[008-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻八
宣城梅文鼎撰
弧三角舉要巻三
斜弧三角形作垂弧説
正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形無正
角如平三角之有銳鈍形也平三角銳鈍二形並以虚
線成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正
[008-1b]
弦等線立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股
法也
斜弧三角用垂弧法
垂弧之法有三其一作垂弧于形内則分本形為兩正
角形其二作垂弧于形外則補成正角形其三作垂弧
于次形
總法曰三角俱銳垂弧在形内一鈍二鋭或在形内或
在形外自鈍角作垂弧則在形内/自銳角作垂弧則在形外兩鈍一銳或三角俱
[008-2a]
鈍則用次形其所作垂弧在次形之内之外次形無鈍/角垂弧在
其内有鈍角垂弧在其/外若破鈍角亦可在内
[008-2b]
第一法垂弧在形内成兩正角内分五支/
設甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙甲丙二邊
求對邊及餘兩角
[008-3a]
法于乙角在先有乙丙邊之/端乃不知之角作垂弧如乙/丁至甲丙邊分
甲丙邊為兩即分本形為兩而皆正角凡垂弧之所到/必正角也角不
正即非垂弧故所分/兩角皆正後倣此 一乙丁丙形此形有丁正角丙
角乙丙邊為兩角一邊可求丁丙邊乃丙甲/之分乙丁邊即/垂
弧/及丁乙丙角即乙/分角 次乙丁甲形有丁正角甲丁邊
甲丙内減丁/丙其餘丁甲乙丁邊為一角兩邊可求乙甲邊甲角及
丁乙甲分角 末以兩乙角并之成乙角
[008-3b]
或如上圖丁甲角端作垂弧至乙丙邊分乙丙為兩亦同
右一角二邊而先有者皆角旁之邊為形内垂弧
之第一支此所得分形丁丙邊必小於元設/邊即垂弧在形内而甲為鋭角
[008-4a]
設甲乙丙形有丙銳角有角旁相連之丙乙邊及與角
相對之乙甲邊求餘兩角一邊
[008-4b]
法于不知之乙角在先有二/邊之中作乙丁垂弧分兩正角形
一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙邊邊可求乙
丁分線及所分丁丙邊及丁乙丙分角 次乙甲丁形
此形有丁正角有乙丁邊有乙甲邊可求甲角及丁乙
甲分角丁甲邊 末以兩分角丁乙丙及/丁乙甲并之成乙角
以兩分邊丁丙及/丁甲并之成甲丙邊
右一角二邊而先有對角之邊為形内垂弧之第
二支
[008-5a]
設甲乙丙形有乙丙二角有乙丙邊在兩角/之間求甲角及
餘邊
[008-5b]
法于乙角作垂弧分兩形並如前但欲用乙丙邊故/破乙角存丙角
一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙邊可求乙丁邊丁丙
邊丁乙丙分角 次乙丁甲形有乙丁邊丁正角丁乙
甲分角原設乙角内減丁/乙丙得丁乙甲可求乙甲邊甲角及甲丁邊
末以甲丁并丁丙得甲丙邊
[008-6a]
或於丙角作垂弧亦同
[008-6b]
若角一鈍一鋭即破鈍角作垂線其法並同
右二角一邊而邊在兩角之間不與角對為形内
垂弧之第三支此必未知之角為銳/角則垂弧在形内
[008-7a]
設甲乙丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對/與甲角相連求乙
角及餘二邊
[008-7b]
法于乙角為未知/之角作垂弧分為兩形而皆正角 一乙
丁甲形有丁正角甲角乙甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁
乙甲分角 次丁乙丙形有丁正角乙丁邊丙角可求
乙丙邊丁丙邊丁乙丙分角 末以甲丁丁丙并之成
甲丙邊 以兩分角丁乙甲/丁乙丙并之成乙角
右二角一邊而先有對角之邊為形内垂弧之第
四支此先有二角必俱/銳則垂弧在内
[008-8a]
設乙甲丙形有三邊而内有乙甲/乙丙二邊相同求三角
[008-8b]
法從乙角在相同二/邊之間作垂弧至丙甲邊乃不同/之一邊分兩正
角形其形必相等而甲/丙線必兩平分 乙丙丁形有丁正角乙丙邊
丁丙邊即甲丙/之半可求丙角乙分角乃乙角/之半倍之成乙角
而甲角即同丙角不須/再求
右三邊求角而内有相同之邊故可平分是為形
内垂弧之第五支此必乙丙乙甲二邊並小在九/十度内若九十度外甲丙二角
必俱鈍當用次/形詳第三又法
[008-9a]
第二法垂弧在形外補成正角内分七支/
設甲乙丙形有丙銳角有夾角之兩邊乙丙/甲丙求乙甲邊
及餘兩角
[008-9b]
法自乙角在先有邊/之一端作垂弧乙/丁于形外引丙甲邊至丁補成正
角形二一丙乙丁半虛半實/形二甲乙丁虚形 先算丙乙丁形此形有乙丙邊
丙角有丁正角可求丙乙丁角半虛/半實乙丁邊形外/垂弧丁丙邊丙甲/引長
邊/ 次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁邊甲丁邊丁丙内減内/甲得甲丁
可求乙甲邊甲角及甲乙丁虚角末以甲角減半周得原設
甲角以甲乙丁虚角減丙乙丁角得原設丙乙甲角
右一角二邊角在二邊之中而為銳角是為形外垂弧之
第一支此所得丁丙必大于原設邊/即垂弧在形外而甲為鈍角
[008-10a]
設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之丙甲/乙甲二邊求乙丙邊
及餘二角
[008-10b]
法於乙角作垂弧乙/丁引丙甲至丁補成正角 先算乙
丁甲虚形此形有丁正角甲角即原設甲角減半/周之餘亦曰外角有乙
甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁乙甲虚角 次丁乙丙形
