[028-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻二十五
宣城梅文鼎撰
交㑹管見
求初虧復員定交角
以初虧復員定時分依法求其距午時分午後以加午
前以減各加減日實度所對時分入九十度/表取之為初虧復
員時定總時
[028-1b]
以定總時各求其日距限限距地髙遂以得其交角加
減之得初虧復員時定交角
求初虧復員時先闕後盈之㸃在日體上下左右
法自天頂作垂弧過日心以至地平分日體員周左右
各一百八十度次依定交角度分日在限西初虧為右
下之角復員為左上之角其度右旋日在限東初虧為
右上之角復員為左下之角其度左轉並自垂弧左右
起算數至定交角度分即得太陽員周初虧時先闕復
[028-2a]
員時後盈之㸃其定交角或為鈍角者上下相易如本/為右
下者變為右上本為右/上者變為右下左亦然是為虧復時交道中徑 食十
分者用此即中西舊法所謂八分以上初虧正西復員
正東者也初虧復員各依其/定交角度分取之
若食九分以下當先求蝕緯差角法為并徑與月視黄
緯若半徑與蝕緯差角之正弦也以月視黄緯化秒乘
半徑為實以并徑減一分化秒為法除之得蝕緯差角
之正弦查正弦得度分以加減虧復時交道中徑得日
[028-2b]
體周邊先缺後盈之㸃
視緯北者日在限西初虧以加復員以減日在限東初
虧以減復員以加視緯南者日在限西初虧以減復員
以加日在限東初虧以加復員以減並置交道中徑以
蝕緯差角度分加減之得數仍自垂弧左右起算得初
虧何處先缺復員何處後盈上下左右皆可預定
求食甚在日體上下左右
惟食十分者食甚時兩心相掩或全黒或作全環皆無
[028-3a]
上下左右可論其食九分以下皆以隂陽厯論南北視
緯若食甚時正在黄平象限則視緯北者食甚在日體
上半缺口正向天頂形如仰瓦即舊法所謂正北視緯
南者食甚在日體下半餘光厚處正對天頂缺處正向
地平兩角下垂形如覆梳即舊法所謂正南也若此者
只有上下可言而無左右偏側之度其餘日在限西則
南緯在左下北緯在右下日在限東南緯在右下北緯
在左下並以食甚時定交角之餘度或左或右並從天
[028-3b]
頂垂弧之兩旁起算即得食甚在日體上下左右之度
求日體周邊受蝕幾何
法用太陽太隂兩半徑相并為和相減為較和較相乗
為實月視黄緯為法除之得數以加減月視黄緯訖乃
折半以乘半徑又為實以太陽半徑為法除之得餘弦
查表得度倍之即食甚時日體受蝕度分以太陽全周/分三百六十
度内該受蝕/者幾何度加減例日半徑大于月以得數加黄緯日/半徑小于月置黄緯以得數減之
求日食三限在地平上髙度
[028-4a]
食甚時日距地髙即可徑用 初虧復員各以定時求
其距午分依日赤緯南北度入髙弧表即各得虧復時
地平上髙度如無正表取前後二表數以中比例酌之/假如其地極出地三十一度則查三十度
表及三十二度表以兩表數并/而半之即是本地髙弧之數又算法以限距地髙度/與日距限之餘
度相加為捴相減為較捴較各取餘弦視捴弧過象限/則兩餘弦相并不過象限兩餘弦相減並折半得髙弧
正弦撿表/得髙度
求日食三限地平經度
法以地平緯度之餘度分與極出地之餘度分相加為
[028-4b]
總相減為較總弧較弧之餘弦相減若總弧過象限則
相加並折半為法初/數又取較弧矢與日距北極度之矢
對弧矢也日赤緯在南者以加象限赤緯在/北者置象限以赤緯減之即各得距北極度相減得較
較乘半徑為實實如法而一得角之矢以矢/命度若日食在
午前其角度為距正北子正之度食在午後以減半周
為距正南午正之度正矢與大矢/並同一法三限皆如是
求帶食分在日體上下左右
以日出入時距緯為法半徑乘月視黄緯為實實如法
[028-5a]
而一得正弦查表得帶食緯差角度分如求初虧復員
之法以帶食緯差角加減白道中徑得帶食分在日體
上下左右若帶食在初虧後食甚前其加減用初虧法
帶食在食甚後復員前其加減用復員法
帶食在初虧後食甚前者 隂厯日在限西加 日在限東減
陽厯日在限西減 日在限東加
帶食在食甚後復員前者 隂厯日在限西減 日在限東加
陽厯日在限西加 日在限東減
[028-5b]
右並置月道中徑以帶食緯差角度分加減之得數仍
自垂弧左右起算即得帶食時食分最深之處在日體
上下左右凡帶食出入時或㣲虧或見蝕半或半以上/其餘光皆成兩角外向均折兩角取其中即
帶食分最/深之處
求帶食出入時日邊受蝕幾何
以太陽太隂兩半徑相併為和相減為較和較相乘為
實日出入時距緯為法除之得數以加減日出入時距
緯日半徑大于月以得數加入距緯日/半徑小于月置距緯以得數減之乃折半用乘半
[028-6a]
徑又為實太陽半徑為法除之得餘弦查表得度倍之
為帶食出入時太陽周邊受蝕之分以三百六十度分/太陽全周内該缺
幾何/度分
[028-7a]
作日食分圖法交食之驗非圖莫顯圖必分作其象/始真故不憚反覆詳明以著其理
一定日食時交道斜正
作立綫以象垂弧此綫上指天頂下指地平即地平經
度圏之一象限也綫上取一㸃為心規作員形以象太
陽其員周為地平經綫所分左右各一百八十度依本
限定交角作㸃或初虧或復員或/食甚各有定交角若日距限在西其度
右旋日距限在東其度左旋於太陽員周上下並從垂
線分處數至定交角度止得兩㸃聮為一直綫必過太
[028-7b]
陽之心兩端稍引長之横出是為日食時月道交於垂
弧之象若日距限西交道左昂右低日距限東反之其
初虧食甚復員三限距限東西有時而異雖其不異亦
必有逺近髙下之殊則交道低昂異勢未可以一法齊
也今三限各求定交角依度作圖不論東西南北一以
太陽邊左右上下言其虧甚之狀即測算可以相符厯
法之疎宻可以衆睹更無絲毫可容假借
[028-8a]
[028-8b]
如圖甲乙為垂弧 甲丁乙丙為日體 乙己丙為定
交角丁己甲為對角乙至丙甲至丁皆定交角之度因
日距限在限西故右旋數其度 丙丁為上下兩㸃
己為日心聮丙丁為直綫則過日心稍引長之至庚則
成交道因在限西故月道左昂右低交道即月道也為/月視緯所成在食
十分時可名月道其食不滿/十分者可名月道平行綫
[028-9a]
[028-9b]
各號並與前同
惟日距限在限東故從乙至丙從甲至丁並左旋數定
交角度而庚辛月道右昂左低
[028-10a]
[028-10b]
如圖月道平過與天頂垂弧相交成十字正角而又在
午方則上北下南左東右西各如本位矣如舊法食十/分初虧正西
復圓正東食八分以下者隂厯初虧西北食甚正北復/圓東北陽厯初虧西南食甚正南復圓東南惟此時為
然/此必日食在黄平象限左右因定交角加減而成正
角然不常有即有之又未必在正南方則與東西南北
之名不相叶應故不如用定交角直以上下左右言其
方向黄平象限有離午正二十三四度時又有定交角/加減則雖離午正三十餘度之逺而能有此象盖
即月道之九十度限也食既者遇之虧必正右復必正/左北緯者虧右上復左上而食甚正向天頂南緯者虧
[028-11a]
右下復左下而/食甚向地平
[028-12a]
己為日戊為月
乙至丙甲至丁皆交角之度
丙為初虧丁為復圓
戊丙己丁為月道
此因日食十分故即用丙丁二㸃為初虧復圓即舊法
所云初虧正西復圓正東者也然以日距限西故初虧
在日體右下復圓在日體左上
