曰可
如乙丙丁鈍角形引乙丁至辰如
乙丙大邉而用為半徑以丁為心
作丑辰亥半弧從辰作辰午為丁
鈍角正弦又作丁斗半徑與乙丙
平行則斗牛為丙角正弦又截女
丑弧如辰斗作女丁半徑則女亢
[066-38a]
為乙角正弦合而觀之丁角正弦辰/午最大故對邉乙丙
亦大丙角正弦斗/牛居次故對邉乙丁亦居次乙角正弦
女/亢最小故對邉丁丙亦小
又問若此則三邉任用其一皆可為半徑而取正弦是
已然此乃同徑異角之比例也若以三邉為弦三正弦
為股則同角異邉之比例也兩比例之根不同何以相
通曰相通之理自具圖中乃正理非旁證也試於前圖
用乙丁次邉為弦其股乙癸與斗牛平行而等則丙角
[066-38b]
正弦也又截酉丁如丁丙小邉為
弦其股酉壬與女亢平行而等則
乙角正弦也又辰丁大邉為弦即/乙
丙/其股辰午原為丁大角正弦也
於是三邉並為弦三對角之正弦
並為股成同角相似之句股形而
比例皆等可以相求矣
一大邉乙丙即/辰丁 一丁角正弦辰/午
[066-39a]
二丁角正弦辰/午 二大邉乙丙
三次邉乙丁 小邉丁丙即/酉丁三丙角正弦乙/癸乙角正弦酉/壬
四丙角正弦乙/癸乙角正弦酉/壬四次邉乙丁 小邉丁丙
此如先得大邉乙丙即/辰丁與所對大角丁/故用辰午丁大
句股形為法求餘二句股也乙癸丁/酉壬丁皆同用丁角而形
相似故法可相求其實三正弦皆大邉為半徑所得故
其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理
非旁證也
[066-39b]
又試於乙丙丁形或鈍角或/鋭角同理以丁丙小邉為半徑作房
箕壁象弧以乙/為心如上法取三正弦以尾壁弧為丁角度/其正弦尾虚又箕壁
弧為丙角度其正弦箕危又戍/壁弧為乙角度其正弦戍申成同徑異角之比例又
如法用三邉為弦三正弦為股乙戍即丁丙小邉配乙/角正弦戍申原如弦與
股又本形乙丁次邉為弦則/丁甲為股與箕危平行而等
丙角正弦也又引乙丁至子/成子乙即乙丙大邉以為弦
則子寅為股與尾虚平/行而等丁角正弦也則並
為相似之句股形而比例等
[066-40a]
一小邉丁丙即戍/乙
二乙角/正弦戍申
三大邉乙丙即乙/子 次邉丁乙
四丁角/正弦子寅即尾/虚 丙角/正弦丁甲即箕/危
此如先得小邉丁/丙與所對小角乙/故以戍申乙小句股
形為法求兩大句股也丁甲乙/子寅乙皆同用乙角而形相似
又試以乙丁次邉為半徑作象限如前以丙/為心取三正弦
張娄為丁角弧度張井其正弦氐娄為丙角弧/度氐參其正弦室娄為乙角弧度室奎其正弦成同徑
[066-40b]
異角之比例又仍用三邉為弦三正
弦為股引丁丙至翌與大邉乙丙等/成翌丙弦其股翌胃與張井
平行而等丁角正弦也又乙丁次邉/成氐丙弦其股氐參原為丙角正弦
又丁丙小邉為弦其股丁柳與/室奎平行而等乙角正弦也即復
成相似之句股形而比例等
一次邉乙丁即氐/丙
二丙角/正弦氐參
三大邉乙丙即翌/丙 小邉丁丙
[066-41a]
四丁角/正弦張井即翌/胃 乙角/正弦丁柳即室/奎
此如先得次邉乙/丁及所對丙角故以氐參丙句股為法
求大小二句股也求翌胃丙為以小求大/求丁柳丙為以大求小皆同用丙角
而比例等
問員内三角形以對弧為角倍度設有鈍角小邉何以
取之或問内原設銳角兩/邉並大于半徑故云曰法當引小邉截大邉作角
之通弦如圖乙甲丙鈍角形在平員内以各角切員而/乙甲邉小于半徑則引乙甲出員周之外乃以
甲角為心平員心丁為界作子丁丑弧截引長邉于子/截大邉于丑則丑甲子甲並半徑與丁甲等而丑子為
[066-41b]
通/弦又平分對邉作兩通弦從員/心作
丁乙丁丙兩半徑截乙戊丙員/周為甲角對邉所乗之弧而半
之于戊作乙戊丙/戊二線成兩通弦則此兩通弦
自相等又並與丑子通弦等夫
子丁丑弧甲角之本度也丙戊
弧乙戊弧皆對弧之半度也而今乃相等通弦等者/弧度亦等是
甲角之度適得對弧乙戊丙之半而乙戊丙對弧為甲
角之倍度矣
[066-42a]
[066-42b]
厯算全書卷五十三
欽定四庫全書
厯算全書卷五十三
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷四
或問三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端/喜同學之好問事事必求其所以然故不憚為
之詳複以/暢厥㫖
一三角形用正弦為比例之理
一和較相求之理
[066-1b]
一用切線分外角之理
一三較連乗之理
附三較求角
[066-2a]
問各角正弦與各邉皆不平行何以能相為比例曰凡
三角形一邉必對一角其角大者正弦大而所對之
邉亦大角小者正弦小而所對之邉亦小故邉與邉
之比例如正弦與正弦也
兩正弦為兩邉比例圖
乙丙丁三角形丁乙邉大對丙角
丁丙邉小對乙角術為以丁乙邉
比丁丙邉若丙角之正弦與乙角