有乙丁邊丁丙邊甲丙加丁/甲得之丁正角可求乙丙邊丙角
丙乙丁角 末于丙乙丁内減丁乙甲虛角得原設乙
角
[008-11a]
或從丙作垂弧至戊引乙甲邊至戊補成正角亦同
右一角二邊角在二邊之中而為鈍角乃形外垂
弧之第二支
[008-11b]
設乙甲丙形有丙銳角有角旁之乙丙邊有對角之乙
甲邊求丙甲邊及餘二角
[008-12a]
法從乙角作垂弧至丁成正角亦引丙/甲至丁 先算丙乙丁
形有丁正角丙角乙丙邊可求諸數乙丁邊丁丙/邊丙乙丁角 次
丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二邊可求諸數乙甲/丁角
甲乙丁角/甲丁邊 末以所得虚形甲角減半周得原設甲鈍
角于丙乙丁内減虛乙角得原設乙角於丁丙内減甲
丁得原設丙甲
右一角二邊角有所對之邊而為銳角乃形外垂
弧之第三支此必甲為鈍角/故垂弧在外
[008-12b]
設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之甲丙邊及對角之乙
丙邊求乙甲邊及餘二角
[008-13a]
法于丙角作垂弧至戊補成正角 先算虚形甲丙/戊有
戊正角甲角甲鈍角減/半周之餘甲丙邊可求諸數丙戊邊甲戊/邊丙虚角
次虚實合形乙丙/戊有戊正角丙戊邊乙丙邊可求原
設乙角及諸數乙丙戊角/乙戊邊 末以先得虚形數減之得
原設數丙角内減丙虛角得原設丙角乙戊/内減甲戊虚引邊得原設乙甲邊
右一角二邊角有所對之邊而為鈍角乃形外垂
弧之第四支此先得鈍角/垂線必在外
[008-13b]
設乙甲丙形有丙甲二角一銳/一鈍有丙甲邊在兩角之中
[008-14a]
法於丙銳角作垂弧至丁在甲鈍/角外補成正角 丁丙甲
虛形有丁正角甲外角丙甲邊可求諸數丙丁邊甲丁/邊丙虚角
次乙丙丁形半虛/實有丁正角丙丁邊丙角以丙虛角/補原設丙
角得丁/丙乙角可求原設乙丙邊乙角及乙甲邊求得乙丁邊/内減虛形之
甲丁邊得原/設甲乙邊
右二角一邊邊在兩角間為形外垂弧之第五支
此亦可于甲鈍角作垂弧則在/形内法在第一法之第三支
[008-14b]
設乙甲丙形有乙甲二角乙銳/甲鈍有丙甲邊與乙銳角相
對鈍角/相連
[008-15a]
法于丙銳角作垂弧至戊在丙甲/邊外補成正角 甲戊丙
虛形有戊正角有丙甲邊甲角原設形/之外角可求諸數丙戊/甲戊
二邊丙/虛角 次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊邊可求丙
角求得乙丙戊角内減/丙虛角得元設丙角乙丙邊乙甲邊求到乙戊邊内/減甲戊得乙甲
右二角一邊而邊對鋭角為形外垂弧之第六支
[008-15b]
設乙甲丙形有乙銳角甲鈍角有丙乙邊與甲鈍角相
對銳角/相連
[008-16a]
法于丙銳角作垂弧至戊在甲鈍/角外補成正角 乙丙戊
形有戊正角乙角乙丙邊可求諸數丙戊乙戊二/邊乙丙戊角 次
甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊邊可求原設丙甲
邊甲乙邊求到戊甲虚邊以減/乙戊得原設乙甲丙角求到丙虚角以減/乙丙戊角得原設
丙/角
右兩角一邊而邊對鈍角為形外垂弧之第七支
[008-16b]
第三垂弧又法 用次形内分九支/
設乙甲丙形有乙丙二角有乙丙邊在兩角間而兩角
並鈍求餘二邊及甲角
[008-17a]
法引丙甲至己引乙甲至戊各滿半周作戊己邊與乙
丙等而己與戊並乙丙之外角成甲戊己次形依法作
垂弧于次形之内如己/丁分為兩形一己丁戊/一己丁甲可求乙甲
邊以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求/到甲丁合之成甲戊以減半周即得乙甲丙甲邊以/己
丁甲分形求到己甲/以減半周即得丙甲甲角以己丁甲分形/求到甲交角
右二角一邊邊在角間而用次形為垂弧又法之
第一支
論曰舊説弧三角形以大邊為底底旁兩角同類垂弧
[008-17b]
在形内異類垂弧在形外由今考之殆不盡然蓋形内
垂弧分底弧為兩成兩正角形所用者銳角也底旁原/有兩銳
角分兩正角形/則各有兩銳角形外垂弧補成正角形所用者亦銳角
也底旁原有一銳角補成正角/形則虚實兩形各有兩銳角故惟三銳角形作垂弧
于形内一鈍兩銳則垂弧或在形内或在形外若兩鈍
一鋭則形内形外俱不可以作垂弧垂弧雖有内外而/其用算時並為一
正角兩銳角之比例若形有兩鈍角則雖作垂弧只能/成一正一鈍一銳之形無比例可求則垂弧為徒設矣
故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得謂之形
[008-18a]
内然則同類之説止可施于兩銳若兩鈍雖亦同類而/不可于形内作垂弧
異類之説止可施于一鈍兩銳若兩鈍一銳而底弧之/旁一鈍一銳雖亦異類
然不可于形/外作垂弧非通法矣兩鈍角不用次形垂弧/之法己窮况三鈍角乎
又論曰以垂弧之法徵之則大邊為底之說理亦未盡
蓋鈍角所對邊必大既有形外立垂線垂弧之法則鈍
角有時在下而所對之邊在上矣不知何術能常令大
邊為㡳乎此尤易見
[008-18b]
設乙甲丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對而兩
角俱鈍求乙角及餘邊
[008-19a]
如法引甲乙丙乙俱滿半周㑹于己成丙甲己次形作
己丁垂弧于次形内分次形為兩可求乙角依法求到/分形兩己
角合之為次形己/角與乙對角等甲丙邊求到分形甲丁及/丁丙并之即甲丙乙丙邊求/到
次形己丙以/減半周得之
右二角一邊邊與角對而用次形為垂弧又法之
第二支此三角俱鈍也或乙為鋭角亦同
[008-19b]
設乙甲丙形有乙丙乙甲兩邊有乙角在兩邊之中
[008-20a]
法用甲乙戊次形有乙甲邊有乙戊邊為乙/丙減半周之餘有乙外角作甲丁垂
弧分為兩形可求丙甲邊及餘兩角以乙甲丁分形求/到丁乙及甲分角
