[041-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻三十五
宣城梅文鼎撰
筆算巻二
乘法
以數生數是之謂乗數不能自生相得乃生故乗亦曰
因生則不窮故乘有陻義/生則日積故乘有載義有一位乗有多位乗或分一/位曰因
多位曰乘然古皆/謂之乘今從古皆有法有實有得數
[041-1b]
凡實數縱列於右凡法數/横列於下縱横相遇而得
數生焉對者法數也斜行/直行所
所對者實數也而紀得數/則以横行定之
或問實何以對斜行曰法/有進行故得數斜陞是故
右第一行是法單位乘出/之數也其次行則法十位
乘出之數也又次而百而/千視此矣故其乗得數不
出斜格流此虛位也單十/百千周 迭居皆於臨時
定/之
[041-2a]
凡乘出數皆有本位有進位如有十數又有零數三四/一十
二四四一/十六之類則紀零於本位本格之/右方紀十於進位上一格/之左方
有十數無零數則紀十於進位而本位作○五四成二/十五六成
三十/之類有零數無十數則紀零於本位而進位作○一一/如一
二二如/四之類凡法實有空位則本位進位俱紀○
凡乘皆從法尾位起即右第/一行對定實數相乗自下而上
如畫卦之法右行乘畢挨乗左行毎移一行必進上一
位其各行中斜對實數自下而上皆如右行法
[041-2b]
凡法與實有空位則無可乘然必於本位進位各作○
以存其位若實尾有空位則/於合摠時補之
凡各行乗訖必覆核之乃以併法合總而紀於左方以
為得數實尾有幾○皆作於總數之下
凡乗訖定位皆於原實内尋原問毎數為根以横行對
定得數命為法尾數則上下之位皆定
凡數單乗單成單甲為本位/戊為進位十乘十成百乙為本位/已為進位百
乘百成萬丙為本位/庚為進位千乗千成百萬丁為本位/辛為進位前圖可
[041-3a]
明
定位又法法曰有本數有大數有小數如原問是毎畝/之價而原實恰止於畝數是本數也凡本數
即用得數尾位命為法尾數是若原問是毎畝之價而/原實只有十畝或只有百畝 大數也凡大數當於得
數尾位下增○然後於所增○位命為法尾數若大幾/位亦增幾○皆增至毎位止即命末○為法尾數也
若原問是每畝之價而原實不止於畝畝下𢃄有分釐/是小數也凡小數當於得數之尾截去之原𢃄畸零幾
位亦截去幾位然後命之即所/截之上一位為法尾數是也
凡乗畢恐其有誤宜用除法還原置得數為實以法數/為法除之即得原實
或置得數為實以實數/為法除之亦得法數不則以九減七減試之尤㨗
[041-3b]
先以法數如法九減之而紀其餘紀/於右如甲次以實數亦九減之而
其餘於左如乙再以左右兩減餘相/乘得數仍九減之而紀其餘於上方
如丙下末以得數亦九減之而紀其/餘於 方如丁 丁丙相同即知無
誤七減/亦然
先以法數實數各如法九減之而並/紀其餘如甲與乙 次以兩減餘相
乗得數仍九減之而紀其餘如丙以/上並居左方 末以得數亦九減之
而紀其餘于右方如丁二視丙丁相/同卽知無誤 如甲乙 者内有一
○卽丙亦○又或甲爲一數卽丙/數同乙皆不用乗 七減亦然
[041-4a]
一位乗式
假如有熟田三千五百一十九畝每畝編銀六分問該若干
答曰二百一十一兩一錢四分
法從下起先以法數六乘實/數九呼六九五十四紀四於
於本位紀五於進位進乘實/數一呼一六得六紀六於本
位紀○於進位進乗實數五/呼五六成三十紀○於本位
紀三於進位進乘實數三呼/三六一十八紀八於木位紀
一於進位合乘/畢以倂法 總
[041-4b]
定位法 因原問是毎畝科則就於右行原實内尋
每畝數為定位之根横對左行得數命法尾分則其
餘皆定根是九畝横對是四分則上位是錢又上是/兩又上十兩又上是百兩定所得為二百一
十一兩一/錢四分
兩位以上乗式
假如有金九錢八分五釐每兩價銀八兩八錢問該若
[041-5a]
干 答曰八兩六錢六分八釐
先以法八錢乗實數五呼五八成/四十紀○於本位紀四於進位進
乗實數八呼八八六十四紀四於/本位紀六於進位進乗實數九呼
八九七十二紀二於本位紀七於/進位
次進一位以法八兩乗實五呼五/八成四十紀○於本位進乗實八
呼八八六十四紀四本位紀六進/位進乘實九呼八九七十二紀二
本位紀七進位總/乗畢以併法合
定位法原問毎兩之價而實無兩當於實九錢上補/作○兩位為根以横對得數定為法尾錢即
[041-5b]
上下之/位俱定
定位又法此小數也原問以毎兩價為法而實有錢分/釐共小三位即於得數截去尾三位定第四
位為/六錢
法實減餘平列左上/相乘而減之列左下
得數減餘列右/下以相同為定
假如有錢三十萬零五百八十文每千賣銀九錢零五
釐該若干
答曰二百七十二兩零二分四釐九毫
[041-6a]
先以法數五乗實數八紀/四○次乘實數五紀二五
次乗實數○○本位進一位/俱紀○次乗實數三紀 五
進一位以法數○乘實○/無可乘於本位進位各紀
○以存其位法數九乘實/又進一位以
數八紀七二進乗實數五/紀四五進乘兩○紀○進
乗實數三紀二七/乘畢以併法合總
定位原問是毎千之價當於原實内尋干位為/根以對得數命為法尾釐則其餘皆定
定位又法此亦小數也實有十丈於原問毎干為小/兩位當於得數截去末兩位定為法尾釐
[041-6b]
此即前問也因法有空/位省不乘但於法首九
錢起進二位乘之即得/數無訛與前法同
本宜進一位乘九錢今/進兩位以合空位之數
若法有兩空即進/三位以上倣論
假如星命家以年月日時配成八字以七百二十/乗七百二十問共
該若干
[041-7a]
答曰五十一萬八千四百
如法乗訖併之/得五一八四
定一原問七百二十年月下毎/一數中各配七百二十日
時宜於原實下補作○單位/為根以對得數定法尾十
或用又法實數止於十大於毎/數一位乃大數也宜
徑於得數増一/○位定法尾一
解曰六十年各十二月則前四字七百二十六十日/各十二時下四字亦七百二十故以相乘即能
盡八字/之變
[041-7b]
假如西厯天度毎週三百六十今有星行天三百週該若干
答曰一十萬零八千度
依法乘訖用併法/合總得一○八
定位原問是毎週之度今實數是三百週/當於原實下補作兩○至毎週位止
以此為根横對得數定法尾十度而得數/空補作一○上一位為百度位得數亦空
又補作○是得數無百無十也再上為千/為萬為十萬定所得為一十萬○八千
或用又法星行三百週大於毎週兩位乃/大數也法徑於得數下增兩○
定末○為法尾十/度即得數皆定
[041-8a]
此先置三百六十為實而/以三百週為法乘之也得
數一○八與前法同但變/兩位乘為一位乘其用更
簡/
定位用大數法以實止十/度無毎位徑於得數
下補作一○定為法尾百/即得數定為十萬○八千
假如有珠子三分五釐毎兩值銀二十四兩該
若干
答曰八錢四分
[041-8b]
依法乘而併之得八四○
定位原問珠毎兩價今實/數只有分乃進位作
○於錢位又上作○於兩位/兩為根横對得數為法尾數
兩而兩位空補作/為八錢四分 定所得/
定位又法此小數法也實有分釐在原問毎兩下三位/宜截去得數末三位定法尾數兩而得數只
三位無可截乃補作○於得/數之上然後截之定為○兩
[041-9a]