[066-2b]
之正弦
解曰試以丁丙為半徑作丁甲線為丙角正弦又截戊
乙如丁丙半徑作戊己線為乙角正弦丁甲正弦大於
戊己故丁乙邉亦大於丁丙
問丁甲何以獨為丙角正弦也曰此以丁丙為半徑故
也若以丁乙為半徑則丁甲即為乙角之正弦
如圖用丁乙為半徑作丁甲線為乙角正弦又引丙
丁至戊令戊丙如丁乙半徑作戊己線為丙角正弦
[066-3a]
即見乙角之正弦丁甲小於戊己
故丁丙邉亦小於丁乙
解曰正弦者半徑所生也故必兩
半徑齊同始可以較其大小前圖
截戊乙如丁丙此圖引丁丙如丁乙所以同之也
三正弦逓相為三邉比例圖
乙丁丙鈍角形丁鈍角對乙丙大邉丙次大角對乙
丁次大邉乙小角對丁丙小邉其各邉比例皆各角
[066-3b]
正弦之比例
試以乙丁為半徑作丁甲線為乙
小角之正弦又引丙丁邉至戊使
戊丙如乙丁作戊己線為丙角之
正弦又展戊丙線至庚使庚丙如乙
丙作庚辛線為丁鈍角之正弦如此則三邉皆若/弦三正弦皆若股
其比例為以乙丙大邉同庚/丙比乙丁次邉同戊/丙若丁
鈍角之正弦庚辛與丙角之正弦戊己
[066-4a]
又以乙丁次大邉同戊/丙比丁丙小邉若丙角之正弦
戊己與乙角之正弦丁甲
又以丁丙小邉比乙丙大邉同庚/丙若乙小角之正弦
丁甲與丁鈍角之正弦庚辛
問庚辛何以為丁角正弦曰凡鈍角以外角之正弦為
正弦試作乙癸線為丁角正弦乙丁癸角外角也故/其正弦即為丁鈍角
正/弦必與庚辛等何也庚丙辛句股形與乙丙癸形等
庚丙弦既同乙丙又同用丙角辛/與癸又同為方角故其形必等則庚辛必等乙癸
[066-4b]
而乙癸既丁角正弦矣等乙癸之庚辛又安得不為
丁角正弦乎凡取正弦必齊其半徑此以丁甲為乙/角正弦是用乙丁為半徑也而取丙角
正弦戊己必引戊丙如乙丁其丁角正弦庚也/辛又即外角之正弦乙癸是三半徑皆乙丁
試取壬丙如丁丙作庚壬線即同
乙丁半徑則壬角同丁角壬外角
即丁外角而庚辛正弦之半徑仍
為乙丁庚壬同/乙丁故
此以庚壬當乙丁易乙丁丙形為
[066-5a]
庚壬丙則庚辛正弦亦歸本位與前圖互明
試以各角正弦同居一象限較其弧度
如圖甲乙丙形丙角最大其正弦乙丁亦最大所對
甲乙邉亦最大甲角次大其正弦丑壬亦次大所對
乙丙邉亦次大乙角最小其正弦
丙夘亦小所對丙甲邉亦最小丙/乙
二角正弦並乙丙為半徑甲角取/正弦截丑甲如乙丙亦以乙丙為
半/徑乃别作一象弧如戊/己仍用乙丙
[066-5b]
為半徑取戊庚/如乙丙而以先所得各角
之餘弦取度於丁作乙丁為丙角
之正弦於壬作丑壬為甲角之正
弦於夘作丙夘為乙角之正弦即
如元度而各角之差數覩矣戊庚半徑既同乙丙則/丁庚即丁丙而為丙角
餘弦又壬庚即甲壬為甲角餘/弦夘庚即夘乙為乙角餘弦
解曰角無大小以弧而知其大小今乙丁正弦其弧
乙己是丙角最大也丑壬正弦其弧丑己是甲角次
[066-6a]
大也丙夘正弦其弧丙己是乙角最小也而對邉之
大小亦如之故皆以正弦為比例也
或疑鈍角之度益大其正弦反漸小而其所對之邉則
漸大何以能相為比例乎曰此易知也凡鈍角正弦
即外角之正弦而外角度原兼有餘兩角之度故鈍
角之正弦必大于餘兩角而得為大邉之比例也
如乙丙甲鈍角形丙鈍角最大其正弦乙丁亦最大
而所對乙甲邉亦最大乙角次大其正弦丙夘亦次
[066-6b]
大而所對甲丙邉亦次大甲角最小其正弦丑壬亦
小而所對乙丙邉亦最小截甲丑如乙丙從丑/作丑壬即甲角正弦
乃從乙作乙庚弧以丙為心乙/丙為半徑為
丙外角之度又作辛丙半徑與甲
乙平行分乙庚弧度為兩則辛庚
即甲角之弧度其餘辛乙亦即乙
角之弧度從辛作辛未正弦與丑
壬等又自庚截癸庚度如辛乙則
[066-7a]
癸庚亦乙角之弧作癸子正弦與丙夘等此顯丙外
角之度兼有乙甲兩角之度其正弦必大於兩角正
弦也雖丙鈍角加大而外角加小則乙甲兩角必又
小於外角又何疑於鈍角正弦必為大邉比例乎
試更以各角切員觀之則各角之對邊皆為其對弧之
通弦
如圖三角形以各角切員則乙丙邉為丙戊乙弧之
通弦而對甲角甲丙邉為丙己甲弧之通弦而對乙
[066-7b]
角甲乙邉為乙庚甲弧之通弦而
對丙角則是各角之對邉即各角
對弧之通弦也夫通弦者正弦之
倍數則三邉比例即三正弦之比
例矣
又試以各邉平分之則皆成各角之正弦
於前圖内更以各邉所當之弧皆平分之丙戊乙弧/平分于戊
㸃丙己甲弧平分于己㸃/乙庚甲弧平分于庚㸃自員心丁/各作半徑至其
[066-8a]
㸃即分各邊為兩平分以丁/壬戊
半徑分乙丙邊于壬以丁辛/己半徑分甲丙邊于辛以丁
癸庚半徑分甲乙邊于癸/則所分之邊皆為兩平分則
弧之平分者即原設各角之
度而邊之平分者即皆各角
之正弦丙丁戊角以丙戊為/弧丙壬為正弦而丙
丁戊角原為丙丁乙角之半/必與甲角同大故丙戊半弧
即甲角之本度丙壬半邊即/甲角之正弦乙丁戊角亦然
[066-8b]