人以甲戊丁形求到甲戊以減半周為丙甲又得甲分/角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙對角
右二邊一角角在二邊之中而用次形為垂弧又
法之第三支
或丙為鈍角則于次形戊角作垂弧法同上條
[008-20b]
設乙甲丙形有丙角有甲丙邊與角連有乙甲邊與角
對
[008-21a]
法用甲己戊次形甲己為甲乙減半周之餘甲戊為甲/丙減半周之餘戊角為丙之外角
作垂弧甲/丁于内分為兩形可求丙乙邊及餘兩角以甲/丁戊
分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并/丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲
交角也又得己/角即乙外角也
右二邊一角角與邊對而用次形為垂弧又法之
第四支若甲為鈍角亦同
論曰先得丙鈍角宜作垂弧於外而乙亦鈍角不可作
垂弧故用次形
[008-21b]
設乙甲丙形有三邊内有乙甲/丙甲二邊相同而皆為過弧
求三角
[008-22a]
法引相同之二邊各滿半周作弧線聨之成戊甲己次
形如法作甲丁垂弧分次形為兩其形/相等可求相同之二
角任以甲丁戊分形求到戊角/以減半周得乙角亦即丙角及甲角求到甲半角/倍之成甲角
右三邊求角内有相同兩大邊為垂弧又法之第
五支 若甲為鋭角亦同
以上垂弧並作於次形之内
[008-22b]
設乙甲丙形有丙甲二鈍角有甲丙邊在兩角間
[008-23a]
法引乙丙乙甲滿半周㑹於戊成甲戊丙次形自甲作
垂弧與丙戊引長弧㑹于丁補成正角可求乙甲邊乙
丙邊乙角先求丙甲丁形諸數次求甲戊丁得甲戊以/減半周為甲乙又以丁戊減先得丁丙得丙
戊以減半周為乙丙又求得戊/虚角減半周為戊角即乙對角
右兩鈍角一邊邊在角間而於次形外作垂弧為
又法之第六支
[008-23b]
或自丙角作垂弧亦同
[008-24a]
設乙甲丙形有乙甲二鈍角有甲丙邊與角對
[008-24b]
法引設邊成丙戊甲次形有甲外角有戊鈍角/為乙對角有丙甲邊如上法
作丙丁垂弧引次形邊㑹於丁可求乙丙邊先求甲丁/丙形諸數
次丙丁戊虛形求到丙/戊以減半周為乙丙乙甲邊先求到丁甲以虛線丁/戊減之得戊甲即得乙
甲/丙角先求到甲丙丁角内減丙虛/角得丙外角即得元設丙角
右二角一邊邊與角對垂弧在次形外為又法之
第七支
[008-25a]
設乙甲丙形有丙鈍角有角旁之兩邊丙乙/丙甲
[008-25b]
法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊㑹於丁可求乙
甲邊及甲乙二角先以甲丁丙形求到諸數再以甲丁/戊虛形求甲戊即得乙甲又甲虚角
減先得甲角成甲外角/又戊虛角即乙外角
右二邊一角角在二邊之中垂弧在次形外為又
法之第八支
[008-26a]
設乙甲丙形有甲鈍角有一邊與角對乙/丙一邊與角連
丙/甲
[008-26b]
法用丙戊甲次形自丙作垂弧與甲戊引長邊㑹于丁
可求乙甲邊及餘兩角依法求到甲戊即得乙甲求戊/角即乙角以丙虛角減先得丙
角即丙/外角
右二邊一角角有對邊垂弧在次形外為又法之
第九支
以上垂弧並作於次形之外
論曰三角俱鈍則任以一邊為底其兩端之角皆同類
矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益
[008-27a]
可與前論相發也
[008-28a]
弧三角舉要卷四
弧三角用次形法
次形之用有二
正弧三角斜弧三角並有次形法而其用各有二其一
易大形為小形則大邊成小邊鈍角成銳角其一易角
爲弧易弧為角則三角可以求邊亦二邊可求一邊
[008-28b]
第一正弧三角形易大為小 用次形
[008-29a]
如圖戊己甲乙半渾圜以戊丙甲/己丙乙兩半周線分為弧三角
形四一戊丙乙二己丙戊三己丙/甲並大四乙丙甲為最小今可盡易為小形
一戊丙乙形易為乙甲丙形戊丙減半周餘丙甲又戊/乙減半周餘乙甲而乙丙
為同用之弧則三邊之正弦同也乙丙甲角為戊丙乙/外角甲乙丙為戊乙丙外角戊角又同甲角則三角之
正弦同也故算甲/丙乙即得戊丙乙
[008-30a]
二己丙戊形易為乙甲丙形乙甲己及甲己戊並半周/内各減己甲則乙甲同己
戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之餘又甲戊/並正角丙為交角而乙角又為己角之外角故算乙丙
甲得己/丙戊
三己丙甲形易為乙丙甲形乙甲為己甲減半周之餘/乙丙為丙己減半周之餘
而同用甲丙又次形丙角為元形之外角乙角/同己角甲同為正角故算乙丙甲得己丙甲
用法
凡正弧三角内有大邊及鈍角者皆以次形立算但於
得數後以次形之邊與角減半周即得元形之大邊及
[008-30b]
鈍角其元形内原有小邊及銳角與次形/同者徑用得數命之不必復減半周斜弧同
以上易大形為小形而大邊成小邊鈍角成鋭角
為正弧三角次形之第一用大邊易小鈍角易鋭/則用算畫一算理易
明其算例並/詳第二用
[008-31a]
第二正弧三角形弧角相易 用次形内分/四支
一乙甲丙形易為丁丙庚次形
[008-31b]
解曰丁如北極 戊己壬甲如赤道圈 己庚乙如黄
道半周 辛丁壬如極至交圈壬如夏至/辛如冬至 戊丁甲如
所設過極經圈 乙如春分己如秋分並以庚壬大距
爲其度 丙如所設某星黄道度 丙乙如黄道距春
分度其餘丙庚即黄道距夏至為次形之一邊 丙甲
如黄赤距度其餘丙丁即丙在黄道距北極度為次形
又一邊 庚丁如夏至黄道距北極而為乙角餘度是
角易為邊也壬庚為乙角/度其餘庚丁是為次形之三邊
[008-32a]
[008-32b]
又丙交角如黄道上交角 庚正角如黃道夏至 甲
乙如赤道同升度其餘壬甲如赤道距夏至即丁角之
弧是邊易為角也則次形又有三角
用法
假如有丙交角乙春分角而求諸數是三角求邊也乙/丙
兩角幷甲/正角而三法為丙角之正弦與乙角之餘弦若半徑與
丙甲之餘弦得丙甲邊可求餘邊
一 丙角正弦 丙角正弦