此與前條金價並畸零乘法也餘詳/通分
省乘法古謂之/加法
假如有漕糧三百六十石毎石𢃄耗米四斗問正耗共若干
答曰共五百○四石
此就身加法也原數即當得數不/動只挨身加四
先於六十石加四六二十四石又/於三百石加三四一百二十石末
用併法連原數併之合總凡加/法定位依原數不湏更求下同
[041-9b]
加法九試七試略同併法並合原數加/數减餘列右共數減餘列左此及下
條並九減七/減俱無餘
假如銀五十四兩毎兩月息二分五釐今兩箇月共本
息若干
答曰共五十六兩七錢
此因所加是分在兩下二位故隔/位加 又因毎月二分半今兩箇
月該五分故以五分為法先於四/兩加二○進於五十加二五末以
併法連原/數合總
[041-10a]
省乘又法古謂之求一乘法/
凡法數之首為一數者即原數不動而挨身加之與前
兩條同也若法首非一數者以法變為一數則亦可挨加
此為本非一數求而得之故名求一乗法也 其法遇
法首為二為三則折半用之而倍其實 法首遇五六
七八九則加倍用之而半其實 法首遇四則取四之
一用之而四其實如此則法首成/一數可用省乘
凡求一乘法定位亦於原實内尋毎數為根以横行對/得數定之但此所對得數恒為法首位數 若乘法則
[041-10b]
為法尾位數與此不同乃/理勢之自然不可不知
假如前條珠三分五釐價毎兩值銀二十四兩用乘法
得價銀八錢四分今以法數折半作一十二兩實數加倍
作七分挨身加之所得正同而用加㨗矣
原數不動即用為法首一數所乘也七加/挨身以法次位二與原數相乘呼二
一十四本位紀一下位紀四加訖以併法/合總亦連原數作數併之
定位亦從原數七分上加兩○尋毎兩位/為定位之根横對左行總數得法首
位是十兩下一位是兩俱空位補作兩○/再下一位即錢定所得為八錢四分
[041-11a]
又如前條錢三十萬○○五百八十文毎千價九錢○
五釐以錢折半十五萬○/二百九十為實價加倍作一兩八/錢一分為法
原數借為得數不動挨以法/去首位一只用八一 身加
之自下起於九加七二九於/二加一六二其○位無加於
五加四○五於實首一加八/加訖合 原數併總 一/
定位尋原數千位為根横對/左行得數得法首兩位
併乘法凡有數次乗者併為一次乗亦/算家簡法舊謂之異乗同乘
假如原本銀三千二百兩毎兩一年獲息一錢五分六
[041-11b]
釐二毫五絲已經四年該息若干 答曰二千兩
法先以三千二百兩乘四/年得一萬二千八百兩再
以息銀乘之是併兩次乘/為一次乘也
[041-12a]
截乘法凡乗法位多者截作數次乘之以便初學/其法與併乗相反而其理相通
假如有三十二人各給布六丈四尺共若干
答曰二百○四丈八尺
先置六丈四尺以十六人為法用省/乘就身加六得一百○二丈四尺又
二乘加倍合總二乘即三十二乘也/解曰十六乘又
定位凡就身加者原數即可定位如/前條漕糧毎石加四斗是也此
條是十六加首行六四雖以原數當/得數而六丈四尺已陞為六十四丈
矣時若加倍自是本位此在用算者/臨 消息之也
[041-12b]
或置三十二人以八丈乘兩次亦同
解曰八乘二次即六十四乗也
或置六丈四尺以四乗之得數又以八乗之所得
亦同
[041-13a]
解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也
[041-14a]
除法
以數剖數是之謂除除其原數以歸各數故除亦曰歸
除與乘對理精用博近/或謂之分義則淺矣
有一位除有多位除或分一位曰歸多位曰除或/曰歸除曰混歸然古皆曰除皆有
法有實有得數得數一/名商數
實其物也法其則也法實在乘法或可互用而除法必
須審定乘法以法與實相遇而生一數如陰陽相交而
生物也故雖互用而其交之理不易其生之用亦不易
[041-14b]
也除法以實滿法而成一數如鎔金以就型也故曰實
如法而一若倒用之則非矣實如法而一或變文曰如/某數而一如用三除者省
文曰以三而一言以三數成一數也而字皆連上為/文或者不察遂竟以而一當除之字義失其㫖矣
定法實訣
凡審法實有二訣一曰先有定則即以定則為法其所
除者必同名之物也如有定則之銀為法而除總銀以/定則之米為法而除總米是也
一曰先無定則而求定則須詳問意以所用求之者為
法其所除者必異名之物也如以總米除總銀以/總銀除總米是也
[041-15a]
何以為先有定則也以事明之如銀糴米而先知每米
一石之銀若干是先有定則之銀也即以此定則之銀
為法而以總銀為實以法除實則得總銀所糴之總米
矣此為有總銀數又有米毎石之/銀數故以銀除銀而得總米
若先知毎銀一兩之米若干是先有定則之米也即以
此定則之米為法而以總米為實以法除實則得總米
所糶之總銀矣此為有總米數又有銀毎兩之/米數故以米除米而得總銀
是皆所除者同名而所得者異名也又謂之以毎數求
[041-15b]
總數凡以毎數求總數者以每數為法毎數/即定則也以比例求之更明圖具左方
何以為先無定則而求定則也如有總米又有總銀而
無毎數則當於問意詳之問者若欲知每米一石之銀
是以米分銀也則以總米為法總銀為實問者若欲知
[041-16a]
每銀一兩之米是以銀分米也則以總銀為法總米為
實是所除者異名而所得者亦異名也又謂之以總數
求每數凡以總數求毎數先無定則故必於/問者之所求酌之亦有比例之理
又㨗法
[041-16b]
凡不動者為法動者為實何以明之如有總米總銀而
欲知毎米一石之銀則將變總銀為每米之銀是銀動
而米不動也故以米為法若欲知每銀一兩之米則將
變總米為毎銀之米是米動而銀不動也故以銀為法
其以毎數求總數者先有定則不動即用為法尤為易
見
凡布算乗易而除難除法之難尤在法實法實無
誤則思過半矣此乃珠算筆算所同也故首辨之
[041-17a]
如右若筆算除法更有宜知者數端具如後方
一列位法實既辨即當列位/
其法先作兩直綫自上而下平行相望約其間可容字
兩行為率其長短則視位數多寡定之先以實數列於
右直線之右自上而下依列位法書之次以法數列於
右直線之左亦自上而下其千百十單皆與實相對或
法數有千而實只有百者即對書於上一位餘皆倣此
亦有實數無分秒而法數有之者亦對書於實尾之下
[041-17b]
次約實以求得數得數亦名商數/
以法約實紀其得數於左線之右視法首位是言如之
數如三三如/九之𩔖則書於實之上一位而於實首添作○以
遙對之或法首位是言十之數如二六一/十二之類則書於實首
之對位其次商三商以上皆依此書之若書之而不相
接輳是商數有空位也補作○此定位之根慎不可錯
次乘商數求應減之數以減原實
以商得數與法數相呼乗之而紀數於左線之左皆以
[041-18a]
乘數之進位對商數紀之如二六一十二則以一十對/商數書之如三三如九是為
○九則以九上之○對/商數書之他皆倣此乃遂以乗出數與右行原實對
減周減/法足減者於原實抹改之不足減者改商數其乗
出數亦抹去便續商也
次定得數之位
先於法數之上一位作□為識以對得數命為單位
等而上之則十百千萬等而下之則分秒忽微皆
從此定
[041-18b]
次命分
除有不盡者以法命之用法數為母不盡之數為子命
