[055-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷四十二
宣城梅文鼎撰
方程論卷三
致用
笇之用惟㨗其説惟詳詳説之斯能捷用省笇列位諸
法由是以生也故致用次之
致用有二一者省笇一者列位例襍見諸卷中故不/具列而備論其理
[055-1b]
省算法亦有二一者行有空則省算一者數偶同則
省乗
凡方程之法去繁就簡同者去之異者存之歸于一法
一實而已矣故三色以上有空位則可徑求
若三色方程無空位者必湏乗減得數變為二色以求
之此常法也若内有一行中空一位則以所空之位
列于首而先以其餘兩行不空者如法乗減得數即
重列之與原有空位者相對如二色方程也以兩行/無空者
[055-2a]
相乗對減則減去一色惟餘二色其有/空者原只二色故可相對如二色也則省一笇原/法
乗減三次今只兩/次故曰省一笇
凡三色方程不論一行有空或兩行各有空或三行各
有空皆只省一算何也其各行中雖有空位而不相
對故也何以知其不相對若兩行有空而又相對則
徑可以二色算之矣即不成三色方程 三色有空
例襍見前卷
凡四色五色以至多色有幾行空位者如上省算徑求
[055-2b]
最為簡㨗若中行無空則必如法乗減以五色變四
色四色變三色三色又變二色漸次求之不可徑求
而省算也今諸書所載皆其各位之有空者耳非通
法也而欲以此盡方程可乎
凡四色方程有乗減六次者常也 若有一位空則省
一算 一行中空兩位或兩行各空一位而相對則
省二算 若一行空兩位又一行空一位則省三算
止矣 或有四行中各空一位而不相對亦只省一
[055-3a]
算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空
在下數位則乗減之後自然補實不能省矣 亦有
兩行各空兩位而只省二算者亦以空位相左乗後
補實耳故雖四行中各空兩位亦只省三算也
假如四色中有一行空兩位則將此無空之三行如法
乗減變為兩行又將此兩行如法乗併變為一行此
減餘一行却有二位恰興空兩位之行相對矣便以
重列如二色方程取之此最方程中要法而諸書未
[055-3b]
及也故詳論之
若四色方程有兩行各空一位而又相對則將其無空
之兩行如法互乗而減去此不空之位變為一行與
空位之兩行同列如三色法而之尤為易見
其四色各行空兩位而省三算即今諸書中所載是也
可無更贅然但欲知其為省算方程而非常法耳
其四色無空乗減六次者竟無其式故誤以省算為常
然既明其理亦不必一一為式矣
[055-4a]
凡五色方程無空則有乗減十次者常法也五色變四/色則有四
算四色又變三色則有三算三色又變二色則/有二算二色又一算乃得法實合之為十算故五
色而為四圖者亦常法也原列一圖以減餘重列為/四色而三色而二色又各
一圖合之/為四圖
若有空一位則省一算 或空兩位而省二算湏兩位/空在一
行或兩行俱/空首位乃可 空三位而省三算湏空在一行或三/行同空首位或一
行首位空一行/首次兩空則可 空四位而省四算湏一行空三位/而一行又空一
位恰與空三位者同或二行俱空首位而一行/又空首次兩位乃可或兩行俱空首次亦可 空
[055-4b]
五位而省五算湏兩行空首位而一行空首次三位/或兩行空首次而一行空首位或一
行空首次而一行空/首次三之位乃可 空六位而省六算湏一行空/首位一行
空首次一行空首/次三行位乃可
省至六算止矣六算以上雖多空位無闗省算也
今諸書有載五色方程者皆其各行空三位者耳總計
之有空十五位而其為法亦必用四算然後得數則
所省者亦只六算而竟不知其為省算之法則習而
不察也
[055-5a]
假如五色方程内只有行空三位法當以有空之三色列
于上而先以其無空之四行如法乗減變為四色者
三行又以乗減變為三色者二行又以乗減變為二
色者一行則恰與空位之行相對矣再乗減一次得
所求矣故曰省三算也變四色時省一算變三色時/省一算變二色時省一算共
省三/算
假如五色方程内有兩行各空二位而相對法當以有
空之二色列于首次而先以其無空之三行如法乗
[055-5b]
減變為四色者二行又以乗減變為三色者一行則
恰與空位之兩行相對矣于是以三色法取之得所
求矣故曰省四算也變四色時省二算變/三色時亦省二算
假如五色方程内有兩行空首位又一行空首次三之
三位法當以無空之兩行如法乗減變為四色者一
行則恰與空首位之兩行相對矣 乃以原數兩行
減餘一行相並列之用相乗減變為三色者兩行又
相乗減變為二色者一行則又恰與空三位者相對
[055-6a]
矣 乃以原空三位者與減餘列而求之即得之矣
故曰省五算也變四色時省三算變三/色與二色又各省一算
若五色方程内有兩行各空三位者即如一行空兩位
一行空三位也法以無空之三行先用乗減變為四
色者兩行又以乗減變為三色者一行則恰與空首
位次位者對矣取出原空兩位者與減餘列而求之
變為二色者一行又恰與空三位者相對矣又取出
與減餘列而求之即得所問故亦省五算也變四色/三色時
[055-6b]
各省二算變二色/時又省一算共五其兩行雖各空三位而不相對故
也若各空三位而相對/即成二色方程矣
若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省
六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省
二算一行空首次三之位而省三算其餘空位必不
相對不能省算與無空同也
其法先以不空之兩行乗減得數變為四色與空首
