[065-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十二
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷三
内容外切三角測量之用在邉與角而其内容/外切亦所當明故次于算例之後
内容有二曰本形曰他形
一三角求積
積謂之冪亦謂之面乃本形所有
[065-1b]
一三角容員
一三角容方
以上皆形内所容之他形
外切惟一
一三角形外切之員
[065-2a]
三角求積第一術
底與髙相乗折半見積
内分二支
一句股形即以句股為底為髙
一銳角鈍角形任以一邉為底而求其垂線為髙
假如句股形甲乙股一百二/十尺乙丙句三十/五尺求積
術以甲乙股乙丙句相乗四千二/百尺折半得積
凡求得句股形積二千一百尺
[065-2b]
如圖甲乙股與乙丙句相乗成甲
乙丙丁長方形其形半實半虚故
折半見積
或以句折半十七/尺半乗股亦得積二/千
一百/尺
如圖乙丙句折半於戊以乙戊乗
甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己
補甲丁己也
[065-3a]
或以股折半六十/尺乗句亦得積二/千
一百/尺
如圖甲乙股折半於己以己乙乗
乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊
補戊丁丙也
右句股形以句為底以股為髙若以股為底則句又
為髙可互用也
句股形有立有平若平地句股以句為濶以股為長
[065-3b]
其理無二
論曰凡求平積皆謂之冪其形如網目又似窓櫺之空
皆以横直相交如十字亦如機杼之有經緯而成布帛
故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半
則成正剖之半方形矣其他銳角鈍角或有直無横有
横無直必以法求之使成句股然後可算故句股者三
角法所依以立也
[065-4a]
假如銳角形甲乙邉二百三/十二尺甲丙邉三百四/十尺乙丙邉四/百
六十/八尺求積
術先求垂線用銳角第三術任以
乙丙邉為底以甲丙甲乙為兩弦
兩弦之較數一百零/八尺總數五百七/十二尺
相乗六萬一千七/百七十六尺為實以乙丙底
為法除之得數一百三/十二尺轉減乙丙餘數三百三/十六尺半之得
乙丁一百六/十八尺依句股法以乙丁自乗二萬八千二/百二十四尺與甲
[065-4b]
乙自乗五萬三千八/百二十四尺相減餘數二萬五千/六百尺平方開之得
甲丁垂線一百六/十尺以甲丁垂線折半乗乙丙底得積
凡求得銳角形積三萬七千四百四十尺
如圖移辛補壬移庚補癸則成長
方形即垂線折半乗底之積
右銳角形任以乙丙邉為底取垂
線求積若改用甲乙或甲丙邉為
底則所得垂線不同而得積無異故可以任用為底
[065-5a]
假如鈍角形甲乙邉五十/八步甲丙邉八十/五步乙丙邉三十/三步求積
術求垂線立於形外用鈍角第三
術以乙丙為底甲乙甲丙為兩弦
總數一百四/十三步較數二十/七步相乗三千/八百
六十/一步為實乙丙底為法除之得數
一百一/十七步内減乙丙餘數八十/四步折半
四十/二步為乙丁即乙丙/引長邉依句股法乙丁自乗一千七百/六十四步甲
乙自乗三千三百/六十四步相減餘數一千六/百步平方開之得甲丁
[065-5b]
四十/步為形外垂線以乙丙底折半十六/步半乗之得積
凡求得鈍角形積六百六十步
如圖甲乙丙鈍角形移戊補庚移
庚己補壬癸又移壬子補辛成辛
癸丑長方即乙丙底折半乗中長
甲丁之積
右鈍角形以乙丙為底故從甲角作垂線若以甲乙
為底則自丙角作垂線亦立形外而垂線不同然以
[065-6a]
之求積並同若以甲丙為底從乙角作垂線則在形
内如銳角矣其垂線必又不同而其得積無有不同
故亦可任用一邉為底
凡用垂線之髙乗底見積必其線上指天頂底線之
横下應地平兩線相交正如十字故其所乗之冪積
皆成小平方可以虚實相補而求其積數鈍角形引
長底線以作垂線立於形外則兩線相遇亦成十字
正方之角矣
[065-6b]
總論曰三角形作垂線於内則分兩句股鈍角形作垂
線於外則補成句股皆句股法也
[065-7a]
三角求積第二術
以中垂線乗半周得積謂之以量代算
假如鈍角形乙丙邉五十/八步甲乙邉一百一/十七步甲丙邉八十/五步
求積
術平分甲乙兩角各作線㑹于心從
心作十字垂線至乙甲邉如心/庚即中
垂線也乃量取中垂線心/庚得數一十/八步
合計三邉而半之一百三/十步為半周以半周乗中垂線得積
[065-7b]
凡求得鈍角形積二千三百四十步
又術如前取中垂線心/庚為濶半周為
長如乙癸/及丁壬别作一長方形如乙壬/丁癸即
與甲乙/丙鈍角形等積
解曰凡自形心作垂線至各邉皆等故中垂線乗半周
為一切有法之形所公用方員及五等面六等面至十
等面以上並同故以中垂線為濶半周為長其所作長
方形即與三角形等積
[065-8a]
又解曰中垂線至邉皆十字正方角即分各邉成句股
形以乗半周得積即句股相乗折半之理
附分角術 有甲角欲平分之
術以甲角為心作虚半規截角旁兩
線得辛壬二㸃乃自辛自壬各用為
心作弧線相遇于癸作癸甲線即分
此角為兩平分
三角求心術
[065-8b]
如上分角術於甲角平分之于乙角
又平分之兩平分之線必相遇成一
㸃此一㸃即三角形之心
解曰試再於丙角如上法分之則亦
必相遇於原㸃
[065-9a]
三角求積第三術
以三較連乗又乗半總開方見積
假如鈍角形甲乙邉一百一/十六尺甲丙邉一百七/十尺乙丙邉二/百
三十/四尺求積
術合計三邉而半之二百六/十尺為半總
以與甲乙邉相減得較一百四/十四尺與甲