[028-13a]
此亦日食十分因距限在東故初虧在日體為右上復
圓在日體為左下
凡日距限西者復圓交角必小於初虧日距限東者復
圓交角必大於初虧故必分作其圖始能合算今從簡
省以交角相同者合為一圖非謂一食中虧復同角也
[028-14a]
一圖初虧
先以初虧定交角如法作垂弧及交道安太陽於交㸃
若食十分者於太陽右方截取交道如月半徑之度以
此為心規作月體與太陽邊相切即初虧時先缺之㸃
圖己/見前
若食不滿十分者用緯差角度算太陽邊周之度月視
黄緯在北向上數之在南向下數之並從太陽右方交
道起算數至緯差角度止即為初虧時先缺之㸃自太
[028-14b]
陽心向此㸃作直線透出其外稍引長之以并徑為度
從心截取引長線作㸃即初虧時兩心之距也以截㸃
為心太隂半徑為度作圓形即初虧時太隂來掩太陽
相切之象也從太隂心作直綫與交道平行則月視行
之道也從太陽心作垂綫至視行綫成十字角即月視
黄緯也 以上並不論初虧是午前午後亦不論地平
方位或在正南或偏東西並同一法食甚復圓倣此
[028-15a]
[028-15b]
乙己丙交角乙丙其度從丙過己心至丁而引長之即
月道平行綫
丙己庚為緯差角丙庚其度因月視黄緯在北故從交
道丙向上數其度至庚庚即初虧時先缺之㸃
從太陽心己作直綫過庚㸃而透出其外為己庚戊綫
乃併日月兩半徑得己/戊為度截己庚戊綫于戊戊即太
隂心也以戊庚月半徑從戊心作圓為太隂與太陽邊
相切于庚初虧象也
[028-16a]
從月心戊作戊辛癸綫與丙己丁平行月視行道也此/月
視行綫乃人所見月心所行故/以丙己丁交綫為月道平行綫從太陽己心作十字垂
線至月視行綫上如己辛月視黄緯也
[028-17a]
乙己丙交角以乙丙為度從丙過己心作月道平行綫
丙己庚緯差角以丙庚為度因月視黄緯在南故從交
道丙向下數其度至庚庚即初虧時先缺之㸃此為緯/差角大
于定交角故/易右為左
從己心向庚作己庚戊線而以己戊并徑度截之於戊
用為月心規作月體與太陽相切於庚象初虧也
從戊心作癸戊辛綫與丙己丁平行月視行道也
從己心作己辛線與戊辛相遇成方角月視黄緯也
[028-17b]
以上二宗為日距限西日距限西者初虧定交角並為
右下之角然惟食十分時則初虧右下與定交角同㸃
其餘則北緯者能易右下為右上前條是也南緯者能
易右下為左下此條是也
[028-18a]
[028-18b]
甲己丁交角以丁甲為度從丁過己心作丁己丙月道
平行綫
丁己庚緯差角以丁庚為度因月視黄緯在北從交道
丁向上數至庚以庚為初虧之㸃此亦緯差角大于定/交角故易右為左
如前從己心向庚作透出綫截之于戊使己戊同并徑
則戊為月心從戊心作圓形象初虧時太隂以其邊切太
陽于庚從戊作戊辛癸線為月視行之道與丁己丙平行
又從己作己辛綫為月視黄緯辛為正角
[028-19a]
[028-19b]
諸號同前
惟以月視黄緯即己/辛在南故緯差角丁己/庚角從交道丁/向
下數其度至/庚為初虧之㸃
以上二者為日距限東凡初虧在限東者其定交角為
右上之角然惟日食十分與定交角同㸃而初虧右上
其餘北緯者能易右上為左上南緯者能易右上為右
下此二條可以推矣
[028-20a]
一圖食甚
先以食甚定交角作垂弧月道於交㸃安太陽並如初
虧法次於太陽周邊數定交角餘度若日距限西其度
左旋日距限東其度右旋並於日體上下方從垂綫數
起至定交角餘度止各作㸃聮為一直線稍引長之此
線與月道為正十字能過月道之極即月道之經圏食
甚時太陽太隂並在此線之上乃以月視黄緯求其距
若視緯在北向上量之視緯在南向下量之並從太陽
[028-20b]
心截取視緯於月道經綫作㸃即食甚時兩心之距也
以此為心月半徑為度規作月體即見食甚時月掩太
陽在日體上下左右幾何度分此時兩心之距為最近
其食分最深於此線上分太陽光體為十平分即所食
之分可見若于太陽之邊數其所蝕光界即知太陽周
邊受蝕幾何度分
若於月心作線與月道經綫為十字正角即自虧至復
月行之道也兩端稍引長之用并徑為度從太陽心截
[028-21a]
之左右各得一㸃即初虧復圓之㸃也右為初虧/左為復圓如此
即為總圖総圖惟食甚為正形初虧復圓/亦得大槩仍當于分圖攷之
若食十分者或全黒或作金環並無視緯更無上下左
右可論不用此法
又若食甚時定交角滿九十度則北緯正對天頂餘光
有如仰盂南緯正對地平餘光有如覆椀其月道左右
平衡其南北視緯即於垂弧取距北緯自太陽心向上/南緯自太陽心向下
並以月視黄緯取/其度為兩心之距不須另作月道經綫又於月道經綫
[028-21b]
以月視黄緯量其距若隂厯向上量之陽厯向下量之
並自太陽心量至視黄緯止從此作線與月道經綫為
十字角即與虧復月行之道平行南北差之理亦自可
見
[028-22a]
[028-22b]
乙己丙為定交角其度自乙右旋至丙丙己丁綫過太
陽心為月道平行綫
乙己庚為定交角之餘角其度自乙左旋至庚庚為食
甚所向之方從庚過太陽心作午己庚線為太陽全徑
分為十分 依月視黄緯自太陽心己截至戊以戊為
心月半徑壬戊為度作圓以象食甚時掩日之月 計
所掩徑自庚至壬得蝕六分餘光自壬至午得四分
計所掩邊自酉過庚至卯得缺光之邊一百三十分餘
[028-23a]
光自酉過午至夘得未掩之邊二百三十分約為蝕三
之一而强此以太陽邊周為三百/六十分也分亦可名度
從月心戊作戊癸線與太陽徑為十字角與交線平行
是為月視行之道以并徑為度自太陽心己截戊癸月
道于辛于子各為心作太隂象即見初虧于酉復圓於
卯可當總圖
[028-24a]
此與前圖皆食在限西故乙己丙定交角同勢惟月視
黄緯在北故用甲庚餘角從甲左旋數至庚為食甚所
向之方亦作午己庚十分全徑而透出之用月視黄緯
截之于戊戊為心戊壬半徑作月體交加于太陽光體
之上計所掩自庚至壬得蝕四分有竒其自未過庚至
丑為所蝕之邊 又如法從戊心作月視行之道以幷
徑截之于辛于子各作月體即見卯酉為虧復之㸃
几食在限西者南緯必食甚左下北緯必食甚右上惟
[028-24b]
交角大者餘角小交角小者餘角大而大致不改即二
圖可槩其餘
其初虧交角必大于食甚復員交角必小于食甚全圖
聊舉大意仍以分圖為定
[028-25a]
[028-25b]
乙己丙定交角其度自乙左旋至丙丙己丁過太陽心
為月道平行綫
乙己庚餘角度自乙右旋至庚庚己午太陽全徑引長
之以月視黄緯度截之于戊戊為食甚時月心所到其
邊掩太陽至壬午壬為食甚所向之方分太陽全徑為
十分午壬為所掩之分得二分有竒未午丑為所缺之
邊約得九之二
[028-26a]
[028-26b]
此與前圖皆食在限東乙己丙交角同勢惟月視黄緯
在南故用甲己午餘角即乙/己庚右旋從乙至庚庚㸃為食
甚所向庚己午太陽全徑十分以月視黄緯截己戊戊
為月心作太隂體掩太陽至壬得八分有竒未庚丑為
所缺之邊約得九之四凡食甚在限東者北緯必左上
南緯必右下雖角有大小其大致不變以上二圖可槩
其餘 以上食甚四圖或居太陽體之左上左下右上
右下並以定交角論其餘角不論地平經度之東西南
[028-27a]
北並同一理即令食甚正午而距限有東西即交道有
低昂必無正北正南如舊法所云者也
[028-28a]
此月視緯在北