位者相對又乗減變為三色與空首次者相對又乗
[055-7a]
減變為二色與空三位者相對再乗減即得所求
諸列不能悉具智者反隅可也
論曰常與變相待而成告方方程省算而特詳其不省
之算者欲窮其變先得其常也
以上所論雖止五色引而伸之若六色七色八色九
色乃至多色其理一也
以常言之 二色者一算 三色者三算 四色者
六算 五色者十算 六色者十五算 七色者二
[055-7b]
十一算 八色者二十八算 九色者三十六算
十色者四十五算 十一色五十五算 十二色者
六十六算
以空位言之 三色者有省一算 四色者有省一
算至三算 五色者有省至六算 六色者有省至
十算 七色者省十五算 八色有省二十一算
九色有省二十八算 十色有省三十六算 十一
色有省四十五算 十二色有省五十五算
[055-8a]
以省算所用而言之 三色者有只用二算 四色
者有只用三算 五色有只用四算 六色有只五
算 七色有只六算 八色有只七算 九色有只
八算 十色有只用九算 十一色有只十算 十
二色有只十一算
總而言之 二色則只一算 三色則有二算或三
算 四色則有三算以至六算 五色則有四算以
至于十算 六色則有五算至十五算 七色則自
[055-8b]
六算至二十一算 八算則自七算至二十八算
九色則自八算至三十六算 十色則自九算至四
十五算 十一色自十算至五十五算 十二色則
自十一算至六十六算
擴而充之猶舉一隅耳然其法不外于和較與和較之
襍與變愚故不欲以四色五色等分為之目也 必
如此則方程之法乃為通法若諸書所列四色者必
各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所
[055-9a]
以御襍糅正負也而必逓空相等乃可用算是法有
所不及而窮于問也豈古人立法之意哉
此以上論空位省算省算者乗減併俱省之也非
若省乗者但省互乗而不省減乗
凡方程互遍乘者取其首位齊同耳故乘減一次則少
一色以首位之齊同必減而盡也然亦有其首位之
數偶爾相同者法當徑以對減而省其互乗此雖省
其乗而不省其減併故與前論省算同而微異也
[055-9b]
假如和數方程首位同則徑減矣 若較數者又湏論
其正負之名 同數矣而又同名徑對減矣 同數
而不同名則更其一行之正負以相較而後減併焉
此要訣也不則首位雖減去而其下之同異淆則加
減皆誤矣
若和較襍者首位之數同亦必以較數首位之名名其
和數之一行而後減併之但省其互乗可也
以上論同數省乗
[055-10a]
亦有首位數雖不同而可以分數相命者則以其分數
改其一行之數以從一行則首位齊同而可以對減
省其互乗焉可矣
若較數或和較襍皆如前法齊同其首位之名斯減
併無誤耳較數首位同名則仍之異名者改一行以/相從和較襍者以較首位之名名其和數
之一/行
假如兩首位為五與十是倍數也則半之盖五與十互
乗各得五十而其下諸數從之而溢矣今但以首位
[055-10b]
十半之為五而其下諸數皆半之以相減併則五之
之行可無乗而數亦簡明殊散人懷也
若兩首位為二十與二是十之一也則以退位之法乗
之使二十之一行皆為十之一 若為八為四亦倍
數也 若為八與二是四之一也四除其八之行則
得矣 若九與三則三之一也以三除九則亦三而
其一行皆三除之則可減倂矣然三除多有不盡不
如只以三因其三之行也 若為五與三則六因其
[055-11a]
五之行而退位 五與二則四因退位 五與四則
八因退位皆同 若六十四與八則八之一也八除
其六十四之行猶互乗也 若此類者不可枚舉得
其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名
亦有不可强齊者如七與二九與四之類只用互乗
為無弊也省乗者為省事而設也强齊之反多事矣
此以上論分數省乗
此外又有不拘首位者但數同則徑以對減施之二色
[055-11b]
為宜盖二色方程只湏減去一色其所餘即一法一
實矣然亦湏同名方可減去若異名者改而齊之可
也
假如較數方程其中一色同名而又同數徑減去矣若
但同數而不同名則更其一行之正負乃減去之
假如和較雜其中一色同數則以之為主使和數一行
皆與此一色同名乃減去之
若和較則不湏爾但同數者即減去之此二色捷法
[055-12a]
合此三者省算之理備矣
問田糧七則起科甲有上田一畝上次田一畝輸糧七
斗乙有上田一畝上次四畝上中一畝糧一石八斗
丙有上次上中田各一畝糧五斗丁有上中田中田
各二畝糧五斗戊有中田三畝中次五畝中下五畝
已有中下八畝下田十三畝庚有中下田下田各十
畝皆糧五斗問各則若何
法曰此方程㫁續法也以甲乙丙借作三色己庚借作
[055-12b]
二色各如法求得田則則其中兩色自知
[055-13a]
先以甲乙兩行徧互乗減去上田 餘上次田三畝
上中田一畝 糧一石一斗 用與丙行乗減 上
次田減盡 餘上中田二畝為法 糧四斗為實
法除實得二斗為上中田則例
就以上中田則減丙糧五斗餘三斗為上次田則例
以上次田則減甲糧七斗餘四斗為上田則例以上/三色
法/也
又以上中田則例乗丁田二畝得四斗以減丁糧五
[055-13b]
斗餘一斗以二畝除之得五升為中田則例
又以戊中田三畝乗其則例得一斗五升以減戊糧
五斗餘三斗五升為戊田中次中下各五畝之共數
因此處㫁而不属故又先求末兩行
再以二色法用己庚兩行如法遍乗減去中下田餘
下田五畝為法糧一斗為實法除實得二升為下
田則例以八因庚行而/退位省乗法也
以庚下田十畝乗其則例得二斗以減庚糧五斗餘
[055-14a]