丙邉相減得較九十/尺與乙丙邉相減
得較二十/六尺三較連乗以兩較相乗得/數又以餘一較
[065-9b]
乗之/也得數三十三萬六千/九百六十尺又以半總較之得數八千七/百六十
萬零九千/六百尺平方開之得積
凡求得鈍角形積九千三百六十尺
若係銳角同法
解曰此亦中垂線乗半周之理但所得為冪乗冪之數
故開方見積詳或問
[065-10a]
三角容員第一術
以弦與句股求容員徑此術惟句股形有之凡句股/相併為和以和與弦併為弦
和和以和與弦/相减為弦和較
假如甲乙丙/句股形甲丙句二十/步乙甲股二十/一步乙丙弦
二十/九步求容員徑
術以句股和四十/一步與弦相減得數為容員徑
凡求得内容員徑一十二步
解曰此以弦和較為容員徑
[065-10b]
如圖從容員心作半徑至邉又作
分角線至角成六小句股形則各
角旁之兩線相等如丙戊丙庚兩/線在丙角旁則
相等乙庚乙己在乙角旁甲戊/甲己在甲角旁並兩線相等
其在正方角旁者甲戊/甲己乃弦和較也于乙丙弦内分丙/庚以對丙戊又分
乙庚以對乙己則其餘為甲戊及甲己/此即句股和與乙丙弦相較之數也然即為内容員
徑何也各角旁兩線並自相等而正方角旁之兩線又
皆與容員半徑等正方角旁兩小形之角皆平分方角/之半則句股自相等而甲戊等心戊
[065-11a]
甲己等/心己然則弦和較者正方角旁兩線甲戊/甲己之合即容
員兩半徑心戊/心己之合也故弦和較即容員徑也
試以甲戊為半徑作員則戊心亦
半徑而其全徑癸戊/甲與容員徑丁/心
己/等以甲己為半徑作員則己心
亦半徑而其全徑辛己/甲與容員徑
戊心/壬亦等
[065-11b]
三角容員第二術
以周與積求容員徑
内分二支
一句股形以弦和和為用亦可/用半
一銳角鈍角形以全周半周為用
假如甲乙丙/句股形甲丙句一十/六步甲乙股三十/步乙丙弦
三十/四步求容員徑
術以句股相乗得數四百八/十步為實併句股弦數共八/十歩為
[065-12a]
法除之得數倍之為容員徑
凡求得容員徑一十二步
解曰此以弦和和除句股倍積得容員半徑也
如圖從容員心作對角線分其形為三一甲心丙一甲/心乙一丙心乙
乃於甲丙句線兩端各引長之截子甲如乙甲股截丙
丑如丙乙弦則子丑線即弦和和也乃自員心作癸壬
直線與丑子平行兩端各聫之成長方又作辛丙線分
為三長方形其濶並如員半徑其長各如句如股如弦
[065-12b]
而各為所分三小形之倍積甲辛/長方
如甲丙句之長而以心戊半徑為/濶即為甲心丙分形之倍甲癸長
方如乙甲股之長而以同心己之/半徑為濶即為乙心甲形之倍丙
壬長方如丙乙弦之長而以同心/庚之半徑為濶即為乙心丙形之
倍/合之即為本形倍積與句股相
乗同也句股相乗為倍/積見求積條故以弦和
和除句股相乗積得容員半徑
[065-13a]
假如甲乙丙/句股形甲丙句八十/八尺甲乙股一百零/五尺乙丙
弦一百三/十七尺求容員徑
術以句股相乗而半之得積四千六百/二十尺為實併句股弦
數而半之一百六/十五尺為法除之得數倍之為容員徑
凡求得内容員徑五十六尺
解曰此以半周除句股形積而得容員半徑也半周即/弦和和
之/半
如圖從容員心分本形為六小句股則同角之句股各
[065-13b]
相等可以合之而各成小方形同甲/角之
兩句股成丁己小方形同丙角之兩/句股可合之成丁辛長方形以心辛
丙形等丙戊心也同乙角之兩句股/可合之成己庚長方形以乙庚心形
等心戊/乙也乃移己庚長方為辛癸長方
則癸甲即同半周而癸己大長方即
為半周乗半徑而與句股積等也六小形之句皆原形/之周變為長方則兩
兩相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之長並半/周壬癸及己甲辛丙之間並同心丁是半周乗半徑也
辛癸長方與己庚等積即與乙角旁兩句股等積又丁/辛長方與丙角旁兩句股等積再加丁己形即與原設
[065-14a]
乙甲丙句股/形等積矣然則以句股相乗而半之者句股形積也
故以半周除之即容員半徑矣
或以弦和和除四倍積得容員全徑並同前論
論曰句股形古法以弦和較為容員徑與弦和和互相
乗除乃至精之理測員海鏡引伸其例以為測望之用
其變甚多三角容員盖從此出故為第一支
[065-14b]
假如甲乙丙/銳角形乙丙邉五十/六尺甲丙邉七十/五尺甲乙邉
六十/一尺求容員徑
術以乙丙邉為底求得甲丁中長線六十尺○/法見求積以乗底
得數三千三百/六十尺倍之六千七百/二十尺為實合計三邉共一百/九十二
尺/為法除之得容員徑
凡求得内容員徑三十五尺
解曰此以全周除四倍積得容員
徑也
[065-15a]
如圖自容員心作對角線分為
小三角形三各以員半徑為髙
各邉為底若於各邉作長方而
各以邉為長半徑為濶必倍大
於各小三角形如壬丙長方倍/大于丙心乙形
丙丑長方倍大于丙心甲形/甲丁長方倍大于甲心乙形又
作加一倍之長方則四倍大於
各小三角如未乙長方倍大于/丙壬長方必四倍于
[065-15b]
丙心乙三角則夘甲亦四倍于丙/心甲而甲酉亦四倍于甲心乙於是而通為一大長
方移夘甲長方為亥丙移甲酉為/乙辰則成亥午大長方形矣必四倍原形之冪而
以三邉合數為長以容員之徑為濶然則以中長線乗
底而倍之者正為積之四倍也以三邉除之豈不即得
員徑乎
或以全周除倍積得容員半徑
或以半周除積得容員半徑並同
若鈍角形亦同上法
[065-16a]
論曰銳角鈍角並以周為法此與句股形用弦和和同
但必先求中長線故為第二支
[065-16b]
三角容員第三術
以中垂線為員半徑曰以量代算
假如甲乙丙/三角形求容員徑既不用算故不/言邉角之數
如求積術均分甲乙二角之度各
作虚線交於己即己為容員之心