日食七分竒
甲為食甚在日體上方餘光如仰盂
[028-29a]
此月視緯在南
日食五分
戊為食甚
在日體下方
餘光如覆椀
惟此二圖是交角成象限若又居正南方則北緯食甚
可稱正北南緯食甚可稱正南
[028-30a]
一圖復圓
以復圓定交角作垂弧月道安太陽並如上法
若食十分者于太陽左方截取月道如月半徑之度以
此為心規作月體與太陽邊相切即復圓時後盈之㸃
圖亦/見前
若食不滿十分者用緯差角度算太陽邊周之度北緯
向上數之南向下數之並從太陽左方交道起數至緯
差角度止即為復圓時後盈之㸃自太陽心向此㸃作
[028-30b]
直線透出其外稍引長之以并徑為度從心截取引長
線作㸃即復圓時兩心之距以截㸃為心規作太隂與
太陽相切即復圓時太隂行過太陽初離之象也
[028-31a]
[028-31b]
甲己丁交角即乙/己丙其度甲丁從丁過己心作丙己丁綫
引長之即月道平行綫
丁己庚為緯差角其度丁庚因月視黄緯在南從交道
丁向下數其度至庚庚即復圓時後盈之㸃 從太陽
心己出直線過庚而透出其外為己庚戊線以幷徑為
度截之于戊以戊為心月半徑為界作太隂圓體切太
陽邊于庚即太隂行過太陽初離之象也 從月心戊
作戊辛直綫月視行之道也而己辛者月視黄緯也
[028-32a]
[028-32b]
甲己丁交角即乙/己丙其度甲丁從丁作月道平行線過己
心至丙而引長之
丁己庚緯差角大于交角而月視黄緯在北法當從交
道丁向上數丁庚之度跨甲而至庚庚即復圓時復光
最後之㸃 又法從己心作丙己丁之十字垂綫乃以
月視黄緯為度截之于辛則己辛即食甚兩心之距也
從辛又作十字長垂綫與丙己丁交道平行如戊辛癸
即月視行之道也次以幷徑為度截月視行道于戊以
[028-33a]
戊為心月半徑為度作復圓時太隂象即其邊切太陽
于庚
以上二圖皆復圓距限西也凡復圓限西者其定交角
為左上之角然惟食十分其㸃不改其餘則有易為正
左稍下如前圖者有易為右上如此圖者餘可數推
[028-34a]
乙己丙交角以乙丙為度從丙作月道平行線過己心
至丁而引長之
因月視黄緯在北從交道丙向上數緯差角丙己庚之
度至庚即庚為復圓之㸃 又法以丁午丙半周度折
半于午從午作線至太陽心己為丙己丁之十字垂線
于此垂綫上截取辛己如月視黄緯即于辛㸃作十字
交線與交道綫即月道/平行綫平行為月視行之道于此月視
行道取戊己斜距如并徑則戊㸃即復圓時太隂之心
[028-34b]
從心作太隂體即切太陽于庚而正居太陽左方
[028-35a]
[028-35b]
此交角與差角同度也庚己丙交角其度自庚數至丙
㸃為月道平行綫所過丙己丁過心綫為交/道即月道平行綫
丙己庚差角自丙數至庚因南緯/向下數庚㸃為復圓時太隂
初離太陽邊猶相切之處也差角丙庚之度與交角庚
丙等故相減至盡而正居太陽之底也 如用又法從
己心作己午垂綫以月視緯截辛㸃從辛作十字綫如
辛癸與交綫平行為月視行道即可以戊己并徑截戊
㸃為太隂心其邊即切太陽于庚亦同
[028-36a]
凡復圓限東者定交角必居左下然惟食十分者則然
其餘則有變為日體正左或日體正下者如以上二條
者可類推也
[028-37a]
[028-37b]
甲為九十度限 乙為黄道過午規交角 乙丙為黄
道在午規距天頂之度今用乙甲丙正弧三角形有甲
正角 乙交角 乙丙弧而求甲丙弧為九十度距天
頂之度 法為半徑與丙乙弧正弦若乙角之正弦與
丙甲正弦也
一/二 半徑正弦/丙乙
三/四 乙角正弦/丙甲正弦
増沿厯書乃以丙乙餘弦與乙角餘弦相乗為實半徑
[028-38a]
除之得丙甲正弦失其㫖矣
簡菴曰甲角非正角也何以言之自天頂出線過赤道
則為正角其過黄道不能成正角甲角既為天頂線過
黄道所作之角則必非正角勿菴曰不然甲㸃者九十
度限也若甲非正角則不得為九十度限矣
簡菴曰赤道能為正角者以天頂線能過北極也若黄
極則不能過天頂天頂線既不串黄極則甲必不能為
正角明矣勿菴曰子午線所以能穿天頂與北極者以
[028-38b]
赤道在平地上半周一百八十度而交子午圈處為其
折半最中之處故天頂線交赤道成十字角也天頂線
與赤道作正角惟此一處盖惟此處能使地平經線即/天
頂出線至地平/分方位之線與赤道經線即北極出線至赤/道分時刻之線合而為
一從地平經線言之為子午/規從赤道言為過極圈他處則不能也黄道亦然
其在地平上亦一百八十度每度並從黄極出經線至
黄道上成正角但不能過天頂而必有一度為黄道半
周折半之處則此一經線必過天頂而穿黄極天頂線
[028-39a]
既穿黄極則其交黄道處必成十字正角矣天頂線與
黄道作正角亦惟此一處亦如赤道之/有子午規盖亦惟此處能
使地平經線與黄道經圈合而為一而他度不能西法
用九十度限其理如此故甲角必正角簡菴聞此欣然
首肯焉
[028-40a]
本法用乙甲丙形求丙甲為九十度距天頂 今依簡
菴説用丁戊丙形求得戊丙為天頂距黄極之度以減
象限即得丙甲距天頂之度
法曰以正午黄經之赤道同升度取丁角從冬至數/之即得以
各地北極出地餘度取丁丙邊 以兩極相距二十三
度半為丁戊邊
是為一角兩邊可求戊丙邊
若用垂弧法雖多轉折其理無訛 若用加減代乘除
[028-40b]
法乃捷矣
又按此以正弧形為本形改用斜弧為次形亦弧三角
中一法往所未及也可見學問相長之無窮
既得甲丙邊又原有乙丙邊甲正角可求甲乙邊為九
十度距午規
[028-41a]
[028-41b]
丁北極 戊黄極 丑寅圈徑五度為白道極所行之
跡 丑為今所求月道心即白道/極所到得丑寅邊為丑戊寅
角之度亦即為丁戊丑角度 先用丁戊丑弧三角形
有丁戊邊為兩極距二/十三度半有丑戊邊為月道大/距五度有戊角即/上
所/論 可求丑丁邊為白道極距北極之弧 可求丑丁
戊角
次用丁丑丙弧三角形 有丑丁弧為先/所求有丙丁丑角
以先有之戊丁丙角與今得之/丑丁戊角相加減得丙丁丑角有丁丙邊即本地北極/出地餘度
[028-42a]
可求丑丙邊為白道極距天頂之弧亦即為白道九
十度距地平之髙度 求白道極所在即丑/㸃法曰凡白
道極隨交㸃而移交㸃逆行故白道極亦逆行也先求
正交或中/交在黄道度分離此一象限即為半交最逺之
所此㸃與白道極相應若係半交是陽厯則白極在黄
極南半交是隂厯則白極在黄極北極距黄極五度竒
即丑戊也丑戊弧五度循黄極而左旋有時而合於兩
極距線為寅戊或戊辛則無丑戊丁角自此以外皆有
[028-42b]
戊角此算之根也
[028-43a]
[028-43b]
設白道極丑/在寅即丑戊寅角法當以戊寅五度白極/距黄
極/與丁戊二十三度半相減餘十八度半為寅丁寅丁
丙弧三角形有寅丁邊為白極/距北極有丁丙邊北極距/天頂有丁
角可求寅丙邊為白極距天頂
[028-44a]
[028-44b]
又設丑/㸃在辛即以戊辛加戊丁為一邊辛/丁如上法可
求辛丙弧為白極距天頂
以上二者因白極距黄極之線與黄極距北極同一大
圈之經度故丁戊線有加減而丁角無加減故只用一
弧三角形即可得之此惟月邊半交在二至度然後能
如是
設正交在秋分之度中交在春分之度則陽厯半交在冬
至黄道外隂厯半交在夏至黄道内各五度竒而白道