為幾分之幾
次還原
凡除法恐其有誤當以乘法還原用法數與得數相乗
除有不盡者併入之即得原實
又法仍以除法還原用得數為法轉除原實即復得法
數除有不盡者以減原實為實然後除之
[041-19a]
又法以九減七減試之以法數九減七減皆用其所減
之餘紀右再以得數如法減之紀其餘於左左右兩餘
數相乗仍如法減之紀其餘於上方末以原實亦如法
減之紀其餘於下方上下相同則無誤矣
又簡法作直綫於左方以應減之數依併法併之必合
原實有不盡數亦併入之此法更簡更確/
按筆除原法以法實上下相疊不論數之何等謂十/單分
秒之/等而但齊其尾殊欠條理又以得數横續於法實
[041-19b]
之尾定位易淆今法與實皆用真數相對而宜減之
數先列左方對減無誤即古人實如法而一之故了
了分明據法首定位尤為簡快
一位除式
假如有額編地丁銀二百一十一兩一錢四分其科則
毎畝六分問原地若干
答曰三千五百一十九畝
審法實訣此為以毎數求總數也其毎數六分為先/有之定則不動故以為法
[041-20a]
右併法還原即用原列應減之數併之必合原實是/為簡法
列位法如法作兩直線先以實數二一一一四列於/右直線之右自上而下順布之次以法數六
列於右直線之左因法係/六分故與實分位相對
[041-20b]
商除法次以法數約實法是六實是二以六除二當/合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三
六一十八是言十之數將商得三以法首二書於左/直線之右以乘得一八書於左直線之左因是言十
之數以乗得進位一字對商數三字書之遂以此乘/得一八用減法與原實二一對減先於實次位減八
實係一不足減作㸃借上一數為十一減八餘三改/書三於實一之右次於實首位減一實係二因借去
一㸃只作一減盡作○乃作線抹去二/一存○三亦於左作線抹去減數一八
次商以六除三亦當合下位作三一除之商作五以/乘法六呼五六成三十是言十之數將次商五對實
三字書於初商之下亦以乗得三○依法以三字為/進位對次商五字書於左直線之左依法對減實三
[041-21a]
作○仍作線抹去實三亦於左減數抹去三○如六/三商以六除一合下位作十一商作一呼一六
是言如之數將三商一對實上位一字書於次商五/之下依法以乘得○六對所商一字書於左線之左
以對減實一一以六減一不足減作㸃借上成十一/減六餘五改書 五於右抹去一一亦於左減數抹
去○六六除五亦合下位作五十四商作九呼六九/末商以
五十四是言十之數將商得九對實五字書於三商/一之下依法以乘得五四對所商九字書左線之左
以對減實五四恰盡俱改書○而抹去五/四左減數亦抹去 共商得三五一九
定位訣於右線法數六字上一位作□為單位之識畝/以横對左得數九字定為單九畝進位是十
又進百畝又進千畝命所/得為三千五百一十九畝
[041-21b]
乗法還原以法六分乘得數三千五百一十九畝仍/得原實見乗法
除法還原以得數為法除原實仍得法數六分/後條 見/
試法
九減得數無餘紀○於左法數餘/六紀於右左右相乗仍紀○於上
九減原實無餘紀○於下皆○/凡○位與他數相乗所得
七減得數餘五紀左法數餘六紀/右左右相乗仍以七減餘二紀於
上七減原實餘二紀於下悮/兩試皆上下相同知其不
[041-22a]
論曰除法以乘法還原猶之乘法以除法還原此舊/法珠算所必需若除法以除法還原則舊所無也同
文算指用九減七減試法可免還原頗稱巧㨗今以/併法代之則試法亦省故稱簡法焉兹各具一則用
相参互以明筭理握算者擇而用之可也法/今定筆除只用簡法還原若筆乘仍用試
多位除式
假如有熟地三千五百一十九畝共徵銀二百一十一
兩一錢四分問每畝科則若干 答曰毎畝六分
審法實此以總數求毎數也問者欲知毎畝科則是/將以總銀變為毎銀銀數動地畝不動故以
地為法/銀為實
[041-22b]
列位法先以實數自上而下順布於右線之右次以/法數對書於右線之左實首位是二百法首
是三千法大於實一位故進一/位列之凡進位列者皆不滿法
商除法以法數約實法首是三實是二合兩位二一/除之宜商七因法有次位須留餘地改商六
[041-23a]
以乗法三呼三六一十八是言十之數以商數六對/實首二書於左直線之右以乘得一八書於左線之
左遂以商數六徧乗法次位五呼五六成三十乗得/三○挨書於一八之下一位又以商數徧乗法第三
位一呼一六如六乘得○六挨書下一位又以商數/六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨書
下一位如此徧乗法四位訖乃以/乘出數為減數對減原實恰盡
定位尋法首上一位為單位横對左線得數上二位/定為兩順下一位是錢此二位俱空補作○○
再下是分定/所得為六分
此一次除盡例也又為法大實小故所得不能成整
數兩為整數今所得/是分在兩下二位
[041-23b]
若用乘法還原同前條還原法/若用除法還原即前條除法
此所定單位在得數之外乃借虛位以定實數下條/同
其故何也曰法是三千有零能滿此數始能成一兩
故曰實如法而一今法大實小是實不滿法不能成
一數所得者乃剖一整數而得其若干如此條所得
乃百分兩之六也詳命/分
假如有銀八兩六錢六分八釐換金毎金一兩該銀八
兩八錢問換金若干
[041-24a]
答曰九錢八分五釐
定法實訣此為以銀除銀金價八兩八錢是先有之/定則不動就以為法
[041-24b]
如前法對列法實於右線之左右改退商九以乗法/初商法八實八宜商一因無次商
八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨書遂以/對減實三位八六六餘○七四 次商八以乘法八
得六四乗法次八亦得六四依法書之遂以對減餘/實七四八餘○四四 三商五以乗法八八得四四
○依法書之遂以/對減餘實恰盡
定位法數上一位為單位横對得數上一位是兩定/為○兩九錢八分五釐法實首位同而法次位
八大於實次位六故亦借/虚位以定實數説在前條
甪乗法還原見乗法第二條兩用除法還原以金九/錢八分五釐為法除實得毎 價八兩八錢即畸零
法也詳/通分
[041-25a]
假如有銀四萬八千兩六十四人分之該若干
答曰各七百五十兩
假如有銀二百七十二兩○二分四釐九毫毎錢一千
[041-25b]
銀九錢○五釐問錢若干 答曰三十萬零五百八十文
定法實此先有定則九錢○五釐故以為法/
此法有○位例也亦是得數有/○之例
初商三以乗法九得二七法次/位空無乘挨作○○以存其位
再乗法末位五得一五各如式/書之以對減原實二七二○餘
○○○五字實空位無可商次/商從實五 起商作五以乘法
九得四五法次位空亦作○存/位 乗法末位五得二五如式
書之以對減實五二四九餘○/七二四
[041-26a]
初商三乗九得二十七是言十之數宜對實首位二/字書得數三次商五乗九得四十五亦是言十之數
宜對餘實首位五字書得數五如此審定而書則乘/出減實之數與實相對了了分明便知不誤然初商
次商不相接續所差二位是得數有二空位也補作/○○於初商次商之間以存得數之空位如是則次