[008-33a]
二 乙角餘弦 丙角正弦
三 半徑甲角/ 在次形/ 半徑庚角/
四 甲丙餘弦 丁丙正弦
右以三角求邊也若三邊求角反此用之
若先有乙丙邊乙甲邊而求甲丙邊則為乙甲餘弦即/次
形丁角/正弦與乙丙餘弦即庚丙/正弦若半徑甲角即次/形庚角與甲丙
餘弦即丁丙/正弦
或先有乙丙邊甲丙邊而求乙甲邊則為甲丙餘弦即/丁
[008-33b]
丙正/弦與乙丙餘弦即庚丙/正弦若半徑甲角即/庚角與乙甲餘弦
即丁角/正弦
或先有乙甲邊甲丙邊而求乙丙邊則為半徑甲角即/庚角
與甲丙餘弦即丁丙/正弦若乙甲餘弦即丁角/正弦與乙丙餘弦
即庚丙/正弦
右皆以兩弧求一弧而不用角也
以上爲乙甲丙形用次形之法本形三邊皆小一
正角偕兩銳角次形亦然所以必用次形者為三
[008-34a]
角求邊之用也是為正弧三角次形第二用之第
一支
[008-34b]
二己丙甲形甲正角餘二角丙鈍己銳/丙甲邊小餘二邊並大易為丁丙庚次
形
[008-35a]
法曰截己甲於壬截己丙於庚使己壬己庚皆滿九十
度作壬庚丁象限弧又引丙甲邊至丁亦滿象限而成
丁丙庚次形此形有丁丙邊為丙甲之餘有庚丙邊為
己丙之餘凡過弧内去象限其餘度正弦即過弧之/餘弦故己丙内減己庚而庚丙為其餘弧有
庚丁邊為己角之餘乃角易為邊也庚與壬皆象限即/庚壬為己角之度
而丁庚/為其餘又有丙銳角爲元形丙鈍角之外角有庚正角
與元形甲角等壬庚既為己角之弧/則壬與庚必皆正角有丁角為己甲邊
之餘己甲過弧以壬甲/為餘度説見上文乃邊易為角也
[008-35b]
用法
假如有甲正角己銳角丙鈍角而求丙甲邊法為丙鈍
角之正弦即次形丙銳角正弦蓋/外角内角正弦同用也與己角之餘弦即次/形丁
庚邊之/正弦若半徑即次形庚正/角之正弦與丙甲邊之餘弦即次形/丁丙邊
[008-36a]
既得丙甲可求己丙邊 法為半徑與丙角餘弦若甲
丙餘切次形為丁/丙正切與己丙餘切次形為庚/丙正切得數以減半
周為己丙下同凡以八線取弧角度者若係大邊鈍角/皆以得數與半周相減命度後倣此
求己甲邊 法為己角之餘弦即庚丁/正弦與丙角之正弦
若己丙之餘弦即庚丙/正弦與己甲之餘弦即丁角正弦/其弧壬甲
右三角求邊
又如有己甲己丙兩大邊求丙甲邊 法為己甲餘弦
即丁角/正弦與己丙餘弦即庚丙/正弦若半徑與丙甲餘弦即丁/丙正
[008-36b]
弦/
或有己甲丙甲兩邊求己丙大邊 法為半徑與丙甲
餘弦即丁丙/正弦若己甲餘弦即丁角/正弦與己丙餘弦即庚丙/正弦
得數減半周/為己丙下同
或有丙甲己二邊求己甲大邊 法為丙甲餘弦與半
徑若己丙餘弦與己甲餘弦即上法/之反理
右二邊求一邊
以上己丙甲形用次形之法本形有兩大邊一鈍
[008-37a]
角次形則邊小角銳而且以本形之邊易為次形
之角本形之角易為次形之邊後二形/並同是為正弧
三角次形第二用之第二支
[008-37b]
三己丙戊形戊正角己鈍角丙銳角/己丙與戊丙並大邊易為丁丙庚次形
[008-38a]
法曰以象限截己丙于庚其餘庚丙截戊丙于丁其餘
丁丙為次形之二邊作丁庚弧其度為己角之餘己鈍/角與
外銳角同以壬庚之度取正弦其餘丁/庚為己外角之餘亦即為己鈍角之餘角易邊也次形
又為元形之截形同用丙角又庚正角與戊角等而丁
角即己戊邊之餘度試引己戊至辛成象限則戊辛等/壬甲皆丁角之度而又為己戊之
餘/邊易角也
用法
假如有丙銳角己鈍角偕戊正角求戊丙邊 法為丙
[008-38b]
角正弦與己角餘弦即庚丁/正弦若半徑與戊丙餘弦即丁/丙正
弦/得數減半周為戊丙下同/
既得戊丙可求己丙 法為半徑與丙角餘弦若戊丙
餘切即丁丙/正切與己丙餘切即庚丙/正切
求己戊邊 法為戊丙餘弦即丁丙/正弦與半徑若己丙餘
弦即庚丙/正弦與己戊餘弦即丁角/正弦
以上己丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二
用之第三支
[008-39a]
四乙丙戊形戊正角乙丙並鈍角戊乙/戊丙並大邊乙丙小邊易為丁丙庚次
形
[008-39b]
法曰引乙丙邊至庚滿象限得次形丙庚邊即乙丙/之餘于
丙戊截戊丁象限得次形丁丙邊為戊丙/之餘而丁即為戊
乙弧之極戊正角至丁九/十度故知之從丁作弧至庚成次形庚丁
邊為乙角之餘是角易為邊也試引庚丁至辛則辛丁/亦象限而辛為正角庚
亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙鈍角之/弧度内截丁辛象限而丁庚為乙鈍角之餘度矣又
庚正角與戊等丙為外角丁角為乙戊邊之餘是邊易
為角也乙戊丙截乙辛象限其/餘戊辛即丁交角之弧
用法
[008-40a]
假如三角求邊以丙角正弦為一率乙角餘弦為二率
半徑為三率求得戊丙餘弦為四率以得數減半周為
戊丙餘並同前
以上乙丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二
用之第四支
論曰厯書用次形止有乙甲丙形一例若正角形有鈍
角及大邊者未之及也故特詳其法
又論曰依第一用法大邊可易為小鈍角可易為銳則
[008-40b]
第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣
己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易為乙甲/丙形而乙甲丙又易為丁丙庚是又次形也
[008-41a]
正弧形弧角相易又法 用又次形
甲乙丙正弧三角形易為丁丙庚次形再易為丁戊壬
形
[008-41b]
法曰依前法引乙丙邊甲乙邊各滿象限至庚至己作
庚己弧引長之至丁亦引甲丙㑹于丁亦各滿象限成
丁丙庚次形
又引丙庚至辛引丙丁至戊亦滿象限作辛戊弧引之
至壬亦引庚丁㑹于壬則辛壬庚壬亦皆象限成丁戊
壬又次形此形與甲乙丙形相當
論曰乙丙邊易為壬角乙庚及丙辛皆象限内減同用/之丙庚則辛庚即乙丙而辛庚
即壬角/之弧乙甲邊易為丁角乙甲之餘度己甲/即丁交角之弧是次形之