凖此論之則甲丁己角原為甲丁丙角之半必與/乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半邊
即乙角之正弦己丁丙角亦然又乙丁庚角原為/乙丁甲角之半必與丙角同大故乙庚半弧即丙
角之本度乙癸半邊即丙/角之正弦庚丁甲角亦然夫分其邊之半即皆成
正弦則邊與邊之比例亦必如正弦與正弦矣全/與
全若半/與半也
問三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角為員
心真度乃見今三角皆切員邊則所作通弦之弧皆
倍度也故半之乃為角之本度
[066-9a]
如圖以甲角爲心甲丁爲半徑作員則其弧丑丁子
乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙兩弧並與
丑丁子弧等試作戊丙及乙戊兩弦必相等又/並與丑子弦等凡弦等者弧亦等故乙
戊丙弧必爲甲角之倍度
餘角/類推
[066-9b]
問三邉求角何以用和較相乗也曰欲明和較之用當
先知和較之根凡大小兩方以其邉相併謂之和相減
謂之較和較相乗者兩方相減之餘積也
如圖甲癸小方丁癸大方於大方
内依小方邉作己庚横線又取己
辛如小方邉作辛壬線成己壬小
方與甲癸等大方内減己壬小方
則所餘者為乙庚及庚壬兩長方
[066-10a]
形夫乙己及丁庚及庚辛並兩邉之較也甲己庚則和
也若移庚壬長方為乙甲長方即成丁甲大長方而為
較乗和之積故凡兩方相減之餘積為實以和除之得
較以較除之亦得和矣
依此論之若有兩方形相減又别有兩方相減而其餘
積等則為公積故以此兩方之和較相乗為實而以彼
兩方之和為法除之得彼兩方之較或以彼兩方之較
為法除之亦必得和
[066-10b]
如圖有方二十九之冪八百/四十一與方二十七之冪七
百二十九相减成較二乗和/五十六之積
又有方十六之冪二百五十/六與方十二之冪一百四十
四相减成較四乗和二十八/之積
兩積同為一百一十二故以/先有之較二和五十六相乗
為實以今有之和二十八為法/除之即得較四為今所求数
是故三角形以兩弦之和乗較為實以兩分底之和為
法除之得較者為兩和較相乗同積也兩和較相乗同
[066-11a]
積者各兩方相减同積也
何以明之曰凡三角形以中長線分為兩句股則兩形
同以中長線為股而各以分底線為句是股同而句不
同也句不同者弦不同也弦大者句亦大弦小者句亦
小故兩弦上方相減必與兩句上方相減之餘積等而
兩和較相乗亦等
如圖甲乙丙三角形以甲丁中長線分為兩句股形則
丙乙為兩句之和未寅及子/夘並同丙戊為兩句之較未子及/寅夘並
[066-11b]
同/未夘長方為兩句之較乗
和也又丙己為兩弦之和辰/壬
同/酉丙為兩弦之較辰癸及/辛庚壬
午並/同癸壬長方為兩弦之較
乗和也此兩長方必等積
問兩弦上方大於兩句上方何以知其等積曰依句股
法弦上方冪必兼有句股上方冪是故甲丙弦冪内即/癸
甲大/方必兼有甲丁股丙丁句兩冪乙甲弦冪内即辛己/小方
[066-12a]
亦兼有甲丁股乙丁句兩冪則是甲丁股冪者兩弦冪
所同也其不同者句冪耳股冪既同則弦冪相减時股/冪俱對减而盡使非句冪不
同巳無/餘積然則兩弦冪相減之餘積于癸甲大方内减己/辛相同之申甲小方
所餘者癸辛申丙/兩長方成磬折形豈不即為兩句冪相減之餘積乎于/丁
子方内减丁寅相同之戊丑小方所形/所餘者丑子及戊未兩長方成磬折由是言之兩和較
相乗之等積信矣于弦冪相减之癸辛申丙磬折形内/移申丙補庚壬即成和較相乗之癸
壬長方又于句冪相减之丑子未戊磬折形内移戊未/補丑夘即成和較相乗之未夘長方兩磬折形既等積
則兩長方/亦等積
[066-12b]
問和較之列四率與諸例不同何也曰此互視法也同
文算指謂之變測古九章謂之同乗異除乃三率之别
調也何則凡異乗同除皆以原有兩率之比例為今兩
率之比例其首率為法必在原有兩率之中互視之術
則反以原有之兩率為二為三以自相乗為實其首率
為法者反係今有之率與異乗同除之序相反故曰别
調也
然則又何以仍列四率曰以相乗同實也三率之術二
[066-13a]
三相乗與一四相乗同實故可以三率求一率二三相/乗以一
除之得四以四除之即仍得一若一四相乗/以二除之亦可得三以三除之亦仍得二互視之術
以原有之兩率自相乗與今有之兩率自相乗同實故
亦以三率求一率原兩率自相乗以今有之率除之得/今有之餘一率若今兩率自相乗以
原有之率除之亦即/得原有之餘一率但三率之術以比例成其同實互
視之術則以同實而成其比例既成比例即有四率故
可以列而求之也
如圖長方形對角斜剖成兩句股則相等而其中所成
[066-13b]
小句股亦相等甲壬戊與甲/己戊等則甲
乙丙與甲辛丙等丙丁戊與/丙庚戊等並長方均剖故也
即所成長方之積亦必相等
于甲壬戊句股形内减去相/等之甲乙丙及丙丁戊兩小