商之事畢之末商八以乗法九得七二法次位無乘盡/亦作○存 法末位乗得四○以對減餘七二四恰
定位此因所問是毎千之價故千即單數也從法上/一位横對定為千文之位上為萬又上十萬定
所得為三十萬○/○五百八十文
若以數三十萬○○五百八十文為法除原實二百
七十二兩○二分四釐九毫亦復得九錢○五釐為
[041-26b]
毎千之價如後圖
審法實此問錢價是以錢分銀故以總錢為法總銀/為實
列位之理所欲知者毎千/之價故以千為
單以萬為十以十萬當百/與原銀對列
其書商數如式不錯則得無/數之空位自明定位亦自
舛説見前相還原/此兩條互 若以/
乗法還原並用乘法第三/條
[041-27a]
命分法
凡除法至單而止故曰實如法而一所謂一者即單一
數也其有除至單數而仍有不盡之餘實或法之數本
大於實皆不能成一整數則以法命之其法有二
其一除之至盡如計輕重者不滿一兩則除之為若干錢
若干分及釐毫絲忽前條法大實小及得數單下仍有數
位者是也若授時厯萬分為度百秒為分及錢鈔論/貫貫之下有百冇十有零文尤為易見
其一以法數為分母不盡之數為分子命為幾分之幾如以三/除五内
[041-27b]
除三數滿法成一整數餘實二不能成整則以此二數各剖為/三分共成六分而以三除之各得二分是為三分之二也
假如十九人分銀二百五十四兩問各若干
答曰各十三兩零十九分之七
以十九人為法除二百五十四兩/各得一十三兩不盡七兩以法命
之七其法以法十九命為分母不/盡 數為分子命為十九分兩之
七不解曰一整兩各剖為十九分/則 盡之七兩共剖為一百三十
三分以十九人分之各得七分并/整數分數為毎人分得一十三兩
零十九分兩之七/
[041-28a]
若用乘法還原法以十九人乗得/數十三兩得共二百四十七兩加
八不盡七兩共二百五十四兩合/原實
若用除法還原實法置原實内減不盡之數七兩餘二/百四十七兩為 毎人十三兩為法法除實得十九人
論曰古人只用命分後世乃有除之至盡之法然終不
能盡如以十九人除七兩各得三錢六/分八釐四毫二絲一忽終餘一忽故不如命分之
簡妙如錢糧尾數一忽之下仍冇微纎等七位不等徒/滋繁文無禆實用然亦終不能盡若命分之法只
一語喝盡更無滲漏/然後知古法為無弊
省除法舊名定身除亦名減法凡法首位是一數/者用之
[041-28b]
假如漕糧正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗
問正米若干
答曰三百六十石
先以原數五定正數為三書直線/左以應減耗數四乗所定正三得
耗一十二併正三共得四二以減/原數五○餘○八次以餘數八定
正數為六書正數三之下以減耗/四乗六得二十四併正六共得八
四減餘數恰盡之即還原數或用/合得數減數併
加四亦同/
[041-29a]
定位凡省除皆以原數定位/
省除又法古謂之求一除法/
凡定身除惟法首是一數者可用今以倍半之法求之
則法首皆變為一數
其法遇法首位是二是三法實皆折半遇四則折半兩
次遇五六七八九法實皆加倍如此則法首位皆成一/數
假如前條六十四人分銀四萬八千兩用除法各得七
百五十兩今以法實各折半兩次用定身除所得亦
[041-29b]
同
先以法六十四折半作三十二又/折半一十六為法實四萬八千折
半作二萬四千又折半一萬二千/為實用定身除法先以實首兩位
一二定七為得數法去首位一不/用只用六以乘得數七得四十二
書左併得數七共一一二以減原/實一二餘○○八次以餘實八定
五為得數亦以法六乗得三○挨/書於左以減餘實八恰盡
定位得數七對原實千因法是有十之數退一等作七/百定所得為七百五十石 假如十人七千即毎
人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退/二位有千退三位萬以上倣此論之凡省除依原實
[041-30a]
定位當/知此訣
併除法舊名異除同除/
凡有當除數次者則以法相乗為法作一次除之亦簡
法也如以四除之又以五除之又以七除之則以四乘/五得二十又以七乘得一百四十共為法以除之
是併數次除/為一次除也
假如經商獲利二千兩原本三千二百兩已經四年問
毎年毎兩之息
答曰毎兩息一錢五分六釐二毫半
[041-30b]
法曰先以四年乗原本三/千
二/百得一萬二/千八百為總法本法/宜以
二千二百除二千得毎兩/之息再以四年除之得毎
年毎兩之息今併兩次除/為一次除足簡法也
截除法與併除相反/所以便初學
凡除有法數位繁者或可以截為兩次除以從簡易
[041-31a]
假如五十六人分銀一千五百/一十二兩各若干
答曰各二十七兩
此因法五十六是七八相乘之數故先以八除得一/百八十九兩仍用為實再以七除之得二十七兩合
問/
[041-31b]
或先用七除得數二百一十六兩復以八除之亦得二/十七兩為毎人數
右省除式也祇作一直線書原實於右紀得數於左/而以九九數呼而減之不必另書減數凡法只一位
者用此/為便
假如銅一百二十八斤價二十兩問毎斤若干
答曰毎斤一錢五分六釐二毫半原法三位今用截/除三次俱一位為
法可用/省除
[041-32a]
假如銀一千○八十兩置田二百一十六畝問田價每
[041-32b]
畝若干
答曰五兩 原法三位今用六除三次亦同/
約分法
[041-33a]
凡命分有可約者以法約之古法曰可半者半之不可
半者以少減多更相減損求其有等以等約之以等數/除母子
數則皆除盡西/人謂之紐數
假如八十一人分銀二十七兩問各數 答曰各得三
分兩之一
法曰以八十一除二十七不能各得一兩依命分法/八十一為分母二十七為分子命為八十一分
兩之二十七又以/法約之為三之一解曰八十一是三箇二十七若剖/毎兩為八十一分即各得其
二十七分是/三之一也
[041-33b]
分母八一 約分法曰置分母八十一用遞減法以分/子二十七減之餘五十四復以二十七減
分子二七 之仍餘二十七如是則兩數齊同是有等/也即用此等數二十七為法轉除分母八
減餘五四 十一得三除分子得一如此則不用細分/但以毎兩均剖為三而各得其一分即三
又減/分子二七 人共一兩也十四則用轉減法以子五四/若分子是五
仍餘二七 轉減母八一餘廿七又以母餘二十七轉/減子五四亦餘卄七是相等也就以此等
數卄七為法除母八一得三除子五四得/二是為約得三之二
假如米八十五石分結一百○二人問各若干
答曰各得六分石之五
[041-34a]
法曰人多米少不能各一石依命分法以一○二為分母八五/為分子命為一百○二之八十五以法約之為六分之五
約分法曰置分母一百○二以分子八/十五減之得餘十七用轉減法以餘十
七減分子八十五餘六十八又遞減之/餘五十一又減之餘三十四又減之餘
亦十七是相等也就此等數十七為法/轉除母數一百○二得六除子數八十
五得五約為六分之五十七八十五是/解曰一百○二是六箇
五箇十七故曰六之五即六人共米五/石也
若以米毎石均分六分八十五石共得/五百一十分為實以一百○二人為法
除之得五是毎/分之五也 所得為一石米中六/