[008-42a]
兩角即元形之兩邊也乙角易為丁壬邊丁己及庚壬/俱象限内減
同用之庚丁則丁壬即己/庚而為元形乙角之弧丙角易為戊壬邊丙交之弧/弧辛戊其
餘為次/形戊壬是次形之兩邊即元形之兩角而次形戊丁邊
即元形丙甲次形戊角即元形甲角
用法
若原形有三角則次形有戊直角有戊壬丁壬二邊可
求乙甲邊 法為乙角之正弦即丁壬/正弦與半徑若丙角
之餘弦即戊壬/正弦與乙甲之餘弦即丁角/正弦
[008-42b]
求乙丙邊 法為乙角之切線即丁壬/切線與丙角之餘切
即戊壬/正切若半徑與丙乙之餘弦即壬角/餘弦既得兩邊可求
餘邊
以上又次形三角求邊為正弧三角第二用之又
法
論曰用次形止一弧一角相易今用又次形則兩弧並
易為角兩角並易為弧故於前四支並峙而為又一法
也
[008-43a]
第三斜弧三角易大為小 用次形内分/二支
一甲乙丙二等邊形 三角皆鈍
[008-43b]
如法先引乙丙邊成全圖又引甲丙甲乙兩邊出圜周
外㑹于丁又引兩邊各至圜周如戊/如己成乙丁丙及戊甲
己兩小形皆相似而等即各與元形相當而大形易為
小形
論曰次形甲戊/甲己二邊為元形邊減半周之餘則同一正
弦次形己/戊二角為元形之外角亦同一正弦甲乙戊為/甲乙丙外
角而與次形己角等甲丙己為/甲丙乙外角亦與次形戊角等而次形甲角原與元形
為交角戊己邊又等乙丙邊戊乙丙及己戊乙並半周/各減乙戊則戊己等乙丙
[008-44a]
故算小形與大形同法惟於得數後以減半周即得大
邊及鈍角之度置半周減戊甲得甲丙減己甲亦得甲/乙又置半周減己銳角得元形乙鈍角
減戊鋭角亦得元形丙鈍角其交角甲及/相等之戊己邊只得數便是并不用減
[008-45a]
論曰凡兩大圈相交皆半周故丁丙與丁乙亦元形減
半周之餘又同用乙丙而乙與丙皆外角丁為對角故
乙丙丁形與戊甲己次形等邊等角而並與元形甲乙
丙相當
右二邊等形易大為小為斜弧次形第一用之第
一支
[008-45b]
二甲乙丙三邊不等形 角一鈍二銳
[008-46a]
如法引乙丙作圜又引餘二邊甲乙/甲丙至圜周己/戊得相當
次形己甲戊算戊甲得甲丙算己甲/得甲乙算己戊得乙丙其角亦一鈍二銳
算戊鈍角得丙銳角算己鋭角/得乙鈍角而甲交角一算得之
又戊甲乙形 角一鈍二鋭 如法引戊乙作圜又引
乙甲至圜周己/成次形己甲戊與元形相當算己甲得/甲乙算己
戊得戊乙又同用戊甲邊故相當算甲銳角得/甲鈍角算戊鈍角得戊鋭角算己角即乙角
又甲己丙形 三角俱鈍 如上法引丙己作圜又引
丙甲至戊成次形己甲戊與元形相當元形甲丙與戊/甲元形己丙與
[008-46b]
己戊並減半周之餘又同用己甲又丙鈍/角即戊鈍角甲己兩銳角並元形之外角
右三邊不等形易大爲小為斜弧次形第一用之
第二支
[008-47a]
第四斜弧三角形弧角互易 用次形内分/三支
一乙甲丙形三角/俱鈍易為丑癸寅形一鈍/二銳
[008-47b]
法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未並半周
次以甲為心作丁辛癸寅弧乙為心作戊丑癸壬弧丙
為心作丑子午寅弧三弧交處别成一丑癸寅形與元
形相當而元形之角盡易為邊邊盡易為角
論曰甲角之弧丁辛與次形癸寅等則甲角易為癸寅
邊丁癸及辛寅皆象限減同/用之辛癸則癸寅同丁辛乙角之弧己壬與次形丑
癸等則乙角易為丑癸邊癸己及丑壬皆象限減同/用之癸壬即丑癸同壬己丙
外角之弧午申引丑午寅至申取亥/申與庚子等成午申與次形寅丑等則
[008-48a]
丙外角易為寅丑弧丑午及寅申皆象限各加同/用之午寅即午申等丑寅是元
形有三角即次形有三邊也 又甲乙邊之度易為癸
外角乙己及甲辰皆象限内減同用之/甲己則乙甲同己辰為癸外角弧甲丙邊易為寅
角甲辛及丙子皆象限内減同用之丙/辛則甲丙等辛子而同為寅角之弧乙丙邊易為丑
角乙壬及午丙皆象限内減同用之丙/壬則乙丙等午壬而同為丑角之弧是元形有三邊
即次形有三角也
又論曰有此法則三角可以求邊既以三角易為次形/之三邊再用三邊求
角法求得次形三角即反為元形/之三邊 三邊求角法詳别卷
[008-48b]
又論曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外㑹于
申則庚亥與子申並半周内各減子亥即子庚同亥申
而子寅既象弧則寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅
與以丑午象限午壬為丑角之弧/故丑午亦象限加午寅必等而申午
者丙外角之度丑寅者次形之邊也故丙角能為次形
之邊也
又論曰凡引弧線出圜外者其弧線不離渾圜面幂因
平視故為周線所掩稍轉其渾形即見之矣但所引出
[008-49a]
之線原為半周之餘見此餘線時即當别用一圈為外
周而先見者反有所掩如見亥申即不能見子庚故其
度分恒必相當亦自然之理也
又論曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形
丙酉甲形並可易為甲乙丙則又皆以癸丑寅為又次
形矣
右三角俱銳形弧角相易為斜弧次形第二用之
第一支
[008-49b]
二未丙酉形三角/俱鈍易為丑癸寅形一鈍/二銳
[008-50a]
法曰引酉未弧作圜又引兩邊至圜周如乙/如甲乃以未為
心作丁辛癸寅辰弧以酉為心作戊丑癸壬己弧以丙
為心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外㑹於申三
弧相交成丑癸寅形此形與元形相當而角盡易為弧
弧盡易為角
論曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧癸丁及寅辛皆/象限内減同用
之癸辛則癸/寅即丁辛酉外角之弧壬己成次形丑癸弧壬丑及/癸己皆
象限各減癸壬/則丑癸即壬己丙外角之弧申午成次形寅丑弧準前/論庚
[008-50b]
亥及子申並半周則申亥等子庚而申寅為/象限與午丑象限各減午寅即寅丑同申午 是三角盡