三斗以中下田十畝除之得三升為中下田則例
以上二/色法也
乃以戊中下田五畝乗其則例得一斗五升以減戊
中下中次共三斗五升餘二斗以戊中次五畝除
之得四升為中次田則例
計開 上田每畝糧四斗 上次田每畝糧三斗
上中田每畝糧二斗 中田每畝糧五升
中次田每畝糧四升 中下田每畝糧三升
[055-14b]
下田每畝糧二升
論曰此雖七色因行中㫁續即非七色借三色二色之
法知其首尾而中行亦見焉所省良多然非省乗其
勢則然也以其疑于省算也故附之其末
又有數偶相同不論三色四色但一減之後即得一法
一實者非省算也然亦省算之類故亦附録一條以
見其例
假如縀紗絹不知價但云以縀一匹紗五匹易絹九匹
[055-15a]
餘價二兩六錢又以縀二匹絹八匹易紗四匹餘價
六兩八錢又以縀三匹易紗六匹絹七匹少價一兩
二錢
畣曰縀每匹價銀三兩紗每匹一兩 絹每匹六錢
法列位
[055-15b]
因中左紗減盡只餘一色即以絹十九為法 除十
一兩四錢得絹價每匹六錢 以絹餘二十六匹乗
價得十五兩六錢同減負一兩六錢餘十四兩紗價
也以紗餘十四匹除之得紗價每匹一兩用中右減/餘得之
以原左行紗六匹價六/兩絹七匹價四兩/二錢共價十兩
[055-16a]
二錢同減負一兩二錢餘九兩縀三匹價也三除之
得縀價每匹三兩
論曰此方程之變例也一減之後即得其數 若多色
方程除首位外有減盡者先雖無空而減餘重列即
成有空方程矣例見本卷齊/軍列陳條
若三色俱減盡則不能成算 或三色方程中左三色
俱減盡中右只減一色則所餘者二色而無相較乗
減無因不能别其二色亦不能成算也
[055-16b]
假有問水銀三斤硃砂二斤共價四兩四錢又水銀九
斤硃砂六斤共價十三兩二錢問各價若干
畣曰此不可以方程算何也彼雖兩宗而其後一宗
之物價皆三倍于先一宗互乗之後必湏減盡故也
凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乗之
後得數齊同不能分核具如前論方程立法正以諸
物襍糅多寡錯居同異參伍而得其端倪也
又或三色方程而問只二宗則減餘仍有二色不能分
[055-17a]
别故問三色必有三宗問四色必有四宗五色六色
以上悉同何也方乗立法乗減一次始能分去一色
若少一行則少一次乗減而不能得其一法一實矣
故行中可有空位而不可有空行
行中有空者分一行言之也若總列為圖則位皆無空
凡此皆治方程者所當知
知其有不可算斯無疑于算知其有必不可省斯善為
省矣
[055-17b]
列位之法亦有二
一者更其上下之位以互求也 或為省算之計
凡方程立法務湏首位齊同以便減去故每遍乗一次
則減去一色逓減之則一法一實矣今行中有空則
是不待遍乗而其一色已先減去也故取而列之于
上位則能省算不則上位不空而下反空則對位無
減補成不空而不能省算矣
其法于列位時覆視之有横列中空位多者取作首位
[055-18a]
首位空一行則省一算矣
若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重
列減餘時檢㸃更定之可也
又横列中有數偶相同或可以分相命者取作首位亦
省遍乗或横列中有单一數多者取作首位省乗单/一
數則不湏/乗故也
以上論上下之位
一者更其前後之行也
[055-18b]
凡首位多空而其不空者隔逺則更而聨之便乗減也
其各行空位不等者不必更列但以與減餘相對
者取出對列而乗減之例見前/諸卷
若各行首位有可以分相命或數偶相同而為他行所
隔亦可更置使之相接
又多色方程有各行中對位總空者取出另列而先乗
其他行之不空者乃于重列之時漸次添入可免細
書跼蹐例見/後卷
[055-19a]
以上論前後之行
法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆視之若首位有
空而下則無之此不必更置也或首位多空而下則
少亦不必更置也
惟首位不空而下反有或首位空少而下反多則更
而置之故上下可以互居前後亦可易位或云以末
行為主者非也
問古今厯術屢更其所用日法無一同者如以漢太初
[055-19b]
厯日法十有一外加四十九則如殷厯日法也若以
太初日法二殷厯日法三再加五十八則如唐大衍
厯日法也若太初日法十有四大衍日法二相並以
比宋紀元厯日法仍少七十六若太初日法九十倍
之即紀元日法其各數若干
法以正負列位
甲太初十一正/殷七一負/○ ○ 負四十九
乙太初二正/殷六三正/大衍一負/○ 負五十八
[055-20a]
丙太初十四正/ ○ 大衍二正/ 紀元一負/ 負七十六
丁太初九十正/ ○ ○ 紀元一負/ 適足
如右圖太初厯横列皆滿須用遍乗對減者三而後
能減去太初之一色其餘雖多空位自然有無減之
對位相補不能省算
如法改列
以最多不空之太初列下爲第四位則殷厯居上而
成有空位之方程矣
[055-20b]
先如法以甲乙兩行互乗減併殷厯各正十五對減
盡大衍負一無減太初異併負三十五下數異併正
二百○五因異併故併從甲行之名而大衍/在乙行與下數同名亦改負為正
乃重列之取出丙行與/減餘相對
[055-21a]
如法互乗減倂 大衍各正二對減盡 紀元負一
無減 太初異倂得正八十四下數異併得負四百
八十六
又重列之以減餘與/丁行相對
[055-21b]
首位同名同數省互乗 紀元各負一對減盡 太
初同減餘六為法 負四百八十六無減為實法除
實得八十一分為太初日法 以丁行太初九十乗
其日法八十/一分得七千二百九十分為紀元日法 以
甲行太初十一乗其日法八十/一分得八百九十一異加負