[028-45a]
極在兩極距線外亦五度竒如辛如酉
法當以白黄大距五度竒辛戊或/酉戊加兩極距二十三
度半戊/丁共得二十八度半竒辛丁或/酉丁為一邊 丁丙
為一邊北極距/天頂丁為一角或辛丁丙/或酉丁丙 可求辛丙邊
或酉/丙邊即白道極距天頂度以減九十度餘為白道距
天頂度捷法即以所得白道極距天/頂命為白道九十度距地平
此圖丁辛線己用弧線不能作兩白道極圈
[028-46a]
[028-46b]
如圖丙為天頂丁為北極丁戊二十三度半即以丁為
心戊為界運規作圓即黄極繞北極之圈再以丁戊引
長之至於辛又以戊為心辛為界作圓為白極繞黄極
之跡戊辛為黄白距五度竒此圖則戊/酉可省
今聮丁辛丙成三角形如上論餘觀圖自明
更當明者白道限度之不能與黄平象限同在一度即
若黄平象限之不能與赤道髙度同在一度同也黄平
象限與赤道髙度能在一經度者惟極至圈在子午規
[028-47a]
之度為然白道限度之能與黄平象限同在一經度者
惟兩交在二分之度又極至圈同在午規時也
又設正交在春分之度中交在秋分之度則陽厯半交
在夏至黄道外隂厯半交在冬至黄道内各五度竒而
白道極在兩極距線内亦五度竒如寅如未
法當以白黄大距五度竒寅戊或/未戊去減兩極距二十
三度半戊/丁得餘十八度半弱寅丁或/未丁為一邊 丁丙
為一邊 丁為一角或寅丁丙/或未丁丙可求寅丙邊或未/丙邊為
[028-47b]
白極距天頂即命為白道九十度距地平之髙圖如
後
[028-48a]
[028-48b]
以上二者並只用一弧三角形何則以交㸃在二分也
交㸃在二分則半交與白極並在極至交圈故丁戊弧
自有加減而丁角無加減若交㸃離二分則否何則交
㸃逆行即羅計度也交㸃周於天而半交大距亦一周
天而白極亦周於黄極左右之小圈故丁角有加減而
必用兩三角形也
求戊角用兩三角形/必先取戊角 法曰正交在秋分則白極在辛
即在/酉從辛左旋過丑至寅而復於辛以生戊角戊角之
[028-49a]
度或鋭或鈍皆以交㸃距分之度命之
白極小圏以羅計一周而復於元度假如正交自秋分/向夏至逆行過秋
分二十度則白極離辛㸃亦二十度/以減半周餘百六十度為戊鈍角
求丁角戊丁/丙角 法曰視極至交圏距午圏若干度分即
得戊丁丙角以加時午正/黄道度取之
白道九十度限用法
依前所論以求加時白道九十度限在地平上之髙的
確不易用斜弧/三角形 但如此則交食表所算九十度限俱
[028-49b]
可不用當另算白道九十度表
法曰丑戊丁三角形以丁戊邊兩極距二/十三度半丑戊邊白極/距黄
極五/度戊角白極距冬至經圏之度亦/即正交離秋分之餘度為二邊一角可求
丁丑邊此邊之度/天下所同丁角此角亦天/下所同其法並以戊角之大
小立算只算半周可/以立表矣
正交在秋分前以過夏至而至春分/春分前以過冬至而至秋分之度角在極至圏西/東
戊丁丙三角形 求丁角
法曰以應時法求加時午正黄道可借用黄道/九十度表取其赤
[028-50a]
道同升度即得丁角
視同升度在冬至後半周其距冬至度即為丁角其/角
在子午/線西若同升度在夏至後半周即以距夏至度去
減半周餘為丁角其角在子/午線東此丁角亦天下所同
丑丁丙三角形 先求丁角
法曰以先有之兩丁角相減或相併即得丁角
兩丁角俱在西或俱在東則相/併兩丁角一在西一在
東則相/減此丁角亦天下所同
[028-50b]
次求丁丙邊
法曰丁丙者各地之北極距天頂也以北極髙度減象
限得之
次求白道九十度限之髙
法曰既有丁角即上/所求丁丑邊即先/所求丁丙邊即極距/天頂為一
角兩邊可求丑丙邊為白極距/天頂度以減象限得白道九十
度限距天頂亦即得其距地平之髙
既得白道九十度限距地平之髙再求得月在白道上
[028-51a]
距九十度限之度分法以月距交前交/後度減象餘即得可求其交角白/道
交天頂經/度之角也
此交角可借黄道交角表用之 但須補作黄道北
五度表既得交角則髙下差可知而東西南北差悉
定矣
[028-52a]
[028-52b]
康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒時刻并
起復方位
京師月食十分三秒
初虧子正二刻三分 東北
食既丑初三刻八分
食甚丑正一刻二分
生光丑正二刻一分
復圓寅正初刻一分 正北稍偏西
[028-53a]
右計食限内凡十三刻十三分
按食限内共十三刻十三分折半得六刻十四分故以
此減食甚時刻得初虧自初虧子正二刻三分至食甚/丑正一刻二分正得六刻十四
分/加食甚亦得復圓自食甚丑正一刻二分至復圓寅/正初刻一分亦得六刻十四分
是虧至甚甚至復時刻適均也時刻所以適均者月行
天之度均也然則作圖之法自當以食甚月體置於虧
復兩限適中之處而不宜偏側矣今監頒蝕圖乃偏置
於東若是則虧至甚月行之度分多甚至復月行之度
[028-53b]
少度既不均則時刻亦宜増減若時刻既無増減則圖
之偏者必非正法矣
又按食既至食甚食甚至生光時刻亦宜適均與虧至
甚甚至復之理無二厯書本法虧復折半之數謂之食/甚距分以减食甚得初虧若以加
食甚得復圓其食既至生光折半數謂之食既距分以/减食甚得食既以加食甚亦得生光並無長短伸縮
今圖中所注食既至食甚時刻多食既是丑初三刻八/分至食甚丑正一刻
二分計一/刻○九分食甚至生光時刻少食甚丑正一刻至生光/丑正二刻一分只十四
分/相差十分何也豈以食甚圖偏而自疑其法耶不然
[028-54a]
何以若是
又按交食表食甚距分是一時四十四分即監推六/刻十四分食
既距分是四十二分實計二刻/十二分月食只十分○三秒食
既生光不得有五刻九分之乆倍食既距分得八十/四分實五刻○九分盖
覺其非是而棄表不用也然表之數宜改而其法不宜
改表自既至生光五刻九分監推只二刻○八分是改/數也厯書以距分加减食甚得既與生光而監推相
差三分刻之/二是改法也今改其數幷改其法不知何所見而云然
也
[028-54b]
或疑月行有遲疾自生光至食甚行遲故厯時刻多食
甚至生光行疾故厯時刻少此亦説之可通者也然月
之遲疾必以漸成決無於二刻八分中頓有十分之差
月平行二刻八分只行/天三分度之一而弱且食既生光既有遲疾之差初
虧復圓何以獨無可謂進退失據矣
又按食甚云者以月於此時侵入闇虚獨湥也則其距
前後之時刻必為折中均平之處也故月食未既者必
於食甚時定其食分以此時所蝕之分最大也假如月/食九分
[028-55a]
則惟食甚時能滿九分前/後皆少食八分以下盡然是以謂之食甚若圖有偏側
不得謂之食甚矣
食未既時有食分以攷之食分最多時/始為食甚食既矣則食甚
無可指惟頼食既生光時刻折半取中而今乃相差若
此又何所據而為食甚耶
又詳檢之初虧至食既計五刻/五分食既至食甚計一刻/九分食
甚至生光計十四分/不滿一刻生光至復圓計六/刻無一相同而遲
疾皆不倫初限較末限既先疾而後遲初虧至食既五刻/五分是初限行疾
[028-55b]
也生光至復圓整六/刻是末限行遲也二限較三限又先遲而後疾食既/至食
甚一刻九分是次限行遲也食甚至生光/只十四分而不滿刻是三限又行疾也是初虧行疾
限至食既而忽遲食既行遲限至食甚而頓疾食甚行疾