次以己為心儘一邉為界運規作
員此員界必切三邉
於是從己心向三邉各作十字垂線必俱在切員之㸃
[065-17a]
而等為員半徑知半徑知全徑矣半徑各如/己庚線
論曰此容員心即三角形之心故以容員半徑乗/半總即得積也
又案此術亦句股及銳鈍兩角通用
[065-17b]
三角容員第四術
用三較連乗
假如甲乙丙/鈍角形乙丙邉四百三/十二尺甲丙邉五百/尺甲乙
邉一百四/十八尺求容員徑
術以半總五百四/十尺求得乙丙邉較
一百○/八尺甲丙邉較四十/尺乙甲邉較
三百九/十二尺三較連乗得數一百六十/九萬三千
四百四/十尺以半總除之得數三千一/百三十
[065-18a]
六/尺四因之一萬二千五/百四十四尺為實平方開之得容員徑
凡求得内容員徑一百一十二尺
銳角同法
解曰此所得者為容員徑上之自乗方冪故開方得徑
[065-18b]
三角容方第一術
合底與髙除倍積得容方徑
内分二支
一句股形即以句股為底為髙即句股和也其/容方依正方角
一三角形以一邉為底求其垂線為髙句股形以/弦為底銳
角形三邉皆可為底鈍角形以大/邉為底其容方並依為底之邉
假如甲乙丙/句股形甲丙股三十/六尺乙丙句一十/八尺求容方
依正方角而以容方之一角切於弦
[065-19a]
術以句股相乗得數六百四/十八尺為實以句股和五十/四尺為法
除之得所求
求到内容方徑一十二尺
如圖作寅乙線與股平行作寅甲
線與句平行成寅丙長方為句股
形倍積
次引寅甲線横出截之於癸引乙
丙句横出截之於夘使引出兩線
[065-19b]
甲癸及/丙夘皆如甲丙股仍作夘癸線聫之
乃從癸作斜線至乙割甲丙股於戊則戊丙為所求容
方之邉又從戊作申未横線與上下兩線平行割甲乙
弦於己則己戊為所求容方之又一邉末從己作午辛
立線割丙乙句於辛則己辛及辛丙又為兩對邉而四
邉相等為句股形内所容之方
解曰寅夘大長方以癸乙斜線分兩句股則相等而寅
戊與戊夘兩長方等則寅丙長方與申夘長方亦等寅/丙
[065-20a]
内减寅戊而加相等/之戊夘即成申夘夫寅丙者句股倍積而申夘者句
股和乗容方徑也乙丙句丙夘股合之為申夘形之/長申乙及未夘並同方徑為濶故
以句股和除倍積得容方徑
又解曰寅丙長方分兩句股而等則寅戊與午丙兩長
方等寅己與己丙既等則于寅戊内减/寅己而加相等之己丙即成午丙而寅戊原等戊
夘則午丙亦與戊夘等夫午丙形之丙甲與戊夘形之
丙夘皆股也則兩形等積又等邉矣其長等其濶亦等
甲丙與丙夘既等則/辛丙與戊丙亦等而對邉悉等即成正方形
[065-20b]
論曰此以句為底股為髙也若以股為底句為髙所得
亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中長
除積盖生於此是為第一術之第一支
假如甲乙丙/句股形乙丙弦二十八尺其積一百六十
八尺求容方依弦線而以容方之兩角切於句股
術以弦除倍積三百三/十六尺得對角線一十/二尺與弦相併四十/尺
為法倍積為實法除實得所求
求到容方徑八尺四寸
[065-21a]
如圖作寅丑線與乙丙弦平行又作
寅丙及丑乙與甲丁對角線平行成
丑丙長方為句股形倍積
次引乙丙弦至夘引寅丑線至癸使
癸丑及夘乙並同甲丁仍作癸夘線
聫之
次從癸向丙作斜線割丑乙線於子遂從子作申未線
與乙丙弦平行割甲乙股於庚割甲丙句於己則庚己
[065-21b]
為容方之一邉末從庚作辰壬線從己作午辛線並與
甲丁平行而割乙丙弦於壬於辛則辛壬及庚壬及己
辛三線並與庚己等而成正方
解曰寅子長方與子夘長方等積癸丙線分寅夘形為/兩句股而等則兩句
股内所作/之方必等午壬長方又與寅子等寅丁形以甲丙線分/為兩句股則寅己與
己丁等又丑丁形以甲乙線分為兩句股則丑庚與丁/庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚則午丁等寅戊
而辰丁等丑戊合/之而午壬等寅子則午壬亦與子夘等而午壬之邉午/辛
及辰/壬子夘之邉夘乙及/未子並等甲丁對角線則兩形午壬/子夘
[065-22a]
等積又等邉矣其長等其濶亦等辰壬既等夘乙則辛/壬亦等子乙而庚壬
及己辛亦/不得不等故四線必俱等也
又解曰寅子既與子夘等則寅乙必與申夘等于寅乙/内移寅
子居子夘之/位即成申夘而寅乙者倍積也申夘者底偕中長乗容
方徑也乙丙弦也夘乙即甲丁對角中長線也合之為/丙夘之長其兩端之濶申丙及未夘並同方徑
故合弦與對角線為法以除倍積得容方徑
論曰此以一邉為底中長線為髙也既以一邉為底其
容方即依此一邉而以兩方角切餘二邉也句股形故
[065-22b]
以弦為底若銳角形則任以一邉為底但依大邉則容
方轉小亦如句股形依方角之容方必大於依弦線之
容方也鈍角形但可以大邉為底其求之則皆一法也
是為第一術之第二支
[065-23a]
三角容方第二術
以圖算
内分二支
一以法截中長線得容方徑句股形即/截其邉
一以法截兩斜邉得容方邊句股形即/截其弦
假如銳角形求容方任以一邉為底
如圖以乙丙最小邉為底先從對角甲作中長垂線至
丁又從乙角作丑乙立線與甲丁平行而等乃從甲角
[065-23b]
作横線過丑至癸截丑癸亦如甲
丁乃從癸向丙角作斜線割丑乙
立線於子末以子乙之度截中長
線甲丁/垂線於戊即戊丁為容方之徑
從戊作己庚又從己作線至辛從/庚作線至壬成庚己辛壬即所求
容/方
解曰甲戊與戊丁若甲丁與乙丙子丑癸句股與子乙/丙形有子交角必相
似則丑子句與子乙句若丑癸股與乙丙股而丑子原/與甲戊等子乙與戊丁等丑癸與甲丁等則甲戊與戊
[065-24a]
丁亦若甲/丁與乙丙又甲戊與己庚若甲丁與乙丙甲己庚三角/為甲丙乙之