四十九得九百四十分為殷厯日法 以乙行殷厯
三乗日法九百/四十得二千八百二十又太初二乗日法
得一百六/十二又異加負五十/八共得三千○四十分為大
[055-22a]
衍日法
計開
殷厯日法 九百四十分
漢太初厯日法 八十一分
唐大衍厯日法 三千○四十分
宋紀元厯日法 七千二百九十分
又按列位之法原與省乗省算之法相生故共為一卷
合觀之可也今以六色無空者為例如後
[055-22b]
問齊軍千乗其陳有先驅申驅為前軍有啟與胠為兩
翼有戎車貳廣為中軍有大殿為後軍各不知數但
以前軍居餘陳七之三合兩翼二廣與殿多餘陳四
十乗合前軍兩翼與中後較則多二十乗前軍合殿
與翼中軍較則少二十乗先驅大殿居與陳二之一
而少五乗各若干
畣曰前軍共三乗
内先驅一百四十乗
[055-23a]
申驅一百六十乗
兩翼共二百一十乗
内啟與胠各一百○五乗
中軍共三百乗
内戎車一百八十乗帥/
貳廣一百二十乗副/
後軍一百九十乗是為大殿
法以和較襍列位
[055-23b]
有七之三二之一依變零為整以分母各乗而後列
之
[055-24a]
如法互乗減倂變為五色有空而重列之
空者偶也若不空亦儼然變為五色矣
前三行減餘首位申驅皆空故不湏乗減但以末二
[055-24b]
行乗而減之減去申驅即變四色矣又以申驅數本
同故不湏乗而竟以對減乃以四色法重列之
四色無空法也雖有空而非首位不能省算與無空
同
[055-25a]
因首末兩行之翼數皆倍于中兩行故省互乗但以
首末兩行皆半之使其翼數齊同乃原數對減而變
為三色又重列之
因次行末行戎車同但首行多于次行二之一故省
互乗但以次行二分加一與首行對減其次行與末
[055-25b]
行竟以原數對減變為二色而重列之
貳廣同故省互乗竟以對減盡 大殿異名併得五
為法 車同名減餘九百五十乗為實 法除實得
一百九十乗為大殿車數 以大殿車數異加正五
十乗共二百四十乗以貳廣二除之得一百二十乗
為二廣車數用末次/右行數 二乗大殿車數同減負二十
[055-26a]
乗戎車二除之得一百八十乗為戎車公卒數用第/四次
三色中/行數也 二乗戎車異加正六十乗兩翼二除之得
二百一十乗為兩翼共數用第三次所列/四色之次行又半之即
啟與胠數 合計兩翼二百/一十戎車一百/八十貳廣一百/二十共
數五百/一十同減負三十乗餘四百/八十以申驅三除之得一
百六十乗為申驅數用第二次所列/五色之第四行 合計申驅一/百
六/十兩翼二百/一十戎車一百/八十貳廣一百/二十共六百/七十同減負十
乗餘六百/六十又減去大殿二計三百/八十餘二百/八十以先驅二
[055-26b]
除之得一百四十乗為先驅之數用原列六色/之第五行數
試細攷之合計兩翼二百/一十戎路一百/八十貳廣一百/二十大殿一/百
九/十共七百乗合計先驅一百/四十申驅一百/六十共三百乗三
七差分也故曰前軍為餘陣七之三
合計兩翼二百/一十貳廣一百/二十大殿一百/九十共五百二十乗
其餘前軍共三/百戎路一百/八十共四百八十乗故曰翼廣
殿多餘陣四十乗
合計前軍共三/百兩翼二百/一十共五百一十乗以較中軍
[055-27a]
共三/百後殿一百/九十共四百九十乗則多二十乗故正二
十乗與前軍翼同名
合計前軍三/百大殿一百/九十共四百九十乗以較兩翼二/百
一/十中軍三/百共五百一十乗則少二十乗故負二十乗
與前軍殿異名合計先驅一百/四十後殿一百/九十共三百三
十乗又合計申驅一百/六十中軍三/百兩翼二百/一十共六百七
十乗其二之一為三百三十五乗故曰先驅大殿居
餘陣二之一而少五乗以全當其半而少五乗則以/倍當其全而少十乗矣此與
[055-27b]
第一行皆變零為/整詳見帶分條總計之則千乗矣故以和數參焉
論曰此一例中能兼數法皆省算之捷訣也
其第二圖五色變四色當有互乗減併者四次今以
申驅空位省其三次此空位徑求省算之法也
其申驅偶爾數同徑以對減與第五圖二色之貳廣
數同徑以對減皆省乗定法也但皆和較之襍故雖
不乗必以較行首位之正負補于和數之行不然則
減併誤矣此要訣也
[055-28a]
其第三圖四色之首位偶有倍數故半其倍者以相
從此亦省乗法也
其第四圖三色之首位為三與二故加二為三是二
加一也故其下皆二分加一則如遍乗矣然亦首位
正負偶同也若不同者湏更其一行以同之首位雖
同數又必同名然後可減而去之尤省乗之要訣
又論曰方程無空者常法也如第一圖六色是也若不
減併五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦
[055-28b]
能省乗然雖省乗不能省減併矣其有空位者偶然
也如第二圖五色有空是也空位多若更置列之所
省尤多雖不更置而減倂之餘自然能補其空亦可
見方程之有常法矣
若更置之則自五色起如後圖
因五色始有空也如此圖則省六算 戎翼不空
故更之下位後行不空者更之前行以先乗
正負列位
[055-29a]
甲乙行如法減去申驅以其餘四位重列之與丙行
相對一和一/較也
重列
[055-29b]
如法減去貳廣又重列之與丁行相對皆較數/也如後
如法半減餘數以從丁行乃對減而重列之與戊行
相對又以翼同/故更置之
上 中 下
[055-30a]
如法徑以對減餘戎路五為法
倂得正負九百乗為實
法除實得戎路數
既得戎路數以次得餘重之數
合問
又術以一圖而為減併如後所列
[055-30b]
依法先得戎路亦同但其間和較交變錯然襍陳非
深知猝不能了不如前術之為安穏明白也