易為邊也酉未邊成癸外角酉戊及未丁皆象限各減/未戊則丁戊即酉未而為
癸外角之弧若以丁戊減戊乙己半周/其餘丁乙己過弧亦即為癸交角之弧未丙邊減半周
其餘甲丙成寅角甲辛及子丙皆象限各減辛丙/則辛子即甲丙而為寅角之弧酉丙
邊減半周其餘乙丙成丑角午丙及壬乙皆象限各減/丙壬則壬午即乙丙而為
丑角/之弧是三邊盡易為角也寅角丑角並原邊減半周則/原邊即兩外角弧與酉未成
癸外/角等故三角減半周得次形三邊算得次形三角減半
周得原設三邊
[008-51a]
右三角俱鈍形弧角相易為斜弧次形第二用之
第二支
論曰若所設為乙未丙形則未角易為次形癸寅邊徑/用
丁辛子形内以當/癸寅不須言外角乙外角為丑癸邊亦以己壬當丑癸/與用酉外角同理
丙角為丑寅邊徑以丙交角之弧甲/午當丑寅不言外角 若所設為甲酉
丙形則酉角易為丑癸邊己壬徑當丑/癸不言外角甲外角為寅癸
邊用丁辛當癸/寅即甲外角丙角為丑寅邊亦申午當丑/寅不言外角
又論曰此皆大邊徑易次形不必復言又次
[008-51b]
三甲乙丙形一鈍角/兩銳角易為丑癸寅形
[008-52a]
如法引甲乙邊作全圜引餘二邊各滿半周又以甲為
心作丁壬癸丑辰半周以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧
以丙為心作己午子丑寅夘弧三弧線相交成丑癸寅
次形與元形相當而角為弧弧爲角
論曰易甲角為次形丑癸邊於癸丁象限減壬癸成丁/壬為甲角之弧於丑壬象
限亦減壬癸即成/癸丑邊其數相等乙外角為次形癸寅邊於癸戊象限/減癸辛成辛
戊為乙外角之弧于寅辛象限亦/減癸辛即成癸寅邊其數相等丙角為次形丑寅邊
于丑午象限減丑子成午子為丙角之弧于/寅子象限亦減丑子即成丑寅邊其數相等則角盡為
[008-52b]
邊又甲乙邊為癸角于甲丁象限乙戊象限各減乙丁/則戊丁等甲乙而癸角角之弧
乙丙邊成寅角于乙辛及子丙兩象限各減丙辛/則辛子等乙丙而為寅角之弧甲丙
邊為丑外角于甲壬及午丙兩象限各減丙壬/則午壬等甲丙而為丑外角之弧則邊盡
為角
右一鈍角兩銳角形弧角相易為斜弧次形第二
用之第三支
論曰若所設為甲丙酉形三角俱鈍而/有兩大邊則以甲外角為
次形丑癸邊酉外角為癸寅邊丙外角為丑寅邊又以
[008-53a]
三邊為次形三外角並與第二支未丙/酉形三鈍角同理 若所設為丙
未酉形乙未丙形並一鈍二銳/而有兩大邊皆依上法可徑易為丑
癸寅次形觀圖自明
[008-53b]
甲乙丙形三邊並大/三角並鈍易為次形
[008-54a]
法以本形三外角之度為次形三邊午己為乙外角之/度而與癸壬等丑
辛為甲外角之度而與癸寅等申/亥為丙外角之度而與寅壬等以本形三邊減半周
之餘為次形三角甲乙減半周其餘戊乙或子甲而並/與辰丁等即癸角之度甲丙減半周
其餘戊丙而與丑庚等即寅角之度乙丙減/半周其餘子丙而與午亥等即壬角之度並同前術
論曰此即厯學㑹通所謂别算一三角其邊為此角一
百八十度之餘者也然惟三鈍角或兩鈍角則然其餘
則兼用本角之度不皆外角
右三角俱鈍形弧角相易同第二支惟三邊/俱大
[008-54b]
子戊丙形一大邊二小邊/一鈍角二銳角
[008-55a]
其法亦以次形癸壬/癸寅二邊為本形子/戊二角之度寅壬邊
為丙外角之度次形寅/壬二角為本形二小邊之度癸角
為大邊減半周之度
論曰此所用次形與前同而用外角度者惟丙角其子
角戊角只用本度為次形之邊非一百八十度之減餘
也 若設戊丙乙形子丙甲形並同戊丙乙形惟次形/癸寅邊為戊外角
其餘癸壬邊之度為乙角寅壬邊之度為丙角則皆本/度子丙甲形惟次形癸壬邊為子外角其餘寅壬邊之
度為丙角癸寅邊之/度為甲角則皆本度
[008-55b]
右一鈍角二銳角與第三支同惟為邊一/大一小
[008-56a]
第五斜弧正弧以弧角互易内分/二支
一甲乙丙形甲乙邊適足九十度餘二/邊一大一小角一鈍二銳易為丑癸寅正
弧形癸正角餘銳/三邊並小
[008-56b]
法曰引乙丙小邊成半周於乙引至夘補成丙乙夘象/限又于丙引至午成丙辛午
象限即/成半周作夘亥庚丑寅午以丙為心之半周截丙甲大/邊于庚使
丙庚與丙乙夘等乃作庚夘弧為丙角之度即庚與夘/皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙為心
作甲丑癸辛戊以乙為心之半周引甲乙象限至戊成/半周于甲于戊各作
正角聨之即又成半周而截乙辛成象限與乙/戊等即辛戊為乙外角度而此半周以乙為心作乙壬
癸寅弧以甲為心甲戊半周折半于癸成兩象限從癸/作十字正角弧一端至寅一端至乙
成癸乙象限其所截甲壬亦象限/即乙壬為甲角之弧而甲為其心三弧線相交成一丑
癸寅次形與本形弧角相易而有正角
[008-57a]
[008-57b]
論曰次形丑寅邊即本形丙角之度丑夘及寅庚皆象/限各減丑庚則丑
寅即庚夘而/為丙角之弧癸寅邊即甲角之度寅壬及癸乙皆象限/各減癸壬則癸寅即
壬乙而為/甲角之弧癸丑邊即乙外角之度丑辛及癸戊皆象限/各減癸辛則丑癸即
辛戊而為乙/外角之弧是角盡易邊也又寅角為甲丙邊所成庚/丙
及壬戊皆象限各減丙壬則寅角之/弧庚壬與甲丙減半周之丙戊等丑角為乙丙邊所
成午丙及辛乙皆象限各減辛丙/則丑角之弧午辛與乙丙邊等癸正角為甲乙邊所
成癸正角内外並九十度而甲乙象限為癸外/角弧若減半周則乙戊象限為癸交角弧是邊盡
為角而有正角也
[008-58a]
又辰戊丙形辰戊邊象限/餘並同前易為正弧形並同前法/觀圖自明
[008-58b]
乙丙戊形乙戊邊足一/象限餘並小易為正角形則丑寅度即丙外
角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角為邊也又寅角
生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是邊為角
[008-59a]
辰甲丙形辰甲象弧餘二/邊大三角並鈍易為正角形則丑寅邊為丙