限至生光以後而又遲不識月轉遲疾有如此行度否
乎
厯算全書卷二十五
欽定四庫全書
厯算全書巻二十五
宣城梅文鼎撰
交㑹管見
求初虧復員定交角
以初虧復員定時分依法求其距午時分午後以加午
前以減各加減日實度所對時分入九十度/表取之為初虧復
員時定總時
[028-1b]
以定總時各求其日距限限距地髙遂以得其交角加
減之得初虧復員時定交角
求初虧復員時先闕後盈之㸃在日體上下左右
法自天頂作垂弧過日心以至地平分日體員周左右
各一百八十度次依定交角度分日在限西初虧為右
下之角復員為左上之角其度右旋日在限東初虧為
右上之角復員為左下之角其度左轉並自垂弧左右
起算數至定交角度分即得太陽員周初虧時先闕復
[028-2a]
員時後盈之㸃其定交角或為鈍角者上下相易如本/為右
下者變為右上本為右/上者變為右下左亦然是為虧復時交道中徑 食十
分者用此即中西舊法所謂八分以上初虧正西復員
正東者也初虧復員各依其/定交角度分取之
若食九分以下當先求蝕緯差角法為并徑與月視黄
緯若半徑與蝕緯差角之正弦也以月視黄緯化秒乘
半徑為實以并徑減一分化秒為法除之得蝕緯差角
之正弦查正弦得度分以加減虧復時交道中徑得日
[028-2b]
體周邊先缺後盈之㸃
視緯北者日在限西初虧以加復員以減日在限東初
虧以減復員以加視緯南者日在限西初虧以減復員
以加日在限東初虧以加復員以減並置交道中徑以
蝕緯差角度分加減之得數仍自垂弧左右起算得初
虧何處先缺復員何處後盈上下左右皆可預定
求食甚在日體上下左右
惟食十分者食甚時兩心相掩或全黒或作全環皆無
[028-3a]
上下左右可論其食九分以下皆以隂陽厯論南北視
緯若食甚時正在黄平象限則視緯北者食甚在日體
上半缺口正向天頂形如仰瓦即舊法所謂正北視緯
南者食甚在日體下半餘光厚處正對天頂缺處正向
地平兩角下垂形如覆梳即舊法所謂正南也若此者
只有上下可言而無左右偏側之度其餘日在限西則
南緯在左下北緯在右下日在限東南緯在右下北緯
在左下並以食甚時定交角之餘度或左或右並從天
[028-3b]
頂垂弧之兩旁起算即得食甚在日體上下左右之度
求日體周邊受蝕幾何
法用太陽太隂兩半徑相并為和相減為較和較相乗
為實月視黄緯為法除之得數以加減月視黄緯訖乃
折半以乘半徑又為實以太陽半徑為法除之得餘弦
查表得度倍之即食甚時日體受蝕度分以太陽全周/分三百六十
度内該受蝕/者幾何度加減例日半徑大于月以得數加黄緯日/半徑小于月置黄緯以得數減之
求日食三限在地平上髙度
[028-4a]
食甚時日距地髙即可徑用 初虧復員各以定時求
其距午分依日赤緯南北度入髙弧表即各得虧復時
地平上髙度如無正表取前後二表數以中比例酌之/假如其地極出地三十一度則查三十度
表及三十二度表以兩表數并/而半之即是本地髙弧之數又算法以限距地髙度/與日距限之餘
度相加為捴相減為較捴較各取餘弦視捴弧過象限/則兩餘弦相并不過象限兩餘弦相減並折半得髙弧
正弦撿表/得髙度
求日食三限地平經度
法以地平緯度之餘度分與極出地之餘度分相加為
[028-4b]
總相減為較總弧較弧之餘弦相減若總弧過象限則
相加並折半為法初/數又取較弧矢與日距北極度之矢
對弧矢也日赤緯在南者以加象限赤緯在/北者置象限以赤緯減之即各得距北極度相減得較
較乘半徑為實實如法而一得角之矢以矢/命度若日食在
午前其角度為距正北子正之度食在午後以減半周
為距正南午正之度正矢與大矢/並同一法三限皆如是
求帶食分在日體上下左右
以日出入時距緯為法半徑乘月視黄緯為實實如法
[028-5a]
而一得正弦查表得帶食緯差角度分如求初虧復員
之法以帶食緯差角加減白道中徑得帶食分在日體
上下左右若帶食在初虧後食甚前其加減用初虧法
帶食在食甚後復員前其加減用復員法
帶食在初虧後食甚前者 隂厯日在限西加 日在限東減
陽厯日在限西減 日在限東加
帶食在食甚後復員前者 隂厯日在限西減 日在限東加
陽厯日在限西加 日在限東減
[028-5b]
右並置月道中徑以帶食緯差角度分加減之得數仍
自垂弧左右起算即得帶食時食分最深之處在日體
上下左右凡帶食出入時或㣲虧或見蝕半或半以上/其餘光皆成兩角外向均折兩角取其中即
帶食分最/深之處
求帶食出入時日邊受蝕幾何
以太陽太隂兩半徑相併為和相減為較和較相乘為
實日出入時距緯為法除之得數以加減日出入時距
緯日半徑大于月以得數加入距緯日/半徑小于月置距緯以得數減之乃折半用乘半
[028-6a]
徑又為實太陽半徑為法除之得餘弦查表得度倍之
為帶食出入時太陽周邊受蝕之分以三百六十度分/太陽全周内該缺
幾何/度分
[028-7a]
作日食分圖法交食之驗非圖莫顯圖必分作其象/始真故不憚反覆詳明以著其理
一定日食時交道斜正
作立綫以象垂弧此綫上指天頂下指地平即地平經
度圏之一象限也綫上取一㸃為心規作員形以象太
陽其員周為地平經綫所分左右各一百八十度依本
限定交角作㸃或初虧或復員或/食甚各有定交角若日距限在西其度
右旋日距限在東其度左旋於太陽員周上下並從垂
線分處數至定交角度止得兩㸃聮為一直綫必過太
[028-7b]
陽之心兩端稍引長之横出是為日食時月道交於垂
弧之象若日距限西交道左昂右低日距限東反之其
初虧食甚復員三限距限東西有時而異雖其不異亦
必有逺近髙下之殊則交道低昂異勢未可以一法齊
也今三限各求定交角依度作圖不論東西南北一以
太陽邊左右上下言其虧甚之狀即測算可以相符厯
法之疎宻可以衆睹更無絲毫可容假借
[028-8a]
[028-8b]
如圖甲乙為垂弧 甲丁乙丙為日體 乙己丙為定
交角丁己甲為對角乙至丙甲至丁皆定交角之度因
日距限在限西故右旋數其度 丙丁為上下兩㸃
己為日心聮丙丁為直綫則過日心稍引長之至庚則
成交道因在限西故月道左昂右低交道即月道也為/月視緯所成在食
十分時可名月道其食不滿/十分者可名月道平行綫
[028-9a]
[028-9b]
各號並與前同
惟日距限在限東故從乙至丙從甲至丁並左旋數定
交角度而庚辛月道右昂左低
[028-10a]
[028-10b]
如圖月道平過與天頂垂弧相交成十字正角而又在
午方則上北下南左東右西各如本位矣如舊法食十/分初虧正西
復圓正東食八分以下者隂厯初虧西北食甚正北復/圓東北陽厯初虧西南食甚正南復圓東南惟此時為
然/此必日食在黄平象限左右因定交角加減而成正
角然不常有即有之又未必在正南方則與東西南北
之名不相叶應故不如用定交角直以上下左右言其
方向黄平象限有離午正二十三四度時又有定交角/加減則雖離午正三十餘度之逺而能有此象盖
即月道之九十度限也食既者遇之虧必正右復必正/左北緯者虧右上復左上而食甚正向天頂南緯者虧
[028-11a]
右下復左下而/食甚向地平
[028-12a]
己為日戊為月
乙至丙甲至丁皆交角之度
丙為初虧丁為復圓
戊丙己丁為月道
此因日食十分故即用丙丁二㸃為初虧復圓即舊法
所云初虧正西復圓正東者也然以日距限西故初虧
在日體右下復圓在日體左上
[028-13a]
此亦日食十分因距限在東故初虧在日體為右上復