[055-31a]
[055-31b]
歴算全書卷四十二
欽定四庫全書
厯算全書卷四十二
宣城梅文鼎撰
方程論卷三
致用
笇之用惟㨗其説惟詳詳説之斯能捷用省笇列位諸
法由是以生也故致用次之
致用有二一者省笇一者列位例襍見諸卷中故不/具列而備論其理
[055-1b]
省算法亦有二一者行有空則省算一者數偶同則
省乗
凡方程之法去繁就簡同者去之異者存之歸于一法
一實而已矣故三色以上有空位則可徑求
若三色方程無空位者必湏乗減得數變為二色以求
之此常法也若内有一行中空一位則以所空之位
列于首而先以其餘兩行不空者如法乗減得數即
重列之與原有空位者相對如二色方程也以兩行/無空者
[055-2a]
相乗對減則減去一色惟餘二色其有/空者原只二色故可相對如二色也則省一笇原/法
乗減三次今只兩/次故曰省一笇
凡三色方程不論一行有空或兩行各有空或三行各
有空皆只省一算何也其各行中雖有空位而不相
對故也何以知其不相對若兩行有空而又相對則
徑可以二色算之矣即不成三色方程 三色有空
例襍見前卷
凡四色五色以至多色有幾行空位者如上省算徑求
[055-2b]
最為簡㨗若中行無空則必如法乗減以五色變四
色四色變三色三色又變二色漸次求之不可徑求
而省算也今諸書所載皆其各位之有空者耳非通
法也而欲以此盡方程可乎
凡四色方程有乗減六次者常也 若有一位空則省
一算 一行中空兩位或兩行各空一位而相對則
省二算 若一行空兩位又一行空一位則省三算
止矣 或有四行中各空一位而不相對亦只省一
[055-3a]
算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空
在下數位則乗減之後自然補實不能省矣 亦有
兩行各空兩位而只省二算者亦以空位相左乗後
補實耳故雖四行中各空兩位亦只省三算也
假如四色中有一行空兩位則將此無空之三行如法
乗減變為兩行又將此兩行如法乗併變為一行此
減餘一行却有二位恰興空兩位之行相對矣便以
重列如二色方程取之此最方程中要法而諸書未
[055-3b]
及也故詳論之
若四色方程有兩行各空一位而又相對則將其無空
之兩行如法互乗而減去此不空之位變為一行與
空位之兩行同列如三色法而之尤為易見
其四色各行空兩位而省三算即今諸書中所載是也
可無更贅然但欲知其為省算方程而非常法耳
其四色無空乗減六次者竟無其式故誤以省算為常
然既明其理亦不必一一為式矣
[055-4a]
凡五色方程無空則有乗減十次者常法也五色變四/色則有四
算四色又變三色則有三算三色又變二色則/有二算二色又一算乃得法實合之為十算故五
色而為四圖者亦常法也原列一圖以減餘重列為/四色而三色而二色又各
一圖合之/為四圖
若有空一位則省一算 或空兩位而省二算湏兩位/空在一
行或兩行俱/空首位乃可 空三位而省三算湏空在一行或三/行同空首位或一
行首位空一行/首次兩空則可 空四位而省四算湏一行空三位/而一行又空一
位恰與空三位者同或二行俱空首位而一行/又空首次兩位乃可或兩行俱空首次亦可 空
[055-4b]
五位而省五算湏兩行空首位而一行空首次三位/或兩行空首次而一行空首位或一
行空首次而一行空/首次三之位乃可 空六位而省六算湏一行空/首位一行
空首次一行空首/次三行位乃可
省至六算止矣六算以上雖多空位無闗省算也
今諸書有載五色方程者皆其各行空三位者耳總計
之有空十五位而其為法亦必用四算然後得數則
所省者亦只六算而竟不知其為省算之法則習而
不察也
[055-5a]
假如五色方程内只有行空三位法當以有空之三色列
于上而先以其無空之四行如法乗減變為四色者
三行又以乗減變為三色者二行又以乗減變為二
色者一行則恰與空位之行相對矣再乗減一次得
所求矣故曰省三算也變四色時省一算變三色時/省一算變二色時省一算共
省三/算
假如五色方程内有兩行各空二位而相對法當以有
空之二色列于首次而先以其無空之三行如法乗
[055-5b]
減變為四色者二行又以乗減變為三色者一行則
恰與空位之兩行相對矣于是以三色法取之得所
求矣故曰省四算也變四色時省二算變/三色時亦省二算
假如五色方程内有兩行空首位又一行空首次三之
三位法當以無空之兩行如法乗減變為四色者一
行則恰與空首位之兩行相對矣 乃以原數兩行
減餘一行相並列之用相乗減變為三色者兩行又
相乗減變為二色者一行則又恰與空三位者相對
[055-6a]
矣 乃以原空三位者與減餘列而求之即得之矣
故曰省五算也變四色時省三算變三/色與二色又各省一算
若五色方程内有兩行各空三位者即如一行空兩位
一行空三位也法以無空之三行先用乗減變為四
色者兩行又以乗減變為三色者一行則恰與空首
位次位者對矣取出原空兩位者與減餘列而求之
變為二色者一行又恰與空三位者相對矣又取出
與減餘列而求之即得所問故亦省五算也變四色/三色時
[055-6b]
各省二算變二色/時又省一算共五其兩行雖各空三位而不相對故
也若各空三位而相對/即成二色方程矣
若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省
六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省
二算一行空首次三之位而省三算其餘空位必不
相對不能省算與無空同也
其法先以不空之兩行乗減得數變為四色與空首
位者相對又乗減變為三色與空首次者相對又乗
[055-7a]