外角丑癸邊為辰外角寅癸邊為甲外角角為邊也又
寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲並/準
前條諸/論推變是邊為角而且有正角也
[008-59b]
右本形有象限弧即次形有正角而斜弧變正弧
為弧角互易之第一支
[008-60a]
丙乙甲形丙正角餘兩銳角相/等邊三小相等者二易為己癸壬次形角一/鈍二
銳銳/相等
[008-60b]
法以甲為心作寅己丑半周則甲角之度子寅/弧成次形
一邊己/壬以乙為心作夘己午半周則乙角之度夘辰/弧成
次形又一邊己/癸此所成二邊相等以丙為心作亥癸壬
未半周則丙角之度癸壬/象限即為次形第三邊 依法平
分次形以己壬酉形求壬角得原設甲丙邊壬角之度/癸子與甲
丙/等乙丙邊壬癸兩銳角原同度而癸角之度/辰壬與乙丙等故一得兼得也求半己角
倍之成己角以減半周得原設乙甲邊己外角之度午/寅或丑夘並與
乙甲/等
[008-61a]
論曰本形有正角次形無正角而有象限弧得次形之
象限弧得本形之正角矣
若設丙戊丁形丙正角兩鈍角同度/二大邊同度一邊小易為己癸壬次形
與上同法惟丁戊用外角
若設甲丙戊形丙正角餘一銳一鈍而銳角鈍角合成/半周邊二大一小而小邊與一大邊合
成一/半周易為己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本
角而同度所得次形之邊亦同度甲外角之度子寅成/次形巳壬邊戊本角
乏度辰夘成次形己/癸邊而四者皆同度其轉求本形也用次形之壬角得
[008-61b]
甲丙以減半周即得丙戊或乙丙丁/形亦同
右本形有正角而次形無正角爲弧角互易之第
二支
或三角形無相同之邊角而有正角其次形必/有象限邊或無正
角而有相同之邊角其次形亦有/等邊等角準此論之
[008-62a]
次形法補遺角一銳一鈍/邊二大一小
附算例 三角求邊 三邊求角
甲乙丙形甲角一百二十度乙角一百一十/度丙角八十五度為一銳二鈍三角求邊
[008-62b]
如法易為丑寅癸次形癸寅邊六十度當甲角丑癸邊/七十度當乙角寅丑邊當丙角
並以角度減/半周得之
求甲乙邊即次形/癸外角法以甲/乙兩角正弦相乗半徑除之得
數八一三/八○為一率半徑一○○/○○○為二率甲/乙兩角相較十/度
之矢與丙角減半周九十/五度大矢相較得數一○七/一九七為三
率求得四率一三一/七二四爲次形癸角大矢内減半徑成餘
弦三一七/二四撿表得癸外角七十一度/三十分為甲乙邊本宜求/癸角以
減半周得甲乙/今用省法亦同
[008-63a]
論曰三角求邊而用次形實即三邊求角也故其求甲
乙邊實求次形癸角得癸角得甲乙邊矣然則兩角正
弦仍用本度者何也凡減半周之餘度與其本度同一
正弦也甲角一百二十度之正弦八六六○三即次形/癸寅邊六十度之正弦乙角一百一十度之正
弦九三九六九即次形/丑癸邊七十度正弦獨丙角用餘度大矢何也正弦
可同用而矢不可以同用也丙以外角易為次形丑寅/邊九十五度其大矢一○
八七一六而丙角本八十五度是/銳角當用正矢故不可以通用然則兩角較矢又何
以仍用本度曰兩餘度之較與本度同故也甲角乙角/之較十度
[008-63b]
所易次形之癸寅邊/丑癸邊其較亦十度所得四率為大矢而甲乙邊小何
也曰餘度故也甲乙邊易為癸外角而四率所得者/癸内角也故為甲乙減半周之餘度用
餘度宜減半周命度矣今何以不減曰省算也雖不減
猶之減矣四率係大矢必先得癸外角七十一度半以/減半周得癸内角一百○八度半再以癸内
角減半周仍得七十一度半為甲乙邊今徑/以先得癸外角之度為甲乙邊其理無二
求甲丙邊 如上法以邊左右兩角正弦甲八六六○/三丙九九六
一/九相乘半徑除之得數八六二/七三為一率半徑一○○/○○○為
二率甲/丙兩角相較三十/五度矢一八○/八五與乙外角七十/度矢六/五
[008-64a]
七九/八相較得數四七七/一三為三率求得甲丙邊半周餘度
之矢五五三/○四為四率撿表得六十三/度二十七分以減半周得甲丙
邊一百一十六/度三十三分
論曰此亦用次形三邊求寅角也以甲角所易癸寅邊/丙角所易寅丑邊為
角旁二邊以乙角所易丑癸邊為對角之邊求得/寅角之度辛子與酉丙等即甲丙減半周餘度
求乙丙邊 如法以邊左右兩角正弦丙九九六一九/乙九三九六九
相乘半徑除之得數九三六/一二爲一率半徑一○○/○○○為二
率丙/乙兩角較二十/五度矢○九三/六九與甲外角六十/度矢相較四/○
[008-64b]
六三/一爲三率求得餘度矢四三四/○三為四率撿表得五十分/五度三十二
以減半周得乙丙邊一百廿四/度廿八分
論曰此用次形三邊求丑角也丙角易寅丑邊乙角易丑癸邊/為角旁二邊甲角易癸寅為對
邊求得丑角度午壬與未丙/等即乙丙邊減半周餘度又論曰此所用次形之三邊三角
皆本形減半周之餘度甲乙同己辰即癸外角度則次形癸角/為甲乙邊之半周餘度也寅角之度子
辛與酉丙等甲丙邊之餘度也丑角之度午壬與未丙/等乙丙邊之餘度也是次形三角皆本形三邊減半周
之餘度矣其次形三邊爲本形/三角減半周之餘己詳前註故所得四率為角之大
小矢者皆必減半周然後可以命度若他形則不盡然
[008-65a]
必須詳審
[008-65b]
如甲未丙形甲角六十度丙角九/十五未角一百一十易丑寅癸次形則其
角易為邊用本度者二甲角弧丁辛六十度易次形癸/寅邊丙角弧申午九十五度易
次形寅/丑邊用餘度者一未角弧壬戊一百一十度其半周/餘度己壬七十度易次形丑癸邊
而其邊易為角用本度者二未丙邊五十五度三十二/分與午壬等成次形丑角
甲未邊餘度未酉七十一度三十分與丁戊等成癸外/角則次形癸角一百○八度三十分為甲未邊本度
用餘者者一甲丙邊一百十六度三十三分其餘度酉/丙六十三度二十七分與辛子等成次形
寅/角若一槩用餘度算次豈不大謬
又如乙丙酉形乙角七○丙角九/五酉角一二○用癸寅/丑次形前/圖求丙
[008-66a]
酉邊
如法以邊左右兩角正弦丙九九六一九/酉八六六○三相乗去末五