句股存乙丙丁壬長方又于甲己戊句股形内减去相/等之甲辛丙及丙庚戊兩小句股存辛己庚丙長方所
减之数等則所存之数亦等故兩長/方雖長濶不同而知其必為等積今以甲乙為首率
乙丙為次率丙丁為三率丁戊為四率則乙丁長方即/乙
丙丁/壬形為二三相乗之積此形以乙丙二率為濶丙丁三/率為長是二率三率相乗也
[066-14a]
辛庚長方即辛己/庚丙形為一四相乗之積此形以辛丙為長/丙庚為濶而辛丙
原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊/乃四率也是一率四率相乗也既兩長方相等則
二三相乗與一四相乗等實矣此列率之理也
一 甲乙
二 丙乙
三 丙丁
四 戊丁
在異乗同除本術則甲乙及丙乙為原有之數丙丁為
[066-14b]
今有之數戊丁為今求之數其術為以原有之甲乙股
比原有之丙乙句若今有之丙丁股與戊丁句也故于
原有中取丙乙句與今有之丙丁股以異名相乗為實
又于原有中取同名之甲乙股為法除之即得今所求
之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成兩長
方二率乗三率成乙丁長方以/首率除之必變為辛庚長方故曰以比例成其同實
也
互視之術則乙丙與丙丁為原有之數甲乙為今有之
[066-15a]
數丁戊為今求之數術為以乙丙較乗丙丁和之積若
丙庚較即丁/戊乗丙辛和即甲/乙之積故以原有之乙丙較
丙丁和自相乗為實以今有之甲乙和即辛/丙為法除之
即得今所求之丁戊較即丙/庚是先知兩長方同積而以
四率取之故曰以同實成其比例也
然則又何以謂之互視曰三率之用以原有兩件自相
比之例為今有兩件自相比之例是視此之差等為彼
之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股大句/小于
[066-15b]
大股幾倍小句亦小于小股幾倍又大句/大于小句幾倍大股亦大于小股幾倍互視之用以
原有一件與今一件相比之例為今又一件與原又一
件相比之例是此視彼之所來以往彼亦視此之所往
以來如互相酬報故弦之較比句之較反若句之和比
弦之和弦之和大于句故句之較反大于弦若和之數/弦大于句幾倍則較之數句大于弦亦幾倍
是以别之為互視也
如圖以甲乙為一率丙乙為二率丙丁為三率丁戊為
四率作甲戊弦成兩句股次引甲乙及丁戊㑹于壬成
[066-16a]
乙丁長方為二三相乗之積
亦引乙丙至庚引丁丙至辛
作甲辛及戊庚線並引長之
㑹于己成辛庚長方為一四
相乗之積是先有比例而成
同實之長方
如圖乙丙乗丙丁為乙丁長
方辛丙乗丙庚為辛庚長方
[066-16b]
兩長方以角相連于丙次引
己辛及乙壬㑹于甲引己庚
及壬丁㑹于戊乃作甲戊線
則辛丙與丙丁若乙丙與丙
庚是先知同實而成其比例
也
[066-17a]
問三角形兩又術用外角切線何也曰此分角法也一
角在兩邉之中則角無所對之邉邉無所對之角不可
以正弦為比例今欲求未知之兩角故借外角分之也
然則何以用半較角曰較角者本形中未知兩角之較
也此兩角之度合之即為外角之度必求其較角然後
可分而較角不可求故求其半知半較知全較矣此用
半較角之理也
如圖甲丙乙形先有丙角則甲丙丁為外角外角内作
[066-17b]
丙辛線與乙甲平行則辛
丙丁角與乙角等辛丙甲
角與甲角等
其辛丙庚角為兩角之較而辛丙己角其半較也己
丙丁及己丙甲皆半外角也以半較角與半外角相
減成乙角于丁丙己内减辛丙己/其餘丁丙辛即乙角度若相加亦成甲角
于己丙甲加辛丙己/成辛丙甲即甲角度
半較角用切線何也曰此比例法也角與所對之邉並
[066-18a]
以正弦為比例今既無正弦可論而有其所對之邉故
即以邉為比例角之正弦可以例邉則/邉之大小亦可以例角是故乙丁者兩
邉之總也乙癸者兩邉之較也而戊己者半外角之切
線也壬己者半較角之切線也以乙丁比乙癸若戊己
與壬己故以切線為比例也
然則何以不徑用正弦曰凡一角分為兩角則正弦因
度離立不同在一線不可以求其比例其在一線者惟
切線耳而邉之比例與切線相應切線比例又原與正
[066-18b]
弦相應故用切線實用正弦也
如圖甲丙丁外角其弧甲
己丁於辛作辛丙線分其
角為兩則小角之弧丁辛
其正弦夘丁大角之弧辛
甲其正弦甲丑小角正弦/當乙角之
對邉甲丙大角正弦/當甲角之對邉乙丙
今欲移正弦之比例於一線先作甲丁通弦割分角線
[066-19a]
於子則子甲與子丁若甲丑與夘丁甲丑子與丁夘子/兩句股形有子交
角等丑夘皆正角即兩形相似而比例等然則子甲者/大形之弦子丁者小形之弦而甲丑者大形之股夘丁
者小形之股也弦與弦若股與股/故子甲比子丁若丑甲與夘丁而甲丁即兩正弦之
總甲丁為子甲子丁之總/亦即為甲丑夘丁之總辰子即兩正弦之較以子丁/减子甲