減變為二色與空三位者相對再乗減即得所求
諸列不能悉具智者反隅可也
論曰常與變相待而成告方方程省算而特詳其不省
之算者欲窮其變先得其常也
以上所論雖止五色引而伸之若六色七色八色九
色乃至多色其理一也
以常言之 二色者一算 三色者三算 四色者
六算 五色者十算 六色者十五算 七色者二
[055-7b]
十一算 八色者二十八算 九色者三十六算
十色者四十五算 十一色五十五算 十二色者
六十六算
以空位言之 三色者有省一算 四色者有省一
算至三算 五色者有省至六算 六色者有省至
十算 七色者省十五算 八色有省二十一算
九色有省二十八算 十色有省三十六算 十一
色有省四十五算 十二色有省五十五算
[055-8a]
以省算所用而言之 三色者有只用二算 四色
者有只用三算 五色有只用四算 六色有只五
算 七色有只六算 八色有只七算 九色有只
八算 十色有只用九算 十一色有只十算 十
二色有只十一算
總而言之 二色則只一算 三色則有二算或三
算 四色則有三算以至六算 五色則有四算以
至于十算 六色則有五算至十五算 七色則自
[055-8b]
六算至二十一算 八算則自七算至二十八算
九色則自八算至三十六算 十色則自九算至四
十五算 十一色自十算至五十五算 十二色則
自十一算至六十六算
擴而充之猶舉一隅耳然其法不外于和較與和較之
襍與變愚故不欲以四色五色等分為之目也 必
如此則方程之法乃為通法若諸書所列四色者必
各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所
[055-9a]
以御襍糅正負也而必逓空相等乃可用算是法有
所不及而窮于問也豈古人立法之意哉
此以上論空位省算省算者乗減併俱省之也非
若省乗者但省互乗而不省減乗
凡方程互遍乘者取其首位齊同耳故乘減一次則少
一色以首位之齊同必減而盡也然亦有其首位之
數偶爾相同者法當徑以對減而省其互乗此雖省
其乗而不省其減併故與前論省算同而微異也
[055-9b]
假如和數方程首位同則徑減矣 若較數者又湏論
其正負之名 同數矣而又同名徑對減矣 同數
而不同名則更其一行之正負以相較而後減併焉
此要訣也不則首位雖減去而其下之同異淆則加
減皆誤矣
若和較襍者首位之數同亦必以較數首位之名名其
和數之一行而後減併之但省其互乗可也
以上論同數省乗
[055-10a]
亦有首位數雖不同而可以分數相命者則以其分數
改其一行之數以從一行則首位齊同而可以對減
省其互乗焉可矣
若較數或和較襍皆如前法齊同其首位之名斯減
併無誤耳較數首位同名則仍之異名者改一行以/相從和較襍者以較首位之名名其和數
之一/行
假如兩首位為五與十是倍數也則半之盖五與十互
乗各得五十而其下諸數從之而溢矣今但以首位
[055-10b]
十半之為五而其下諸數皆半之以相減併則五之
之行可無乗而數亦簡明殊散人懷也
若兩首位為二十與二是十之一也則以退位之法乗
之使二十之一行皆為十之一 若為八為四亦倍
數也 若為八與二是四之一也四除其八之行則
得矣 若九與三則三之一也以三除九則亦三而
其一行皆三除之則可減倂矣然三除多有不盡不
如只以三因其三之行也 若為五與三則六因其
[055-11a]
五之行而退位 五與二則四因退位 五與四則
八因退位皆同 若六十四與八則八之一也八除
其六十四之行猶互乗也 若此類者不可枚舉得
其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名
亦有不可强齊者如七與二九與四之類只用互乗
為無弊也省乗者為省事而設也强齊之反多事矣
此以上論分數省乗
此外又有不拘首位者但數同則徑以對減施之二色
[055-11b]
為宜盖二色方程只湏減去一色其所餘即一法一
實矣然亦湏同名方可減去若異名者改而齊之可
也
假如較數方程其中一色同名而又同數徑減去矣若
但同數而不同名則更其一行之正負乃減去之
假如和較雜其中一色同數則以之為主使和數一行
皆與此一色同名乃減去之
若和較則不湏爾但同數者即減去之此二色捷法
[055-12a]
合此三者省算之理備矣
問田糧七則起科甲有上田一畝上次田一畝輸糧七
斗乙有上田一畝上次四畝上中一畝糧一石八斗
丙有上次上中田各一畝糧五斗丁有上中田中田
各二畝糧五斗戊有中田三畝中次五畝中下五畝
已有中下八畝下田十三畝庚有中下田下田各十
畝皆糧五斗問各則若何
法曰此方程㫁續法也以甲乙丙借作三色己庚借作
[055-12b]
二色各如法求得田則則其中兩色自知
[055-13a]
先以甲乙兩行徧互乗減去上田 餘上次田三畝
上中田一畝 糧一石一斗 用與丙行乗減 上
次田減盡 餘上中田二畝為法 糧四斗為實
法除實得二斗為上中田則例
就以上中田則減丙糧五斗餘三斗為上次田則例
以上次田則減甲糧七斗餘四斗為上田則例以上/三色
法/也
又以上中田則例乗丁田二畝得四斗以減丁糧五
[055-13b]
斗餘一斗以二畝除之得五升為中田則例
又以戊中田三畝乗其則例得一斗五升以減戊糧
五斗餘三斗五升為戊田中次中下各五畝之共數
因此處㫁而不属故又先求末兩行
再以二色法用己庚兩行如法遍乗減去中下田餘
下田五畝為法糧一斗為實法除實得二升為下
田則例以八因庚行而/退位省乗法也
以庚下田十畝乗其則例得二斗以減庚糧五斗餘
[055-14a]
三斗以中下田十畝除之得三升為中下田則例
以上二/色法也