圓在日體為左下
凡日距限西者復圓交角必小於初虧日距限東者復
圓交角必大於初虧故必分作其圖始能合算今從簡
省以交角相同者合為一圖非謂一食中虧復同角也
[028-14a]
一圖初虧
先以初虧定交角如法作垂弧及交道安太陽於交㸃
若食十分者於太陽右方截取交道如月半徑之度以
此為心規作月體與太陽邊相切即初虧時先缺之㸃
圖己/見前
若食不滿十分者用緯差角度算太陽邊周之度月視
黄緯在北向上數之在南向下數之並從太陽右方交
道起算數至緯差角度止即為初虧時先缺之㸃自太
[028-14b]
陽心向此㸃作直線透出其外稍引長之以并徑為度
從心截取引長線作㸃即初虧時兩心之距也以截㸃
為心太隂半徑為度作圓形即初虧時太隂來掩太陽
相切之象也從太隂心作直綫與交道平行則月視行
之道也從太陽心作垂綫至視行綫成十字角即月視
黄緯也 以上並不論初虧是午前午後亦不論地平
方位或在正南或偏東西並同一法食甚復圓倣此
[028-15a]
[028-15b]
乙己丙交角乙丙其度從丙過己心至丁而引長之即
月道平行綫
丙己庚為緯差角丙庚其度因月視黄緯在北故從交
道丙向上數其度至庚庚即初虧時先缺之㸃
從太陽心己作直綫過庚㸃而透出其外為己庚戊綫
乃併日月兩半徑得己/戊為度截己庚戊綫于戊戊即太
隂心也以戊庚月半徑從戊心作圓為太隂與太陽邊
相切于庚初虧象也
[028-16a]
從月心戊作戊辛癸綫與丙己丁平行月視行道也此/月
視行綫乃人所見月心所行故/以丙己丁交綫為月道平行綫從太陽己心作十字垂
線至月視行綫上如己辛月視黄緯也
[028-17a]
乙己丙交角以乙丙為度從丙過己心作月道平行綫
丙己庚緯差角以丙庚為度因月視黄緯在南故從交
道丙向下數其度至庚庚即初虧時先缺之㸃此為緯/差角大
于定交角故/易右為左
從己心向庚作己庚戊線而以己戊并徑度截之於戊
用為月心規作月體與太陽相切於庚象初虧也
從戊心作癸戊辛綫與丙己丁平行月視行道也
從己心作己辛線與戊辛相遇成方角月視黄緯也
[028-17b]
以上二宗為日距限西日距限西者初虧定交角並為
右下之角然惟食十分時則初虧右下與定交角同㸃
其餘則北緯者能易右下為右上前條是也南緯者能
易右下為左下此條是也
[028-18a]
[028-18b]
甲己丁交角以丁甲為度從丁過己心作丁己丙月道
平行綫
丁己庚緯差角以丁庚為度因月視黄緯在北從交道
丁向上數至庚以庚為初虧之㸃此亦緯差角大于定/交角故易右為左
如前從己心向庚作透出綫截之于戊使己戊同并徑
則戊為月心從戊心作圓形象初虧時太隂以其邊切太
陽于庚從戊作戊辛癸線為月視行之道與丁己丙平行
又從己作己辛綫為月視黄緯辛為正角
[028-19a]
[028-19b]
諸號同前
惟以月視黄緯即己/辛在南故緯差角丁己/庚角從交道丁/向
下數其度至/庚為初虧之㸃
以上二者為日距限東凡初虧在限東者其定交角為
右上之角然惟日食十分與定交角同㸃而初虧右上
其餘北緯者能易右上為左上南緯者能易右上為右
下此二條可以推矣
[028-20a]
一圖食甚
先以食甚定交角作垂弧月道於交㸃安太陽並如初
虧法次於太陽周邊數定交角餘度若日距限西其度
左旋日距限東其度右旋並於日體上下方從垂綫數
起至定交角餘度止各作㸃聮為一直線稍引長之此
線與月道為正十字能過月道之極即月道之經圏食
甚時太陽太隂並在此線之上乃以月視黄緯求其距
若視緯在北向上量之視緯在南向下量之並從太陽
[028-20b]
心截取視緯於月道經綫作㸃即食甚時兩心之距也
以此為心月半徑為度規作月體即見食甚時月掩太
陽在日體上下左右幾何度分此時兩心之距為最近
其食分最深於此線上分太陽光體為十平分即所食
之分可見若于太陽之邊數其所蝕光界即知太陽周
邊受蝕幾何度分
若於月心作線與月道經綫為十字正角即自虧至復
月行之道也兩端稍引長之用并徑為度從太陽心截
[028-21a]
之左右各得一㸃即初虧復圓之㸃也右為初虧/左為復圓如此
即為總圖総圖惟食甚為正形初虧復圓/亦得大槩仍當于分圖攷之
若食十分者或全黒或作金環並無視緯更無上下左
右可論不用此法
又若食甚時定交角滿九十度則北緯正對天頂餘光
有如仰盂南緯正對地平餘光有如覆椀其月道左右
平衡其南北視緯即於垂弧取距北緯自太陽心向上/南緯自太陽心向下
並以月視黄緯取/其度為兩心之距不須另作月道經綫又於月道經綫
[028-21b]
以月視黄緯量其距若隂厯向上量之陽厯向下量之
並自太陽心量至視黄緯止從此作線與月道經綫為
十字角即與虧復月行之道平行南北差之理亦自可
見
[028-22a]
[028-22b]
乙己丙為定交角其度自乙右旋至丙丙己丁綫過太
陽心為月道平行綫
乙己庚為定交角之餘角其度自乙左旋至庚庚為食
甚所向之方從庚過太陽心作午己庚線為太陽全徑
分為十分 依月視黄緯自太陽心己截至戊以戊為
心月半徑壬戊為度作圓以象食甚時掩日之月 計
所掩徑自庚至壬得蝕六分餘光自壬至午得四分
計所掩邊自酉過庚至卯得缺光之邊一百三十分餘
[028-23a]
光自酉過午至夘得未掩之邊二百三十分約為蝕三
之一而强此以太陽邊周為三百/六十分也分亦可名度
從月心戊作戊癸線與太陽徑為十字角與交線平行
是為月視行之道以并徑為度自太陽心己截戊癸月
道于辛于子各為心作太隂象即見初虧于酉復圓於
卯可當總圖
[028-24a]
此與前圖皆食在限西故乙己丙定交角同勢惟月視
黄緯在北故用甲庚餘角從甲左旋數至庚為食甚所
向之方亦作午己庚十分全徑而透出之用月視黄緯
截之于戊戊為心戊壬半徑作月體交加于太陽光體
之上計所掩自庚至壬得蝕四分有竒其自未過庚至
丑為所蝕之邊 又如法從戊心作月視行之道以幷
徑截之于辛于子各作月體即見卯酉為虧復之㸃
几食在限西者南緯必食甚左下北緯必食甚右上惟
[028-24b]
交角大者餘角小交角小者餘角大而大致不改即二
圖可槩其餘
其初虧交角必大于食甚復員交角必小于食甚全圖
聊舉大意仍以分圖為定
[028-25a]
[028-25b]
乙己丙定交角其度自乙左旋至丙丙己丁過太陽心
為月道平行綫
乙己庚餘角度自乙右旋至庚庚己午太陽全徑引長
之以月視黄緯度截之于戊戊為食甚時月心所到其
邊掩太陽至壬午壬為食甚所向之方分太陽全徑為
十分午壬為所掩之分得二分有竒未午丑為所缺之
邊約得九之二
[028-26a]
[028-26b]
此與前圖皆食在限東乙己丙交角同勢惟月視黄緯
在南故用甲己午餘角即乙/己庚右旋從乙至庚庚㸃為食
甚所向庚己午太陽全徑十分以月視黄緯截己戊戊
為月心作太隂體掩太陽至壬得八分有竒未庚丑為
所缺之邊約得九之四凡食甚在限東者北緯必左上
南緯必右下雖角有大小其大致不變以上二圖可槩
其餘 以上食甚四圖或居太陽體之左上左下右上
右下並以定交角論其餘角不論地平經度之東西南
[028-27a]
北並同一理即令食甚正午而距限有東西即交道有
低昂必無正北正南如舊法所云者也
[028-28a]
此月視緯在北
日食七分竒
甲為食甚在日體上方餘光如仰盂