其較辰子是辰子為子甲子丁/之較亦即為甲丑夘丁之較平分甲丁半之於酉則
酉丁為半總酉子為半較其比例同也全與全若半與/半故甲丁與辰
子為兩正弦之總與較則半之而為酉/丁與酉子亦必若兩正弦之總與較
於是作午戊切員線引平分線丙酉至己分甲己丁弧/于己自己作午戊線與己丙為十
[066-19b]
字垂線即此/線為切員線與甲丁平行引諸線至其上引丙甲至午/引丙丁至戊
引丙辰割庚㸃至未/引丙夘割辛㸃至壬則午戊切線上比例與甲丁通弦
等而正弦之比例在切線矣先以甲丁與辰子當兩正/弦之總與較今午戊與未
壬亦可當兩正弦之總與較則先以酉丁與酉子為半/總半較者今亦以己戊與己壬為半總半較矣
故曰用切線實用正弦也切線與正弦所以能同比/例者以有通弦作之合也
問三較連乗之理曰亦句股術也以句股為比例而以
三率之理轉換之則用法最精之處也故三較連乗即
得容員半徑上方乗半總之積
[066-20a]
假如甲乙丙三角形甲丙邉
一百五十甲乙邉一百二十
二乙丙邉一百一十二術以
半總一百九十二較各邉得
甲丙之較四十二甲乙之較
七十乙丙之較八十三較連
乗得數二十三萬五千二百
即容員半徑自乗又乗半總
[066-20b]
之積也
置三較連乗數以半總除之得數一千二百/二十五平方開
之得容員半徑三十/五倍之得容員徑七/十
置三較連乗數以半總乗之得數四千五百一十/五萬八千四百平
方開之得三角形積六千七/百二十
若如常法求得中長線一百/二十以乗乙丙底而半之所
得積數亦同
然則何以見其為句股比例曰試從形心如法作線
[066-21a]
分為六句股形形心即/容員心又引甲丙邉至夘使夘丙如
乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙則甲夘甲辰並
半總六小句股形之句各于其兩/相同者而取其一即成半總而丙夘為甲丙邉
之較即乙戊/或乙辛乙辰為甲乙邉
之較即己丙/或辛丙甲己為乙丙邉
之較己丙同辛丙又丙夘同/乙辛則夘己同乙丙而
甲己為其較若用辰戊以/當乙丙則甲戊為較亦同又
從夘作夘壬十字垂線至壬
[066-21b]
此線與丁己/員半徑平行引甲丁分角線出形外遇於壬成甲夘
壬大句股形與甲己丁小句股之比例等從辰作辰/壬線成甲
辰壬大句股與甲戊丁/小句股為比例亦同術為以丁己比壬夘若甲己
與甲夘也次以丁己自乗方為一率以丁己乗壬夘
之長方為次率則其比例仍若甲己三率與甲夘四
率也乗之者並丁己故所乗之/丁己與壬夘比例不變也
以數明之甲己八十甲夘一百九十二為二倍四分
比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁
[066-22a]
己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四
十亦二倍四分比例故曰比例等
又移辛㸃至癸截丙癸如丙夘則乙癸亦如乙辰引
丙夘至午使夘午同乙辰亦同/乙癸引乙辰至未使辰未
同丙夘亦同/丙癸則午丙及未乙並同乙丙又作丙壬乙
壬午壬未壬四線成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各
三角形皆相等丙夘壬句股形與未辰壬等則丙壬/必等未壬又午夘壬句股形與乙辰
壬等則午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬兩三角形/必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙與兩三角形同
[066-22b]
底又同用丙壬乙壬/兩弦亦不得不等於是自
癸作癸壬垂線夘壬辰壬並/垂線故癸壬
亦必/垂線成丙癸壬句股形與丙
夘壬形等即成癸丙夘壬四
邉形與丁己丙辛小四邉形
為相似形夘與癸俱方角而方/小形之己與辛亦
角則大形之丙角與壬角合之亦兩方角也而小形之/丙角原為大形丙角之外角合之亦兩方角也則小形
之丙角與大形之壬角等而小形之丁角亦與大形/之丙角等是大小兩形之四角俱等而為相似形
[066-23a]
則丁己丙句股形與丙夘壬形亦相似而比例等大/小
兩四邉形各均剖其半以成句股則其/相似之比例不變全與全若半與半也術為以丁己
比己丙若丙夘與夘壬也
一 丁己
二 己丙
三 丙卯 即甲丙之較戊乙
四 卯壬
凡三率法中二三相乗一四相乗其積皆等則己丙
[066-23b]
乗丙卯之積即丁己乗卯壬之積可通用也先定以
丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己與甲卯今以三率
之理通之為以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己
與甲卯