乃以戊中下田五畝乗其則例得一斗五升以減戊
中下中次共三斗五升餘二斗以戊中次五畝除
之得四升為中次田則例
計開 上田每畝糧四斗 上次田每畝糧三斗
上中田每畝糧二斗 中田每畝糧五升
中次田每畝糧四升 中下田每畝糧三升
[055-14b]
下田每畝糧二升
論曰此雖七色因行中㫁續即非七色借三色二色之
法知其首尾而中行亦見焉所省良多然非省乗其
勢則然也以其疑于省算也故附之其末
又有數偶相同不論三色四色但一減之後即得一法
一實者非省算也然亦省算之類故亦附録一條以
見其例
假如縀紗絹不知價但云以縀一匹紗五匹易絹九匹
[055-15a]
餘價二兩六錢又以縀二匹絹八匹易紗四匹餘價
六兩八錢又以縀三匹易紗六匹絹七匹少價一兩
二錢
畣曰縀每匹價銀三兩紗每匹一兩 絹每匹六錢
法列位
[055-15b]
因中左紗減盡只餘一色即以絹十九為法 除十
一兩四錢得絹價每匹六錢 以絹餘二十六匹乗
價得十五兩六錢同減負一兩六錢餘十四兩紗價
也以紗餘十四匹除之得紗價每匹一兩用中右減/餘得之
以原左行紗六匹價六/兩絹七匹價四兩/二錢共價十兩
[055-16a]
二錢同減負一兩二錢餘九兩縀三匹價也三除之
得縀價每匹三兩
論曰此方程之變例也一減之後即得其數 若多色
方程除首位外有減盡者先雖無空而減餘重列即
成有空方程矣例見本卷齊/軍列陳條
若三色俱減盡則不能成算 或三色方程中左三色
俱減盡中右只減一色則所餘者二色而無相較乗
減無因不能别其二色亦不能成算也
[055-16b]
假有問水銀三斤硃砂二斤共價四兩四錢又水銀九
斤硃砂六斤共價十三兩二錢問各價若干
畣曰此不可以方程算何也彼雖兩宗而其後一宗
之物價皆三倍于先一宗互乗之後必湏減盡故也
凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乗之
後得數齊同不能分核具如前論方程立法正以諸
物襍糅多寡錯居同異參伍而得其端倪也
又或三色方程而問只二宗則減餘仍有二色不能分
[055-17a]
别故問三色必有三宗問四色必有四宗五色六色
以上悉同何也方乗立法乗減一次始能分去一色
若少一行則少一次乗減而不能得其一法一實矣
故行中可有空位而不可有空行
行中有空者分一行言之也若總列為圖則位皆無空
凡此皆治方程者所當知
知其有不可算斯無疑于算知其有必不可省斯善為
省矣
[055-17b]
列位之法亦有二
一者更其上下之位以互求也 或為省算之計
凡方程立法務湏首位齊同以便減去故每遍乗一次
則減去一色逓減之則一法一實矣今行中有空則
是不待遍乗而其一色已先減去也故取而列之于
上位則能省算不則上位不空而下反空則對位無
減補成不空而不能省算矣
其法于列位時覆視之有横列中空位多者取作首位
[055-18a]
首位空一行則省一算矣
若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重
列減餘時檢㸃更定之可也
又横列中有數偶相同或可以分相命者取作首位亦
省遍乗或横列中有单一數多者取作首位省乗单/一
數則不湏/乗故也
以上論上下之位
一者更其前後之行也
[055-18b]
凡首位多空而其不空者隔逺則更而聨之便乗減也
其各行空位不等者不必更列但以與減餘相對
者取出對列而乗減之例見前/諸卷
若各行首位有可以分相命或數偶相同而為他行所
隔亦可更置使之相接
又多色方程有各行中對位總空者取出另列而先乗
其他行之不空者乃于重列之時漸次添入可免細
書跼蹐例見/後卷
[055-19a]
以上論前後之行
法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆視之若首位有
空而下則無之此不必更置也或首位多空而下則
少亦不必更置也
惟首位不空而下反有或首位空少而下反多則更
而置之故上下可以互居前後亦可易位或云以末
行為主者非也
問古今厯術屢更其所用日法無一同者如以漢太初
[055-19b]
厯日法十有一外加四十九則如殷厯日法也若以
太初日法二殷厯日法三再加五十八則如唐大衍
厯日法也若太初日法十有四大衍日法二相並以
比宋紀元厯日法仍少七十六若太初日法九十倍
之即紀元日法其各數若干
法以正負列位
甲太初十一正/殷七一負/○ ○ 負四十九
乙太初二正/殷六三正/大衍一負/○ 負五十八
[055-20a]
丙太初十四正/ ○ 大衍二正/ 紀元一負/ 負七十六
丁太初九十正/ ○ ○ 紀元一負/ 適足
如右圖太初厯横列皆滿須用遍乗對減者三而後
能減去太初之一色其餘雖多空位自然有無減之
對位相補不能省算
如法改列
以最多不空之太初列下爲第四位則殷厯居上而
成有空位之方程矣
[055-20b]
先如法以甲乙兩行互乗減併殷厯各正十五對減
盡大衍負一無減太初異併負三十五下數異併正
二百○五因異併故併從甲行之名而大衍/在乙行與下數同名亦改負為正
乃重列之取出丙行與/減餘相對
[055-21a]
如法互乗減倂 大衍各正二對減盡 紀元負一
無減 太初異倂得正八十四下數異併得負四百
八十六
又重列之以減餘與/丁行相對
[055-21b]
首位同名同數省互乗 紀元各負一對減盡 太
初同減餘六為法 負四百八十六無減為實法除
實得八十一分為太初日法 以丁行太初九十乗
其日法八十/一分得七千二百九十分為紀元日法 以
甲行太初十一乗其日法八十/一分得八百九十一異加負
四十九得九百四十分為殷厯日法 以乙行殷厯