截形必相似則甲戊與/己庚若甲丁與乙丙
合兩比例觀之則甲戊與戊丁若甲戊與己庚而己庚
即戊丁
以上並銳角形
凡銳角三邉並可
為底而皆一法
[065-24b]
假如句股形求容方以股為底則於句端甲作横線與
股平行而截之於癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作
斜線割甲乙句於戊則戊乙即容方之一邉末作己戊
[065-25a]
與股平行作己辛與句平行即成容方或以句為底則/從股端丙作丙
癸横線與股等亦作癸甲斜線割丙/乙股於戊其所得容方亦同圖如左
論曰銳角鈍角皆截中長線為容方徑句股形以弦為
[065-25b]
底亦然惟句股形以句為底即截其股為容方徑用股/為底
即截/句不另求中長而與截中長之法並同是為第二術
之第一支
[065-26a]
假如乙丙丁三角求容方 依乙丙邉為底
如圖以乙丙底作正方形即甲乙/丙戊方
又作丁辛對角線次作甲辛及戊
辛兩斜線割原形之兩斜線於己
於庚乃作己庚線為所求容方之
一邉末作己壬及庚癸兩線成/小方形於形内即所求
解曰甲戊與己庚若子辛與午辛也己庚辛三角形為/甲戊辛之切形則
其横與直之/比例相等而甲戊與子辛同為方徑而等則己庚與
[065-26b]
午辛亦同為小方徑而等
若底上方形大則其徑亦大於對
角線則如第二圖引丁辛線至子
其理亦同
有此二法則三邉並可為底
鈍角形用大邉為底句股形用弦為底並同第二圖
若句股形以句為底求容方如圖即用乙丙句作丙辛/庚乙
方形從方角庚向丙作斜線割丁乙弦於壬從壬作癸
[065-27a]
壬及甲壬二線即所容方或用股/上方則
引出句/邉如股
解曰庚丙線分丙角為兩平分則
其横直線自相等壬癸與癸丙相/等壬甲與甲丙
相等則四/線皆等而成正方嘉禾陳䃤菴用分角法求容方與
此同理
論曰此皆以底上方形為法而得所求小方也故不論
頂之偏正其所得容方並同惟句股容方依正方角則
[065-27b]
中長線與原邉合而為一法雖小異其用不殊是為第
二術之第二支
[065-28a]
三角形外切平員第一術
句股形以弦為徑
假如甲乙丙句股形乙丙弦長四尺五寸二分求外切
員
術以弦折半取心得半徑二尺二寸六分其弦長四尺
五寸二分即外切平員全徑以平員周率三五五乗之
徑率一一三除之得員周一十四尺二寸
如圖乙丙員徑即句股形之弦折半於丁即員心也以
[065-28b]
乙丁半徑為度從丁心運規作員
必過甲而句股形之角皆切員周
矣
論曰凡平員徑上從兩端各作直線至員周相㑹則成
正方角如乙丙徑之兩端于丙于乙各作/直線㑹于甲則甲角必為正角而為句股形
假令兩線相遇于庚即成庚乙丙句/股形于辛亦然以其皆正角故也故不問句股長短
而並以其弦為外切員之徑
[065-29a]
又論曰徑一百一十三而周三百五十五此鄭端清世
子所述祖冲之術也見律吕/精義按古率周三徑一李淳風
等釋古九章以為術從簡易舉大綱而言之誠為通論
諸家所傳徑五十周一百五十七則魏劉徽所改謂之
徽率徑七周二十二則祖冲之所定謂之宻率由今以
觀冲之自有兩率一為七與二十二一/為一一三與三五五盖以其捷者為
恒用之須而存其精者明測算之理亦可以觀古人之
用心矣
[065-29b]
三角形外切平員第二術
分邉取員心内分二支並以圖算
一句股形但分一邉即得員心其心/在弦
一銳角形鈍角形並分二邉可得員心銳角形員/心在形内
鈍角形員/心在形外
假如甲乙丙句股形求外切員
術任於句或股平分之作十字正線此線過弦線之㸃
即為員心
[065-30a]
如圖甲乙丙形以甲乙股平分於
戊從戊作庚丁正十字線至乙丙
弦即分弦為兩平分而丁即員心
從丁運規作外切員則甲乙丙三
㸃並切員周而乙丁丙丁庚丁皆半徑
論曰若平分甲丙句於辛從辛作十字正線亦必至丁
故但任分其一邉即可得心
又論曰若依第一術先得丁心從丁心作直線與句平
[065-30b]
行即此線能分股線為兩平分如丁庚線與甲丙句平/行過甲乙股即平分股
線于/戊若與股平行而分句線亦然如丁辛線與甲乙股/平行即分句線于辛
右句股形外切平員之心在弦線中央
[065-31a]
假如銳角形求形外切員
術任以兩邉各平分之作十字線引長之必相遇於一
㸃即為員心
如圖甲乙丙銳角形任以甲丙邉
平分之于戊作庚戊丁十字線又
任以乙丙邉平分之於壬作癸壬
丁十字線兩直線稍引長之相遇
於丁以丁為心作員則甲乙丙三角並切員周而丁癸
[065-31b]
丁庚皆半徑
論曰試於餘一邉再平分之作十字正線亦必㑹於此
㸃故此㸃必員心如甲乙邉再平分之于辛作子/辛丁十字線亦必相遇于丁㸃
右銳角形外切平員之心在形之内
[065-32a]
假如鈍角形求形外切員 術同銳角
如圖甲乙丙形甲為鈍角任分甲
丙於戊分甲乙於辛各作十字線
㑹於丁心從丁作員則丁庚丁癸
皆半徑而三角並切員周若用大
邉平分于壬作壬丁子線亦同
論曰試於丁心作線至丙至乙至甲必皆成員半徑與
丁庚丁癸同故丁為員心也
[065-32b]
右鈍角形外切平員之心在形之外
總論曰此與容員之法不同何也内容員之心即三角
形之心故其半徑皆與各邉為垂線而不能平分其邉
然從心作線至角即能分各角為兩平分此分角求心
之法所由以立也外切員之心非三角形之心其心或
在形内或在形外距邉不等而能以十字線剖各邉為
兩平分此分邉求心之法所由以立盖即三㸃串員之
法也
[065-33a]
附三㸃串員
有甲乙丙三㸃欲使之並在員周
術任以甲為心作虚員分用元度
以丙為心亦作虚員分兩員分相
交於戊於辛作戊辛直線又任以
乙為心以丙為心各作同度之虚員分相交於庚於壬
作庚壬直線兩直線相遇於丁以丁為心作員則三㸃
並在員周
[065-33b]