一 丁己自乗方 即容員半徑自乗
二 己丙乗丙卯長方 即甲乙之較乗甲丙之數
三 甲己 即乙丙之較
四 甲卯 即半總
[066-24a]
復以三率之理轉換用之則三較連乗之積以己丙/較乗戊
乙較為二率又以甲己較為三率/乗之是二三相乗即三較連乗即容員半徑自乗
方乗半總之積也以丁己半徑自乗為首率以甲卯/半總為四率乗之是一四相乗也
凡一四相乗必與/二三相乗之積等
以數明之丁己三十/五卯壬八十/四相乗得二千九百四
十己丙七/十丙卯四十/二相乗亦二千九百四十故可通
用
己丙乗丙卯二千九/百四十又以甲己八/十乗之得二十三萬
[066-24b]
五千二百丁己自乗一千二百/二十五又以甲卯一百九/十二乗
之亦二十三萬五千二百故可通用
問三較之術可以求角乎曰可其所求角皆先得半角
即銳鈍通為一術矣
術曰以三邊各減半總得較各以所求角對邊之較乗
半總為法以餘兩較各與半徑全數相乗又自相乗為
實法除實得數平方開之為半角切線撿表得度倍之
為所求角
[066-25a]
假如甲乙丙三角形甲丙邊
七十五甲乙邊五十六乙丙
邊六十一與半總九十六各
相減得甲丙之較二十一甲
乙之較四十乙丙之較三十
五
今求乙角術以乙角所對邊
甲丙之較二/一乗半總九/六得數
[066-25b]
二○/一六為法以餘兩較甲乙較/四○乙
丙較/三五各乗半徑全數又自相
乗得數一四○○○○○/○○○○○○○為
實法除實得數六九四四四/四四四四四
平方開之得數八三三/三三為半
角切線撿表三十九度四十/八分一十九秒
倍之得乙角七十九度三十/六分三十八秒
次求丙角術以丙角所對邊甲乙之較四/○乗半總得
[066-26a]
數三八/四○為法餘兩較甲丙二一/乙丙三五各乗半徑全數又自
相乗得數七三五○○○○/○○○○○○為實法除實得數一九/一四
○六二/五○○平方開之得半角切線四三七/五○撿表二十三/度三十
七分五十/二秒半倍之得丙角四十七度一十/五分四十五秒
次求甲角術以甲角所對邉乙丙之較三/五乗半總得
數三三/六○為法餘兩較甲丙二一/甲乙四○各乗半徑全數又自
相乗得數八四○○○○○/○○○○○○為實法除實得數二五/○○
○○○/○○○平方開之得半角切線五○○/○○撿表二十六/度三十
[066-26b]
三分五/十三秒倍之得甲角五十三度○七/分四十六秒
問前條用三較連乗今只用一較為除法何也曰前條
求總積故三較連乗今有専求之角故以對邉之較為
法也然則用對邉何也曰對邉之較在所求角之兩旁
為所分小句股形之句今求半角切線故以此小句為
法也
如求乙半角則所用者角旁小句股心戊乙或/心丁乙其句乙/戊
或乙/丁並二十一即對邉甲丙之較也術為以乙戊比心
[066-27a]
戊若半徑與乙角小形之角/即半角也之切線
其與半總相乗何也曰將以半
總除之又以小形句即對邉/之較除
之今以兩除法一半總一對邉/之較即小形句
相乗然後除之變兩次除為一
次除也古謂之異/除同除
用兩次除亦有說乎曰前條三較連乗必以半總除之
而得容員半徑之方冪今欲以方冪為用故亦以半總
[066-27b]
除也然則又何以對邉之較除曰非但以較除也乃以
較之冪除也何以言之曰原法三較連乗為實今只以
兩較乗是省一乗也既省一對邉之較乗又以對邉之
較除之是以較除兩次也即如以較自乗之冪除之矣
餘兩較相乗先又各乗半徑何也曰此三率之精理也
凡線與線相乗除所得者線也冪與冪相乗除所得者
冪也先既定乙戊句為首率心戊股即容員/半徑為次率半
徑為三率乙角切線為四率而今無心戊之數惟三較
[066-28a]
連乗中有心戊即容員/半徑自乗之冪即三較連乗半/總除之之數故變
四率並為冪以乙戊句冪為首率即對邉之/較除兩次心戊股冪
為次率即半總除/連乗數半徑之冪為三率即半徑/自乗得半角切
線之冪為四率即分形/之乙角
一 乙戊 今用乙戊自乗
二 心戊 心戊自乗
三 半徑 半徑自乗
四 乙角切線 切線自乗
[066-28b]
故得數開方即成切線
又術
以三較連乗半總除之開方為中垂線即容員/半徑以半徑
全數乗之為實各以所求角對邊之較除之即得半角
切線
一 乙戊乙角對/邊之較 丙戊丙角對/邊之較 甲己甲角對/邊之較
二 心戊中垂線 心戊中垂線 心己中垂線亦即/心戊
三 半徑全數 半徑全數 半徑全數
[066-29a]
四 乙半角切線 丙半角切縁 甲半角切線
此即用前圖可解乃本法也
論曰常法三邊求角倘遇鈍角必于得角之後又加審
焉以鈍角與外角同一八線也今所得者既為半角則
無此疑實為求角之㨗法
[066-30a]
補遺
問以邉求角句股第/二術因和較乗除而知正角乃定其為
句股形何也曰古法句弦較乗句弦和開方得股今大
邉壬/丁與小邉癸/丁以和較相乗為實癸壬邉為法除之而
仍得癸壬是適合開方之積也則大邉小邉之和較即