[041-34b]
厯算全書巻三十五
欽定四庫全書
厯算全書巻三十五
宣城梅文鼎撰
筆算巻二
乘法
以數生數是之謂乗數不能自生相得乃生故乗亦曰
因生則不窮故乘有陻義/生則日積故乘有載義有一位乗有多位乗或分一/位曰因
多位曰乘然古皆/謂之乘今從古皆有法有實有得數
[041-1b]
凡實數縱列於右凡法數/横列於下縱横相遇而得
數生焉對者法數也斜行/直行所
所對者實數也而紀得數/則以横行定之
或問實何以對斜行曰法/有進行故得數斜陞是故
右第一行是法單位乘出/之數也其次行則法十位
乘出之數也又次而百而/千視此矣故其乗得數不
出斜格流此虛位也單十/百千周 迭居皆於臨時
定/之
[041-2a]
凡乘出數皆有本位有進位如有十數又有零數三四/一十
二四四一/十六之類則紀零於本位本格之/右方紀十於進位上一格/之左方
有十數無零數則紀十於進位而本位作○五四成二/十五六成
三十/之類有零數無十數則紀零於本位而進位作○一一/如一
二二如/四之類凡法實有空位則本位進位俱紀○
凡乘皆從法尾位起即右第/一行對定實數相乗自下而上
如畫卦之法右行乘畢挨乗左行毎移一行必進上一
位其各行中斜對實數自下而上皆如右行法
[041-2b]
凡法與實有空位則無可乘然必於本位進位各作○
以存其位若實尾有空位則/於合摠時補之
凡各行乗訖必覆核之乃以併法合總而紀於左方以
為得數實尾有幾○皆作於總數之下
凡乗訖定位皆於原實内尋原問毎數為根以横行對
定得數命為法尾數則上下之位皆定
凡數單乗單成單甲為本位/戊為進位十乘十成百乙為本位/已為進位百
乘百成萬丙為本位/庚為進位千乗千成百萬丁為本位/辛為進位前圖可
[041-3a]
明
定位又法法曰有本數有大數有小數如原問是毎畝/之價而原實恰止於畝數是本數也凡本數
即用得數尾位命為法尾數是若原問是毎畝之價而/原實只有十畝或只有百畝 大數也凡大數當於得
數尾位下增○然後於所增○位命為法尾數若大幾/位亦增幾○皆增至毎位止即命末○為法尾數也
若原問是每畝之價而原實不止於畝畝下𢃄有分釐/是小數也凡小數當於得數之尾截去之原𢃄畸零幾
位亦截去幾位然後命之即所/截之上一位為法尾數是也
凡乗畢恐其有誤宜用除法還原置得數為實以法數/為法除之即得原實
或置得數為實以實數/為法除之亦得法數不則以九減七減試之尤㨗
[041-3b]
先以法數如法九減之而紀其餘紀/於右如甲次以實數亦九減之而
其餘於左如乙再以左右兩減餘相/乘得數仍九減之而紀其餘於上方
如丙下末以得數亦九減之而紀其/餘於 方如丁 丁丙相同即知無
誤七減/亦然
先以法數實數各如法九減之而並/紀其餘如甲與乙 次以兩減餘相
乗得數仍九減之而紀其餘如丙以/上並居左方 末以得數亦九減之
而紀其餘于右方如丁二視丙丁相/同卽知無誤 如甲乙 者内有一
○卽丙亦○又或甲爲一數卽丙/數同乙皆不用乗 七減亦然
[041-4a]
一位乗式
假如有熟田三千五百一十九畝每畝編銀六分問該若干
答曰二百一十一兩一錢四分
法從下起先以法數六乘實/數九呼六九五十四紀四於
於本位紀五於進位進乘實/數一呼一六得六紀六於本
位紀○於進位進乗實數五/呼五六成三十紀○於本位
紀三於進位進乘實數三呼/三六一十八紀八於木位紀
一於進位合乘/畢以倂法 總
[041-4b]
定位法 因原問是毎畝科則就於右行原實内尋
每畝數為定位之根横對左行得數命法尾分則其
餘皆定根是九畝横對是四分則上位是錢又上是/兩又上十兩又上是百兩定所得為二百一
十一兩一/錢四分
兩位以上乗式
假如有金九錢八分五釐每兩價銀八兩八錢問該若
[041-5a]
干 答曰八兩六錢六分八釐
先以法八錢乗實數五呼五八成/四十紀○於本位紀四於進位進
乗實數八呼八八六十四紀四於/本位紀六於進位進乗實數九呼
八九七十二紀二於本位紀七於/進位
次進一位以法八兩乗實五呼五/八成四十紀○於本位進乗實八
呼八八六十四紀四本位紀六進/位進乘實九呼八九七十二紀二
本位紀七進位總/乗畢以併法合
定位法原問毎兩之價而實無兩當於實九錢上補/作○兩位為根以横對得數定為法尾錢即
[041-5b]
上下之/位俱定
定位又法此小數也原問以毎兩價為法而實有錢分/釐共小三位即於得數截去尾三位定第四
位為/六錢
法實減餘平列左上/相乘而減之列左下
得數減餘列右/下以相同為定
假如有錢三十萬零五百八十文每千賣銀九錢零五
釐該若干
答曰二百七十二兩零二分四釐九毫
[041-6a]
先以法數五乗實數八紀/四○次乘實數五紀二五
次乗實數○○本位進一位/俱紀○次乗實數三紀 五
進一位以法數○乘實○/無可乘於本位進位各紀
○以存其位法數九乘實/又進一位以
數八紀七二進乗實數五/紀四五進乘兩○紀○進
乗實數三紀二七/乘畢以併法合總
定位原問是毎千之價當於原實内尋干位為/根以對得數命為法尾釐則其餘皆定
定位又法此亦小數也實有十丈於原問毎干為小/兩位當於得數截去末兩位定為法尾釐
[041-6b]
此即前問也因法有空/位省不乘但於法首九
錢起進二位乘之即得/數無訛與前法同
本宜進一位乘九錢今/進兩位以合空位之數
若法有兩空即進/三位以上倣論
假如星命家以年月日時配成八字以七百二十/乗七百二十問共
該若干
[041-7a]
答曰五十一萬八千四百
如法乗訖併之/得五一八四
定一原問七百二十年月下毎/一數中各配七百二十日
時宜於原實下補作○單位/為根以對得數定法尾十
或用又法實數止於十大於毎/數一位乃大數也宜
徑於得數増一/○位定法尾一
解曰六十年各十二月則前四字七百二十六十日/各十二時下四字亦七百二十故以相乘即能
盡八字/之變
[041-7b]
假如西厯天度毎週三百六十今有星行天三百週該若干
答曰一十萬零八千度
依法乘訖用併法/合總得一○八
定位原問是毎週之度今實數是三百週/當於原實下補作兩○至毎週位止
以此為根横對得數定法尾十度而得數/空補作一○上一位為百度位得數亦空
又補作○是得數無百無十也再上為千/為萬為十萬定所得為一十萬○八千
或用又法星行三百週大於毎週兩位乃/大數也法徑於得數下增兩○
定末○為法尾十/度即得數皆定
[041-8a]
此先置三百六十為實而/以三百週為法乘之也得
數一○八與前法同但變/兩位乘為一位乘其用更
簡/
定位用大數法以實止十/度無毎位徑於得數
下補作一○定為法尾百/即得數定為十萬○八千
假如有珠子三分五釐毎兩值銀二十四兩該
若干
答曰八錢四分
[041-8b]
依法乘而併之得八四○
定位原問珠毎兩價今實/數只有分乃進位作
○於錢位又上作○於兩位/兩為根横對得數為法尾數
兩而兩位空補作/為八錢四分 定所得/
定位又法此小數法也實有分釐在原問毎兩下三位/宜截去得數末三位定法尾數兩而得數只
三位無可截乃補作○於得/數之上然後截之定為○兩
[041-9a]
此與前條金價並畸零乘法也餘詳/通分