員周有三㸃不知其心亦用此法
厯算全書卷五十二
欽定四庫全書
厯算全書卷五十二
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷三
内容外切三角測量之用在邉與角而其内容/外切亦所當明故次于算例之後
内容有二曰本形曰他形
一三角求積
積謂之冪亦謂之面乃本形所有
[065-1b]
一三角容員
一三角容方
以上皆形内所容之他形
外切惟一
一三角形外切之員
[065-2a]
三角求積第一術
底與髙相乗折半見積
内分二支
一句股形即以句股為底為髙
一銳角鈍角形任以一邉為底而求其垂線為髙
假如句股形甲乙股一百二/十尺乙丙句三十/五尺求積
術以甲乙股乙丙句相乗四千二/百尺折半得積
凡求得句股形積二千一百尺
[065-2b]
如圖甲乙股與乙丙句相乗成甲
乙丙丁長方形其形半實半虚故
折半見積
或以句折半十七/尺半乗股亦得積二/千
一百/尺
如圖乙丙句折半於戊以乙戊乗
甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己
補甲丁己也
[065-3a]
或以股折半六十/尺乗句亦得積二/千
一百/尺
如圖甲乙股折半於己以己乙乗
乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊
補戊丁丙也
右句股形以句為底以股為髙若以股為底則句又
為髙可互用也
句股形有立有平若平地句股以句為濶以股為長
[065-3b]
其理無二
論曰凡求平積皆謂之冪其形如網目又似窓櫺之空
皆以横直相交如十字亦如機杼之有經緯而成布帛
故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半
則成正剖之半方形矣其他銳角鈍角或有直無横有
横無直必以法求之使成句股然後可算故句股者三
角法所依以立也
[065-4a]
假如銳角形甲乙邉二百三/十二尺甲丙邉三百四/十尺乙丙邉四/百
六十/八尺求積
術先求垂線用銳角第三術任以
乙丙邉為底以甲丙甲乙為兩弦
兩弦之較數一百零/八尺總數五百七/十二尺
相乗六萬一千七/百七十六尺為實以乙丙底
為法除之得數一百三/十二尺轉減乙丙餘數三百三/十六尺半之得
乙丁一百六/十八尺依句股法以乙丁自乗二萬八千二/百二十四尺與甲
[065-4b]
乙自乗五萬三千八/百二十四尺相減餘數二萬五千/六百尺平方開之得
甲丁垂線一百六/十尺以甲丁垂線折半乗乙丙底得積
凡求得銳角形積三萬七千四百四十尺
如圖移辛補壬移庚補癸則成長
方形即垂線折半乗底之積
右銳角形任以乙丙邉為底取垂
線求積若改用甲乙或甲丙邉為
底則所得垂線不同而得積無異故可以任用為底
[065-5a]
假如鈍角形甲乙邉五十/八步甲丙邉八十/五步乙丙邉三十/三步求積
術求垂線立於形外用鈍角第三
術以乙丙為底甲乙甲丙為兩弦
總數一百四/十三步較數二十/七步相乗三千/八百
六十/一步為實乙丙底為法除之得數
一百一/十七步内減乙丙餘數八十/四步折半
四十/二步為乙丁即乙丙/引長邉依句股法乙丁自乗一千七百/六十四步甲
乙自乗三千三百/六十四步相減餘數一千六/百步平方開之得甲丁
[065-5b]
四十/步為形外垂線以乙丙底折半十六/步半乗之得積
凡求得鈍角形積六百六十步
如圖甲乙丙鈍角形移戊補庚移
庚己補壬癸又移壬子補辛成辛
癸丑長方即乙丙底折半乗中長
甲丁之積
右鈍角形以乙丙為底故從甲角作垂線若以甲乙
為底則自丙角作垂線亦立形外而垂線不同然以
[065-6a]
之求積並同若以甲丙為底從乙角作垂線則在形
内如銳角矣其垂線必又不同而其得積無有不同
故亦可任用一邉為底
凡用垂線之髙乗底見積必其線上指天頂底線之
横下應地平兩線相交正如十字故其所乗之冪積
皆成小平方可以虚實相補而求其積數鈍角形引
長底線以作垂線立於形外則兩線相遇亦成十字
正方之角矣
[065-6b]
總論曰三角形作垂線於内則分兩句股鈍角形作垂
線於外則補成句股皆句股法也
[065-7a]
三角求積第二術
以中垂線乗半周得積謂之以量代算
假如鈍角形乙丙邉五十/八步甲乙邉一百一/十七步甲丙邉八十/五步
求積
術平分甲乙兩角各作線㑹于心從
心作十字垂線至乙甲邉如心/庚即中
垂線也乃量取中垂線心/庚得數一十/八步
合計三邉而半之一百三/十步為半周以半周乗中垂線得積
[065-7b]
凡求得鈍角形積二千三百四十步
又術如前取中垂線心/庚為濶半周為
長如乙癸/及丁壬别作一長方形如乙壬/丁癸即
與甲乙/丙鈍角形等積
解曰凡自形心作垂線至各邉皆等故中垂線乗半周
為一切有法之形所公用方員及五等面六等面至十
等面以上並同故以中垂線為濶半周為長其所作長
方形即與三角形等積
[065-8a]
又解曰中垂線至邉皆十字正方角即分各邉成句股
形以乗半周得積即句股相乗折半之理
附分角術 有甲角欲平分之
術以甲角為心作虚半規截角旁兩
線得辛壬二㸃乃自辛自壬各用為
心作弧線相遇于癸作癸甲線即分
此角為兩平分
三角求心術
[065-8b]
如上分角術於甲角平分之于乙角
又平分之兩平分之線必相遇成一
㸃此一㸃即三角形之心
解曰試再於丙角如上法分之則亦
必相遇於原㸃
[065-9a]
三角求積第三術
以三較連乗又乗半總開方見積
假如鈍角形甲乙邉一百一/十六尺甲丙邉一百七/十尺乙丙邉二/百
三十/四尺求積
術合計三邉而半之二百六/十尺為半總
以與甲乙邉相減得較一百四/十四尺與甲
丙邉相減得較九十/尺與乙丙邉相減