[028-29a]
此月視緯在南
日食五分
戊為食甚
在日體下方
餘光如覆椀
惟此二圖是交角成象限若又居正南方則北緯食甚
可稱正北南緯食甚可稱正南
[028-30a]
一圖復圓
以復圓定交角作垂弧月道安太陽並如上法
若食十分者于太陽左方截取月道如月半徑之度以
此為心規作月體與太陽邊相切即復圓時後盈之㸃
圖亦/見前
若食不滿十分者用緯差角度算太陽邊周之度北緯
向上數之南向下數之並從太陽左方交道起數至緯
差角度止即為復圓時後盈之㸃自太陽心向此㸃作
[028-30b]
直線透出其外稍引長之以并徑為度從心截取引長
線作㸃即復圓時兩心之距以截㸃為心規作太隂與
太陽相切即復圓時太隂行過太陽初離之象也
[028-31a]
[028-31b]
甲己丁交角即乙/己丙其度甲丁從丁過己心作丙己丁綫
引長之即月道平行綫
丁己庚為緯差角其度丁庚因月視黄緯在南從交道
丁向下數其度至庚庚即復圓時後盈之㸃 從太陽
心己出直線過庚而透出其外為己庚戊線以幷徑為
度截之于戊以戊為心月半徑為界作太隂圓體切太
陽邊于庚即太隂行過太陽初離之象也 從月心戊
作戊辛直綫月視行之道也而己辛者月視黄緯也
[028-32a]
[028-32b]
甲己丁交角即乙/己丙其度甲丁從丁作月道平行線過己
心至丙而引長之
丁己庚緯差角大于交角而月視黄緯在北法當從交
道丁向上數丁庚之度跨甲而至庚庚即復圓時復光
最後之㸃 又法從己心作丙己丁之十字垂綫乃以
月視黄緯為度截之于辛則己辛即食甚兩心之距也
從辛又作十字長垂綫與丙己丁交道平行如戊辛癸
即月視行之道也次以幷徑為度截月視行道于戊以
[028-33a]
戊為心月半徑為度作復圓時太隂象即其邊切太陽
于庚
以上二圖皆復圓距限西也凡復圓限西者其定交角
為左上之角然惟食十分其㸃不改其餘則有易為正
左稍下如前圖者有易為右上如此圖者餘可數推
[028-34a]
乙己丙交角以乙丙為度從丙作月道平行線過己心
至丁而引長之
因月視黄緯在北從交道丙向上數緯差角丙己庚之
度至庚即庚為復圓之㸃 又法以丁午丙半周度折
半于午從午作線至太陽心己為丙己丁之十字垂線
于此垂綫上截取辛己如月視黄緯即于辛㸃作十字
交線與交道綫即月道/平行綫平行為月視行之道于此月視
行道取戊己斜距如并徑則戊㸃即復圓時太隂之心
[028-34b]
從心作太隂體即切太陽于庚而正居太陽左方
[028-35a]
[028-35b]
此交角與差角同度也庚己丙交角其度自庚數至丙
㸃為月道平行綫所過丙己丁過心綫為交/道即月道平行綫
丙己庚差角自丙數至庚因南緯/向下數庚㸃為復圓時太隂
初離太陽邊猶相切之處也差角丙庚之度與交角庚
丙等故相減至盡而正居太陽之底也 如用又法從
己心作己午垂綫以月視緯截辛㸃從辛作十字綫如
辛癸與交綫平行為月視行道即可以戊己并徑截戊
㸃為太隂心其邊即切太陽于庚亦同
[028-36a]
凡復圓限東者定交角必居左下然惟食十分者則然
其餘則有變為日體正左或日體正下者如以上二條
者可類推也
[028-37a]
[028-37b]
甲為九十度限 乙為黄道過午規交角 乙丙為黄
道在午規距天頂之度今用乙甲丙正弧三角形有甲
正角 乙交角 乙丙弧而求甲丙弧為九十度距天
頂之度 法為半徑與丙乙弧正弦若乙角之正弦與
丙甲正弦也
一/二 半徑正弦/丙乙
三/四 乙角正弦/丙甲正弦
増沿厯書乃以丙乙餘弦與乙角餘弦相乗為實半徑
[028-38a]
除之得丙甲正弦失其㫖矣
簡菴曰甲角非正角也何以言之自天頂出線過赤道
則為正角其過黄道不能成正角甲角既為天頂線過
黄道所作之角則必非正角勿菴曰不然甲㸃者九十
度限也若甲非正角則不得為九十度限矣
簡菴曰赤道能為正角者以天頂線能過北極也若黄
極則不能過天頂天頂線既不串黄極則甲必不能為
正角明矣勿菴曰子午線所以能穿天頂與北極者以
[028-38b]
赤道在平地上半周一百八十度而交子午圈處為其
折半最中之處故天頂線交赤道成十字角也天頂線
與赤道作正角惟此一處盖惟此處能使地平經線即/天
頂出線至地平/分方位之線與赤道經線即北極出線至赤/道分時刻之線合而為
一從地平經線言之為子午/規從赤道言為過極圈他處則不能也黄道亦然
其在地平上亦一百八十度每度並從黄極出經線至
黄道上成正角但不能過天頂而必有一度為黄道半
周折半之處則此一經線必過天頂而穿黄極天頂線
[028-39a]
既穿黄極則其交黄道處必成十字正角矣天頂線與
黄道作正角亦惟此一處亦如赤道之/有子午規盖亦惟此處能
使地平經線與黄道經圈合而為一而他度不能西法
用九十度限其理如此故甲角必正角簡菴聞此欣然
首肯焉
[028-40a]
本法用乙甲丙形求丙甲為九十度距天頂 今依簡
菴説用丁戊丙形求得戊丙為天頂距黄極之度以減
象限即得丙甲距天頂之度
法曰以正午黄經之赤道同升度取丁角從冬至數/之即得以
各地北極出地餘度取丁丙邊 以兩極相距二十三
度半為丁戊邊
是為一角兩邊可求戊丙邊
若用垂弧法雖多轉折其理無訛 若用加減代乘除
[028-40b]
法乃捷矣
又按此以正弧形為本形改用斜弧為次形亦弧三角
中一法往所未及也可見學問相長之無窮
既得甲丙邊又原有乙丙邊甲正角可求甲乙邊為九
十度距午規
[028-41a]
[028-41b]
丁北極 戊黄極 丑寅圈徑五度為白道極所行之
跡 丑為今所求月道心即白道/極所到得丑寅邊為丑戊寅
角之度亦即為丁戊丑角度 先用丁戊丑弧三角形
有丁戊邊為兩極距二/十三度半有丑戊邊為月道大/距五度有戊角即/上
所/論 可求丑丁邊為白道極距北極之弧 可求丑丁
戊角
次用丁丑丙弧三角形 有丑丁弧為先/所求有丙丁丑角
以先有之戊丁丙角與今得之/丑丁戊角相加減得丙丁丑角有丁丙邊即本地北極/出地餘度
[028-42a]
可求丑丙邊為白道極距天頂之弧亦即為白道九
十度距地平之髙度 求白道極所在即丑/㸃法曰凡白
道極隨交㸃而移交㸃逆行故白道極亦逆行也先求
正交或中/交在黄道度分離此一象限即為半交最逺之
所此㸃與白道極相應若係半交是陽厯則白極在黄
極南半交是隂厯則白極在黄極北極距黄極五度竒
即丑戊也丑戊弧五度循黄極而左旋有時而合於兩
極距線為寅戊或戊辛則無丑戊丁角自此以外皆有
[028-42b]
戊角此算之根也
[028-43a]
[028-43b]
設白道極丑/在寅即丑戊寅角法當以戊寅五度白極/距黄
極/與丁戊二十三度半相減餘十八度半為寅丁寅丁
丙弧三角形有寅丁邊為白極/距北極有丁丙邊北極距/天頂有丁
角可求寅丙邊為白極距天頂
[028-44a]
[028-44b]
又設丑/㸃在辛即以戊辛加戊丁為一邊辛/丁如上法可
求辛丙弧為白極距天頂
以上二者因白極距黄極之線與黄極距北極同一大
圈之經度故丁戊線有加減而丁角無加減故只用一
弧三角形即可得之此惟月邊半交在二至度然後能
如是
設正交在秋分之度中交在春分之度則陽厯半交在冬
至黄道外隂厯半交在夏至黄道内各五度竒而白道
[028-45a]
極在兩極距線外亦五度竒如辛如酉