省乘法古謂之/加法
假如有漕糧三百六十石毎石𢃄耗米四斗問正耗共若干
答曰共五百○四石
此就身加法也原數即當得數不/動只挨身加四
先於六十石加四六二十四石又/於三百石加三四一百二十石末
用併法連原數併之合總凡加/法定位依原數不湏更求下同
[041-9b]
加法九試七試略同併法並合原數加/數减餘列右共數減餘列左此及下
條並九減七/減俱無餘
假如銀五十四兩毎兩月息二分五釐今兩箇月共本
息若干
答曰共五十六兩七錢
此因所加是分在兩下二位故隔/位加 又因毎月二分半今兩箇
月該五分故以五分為法先於四/兩加二○進於五十加二五末以
併法連原/數合總
[041-10a]
省乘又法古謂之求一乘法/
凡法數之首為一數者即原數不動而挨身加之與前
兩條同也若法首非一數者以法變為一數則亦可挨加
此為本非一數求而得之故名求一乗法也 其法遇
法首為二為三則折半用之而倍其實 法首遇五六
七八九則加倍用之而半其實 法首遇四則取四之
一用之而四其實如此則法首成/一數可用省乘
凡求一乘法定位亦於原實内尋毎數為根以横行對/得數定之但此所對得數恒為法首位數 若乘法則
[041-10b]
為法尾位數與此不同乃/理勢之自然不可不知
假如前條珠三分五釐價毎兩值銀二十四兩用乘法
得價銀八錢四分今以法數折半作一十二兩實數加倍
作七分挨身加之所得正同而用加㨗矣
原數不動即用為法首一數所乘也七加/挨身以法次位二與原數相乘呼二
一十四本位紀一下位紀四加訖以併法/合總亦連原數作數併之
定位亦從原數七分上加兩○尋毎兩位/為定位之根横對左行總數得法首
位是十兩下一位是兩俱空位補作兩○/再下一位即錢定所得為八錢四分
[041-11a]
又如前條錢三十萬○○五百八十文毎千價九錢○
五釐以錢折半十五萬○/二百九十為實價加倍作一兩八/錢一分為法
原數借為得數不動挨以法/去首位一只用八一 身加
之自下起於九加七二九於/二加一六二其○位無加於
五加四○五於實首一加八/加訖合 原數併總 一/
定位尋原數千位為根横對/左行得數得法首兩位
併乘法凡有數次乗者併為一次乗亦/算家簡法舊謂之異乗同乘
假如原本銀三千二百兩毎兩一年獲息一錢五分六
[041-11b]
釐二毫五絲已經四年該息若干 答曰二千兩
法先以三千二百兩乘四/年得一萬二千八百兩再
以息銀乘之是併兩次乘/為一次乘也
[041-12a]
截乘法凡乗法位多者截作數次乘之以便初學/其法與併乗相反而其理相通
假如有三十二人各給布六丈四尺共若干
答曰二百○四丈八尺
先置六丈四尺以十六人為法用省/乘就身加六得一百○二丈四尺又
二乘加倍合總二乘即三十二乘也/解曰十六乘又
定位凡就身加者原數即可定位如/前條漕糧毎石加四斗是也此
條是十六加首行六四雖以原數當/得數而六丈四尺已陞為六十四丈
矣時若加倍自是本位此在用算者/臨 消息之也
[041-12b]
或置三十二人以八丈乘兩次亦同
解曰八乘二次即六十四乗也
或置六丈四尺以四乗之得數又以八乗之所得
亦同
[041-13a]
解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也
[041-14a]
除法
以數剖數是之謂除除其原數以歸各數故除亦曰歸
除與乘對理精用博近/或謂之分義則淺矣
有一位除有多位除或分一位曰歸多位曰除或/曰歸除曰混歸然古皆曰除皆有
法有實有得數得數一/名商數
實其物也法其則也法實在乘法或可互用而除法必
須審定乘法以法與實相遇而生一數如陰陽相交而
生物也故雖互用而其交之理不易其生之用亦不易
[041-14b]
也除法以實滿法而成一數如鎔金以就型也故曰實
如法而一若倒用之則非矣實如法而一或變文曰如/某數而一如用三除者省
文曰以三而一言以三數成一數也而字皆連上為/文或者不察遂竟以而一當除之字義失其㫖矣
定法實訣
凡審法實有二訣一曰先有定則即以定則為法其所
除者必同名之物也如有定則之銀為法而除總銀以/定則之米為法而除總米是也
一曰先無定則而求定則須詳問意以所用求之者為
法其所除者必異名之物也如以總米除總銀以/總銀除總米是也
[041-15a]
何以為先有定則也以事明之如銀糴米而先知每米
一石之銀若干是先有定則之銀也即以此定則之銀
為法而以總銀為實以法除實則得總銀所糴之總米
矣此為有總銀數又有米毎石之/銀數故以銀除銀而得總米
若先知毎銀一兩之米若干是先有定則之米也即以
此定則之米為法而以總米為實以法除實則得總米
所糶之總銀矣此為有總米數又有銀毎兩之/米數故以米除米而得總銀
是皆所除者同名而所得者異名也又謂之以毎數求
[041-15b]
總數凡以毎數求總數者以每數為法毎數/即定則也以比例求之更明圖具左方
何以為先無定則而求定則也如有總米又有總銀而
無毎數則當於問意詳之問者若欲知每米一石之銀
是以米分銀也則以總米為法總銀為實問者若欲知
[041-16a]
每銀一兩之米是以銀分米也則以總銀為法總米為
實是所除者異名而所得者亦異名也又謂之以總數
求每數凡以總數求毎數先無定則故必於/問者之所求酌之亦有比例之理
又㨗法
[041-16b]
凡不動者為法動者為實何以明之如有總米總銀而
欲知毎米一石之銀則將變總銀為每米之銀是銀動
而米不動也故以米為法若欲知每銀一兩之米則將
變總米為毎銀之米是米動而銀不動也故以銀為法
其以毎數求總數者先有定則不動即用為法尤為易
見
凡布算乗易而除難除法之難尤在法實法實無
誤則思過半矣此乃珠算筆算所同也故首辨之
[041-17a]
如右若筆算除法更有宜知者數端具如後方
一列位法實既辨即當列位/
其法先作兩直綫自上而下平行相望約其間可容字
兩行為率其長短則視位數多寡定之先以實數列於
右直線之右自上而下依列位法書之次以法數列於
右直線之左亦自上而下其千百十單皆與實相對或
法數有千而實只有百者即對書於上一位餘皆倣此
亦有實數無分秒而法數有之者亦對書於實尾之下
[041-17b]
次約實以求得數得數亦名商數/
以法約實紀其得數於左線之右視法首位是言如之
數如三三如/九之𩔖則書於實之上一位而於實首添作○以
遙對之或法首位是言十之數如二六一/十二之類則書於實首
之對位其次商三商以上皆依此書之若書之而不相
接輳是商數有空位也補作○此定位之根慎不可錯
次乘商數求應減之數以減原實
以商得數與法數相呼乗之而紀數於左線之左皆以
[041-18a]
乘數之進位對商數紀之如二六一十二則以一十對/商數書之如三三如九是為
○九則以九上之○對/商數書之他皆倣此乃遂以乗出數與右行原實對
減周減/法足減者於原實抹改之不足減者改商數其乗
出數亦抹去便續商也
次定得數之位
先於法數之上一位作□為識以對得數命為單位
等而上之則十百千萬等而下之則分秒忽微皆
從此定
[041-18b]
次命分
除有不盡者以法命之用法數為母不盡之數為子命
為幾分之幾
次還原