三乗日法九百/四十得二千八百二十又太初二乗日法
得一百六/十二又異加負五十/八共得三千○四十分為大
[055-22a]
衍日法
計開
殷厯日法 九百四十分
漢太初厯日法 八十一分
唐大衍厯日法 三千○四十分
宋紀元厯日法 七千二百九十分
又按列位之法原與省乗省算之法相生故共為一卷
合觀之可也今以六色無空者為例如後
[055-22b]
問齊軍千乗其陳有先驅申驅為前軍有啟與胠為兩
翼有戎車貳廣為中軍有大殿為後軍各不知數但
以前軍居餘陳七之三合兩翼二廣與殿多餘陳四
十乗合前軍兩翼與中後較則多二十乗前軍合殿
與翼中軍較則少二十乗先驅大殿居與陳二之一
而少五乗各若干
畣曰前軍共三乗
内先驅一百四十乗
[055-23a]
申驅一百六十乗
兩翼共二百一十乗
内啟與胠各一百○五乗
中軍共三百乗
内戎車一百八十乗帥/
貳廣一百二十乗副/
後軍一百九十乗是為大殿
法以和較襍列位
[055-23b]
有七之三二之一依變零為整以分母各乗而後列
之
[055-24a]
如法互乗減倂變為五色有空而重列之
空者偶也若不空亦儼然變為五色矣
前三行減餘首位申驅皆空故不湏乗減但以末二
[055-24b]
行乗而減之減去申驅即變四色矣又以申驅數本
同故不湏乗而竟以對減乃以四色法重列之
四色無空法也雖有空而非首位不能省算與無空
同
[055-25a]
因首末兩行之翼數皆倍于中兩行故省互乗但以
首末兩行皆半之使其翼數齊同乃原數對減而變
為三色又重列之
因次行末行戎車同但首行多于次行二之一故省
互乗但以次行二分加一與首行對減其次行與末
[055-25b]
行竟以原數對減變為二色而重列之
貳廣同故省互乗竟以對減盡 大殿異名併得五
為法 車同名減餘九百五十乗為實 法除實得
一百九十乗為大殿車數 以大殿車數異加正五
十乗共二百四十乗以貳廣二除之得一百二十乗
為二廣車數用末次/右行數 二乗大殿車數同減負二十
[055-26a]
乗戎車二除之得一百八十乗為戎車公卒數用第/四次
三色中/行數也 二乗戎車異加正六十乗兩翼二除之得
二百一十乗為兩翼共數用第三次所列/四色之次行又半之即
啟與胠數 合計兩翼二百/一十戎車一百/八十貳廣一百/二十共
數五百/一十同減負三十乗餘四百/八十以申驅三除之得一
百六十乗為申驅數用第二次所列/五色之第四行 合計申驅一/百
六/十兩翼二百/一十戎車一百/八十貳廣一百/二十共六百/七十同減負十
乗餘六百/六十又減去大殿二計三百/八十餘二百/八十以先驅二
[055-26b]
除之得一百四十乗為先驅之數用原列六色/之第五行數
試細攷之合計兩翼二百/一十戎路一百/八十貳廣一百/二十大殿一/百
九/十共七百乗合計先驅一百/四十申驅一百/六十共三百乗三
七差分也故曰前軍為餘陣七之三
合計兩翼二百/一十貳廣一百/二十大殿一百/九十共五百二十乗
其餘前軍共三/百戎路一百/八十共四百八十乗故曰翼廣
殿多餘陣四十乗
合計前軍共三/百兩翼二百/一十共五百一十乗以較中軍
[055-27a]
共三/百後殿一百/九十共四百九十乗則多二十乗故正二
十乗與前軍翼同名
合計前軍三/百大殿一百/九十共四百九十乗以較兩翼二/百
一/十中軍三/百共五百一十乗則少二十乗故負二十乗
與前軍殿異名合計先驅一百/四十後殿一百/九十共三百三
十乗又合計申驅一百/六十中軍三/百兩翼二百/一十共六百七
十乗其二之一為三百三十五乗故曰先驅大殿居
餘陣二之一而少五乗以全當其半而少五乗則以/倍當其全而少十乗矣此與
[055-27b]
第一行皆變零為/整詳見帶分條總計之則千乗矣故以和數參焉
論曰此一例中能兼數法皆省算之捷訣也
其第二圖五色變四色當有互乗減併者四次今以
申驅空位省其三次此空位徑求省算之法也
其申驅偶爾數同徑以對減與第五圖二色之貳廣
數同徑以對減皆省乗定法也但皆和較之襍故雖
不乗必以較行首位之正負補于和數之行不然則
減併誤矣此要訣也
[055-28a]
其第三圖四色之首位偶有倍數故半其倍者以相
從此亦省乗法也
其第四圖三色之首位為三與二故加二為三是二
加一也故其下皆二分加一則如遍乗矣然亦首位
正負偶同也若不同者湏更其一行以同之首位雖
同數又必同名然後可減而去之尤省乗之要訣
又論曰方程無空者常法也如第一圖六色是也若不
減併五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦
[055-28b]
能省乗然雖省乗不能省減併矣其有空位者偶然
也如第二圖五色有空是也空位多若更置列之所
省尤多雖不更置而減倂之餘自然能補其空亦可
見方程之有常法矣
若更置之則自五色起如後圖
因五色始有空也如此圖則省六算 戎翼不空
故更之下位後行不空者更之前行以先乗
正負列位
[055-29a]
甲乙行如法減去申驅以其餘四位重列之與丙行
相對一和一/較也
重列
[055-29b]
如法減去貳廣又重列之與丁行相對皆較數/也如後
如法半減餘數以從丁行乃對減而重列之與戊行
相對又以翼同/故更置之
上 中 下
[055-30a]
如法徑以對減餘戎路五為法
倂得正負九百乗為實
法除實得戎路數
既得戎路數以次得餘重之數
合問
又術以一圖而為減併如後所列
[055-30b]
依法先得戎路亦同但其間和較交變錯然襍陳非
深知猝不能了不如前術之為安穏明白也
[055-31a]
[055-31b]
歴算全書卷四十二