得較二十/六尺三較連乗以兩較相乗得/數又以餘一較
[065-9b]
乗之/也得數三十三萬六千/九百六十尺又以半總較之得數八千七/百六十
萬零九千/六百尺平方開之得積
凡求得鈍角形積九千三百六十尺
若係銳角同法
解曰此亦中垂線乗半周之理但所得為冪乗冪之數
故開方見積詳或問
[065-10a]
三角容員第一術
以弦與句股求容員徑此術惟句股形有之凡句股/相併為和以和與弦併為弦
和和以和與弦/相减為弦和較
假如甲乙丙/句股形甲丙句二十/步乙甲股二十/一步乙丙弦
二十/九步求容員徑
術以句股和四十/一步與弦相減得數為容員徑
凡求得内容員徑一十二步
解曰此以弦和較為容員徑
[065-10b]
如圖從容員心作半徑至邉又作
分角線至角成六小句股形則各
角旁之兩線相等如丙戊丙庚兩/線在丙角旁則
相等乙庚乙己在乙角旁甲戊/甲己在甲角旁並兩線相等
其在正方角旁者甲戊/甲己乃弦和較也于乙丙弦内分丙/庚以對丙戊又分
乙庚以對乙己則其餘為甲戊及甲己/此即句股和與乙丙弦相較之數也然即為内容員
徑何也各角旁兩線並自相等而正方角旁之兩線又
皆與容員半徑等正方角旁兩小形之角皆平分方角/之半則句股自相等而甲戊等心戊
[065-11a]
甲己等/心己然則弦和較者正方角旁兩線甲戊/甲己之合即容
員兩半徑心戊/心己之合也故弦和較即容員徑也
試以甲戊為半徑作員則戊心亦
半徑而其全徑癸戊/甲與容員徑丁/心
己/等以甲己為半徑作員則己心
亦半徑而其全徑辛己/甲與容員徑
戊心/壬亦等
[065-11b]
三角容員第二術
以周與積求容員徑
内分二支
一句股形以弦和和為用亦可/用半
一銳角鈍角形以全周半周為用
假如甲乙丙/句股形甲丙句一十/六步甲乙股三十/步乙丙弦
三十/四步求容員徑
術以句股相乗得數四百八/十步為實併句股弦數共八/十歩為
[065-12a]
法除之得數倍之為容員徑
凡求得容員徑一十二步
解曰此以弦和和除句股倍積得容員半徑也
如圖從容員心作對角線分其形為三一甲心丙一甲/心乙一丙心乙
乃於甲丙句線兩端各引長之截子甲如乙甲股截丙
丑如丙乙弦則子丑線即弦和和也乃自員心作癸壬
直線與丑子平行兩端各聫之成長方又作辛丙線分
為三長方形其濶並如員半徑其長各如句如股如弦
[065-12b]
而各為所分三小形之倍積甲辛/長方
如甲丙句之長而以心戊半徑為/濶即為甲心丙分形之倍甲癸長
方如乙甲股之長而以同心己之/半徑為濶即為乙心甲形之倍丙
壬長方如丙乙弦之長而以同心/庚之半徑為濶即為乙心丙形之
倍/合之即為本形倍積與句股相
乗同也句股相乗為倍/積見求積條故以弦和
和除句股相乗積得容員半徑
[065-13a]
假如甲乙丙/句股形甲丙句八十/八尺甲乙股一百零/五尺乙丙
弦一百三/十七尺求容員徑
術以句股相乗而半之得積四千六百/二十尺為實併句股弦
數而半之一百六/十五尺為法除之得數倍之為容員徑
凡求得内容員徑五十六尺
解曰此以半周除句股形積而得容員半徑也半周即/弦和和
之/半
如圖從容員心分本形為六小句股則同角之句股各
[065-13b]
相等可以合之而各成小方形同甲/角之
兩句股成丁己小方形同丙角之兩/句股可合之成丁辛長方形以心辛
丙形等丙戊心也同乙角之兩句股/可合之成己庚長方形以乙庚心形
等心戊/乙也乃移己庚長方為辛癸長方
則癸甲即同半周而癸己大長方即
為半周乗半徑而與句股積等也六小形之句皆原形/之周變為長方則兩
兩相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之長並半/周壬癸及己甲辛丙之間並同心丁是半周乗半徑也
辛癸長方與己庚等積即與乙角旁兩句股等積又丁/辛長方與丙角旁兩句股等積再加丁己形即與原設
[065-14a]
乙甲丙句股/形等積矣然則以句股相乗而半之者句股形積也
故以半周除之即容員半徑矣
或以弦和和除四倍積得容員全徑並同前論
論曰句股形古法以弦和較為容員徑與弦和和互相
乗除乃至精之理測員海鏡引伸其例以為測望之用
其變甚多三角容員盖從此出故為第一支
[065-14b]
假如甲乙丙/銳角形乙丙邉五十/六尺甲丙邉七十/五尺甲乙邉
六十/一尺求容員徑
術以乙丙邉為底求得甲丁中長線六十尺○/法見求積以乗底
得數三千三百/六十尺倍之六千七百/二十尺為實合計三邉共一百/九十二
尺/為法除之得容員徑
凡求得内容員徑三十五尺
解曰此以全周除四倍積得容員
徑也
[065-15a]
如圖自容員心作對角線分為
小三角形三各以員半徑為髙
各邉為底若於各邉作長方而
各以邉為長半徑為濶必倍大
於各小三角形如壬丙長方倍/大于丙心乙形
丙丑長方倍大于丙心甲形/甲丁長方倍大于甲心乙形又
作加一倍之長方則四倍大於
各小三角如未乙長方倍大于/丙壬長方必四倍于
[065-15b]
丙心乙三角則夘甲亦四倍于丙/心甲而甲酉亦四倍于甲心乙於是而通為一大長
方移夘甲長方為亥丙移甲酉為/乙辰則成亥午大長方形矣必四倍原形之冪而
以三邉合數為長以容員之徑為濶然則以中長線乗
底而倍之者正為積之四倍也以三邉除之豈不即得
員徑乎
或以全周除倍積得容員半徑
或以半周除積得容員半徑並同
若鈍角形亦同上法
[065-16a]
論曰銳角鈍角並以周為法此與句股形用弦和和同
但必先求中長線故為第二支
[065-16b]
三角容員第三術
以中垂線為員半徑曰以量代算
假如甲乙丙/三角形求容員徑既不用算故不/言邉角之數
如求積術均分甲乙二角之度各
作虚線交於己即己為容員之心
次以己為心儘一邉為界運規作
員此員界必切三邉