句弦之和較而癸為正角成句股形矣凡句股形弦為/大邉而對正角
今丁壬邉最大即弦也/故所對之癸角為正角
試再以丁壬與壬癸之和較求之
[066-30b]
如法用丁壬壬癸相加得和一百/九十
六/丈相減得較一十/六丈較乗和三千一/百三十
六/丈為實丁癸五十/六丈為法除之亦仍
得五十六丈何則股弦較乗和亦
開方得句故也
然則句股弦和較之法又安從生曰生於割圜
試以丁壬弦為半徑作戊丁丙己圜 全徑二百一十
二 半徑一百○六 乙丁正弦九十即癸/壬股 乙壬餘
[066-31a]
弦五十六即癸/丁句 丙乙正矢五
十即句/弦較 乙庚大矢一百六十
二即句/弦和 正矢乗大矢得數八
千一百開方得正弦即句弦和/乗較開方
得/股
然則此八千一百者既為正矢大矢相乗之積又為正
弦自乗之積故以正弦自乗為實而正矢除之可以得
大矢大矢除之亦得正矢即乙丁股自乗為實而以句/弦較丙乙除之得乙庚為句
[066-31b]
弦和若以句弦和/除之亦得句弦較
更之則正矢乗大矢為實以正弦除之仍得正弦矣即/句
弦較丙乙乗句弦和乙庚為實以/乙丁股為法除之而仍復得股
論曰句股形在平圜内其半徑恒為弦若正弦餘弦則
為句為股可以互用故其理亦可互明以丁壬及丁癸/二邉取和較求
壬癸邉為句弦求股以丁壬及壬癸二邉/取和較求丁癸邉為股弦求句一而已矣
問數則合矣其理云何曰仍句股術也
如上圖於圜徑兩端如丙/如庚各作通弦線至正弦丁/乙之銳
[066-32a]
如庚乙/丙乙成丙乙庚大句股形又
因中有正弦成大小兩句股形
乙丁庚為大形/乙丙丁為小形而相似以乙丁/線分正
角為兩則小形乙角為大形乙/角之餘而與庚角等即大形乙
角亦與小形丙角/等故兩形相似則乙丁正弦
既為小形之股又為大形之句其比例為丙丁小形/句與
乙丁小形/股若乙丁大形/句與丁庚大形/股也故正矢丁/丙乗大
矢丁/庚與正弦乙/丁自乗等積丙庚全徑為正弦所分其一/丁丙正矢為小形之句而乙
[066-32b]
丁正弦為其股其一丁庚大矢為/大形之股而乙丁正弦為其句
一 丁丙正矢 小形句 凡二率三率相乗與一
二 乙丁正弦 小形股 四相乗等積故乙丁自
三 乙丁正弦 大形句 乗即與丁丙丁庚相乗
四 丁庚大矢 大形股 等積也
論曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故論句
股者必以割圜而論割圜者仍以句股如根株華實之
相須乃本法非旁證也
[066-33a]
或疑切線分外角以正弦為比例恐不可施於鈍角作
此明之
甲丙乙鈍角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求餘角
一率丁乙邉/總二率癸乙邉/較三率己戊半外角/切線四率壬己
[066-33b]
半較角/切線
論曰試作壬丙線與乙甲平行分外角為兩則壬丙丁
即乙角其正弦卯丁又甲丙壬即甲角其正弦甲丑以
兩句股丑子甲/卯子丁相似之故能令兩正弦丑甲/卯丁之比例移
於通弦以成和較丑甲與卯丁既若子甲與子丁則丁/甲即兩正弦之和辰子即兩正弦之
較/而半外角半較角之算以生半外角為和半較角為/較並與兩正弦之和較
同比例即與兩邉/之和較同比例並如銳角
又論曰此所分大角為鈍角故甲丑正弦作於形外然
[066-34a]
雖在形外而引分角線至丑適與之㑹即能成丑子甲
句股形與卯子丁相似而生比例
丙乙甲形先有丙角求餘角與法為邉總丁乙與邉/較乙癸若半外角切線戊己 半較角切線未己
此亦因所分為鈍角故卯丁正弦在形外餘又大邉/為半徑故乙癸較亦在形外而丁乙為和 並同前
[066-34b]
丙甲乙形先有丙角求餘角半法為邉總丁乙與邉較/乙癸若半外角切線己戊與 較角切線己壬 此因
先得鈍角故所分之内反無鈍角而正弦所/作之小句股並在外角之内同銳角法矣
[066-35a]
丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙弦如法作丙壬線/與乙甲股平行分外角為兩則句弦和丁乙與句弦較
癸乙若半外角切線己戊與半較角切線己壬所此以/丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正弦知 得為
正/角
[066-35b]
甲乙丙形先得丙角求餘角辛如法作丙庚線與乙甲/句平行次截辛丁如庚甲作 丙線分外角為兩則小
角之正弦卯丁大角之正弦即丙甲而成兩句股相似/為切線比例 法為句弦和丁乙與句弦較乙癸若半
外角切線己戊與半較角切線己壬辛此以丙甲為半/徑作外角弧而即用丙甲為正弦知 丙甲為正角而
[066-36a]
丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙/甲而乙為正角矣以乙正角减外角餘為甲角