凡除法恐其有誤當以乘法還原用法數與得數相乗
除有不盡者併入之即得原實
又法仍以除法還原用得數為法轉除原實即復得法
數除有不盡者以減原實為實然後除之
[041-19a]
又法以九減七減試之以法數九減七減皆用其所減
之餘紀右再以得數如法減之紀其餘於左左右兩餘
數相乗仍如法減之紀其餘於上方末以原實亦如法
減之紀其餘於下方上下相同則無誤矣
又簡法作直綫於左方以應減之數依併法併之必合
原實有不盡數亦併入之此法更簡更確/
按筆除原法以法實上下相疊不論數之何等謂十/單分
秒之/等而但齊其尾殊欠條理又以得數横續於法實
[041-19b]
之尾定位易淆今法與實皆用真數相對而宜減之
數先列左方對減無誤即古人實如法而一之故了
了分明據法首定位尤為簡快
一位除式
假如有額編地丁銀二百一十一兩一錢四分其科則
毎畝六分問原地若干
答曰三千五百一十九畝
審法實訣此為以毎數求總數也其毎數六分為先/有之定則不動故以為法
[041-20a]
右併法還原即用原列應減之數併之必合原實是/為簡法
列位法如法作兩直線先以實數二一一一四列於/右直線之右自上而下順布之次以法數六
列於右直線之左因法係/六分故與實分位相對
[041-20b]
商除法次以法數約實法是六實是二以六除二當/合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三
六一十八是言十之數將商得三以法首二書於左/直線之右以乘得一八書於左直線之左因是言十
之數以乗得進位一字對商數三字書之遂以此乘/得一八用減法與原實二一對減先於實次位減八
實係一不足減作㸃借上一數為十一減八餘三改/書三於實一之右次於實首位減一實係二因借去
一㸃只作一減盡作○乃作線抹去二/一存○三亦於左作線抹去減數一八
次商以六除三亦當合下位作三一除之商作五以/乘法六呼五六成三十是言十之數將次商五對實
三字書於初商之下亦以乗得三○依法以三字為/進位對次商五字書於左直線之左依法對減實三
[041-21a]
作○仍作線抹去實三亦於左減數抹去三○如六/三商以六除一合下位作十一商作一呼一六
是言如之數將三商一對實上位一字書於次商五/之下依法以乘得○六對所商一字書於左線之左
以對減實一一以六減一不足減作㸃借上成十一/減六餘五改書 五於右抹去一一亦於左減數抹
去○六六除五亦合下位作五十四商作九呼六九/末商以
五十四是言十之數將商得九對實五字書於三商/一之下依法以乘得五四對所商九字書左線之左
以對減實五四恰盡俱改書○而抹去五/四左減數亦抹去 共商得三五一九
定位訣於右線法數六字上一位作□為單位之識畝/以横對左得數九字定為單九畝進位是十
又進百畝又進千畝命所/得為三千五百一十九畝
[041-21b]
乗法還原以法六分乘得數三千五百一十九畝仍/得原實見乗法
除法還原以得數為法除原實仍得法數六分/後條 見/
試法
九減得數無餘紀○於左法數餘/六紀於右左右相乗仍紀○於上
九減原實無餘紀○於下皆○/凡○位與他數相乗所得
七減得數餘五紀左法數餘六紀/右左右相乗仍以七減餘二紀於
上七減原實餘二紀於下悮/兩試皆上下相同知其不
[041-22a]
論曰除法以乘法還原猶之乘法以除法還原此舊/法珠算所必需若除法以除法還原則舊所無也同
文算指用九減七減試法可免還原頗稱巧㨗今以/併法代之則試法亦省故稱簡法焉兹各具一則用
相参互以明筭理握算者擇而用之可也法/今定筆除只用簡法還原若筆乘仍用試
多位除式
假如有熟地三千五百一十九畝共徵銀二百一十一
兩一錢四分問每畝科則若干 答曰毎畝六分
審法實此以總數求毎數也問者欲知毎畝科則是/將以總銀變為毎銀銀數動地畝不動故以
地為法/銀為實
[041-22b]
列位法先以實數自上而下順布於右線之右次以/法數對書於右線之左實首位是二百法首
是三千法大於實一位故進一/位列之凡進位列者皆不滿法
商除法以法數約實法首是三實是二合兩位二一/除之宜商七因法有次位須留餘地改商六
[041-23a]
以乗法三呼三六一十八是言十之數以商數六對/實首二書於左直線之右以乘得一八書於左線之
左遂以商數六徧乗法次位五呼五六成三十乗得/三○挨書於一八之下一位又以商數徧乗法第三
位一呼一六如六乘得○六挨書下一位又以商數/六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨書
下一位如此徧乗法四位訖乃以/乘出數為減數對減原實恰盡
定位尋法首上一位為單位横對左線得數上二位/定為兩順下一位是錢此二位俱空補作○○
再下是分定/所得為六分
此一次除盡例也又為法大實小故所得不能成整
數兩為整數今所得/是分在兩下二位
[041-23b]
若用乘法還原同前條還原法/若用除法還原即前條除法
此所定單位在得數之外乃借虛位以定實數下條/同
其故何也曰法是三千有零能滿此數始能成一兩
故曰實如法而一今法大實小是實不滿法不能成
一數所得者乃剖一整數而得其若干如此條所得
乃百分兩之六也詳命/分
假如有銀八兩六錢六分八釐換金毎金一兩該銀八
兩八錢問換金若干
[041-24a]
答曰九錢八分五釐
定法實訣此為以銀除銀金價八兩八錢是先有之/定則不動就以為法
[041-24b]
如前法對列法實於右線之左右改退商九以乗法/初商法八實八宜商一因無次商
八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨書遂以/對減實三位八六六餘○七四 次商八以乘法八
得六四乗法次八亦得六四依法書之遂以對減餘/實七四八餘○四四 三商五以乗法八八得四四
○依法書之遂以/對減餘實恰盡
定位法數上一位為單位横對得數上一位是兩定/為○兩九錢八分五釐法實首位同而法次位
八大於實次位六故亦借/虚位以定實數説在前條
甪乗法還原見乗法第二條兩用除法還原以金九/錢八分五釐為法除實得毎 價八兩八錢即畸零
法也詳/通分
[041-25a]
假如有銀四萬八千兩六十四人分之該若干
答曰各七百五十兩
假如有銀二百七十二兩○二分四釐九毫毎錢一千
[041-25b]
銀九錢○五釐問錢若干 答曰三十萬零五百八十文
定法實此先有定則九錢○五釐故以為法/
此法有○位例也亦是得數有/○之例
初商三以乗法九得二七法次/位空無乘挨作○○以存其位
再乗法末位五得一五各如式/書之以對減原實二七二○餘
○○○五字實空位無可商次/商從實五 起商作五以乘法
九得四五法次位空亦作○存/位 乗法末位五得二五如式
書之以對減實五二四九餘○/七二四
[041-26a]
初商三乗九得二十七是言十之數宜對實首位二/字書得數三次商五乗九得四十五亦是言十之數
宜對餘實首位五字書得數五如此審定而書則乘/出減實之數與實相對了了分明便知不誤然初商
次商不相接續所差二位是得數有二空位也補作/○○於初商次商之間以存得數之空位如是則次