於是從己心向三邉各作十字垂線必俱在切員之㸃
[065-17a]
而等為員半徑知半徑知全徑矣半徑各如/己庚線
論曰此容員心即三角形之心故以容員半徑乗/半總即得積也
又案此術亦句股及銳鈍兩角通用
[065-17b]
三角容員第四術
用三較連乗
假如甲乙丙/鈍角形乙丙邉四百三/十二尺甲丙邉五百/尺甲乙
邉一百四/十八尺求容員徑
術以半總五百四/十尺求得乙丙邉較
一百○/八尺甲丙邉較四十/尺乙甲邉較
三百九/十二尺三較連乗得數一百六十/九萬三千
四百四/十尺以半總除之得數三千一/百三十
[065-18a]
六/尺四因之一萬二千五/百四十四尺為實平方開之得容員徑
凡求得内容員徑一百一十二尺
銳角同法
解曰此所得者為容員徑上之自乗方冪故開方得徑
[065-18b]
三角容方第一術
合底與髙除倍積得容方徑
内分二支
一句股形即以句股為底為髙即句股和也其/容方依正方角
一三角形以一邉為底求其垂線為髙句股形以/弦為底銳
角形三邉皆可為底鈍角形以大/邉為底其容方並依為底之邉
假如甲乙丙/句股形甲丙股三十/六尺乙丙句一十/八尺求容方
依正方角而以容方之一角切於弦
[065-19a]
術以句股相乗得數六百四/十八尺為實以句股和五十/四尺為法
除之得所求
求到内容方徑一十二尺
如圖作寅乙線與股平行作寅甲
線與句平行成寅丙長方為句股
形倍積
次引寅甲線横出截之於癸引乙
丙句横出截之於夘使引出兩線
[065-19b]
甲癸及/丙夘皆如甲丙股仍作夘癸線聫之
乃從癸作斜線至乙割甲丙股於戊則戊丙為所求容
方之邉又從戊作申未横線與上下兩線平行割甲乙
弦於己則己戊為所求容方之又一邉末從己作午辛
立線割丙乙句於辛則己辛及辛丙又為兩對邉而四
邉相等為句股形内所容之方
解曰寅夘大長方以癸乙斜線分兩句股則相等而寅
戊與戊夘兩長方等則寅丙長方與申夘長方亦等寅/丙
[065-20a]
内减寅戊而加相等/之戊夘即成申夘夫寅丙者句股倍積而申夘者句
股和乗容方徑也乙丙句丙夘股合之為申夘形之/長申乙及未夘並同方徑為濶故
以句股和除倍積得容方徑
又解曰寅丙長方分兩句股而等則寅戊與午丙兩長
方等寅己與己丙既等則于寅戊内减/寅己而加相等之己丙即成午丙而寅戊原等戊
夘則午丙亦與戊夘等夫午丙形之丙甲與戊夘形之
丙夘皆股也則兩形等積又等邉矣其長等其濶亦等
甲丙與丙夘既等則/辛丙與戊丙亦等而對邉悉等即成正方形
[065-20b]
論曰此以句為底股為髙也若以股為底句為髙所得
亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中長
除積盖生於此是為第一術之第一支
假如甲乙丙/句股形乙丙弦二十八尺其積一百六十
八尺求容方依弦線而以容方之兩角切於句股
術以弦除倍積三百三/十六尺得對角線一十/二尺與弦相併四十/尺
為法倍積為實法除實得所求
求到容方徑八尺四寸
[065-21a]
如圖作寅丑線與乙丙弦平行又作
寅丙及丑乙與甲丁對角線平行成
丑丙長方為句股形倍積
次引乙丙弦至夘引寅丑線至癸使
癸丑及夘乙並同甲丁仍作癸夘線
聫之
次從癸向丙作斜線割丑乙線於子遂從子作申未線
與乙丙弦平行割甲乙股於庚割甲丙句於己則庚己
[065-21b]
為容方之一邉末從庚作辰壬線從己作午辛線並與
甲丁平行而割乙丙弦於壬於辛則辛壬及庚壬及己
辛三線並與庚己等而成正方
解曰寅子長方與子夘長方等積癸丙線分寅夘形為/兩句股而等則兩句
股内所作/之方必等午壬長方又與寅子等寅丁形以甲丙線分/為兩句股則寅己與
己丁等又丑丁形以甲乙線分為兩句股則丑庚與丁/庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚則午丁等寅戊
而辰丁等丑戊合/之而午壬等寅子則午壬亦與子夘等而午壬之邉午/辛
及辰/壬子夘之邉夘乙及/未子並等甲丁對角線則兩形午壬/子夘
[065-22a]
等積又等邉矣其長等其濶亦等辰壬既等夘乙則辛/壬亦等子乙而庚壬
及己辛亦/不得不等故四線必俱等也
又解曰寅子既與子夘等則寅乙必與申夘等于寅乙/内移寅
子居子夘之/位即成申夘而寅乙者倍積也申夘者底偕中長乗容
方徑也乙丙弦也夘乙即甲丁對角中長線也合之為/丙夘之長其兩端之濶申丙及未夘並同方徑
故合弦與對角線為法以除倍積得容方徑
論曰此以一邉為底中長線為髙也既以一邉為底其
容方即依此一邉而以兩方角切餘二邉也句股形故
[065-22b]
以弦為底若銳角形則任以一邉為底但依大邉則容
方轉小亦如句股形依方角之容方必大於依弦線之
容方也鈍角形但可以大邉為底其求之則皆一法也
是為第一術之第二支
[065-23a]
三角容方第二術
以圖算
内分二支
一以法截中長線得容方徑句股形即/截其邉
一以法截兩斜邉得容方邊句股形即/截其弦
假如銳角形求容方任以一邉為底
如圖以乙丙最小邉為底先從對角甲作中長垂線至
丁又從乙角作丑乙立線與甲丁平行而等乃從甲角
[065-23b]
作横線過丑至癸截丑癸亦如甲
丁乃從癸向丙角作斜線割丑乙
立線於子末以子乙之度截中長
線甲丁/垂線於戊即戊丁為容方之徑
從戊作己庚又從己作線至辛從/庚作線至壬成庚己辛壬即所求
容/方
解曰甲戊與戊丁若甲丁與乙丙子丑癸句股與子乙/丙形有子交角必相
似則丑子句與子乙句若丑癸股與乙丙股而丑子原/與甲戊等子乙與戊丁等丑癸與甲丁等則甲戊與戊
[065-24a]
丁亦若甲/丁與乙丙又甲戊與己庚若甲丁與乙丙甲己庚三角/為甲丙乙之
截形必相似則甲戊與/己庚若甲丁與乙丙