論曰右並以先不知其為句股形故求之而得正角凡
正角之弧九十度别無正弦而即以半徑全數為正弦
得此明之
[066-36b]
甲乙丙形先有正角求餘角己法為句股和丁乙與句/股較癸乙若半外角切線戊 與半較角切線己壬
論曰此因先得者為正角故其外角亦九十度而半外
角四十五度之切線即同半徑全數餘並同前
又論曰句股形求角本易不須外角而外角之用得此益明
[066-37a]
以大邉為半徑作外角弧分角線丙未與次大邉平行/ 邉總乙丁與邉較乙癸若半外角切線戊己與半較
角切線/壬己
以次大邉為半徑作外角弧分角線丙未與小邉乙甲/平行大邉總丁癸與邉較乙癸若半外角切線己戊與
半較角切/線己壬
[066-37b]
問平三角形以一邉為半徑得三正弦比例不識大邉
亦可以為半徑乎小邉次邉為半徑/已具前條故云曰可
如乙丙丁鈍角形引乙丁至辰如
乙丙大邉而用為半徑以丁為心
作丑辰亥半弧從辰作辰午為丁
鈍角正弦又作丁斗半徑與乙丙
平行則斗牛為丙角正弦又截女
丑弧如辰斗作女丁半徑則女亢
[066-38a]
為乙角正弦合而觀之丁角正弦辰/午最大故對邉乙丙
亦大丙角正弦斗/牛居次故對邉乙丁亦居次乙角正弦
女/亢最小故對邉丁丙亦小
又問若此則三邉任用其一皆可為半徑而取正弦是
已然此乃同徑異角之比例也若以三邉為弦三正弦
為股則同角異邉之比例也兩比例之根不同何以相
通曰相通之理自具圖中乃正理非旁證也試於前圖
用乙丁次邉為弦其股乙癸與斗牛平行而等則丙角
[066-38b]
正弦也又截酉丁如丁丙小邉為
弦其股酉壬與女亢平行而等則
乙角正弦也又辰丁大邉為弦即/乙
丙/其股辰午原為丁大角正弦也
於是三邉並為弦三對角之正弦
並為股成同角相似之句股形而
比例皆等可以相求矣
一大邉乙丙即/辰丁 一丁角正弦辰/午
[066-39a]
二丁角正弦辰/午 二大邉乙丙
三次邉乙丁 小邉丁丙即/酉丁三丙角正弦乙/癸乙角正弦酉/壬
四丙角正弦乙/癸乙角正弦酉/壬四次邉乙丁 小邉丁丙
此如先得大邉乙丙即/辰丁與所對大角丁/故用辰午丁大
句股形為法求餘二句股也乙癸丁/酉壬丁皆同用丁角而形
相似故法可相求其實三正弦皆大邉為半徑所得故
其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理
非旁證也
[066-39b]
又試於乙丙丁形或鈍角或/鋭角同理以丁丙小邉為半徑作房
箕壁象弧以乙/為心如上法取三正弦以尾壁弧為丁角度/其正弦尾虚又箕壁
弧為丙角度其正弦箕危又戍/壁弧為乙角度其正弦戍申成同徑異角之比例又
如法用三邉為弦三正弦為股乙戍即丁丙小邉配乙/角正弦戍申原如弦與
股又本形乙丁次邉為弦則/丁甲為股與箕危平行而等
丙角正弦也又引乙丁至子/成子乙即乙丙大邉以為弦
則子寅為股與尾虚平/行而等丁角正弦也則並
為相似之句股形而比例等
[066-40a]
一小邉丁丙即戍/乙
二乙角/正弦戍申
三大邉乙丙即乙/子 次邉丁乙
四丁角/正弦子寅即尾/虚 丙角/正弦丁甲即箕/危
此如先得小邉丁/丙與所對小角乙/故以戍申乙小句股
形為法求兩大句股也丁甲乙/子寅乙皆同用乙角而形相似
又試以乙丁次邉為半徑作象限如前以丙/為心取三正弦
張娄為丁角弧度張井其正弦氐娄為丙角弧/度氐參其正弦室娄為乙角弧度室奎其正弦成同徑
[066-40b]
異角之比例又仍用三邉為弦三正
弦為股引丁丙至翌與大邉乙丙等/成翌丙弦其股翌胃與張井
平行而等丁角正弦也又乙丁次邉/成氐丙弦其股氐參原為丙角正弦
又丁丙小邉為弦其股丁柳與/室奎平行而等乙角正弦也即復
成相似之句股形而比例等
一次邉乙丁即氐/丙
二丙角/正弦氐參
三大邉乙丙即翌/丙 小邉丁丙
[066-41a]
四丁角/正弦張井即翌/胃 乙角/正弦丁柳即室/奎
此如先得次邉乙/丁及所對丙角故以氐參丙句股為法
求大小二句股也求翌胃丙為以小求大/求丁柳丙為以大求小皆同用丙角
而比例等
問員内三角形以對弧為角倍度設有鈍角小邉何以
取之或問内原設銳角兩/邉並大于半徑故云曰法當引小邉截大邉作角
之通弦如圖乙甲丙鈍角形在平員内以各角切員而/乙甲邉小于半徑則引乙甲出員周之外乃以
甲角為心平員心丁為界作子丁丑弧截引長邉于子/截大邉于丑則丑甲子甲並半徑與丁甲等而丑子為
[066-41b]
通/弦又平分對邉作兩通弦從員/心作
丁乙丁丙兩半徑截乙戊丙員/周為甲角對邉所乗之弧而半
之于戊作乙戊丙/戊二線成兩通弦則此兩通弦
自相等又並與丑子通弦等夫
子丁丑弧甲角之本度也丙戊
弧乙戊弧皆對弧之半度也而今乃相等通弦等者/弧度亦等是
甲角之度適得對弧乙戊丙之半而乙戊丙對弧為甲
角之倍度矣
[066-42a]
[066-42b]
厯算全書卷五十三