法當以白黄大距五度竒辛戊或/酉戊加兩極距二十三
度半戊/丁共得二十八度半竒辛丁或/酉丁為一邊 丁丙
為一邊北極距/天頂丁為一角或辛丁丙/或酉丁丙 可求辛丙邊
或酉/丙邊即白道極距天頂度以減九十度餘為白道距
天頂度捷法即以所得白道極距天/頂命為白道九十度距地平
此圖丁辛線己用弧線不能作兩白道極圈
[028-46a]
[028-46b]
如圖丙為天頂丁為北極丁戊二十三度半即以丁為
心戊為界運規作圓即黄極繞北極之圈再以丁戊引
長之至於辛又以戊為心辛為界作圓為白極繞黄極
之跡戊辛為黄白距五度竒此圖則戊/酉可省
今聮丁辛丙成三角形如上論餘觀圖自明
更當明者白道限度之不能與黄平象限同在一度即
若黄平象限之不能與赤道髙度同在一度同也黄平
象限與赤道髙度能在一經度者惟極至圈在子午規
[028-47a]
之度為然白道限度之能與黄平象限同在一經度者
惟兩交在二分之度又極至圈同在午規時也
又設正交在春分之度中交在秋分之度則陽厯半交
在夏至黄道外隂厯半交在冬至黄道内各五度竒而
白道極在兩極距線内亦五度竒如寅如未
法當以白黄大距五度竒寅戊或/未戊去減兩極距二十
三度半戊/丁得餘十八度半弱寅丁或/未丁為一邊 丁丙
為一邊 丁為一角或寅丁丙/或未丁丙可求寅丙邊或未/丙邊為
[028-47b]
白極距天頂即命為白道九十度距地平之髙圖如
後
[028-48a]
[028-48b]
以上二者並只用一弧三角形何則以交㸃在二分也
交㸃在二分則半交與白極並在極至交圈故丁戊弧
自有加減而丁角無加減若交㸃離二分則否何則交
㸃逆行即羅計度也交㸃周於天而半交大距亦一周
天而白極亦周於黄極左右之小圈故丁角有加減而
必用兩三角形也
求戊角用兩三角形/必先取戊角 法曰正交在秋分則白極在辛
即在/酉從辛左旋過丑至寅而復於辛以生戊角戊角之
[028-49a]
度或鋭或鈍皆以交㸃距分之度命之
白極小圏以羅計一周而復於元度假如正交自秋分/向夏至逆行過秋
分二十度則白極離辛㸃亦二十度/以減半周餘百六十度為戊鈍角
求丁角戊丁/丙角 法曰視極至交圏距午圏若干度分即
得戊丁丙角以加時午正/黄道度取之
白道九十度限用法
依前所論以求加時白道九十度限在地平上之髙的
確不易用斜弧/三角形 但如此則交食表所算九十度限俱
[028-49b]
可不用當另算白道九十度表
法曰丑戊丁三角形以丁戊邊兩極距二/十三度半丑戊邊白極/距黄
極五/度戊角白極距冬至經圏之度亦/即正交離秋分之餘度為二邊一角可求
丁丑邊此邊之度/天下所同丁角此角亦天/下所同其法並以戊角之大
小立算只算半周可/以立表矣
正交在秋分前以過夏至而至春分/春分前以過冬至而至秋分之度角在極至圏西/東
戊丁丙三角形 求丁角
法曰以應時法求加時午正黄道可借用黄道/九十度表取其赤
[028-50a]
道同升度即得丁角
視同升度在冬至後半周其距冬至度即為丁角其/角
在子午/線西若同升度在夏至後半周即以距夏至度去
減半周餘為丁角其角在子/午線東此丁角亦天下所同
丑丁丙三角形 先求丁角
法曰以先有之兩丁角相減或相併即得丁角
兩丁角俱在西或俱在東則相/併兩丁角一在西一在
東則相/減此丁角亦天下所同
[028-50b]
次求丁丙邊
法曰丁丙者各地之北極距天頂也以北極髙度減象
限得之
次求白道九十度限之髙
法曰既有丁角即上/所求丁丑邊即先/所求丁丙邊即極距/天頂為一
角兩邊可求丑丙邊為白極距/天頂度以減象限得白道九十
度限距天頂亦即得其距地平之髙
既得白道九十度限距地平之髙再求得月在白道上
[028-51a]
距九十度限之度分法以月距交前交/後度減象餘即得可求其交角白/道
交天頂經/度之角也
此交角可借黄道交角表用之 但須補作黄道北
五度表既得交角則髙下差可知而東西南北差悉
定矣
[028-52a]
[028-52b]
康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒時刻并
起復方位
京師月食十分三秒
初虧子正二刻三分 東北
食既丑初三刻八分
食甚丑正一刻二分
生光丑正二刻一分
復圓寅正初刻一分 正北稍偏西
[028-53a]
右計食限内凡十三刻十三分
按食限内共十三刻十三分折半得六刻十四分故以
此減食甚時刻得初虧自初虧子正二刻三分至食甚/丑正一刻二分正得六刻十四
分/加食甚亦得復圓自食甚丑正一刻二分至復圓寅/正初刻一分亦得六刻十四分
是虧至甚甚至復時刻適均也時刻所以適均者月行
天之度均也然則作圖之法自當以食甚月體置於虧
復兩限適中之處而不宜偏側矣今監頒蝕圖乃偏置
於東若是則虧至甚月行之度分多甚至復月行之度
[028-53b]
少度既不均則時刻亦宜増減若時刻既無増減則圖
之偏者必非正法矣
又按食既至食甚食甚至生光時刻亦宜適均與虧至
甚甚至復之理無二厯書本法虧復折半之數謂之食/甚距分以减食甚得初虧若以加
食甚得復圓其食既至生光折半數謂之食既距分以/减食甚得食既以加食甚亦得生光並無長短伸縮
今圖中所注食既至食甚時刻多食既是丑初三刻八/分至食甚丑正一刻
二分計一/刻○九分食甚至生光時刻少食甚丑正一刻至生光/丑正二刻一分只十四
分/相差十分何也豈以食甚圖偏而自疑其法耶不然
[028-54a]
何以若是
又按交食表食甚距分是一時四十四分即監推六/刻十四分食
既距分是四十二分實計二刻/十二分月食只十分○三秒食
既生光不得有五刻九分之乆倍食既距分得八十/四分實五刻○九分盖
覺其非是而棄表不用也然表之數宜改而其法不宜
改表自既至生光五刻九分監推只二刻○八分是改/數也厯書以距分加减食甚得既與生光而監推相
差三分刻之/二是改法也今改其數幷改其法不知何所見而云然
也
[028-54b]
或疑月行有遲疾自生光至食甚行遲故厯時刻多食
甚至生光行疾故厯時刻少此亦説之可通者也然月
之遲疾必以漸成決無於二刻八分中頓有十分之差
月平行二刻八分只行/天三分度之一而弱且食既生光既有遲疾之差初
虧復圓何以獨無可謂進退失據矣
又按食甚云者以月於此時侵入闇虚獨湥也則其距
前後之時刻必為折中均平之處也故月食未既者必
於食甚時定其食分以此時所蝕之分最大也假如月/食九分
[028-55a]
則惟食甚時能滿九分前/後皆少食八分以下盡然是以謂之食甚若圖有偏側
不得謂之食甚矣
食未既時有食分以攷之食分最多時/始為食甚食既矣則食甚
無可指惟頼食既生光時刻折半取中而今乃相差若
此又何所據而為食甚耶
又詳檢之初虧至食既計五刻/五分食既至食甚計一刻/九分食
甚至生光計十四分/不滿一刻生光至復圓計六/刻無一相同而遲
疾皆不倫初限較末限既先疾而後遲初虧至食既五刻/五分是初限行疾
[028-55b]
也生光至復圓整六/刻是末限行遲也二限較三限又先遲而後疾食既/至食
甚一刻九分是次限行遲也食甚至生光/只十四分而不滿刻是三限又行疾也是初虧行疾
限至食既而忽遲食既行遲限至食甚而頓疾食甚行疾
限至生光以後而又遲不識月轉遲疾有如此行度否
乎
厯算全書卷二十五