合兩比例觀之則甲戊與戊丁若甲戊與己庚而己庚
即戊丁
以上並銳角形
凡銳角三邉並可
為底而皆一法
[065-24b]
假如句股形求容方以股為底則於句端甲作横線與
股平行而截之於癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作
斜線割甲乙句於戊則戊乙即容方之一邉末作己戊
[065-25a]
與股平行作己辛與句平行即成容方或以句為底則/從股端丙作丙
癸横線與股等亦作癸甲斜線割丙/乙股於戊其所得容方亦同圖如左
論曰銳角鈍角皆截中長線為容方徑句股形以弦為
[065-25b]
底亦然惟句股形以句為底即截其股為容方徑用股/為底
即截/句不另求中長而與截中長之法並同是為第二術
之第一支
[065-26a]
假如乙丙丁三角求容方 依乙丙邉為底
如圖以乙丙底作正方形即甲乙/丙戊方
又作丁辛對角線次作甲辛及戊
辛兩斜線割原形之兩斜線於己
於庚乃作己庚線為所求容方之
一邉末作己壬及庚癸兩線成/小方形於形内即所求
解曰甲戊與己庚若子辛與午辛也己庚辛三角形為/甲戊辛之切形則
其横與直之/比例相等而甲戊與子辛同為方徑而等則己庚與
[065-26b]
午辛亦同為小方徑而等
若底上方形大則其徑亦大於對
角線則如第二圖引丁辛線至子
其理亦同
有此二法則三邉並可為底
鈍角形用大邉為底句股形用弦為底並同第二圖
若句股形以句為底求容方如圖即用乙丙句作丙辛/庚乙
方形從方角庚向丙作斜線割丁乙弦於壬從壬作癸
[065-27a]
壬及甲壬二線即所容方或用股/上方則
引出句/邉如股
解曰庚丙線分丙角為兩平分則
其横直線自相等壬癸與癸丙相/等壬甲與甲丙
相等則四/線皆等而成正方嘉禾陳䃤菴用分角法求容方與
此同理
論曰此皆以底上方形為法而得所求小方也故不論
頂之偏正其所得容方並同惟句股容方依正方角則
[065-27b]
中長線與原邉合而為一法雖小異其用不殊是為第
二術之第二支
[065-28a]
三角形外切平員第一術
句股形以弦為徑
假如甲乙丙句股形乙丙弦長四尺五寸二分求外切
員
術以弦折半取心得半徑二尺二寸六分其弦長四尺
五寸二分即外切平員全徑以平員周率三五五乗之
徑率一一三除之得員周一十四尺二寸
如圖乙丙員徑即句股形之弦折半於丁即員心也以
[065-28b]
乙丁半徑為度從丁心運規作員
必過甲而句股形之角皆切員周
矣
論曰凡平員徑上從兩端各作直線至員周相㑹則成
正方角如乙丙徑之兩端于丙于乙各作/直線㑹于甲則甲角必為正角而為句股形
假令兩線相遇于庚即成庚乙丙句/股形于辛亦然以其皆正角故也故不問句股長短
而並以其弦為外切員之徑
[065-29a]
又論曰徑一百一十三而周三百五十五此鄭端清世
子所述祖冲之術也見律吕/精義按古率周三徑一李淳風
等釋古九章以為術從簡易舉大綱而言之誠為通論
諸家所傳徑五十周一百五十七則魏劉徽所改謂之
徽率徑七周二十二則祖冲之所定謂之宻率由今以
觀冲之自有兩率一為七與二十二一/為一一三與三五五盖以其捷者為
恒用之須而存其精者明測算之理亦可以觀古人之
用心矣
[065-29b]
三角形外切平員第二術
分邉取員心内分二支並以圖算
一句股形但分一邉即得員心其心/在弦
一銳角形鈍角形並分二邉可得員心銳角形員/心在形内
鈍角形員/心在形外
假如甲乙丙句股形求外切員
術任於句或股平分之作十字正線此線過弦線之㸃
即為員心
[065-30a]
如圖甲乙丙形以甲乙股平分於
戊從戊作庚丁正十字線至乙丙
弦即分弦為兩平分而丁即員心
從丁運規作外切員則甲乙丙三
㸃並切員周而乙丁丙丁庚丁皆半徑
論曰若平分甲丙句於辛從辛作十字正線亦必至丁
故但任分其一邉即可得心
又論曰若依第一術先得丁心從丁心作直線與句平
[065-30b]
行即此線能分股線為兩平分如丁庚線與甲丙句平/行過甲乙股即平分股
線于/戊若與股平行而分句線亦然如丁辛線與甲乙股/平行即分句線于辛
右句股形外切平員之心在弦線中央
[065-31a]
假如銳角形求形外切員
術任以兩邉各平分之作十字線引長之必相遇於一
㸃即為員心
如圖甲乙丙銳角形任以甲丙邉
平分之于戊作庚戊丁十字線又
任以乙丙邉平分之於壬作癸壬
丁十字線兩直線稍引長之相遇
於丁以丁為心作員則甲乙丙三角並切員周而丁癸
[065-31b]
丁庚皆半徑
論曰試於餘一邉再平分之作十字正線亦必㑹於此
㸃故此㸃必員心如甲乙邉再平分之于辛作子/辛丁十字線亦必相遇于丁㸃
右銳角形外切平員之心在形之内
[065-32a]
假如鈍角形求形外切員 術同銳角
如圖甲乙丙形甲為鈍角任分甲
丙於戊分甲乙於辛各作十字線
㑹於丁心從丁作員則丁庚丁癸
皆半徑而三角並切員周若用大
邉平分于壬作壬丁子線亦同
論曰試於丁心作線至丙至乙至甲必皆成員半徑與
丁庚丁癸同故丁為員心也
[065-32b]
右鈍角形外切平員之心在形之外
總論曰此與容員之法不同何也内容員之心即三角
形之心故其半徑皆與各邉為垂線而不能平分其邉
然從心作線至角即能分各角為兩平分此分角求心
之法所由以立也外切員之心非三角形之心其心或
在形内或在形外距邉不等而能以十字線剖各邉為
兩平分此分邉求心之法所由以立盖即三㸃串員之
法也
[065-33a]
附三㸃串員
有甲乙丙三㸃欲使之並在員周
術任以甲為心作虚員分用元度
以丙為心亦作虚員分兩員分相
交於戊於辛作戊辛直線又任以
乙為心以丙為心各作同度之虚員分相交於庚於壬
作庚壬直線兩直線相遇於丁以丁為心作員則三㸃
並在員周
[065-33b]
員周有三㸃不知其心亦用此法
厯算全書卷五十二