商之事畢之末商八以乗法九得七二法次位無乘盡/亦作○存 法末位乗得四○以對減餘七二四恰
定位此因所問是毎千之價故千即單數也從法上/一位横對定為千文之位上為萬又上十萬定
所得為三十萬○/○五百八十文
若以數三十萬○○五百八十文為法除原實二百
七十二兩○二分四釐九毫亦復得九錢○五釐為
[041-26b]
毎千之價如後圖
審法實此問錢價是以錢分銀故以總錢為法總銀/為實
列位之理所欲知者毎千/之價故以千為
單以萬為十以十萬當百/與原銀對列
其書商數如式不錯則得無/數之空位自明定位亦自
舛説見前相還原/此兩條互 若以/
乗法還原並用乘法第三/條
[041-27a]
命分法
凡除法至單而止故曰實如法而一所謂一者即單一
數也其有除至單數而仍有不盡之餘實或法之數本
大於實皆不能成一整數則以法命之其法有二
其一除之至盡如計輕重者不滿一兩則除之為若干錢
若干分及釐毫絲忽前條法大實小及得數單下仍有數
位者是也若授時厯萬分為度百秒為分及錢鈔論/貫貫之下有百冇十有零文尤為易見
其一以法數為分母不盡之數為分子命為幾分之幾如以三/除五内
[041-27b]
除三數滿法成一整數餘實二不能成整則以此二數各剖為/三分共成六分而以三除之各得二分是為三分之二也
假如十九人分銀二百五十四兩問各若干
答曰各十三兩零十九分之七
以十九人為法除二百五十四兩/各得一十三兩不盡七兩以法命
之七其法以法十九命為分母不/盡 數為分子命為十九分兩之
七不解曰一整兩各剖為十九分/則 盡之七兩共剖為一百三十
三分以十九人分之各得七分并/整數分數為毎人分得一十三兩
零十九分兩之七/
[041-28a]
若用乘法還原法以十九人乗得/數十三兩得共二百四十七兩加
八不盡七兩共二百五十四兩合/原實
若用除法還原實法置原實内減不盡之數七兩餘二/百四十七兩為 毎人十三兩為法法除實得十九人
論曰古人只用命分後世乃有除之至盡之法然終不
能盡如以十九人除七兩各得三錢六/分八釐四毫二絲一忽終餘一忽故不如命分之
簡妙如錢糧尾數一忽之下仍冇微纎等七位不等徒/滋繁文無禆實用然亦終不能盡若命分之法只
一語喝盡更無滲漏/然後知古法為無弊
省除法舊名定身除亦名減法凡法首位是一數/者用之
[041-28b]
假如漕糧正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗
問正米若干
答曰三百六十石
先以原數五定正數為三書直線/左以應減耗數四乗所定正三得
耗一十二併正三共得四二以減/原數五○餘○八次以餘數八定
正數為六書正數三之下以減耗/四乗六得二十四併正六共得八
四減餘數恰盡之即還原數或用/合得數減數併
加四亦同/
[041-29a]
定位凡省除皆以原數定位/
省除又法古謂之求一除法/
凡定身除惟法首是一數者可用今以倍半之法求之
則法首皆變為一數
其法遇法首位是二是三法實皆折半遇四則折半兩
次遇五六七八九法實皆加倍如此則法首位皆成一/數
假如前條六十四人分銀四萬八千兩用除法各得七
百五十兩今以法實各折半兩次用定身除所得亦
[041-29b]
同
先以法六十四折半作三十二又/折半一十六為法實四萬八千折
半作二萬四千又折半一萬二千/為實用定身除法先以實首兩位
一二定七為得數法去首位一不/用只用六以乘得數七得四十二
書左併得數七共一一二以減原/實一二餘○○八次以餘實八定
五為得數亦以法六乗得三○挨/書於左以減餘實八恰盡
定位得數七對原實千因法是有十之數退一等作七/百定所得為七百五十石 假如十人七千即毎
人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退/二位有千退三位萬以上倣此論之凡省除依原實
[041-30a]
定位當/知此訣
併除法舊名異除同除/
凡有當除數次者則以法相乗為法作一次除之亦簡
法也如以四除之又以五除之又以七除之則以四乘/五得二十又以七乘得一百四十共為法以除之
是併數次除/為一次除也
假如經商獲利二千兩原本三千二百兩已經四年問
毎年毎兩之息
答曰毎兩息一錢五分六釐二毫半
[041-30b]
法曰先以四年乗原本三/千
二/百得一萬二/千八百為總法本法/宜以
二千二百除二千得毎兩/之息再以四年除之得毎
年毎兩之息今併兩次除/為一次除足簡法也
截除法與併除相反/所以便初學
凡除有法數位繁者或可以截為兩次除以從簡易
[041-31a]
假如五十六人分銀一千五百/一十二兩各若干
答曰各二十七兩
此因法五十六是七八相乘之數故先以八除得一/百八十九兩仍用為實再以七除之得二十七兩合
問/
[041-31b]
或先用七除得數二百一十六兩復以八除之亦得二/十七兩為毎人數
右省除式也祇作一直線書原實於右紀得數於左/而以九九數呼而減之不必另書減數凡法只一位
者用此/為便
假如銅一百二十八斤價二十兩問毎斤若干
答曰毎斤一錢五分六釐二毫半原法三位今用截/除三次俱一位為
法可用/省除
[041-32a]
假如銀一千○八十兩置田二百一十六畝問田價每
[041-32b]
畝若干
答曰五兩 原法三位今用六除三次亦同/
約分法
[041-33a]
凡命分有可約者以法約之古法曰可半者半之不可
半者以少減多更相減損求其有等以等約之以等數/除母子
數則皆除盡西/人謂之紐數
假如八十一人分銀二十七兩問各數 答曰各得三
分兩之一
法曰以八十一除二十七不能各得一兩依命分法/八十一為分母二十七為分子命為八十一分
兩之二十七又以/法約之為三之一解曰八十一是三箇二十七若剖/毎兩為八十一分即各得其
二十七分是/三之一也
[041-33b]
分母八一 約分法曰置分母八十一用遞減法以分/子二十七減之餘五十四復以二十七減
分子二七 之仍餘二十七如是則兩數齊同是有等/也即用此等數二十七為法轉除分母八
減餘五四 十一得三除分子得一如此則不用細分/但以毎兩均剖為三而各得其一分即三
又減/分子二七 人共一兩也十四則用轉減法以子五四/若分子是五
仍餘二七 轉減母八一餘廿七又以母餘二十七轉/減子五四亦餘卄七是相等也就以此等
數卄七為法除母八一得三除子五四得/二是為約得三之二
假如米八十五石分結一百○二人問各若干
答曰各得六分石之五
[041-34a]
法曰人多米少不能各一石依命分法以一○二為分母八五/為分子命為一百○二之八十五以法約之為六分之五
約分法曰置分母一百○二以分子八/十五減之得餘十七用轉減法以餘十
七減分子八十五餘六十八又遞減之/餘五十一又減之餘三十四又減之餘
亦十七是相等也就此等數十七為法/轉除母數一百○二得六除子數八十
五得五約為六分之五十七八十五是/解曰一百○二是六箇
五箇十七故曰六之五即六人共米五/石也
若以米毎石均分六分八十五石共得/五百一十分為實以一百○二人為法
除之得五是毎/分之五也 所得為一石米中六/
[041-34b]
厯算全書巻三十五