位得數八六二/七三為一率半徑一○○/○○○為二率以酉外角/丙角
相差三十/五度矢一八○/八五與乙角矢六五七/九八相較四七七/一三爲
三率求得正矢五五三/○四為四率次形寅/角之矢撿表得六十三
度二十七分為丙酉邊
論曰此所用四率與前條求甲丙邊之數同而邊之大
小迥異一為餘度一為本度也前條為餘度之矢故甲/丙邊大此條為本度之
[008-66b]
矢故丙/酉邊小又所用矢較亦以不同而成其同前條以兩角/相差此則以
酉外角與丙角相差不同也而相差三十五度則同前條/用乙外角之矢此條用乙本角又不同也而矢數六五
七九八/則同其理皆出次形也
求酉乙邊 如法以兩角正弦乙九三九六九/酉八六六○三相乗去
末五位得八一/三八○為一率半徑為二率酉外角/乙角相差十/度之
矢與丙角九十/五度之矢相較得一○六/一九七為三率求得大矢
次形癸/角之矢為四率一三一/七二四撿表得一百○八/度三十分為酉乙邊此/與
前條求甲乙邊參㸔即見次/形用法不同之理如前所論
[008-67a]
求乙丙邊 與前條同法因丙乙兩内角之正弦及差/度並與兩外角同而酉角又
同甲角/故也
論曰三角求邊必用次形而次形之用數得數並有用
求度餘度之異即此數條可知其槩
又論曰在本形為三角求邊者在次形為三邊求角故
此數條即三邊求角之例也餘詳環/中黍尺
[008-67b]
垂弧捷法作垂弧而不用/其數故稱捷法 亦為次形雙法用兩次形/故稱雙法
設亥甲丁形有甲亥邊亥丁邊亥角在二邊/之中求甲丁邊
對角/之邊
[008-68a]
本法作垂弧分兩形先求甲已邊次求亥已邊分丁巳
邊再用甲巳丁巳二邊求甲丁邊
今捷法不求甲已邊但求亥已邊分丁已邊即用兩分
形之兩次形以徑得甲丁
一 亥已餘弦 即次形亥戊正弦
二 亥甲餘弦 即次形亥丙正弦
三 已丁餘弦 即次形辛丁正弦
四 甲丁餘弦 即次形庚丁正弦
[008-68b]
法引甲亥邊至丙引甲丁邊至庚引甲已垂弧至乙皆
滿象限又引分形邊亥已至戊引丁已至辛亦滿象限
末作辛庚乙丙戊半周與亥已遇于戊與丁已遇于辛
成亥丙戊次形與甲已亥分形相當丁亥辛次形與甲
已丁分形相當而此兩次形又自相當戊角辛角同以/己乙為其度則
兩角等丙與庚又同為正/角則其正弦之比例皆等
論曰半徑與戊角之正弦若戊亥之正弦與亥丙之正
弦又半徑與辛角即戊/角之正弦若辛丁之正弦與丁庚
[008-69a]
之正弦合之則戊亥正弦與亥丙正弦亦若辛丁正弦
與丁庚正弦
又論曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道
半周甲如北極辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距
即夏至之緯乃二分同用之角度即戊角辛/角之度亥丙及丁
庚皆赤緯甲亥及甲丁皆距北極之度即赤緯/之度
一 戊亥正弦 黄經 戊亥為未到秋分之度辛
二 亥丙正弦 赤緯 丁為已過春分之度似有
[008-69b]
三 辛丁正弦 黄經 不同而二分之角度既同
四 丁庚正弦 赤緯 故其比例等
[008-70a]
一 亥已餘弦 即亥戊正弦
二 亥甲餘弦 即亥丙正弦
三 已丁餘弦 即戊丁正弦
四 甲丁餘弦 即庚丁正弦
論曰此理在前論中蓋以同用戊角故比例同也
又論曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊
角如秋分其弧己乙如夏至距緯此兩黄經並在夏至/後秋分前其理易見
或先有者是丁鈍角甲丁丁亥二邊則先求丁巳線亦用/前圖
[008-70b]
一 丁已餘弦 即戊丁正弦
二 甲丁餘弦 即丁庚正弦
三 亥已餘弦 即亥戊正弦
四 亥甲餘弦 即亥丙正弦
又論曰假如星在甲求其黄赤經緯則亥丁如兩極之
距亥角若為黄經則丁角為赤經而亥甲黄緯丁甲赤
緯也若丁角為黄經則亥角為赤經而丁甲黄緯亥甲
赤緯也弧三角之理隨處可/施故舉此以發其例
[008-71a]
弧三角舉要卷五
八線相當法引
弧三角有以相當立法者何也以四率皆八線也弧三
角四率何以皆八線而不用他線八線但論度他/線則有丈尺渾體
故也弧三角皆在/渾員之面渾體異平而御渾者必以平是故八
線之數生于平員而八線之用專于渾員也曷言乎專
為渾員曰平三角之角之邊皆直線也同在一平面而
可以相為比例故雖用八線而四率中必兼他線焉以/八
[008-71b]
線例他線則用角可以求邊以他線例/八線則用邊可以求角皆兼用兩種線弧三角之角之
邊皆弧度曲線也不同在平面故非八線不能為比例
而四率中無他線焉既皆以八線相比例則同宗半徑
有角之八線有邊之八線各角各邊俱/非平面而可以相求者同一半徑也相當互視之法
所由以立也錯舉似紛實則有條不紊故爲論列使有
倫次云
[008-72a]
八線相當法詳衍
總曰相當分之則有二曰相當曰互視互視又分為二
曰本弧曰兩弧
但曰相當者皆本弧也又分為二曰三率連比例者以
全數為中率也其目有三曰四率斷比例者中有全數
也其目有六凡相當之目九
互視者亦相當也皆爲斷比例而不用全數若以四率
之一與四相乗二與三相乗則皆與全數之自乗等也
[008-72b]
本弧之互視其目有三兩弧之互視其目有九凡互
視之目十二
總名之皆曰相當其目共二十一内三率連比例三更
之則六四率斷比例十有八更之反之錯而綜之則百
四十有四共百有五十
相當共九
一曰正弦與全數若全數與餘割
二曰餘弦與全數若全數與正割
[008-73a]
三曰正切與全數若全數與餘切
以上三法皆本弧皆三率連比例而以全數為中
率
四曰正弦與餘弦若全數與餘切
五曰餘弦與正弦若全數與正切
六曰正割與正切若全數與正弦
七曰餘割與餘切若全數與餘弦
八曰正割與餘割若全數與餘切
[008-73b]
九曰餘割與正割若全數與正切
以上六法亦皆本法而皆四率斷比例四率之内
有一率為全數
互視共十二
一曰正弦與正切若餘切與餘割
二曰餘弦與餘切若正切與正割
三曰正弦與餘弦若正割與餘割
以上三法亦皆本弧皆四率斷比例而不用全數
[008-74a]
然以四率之一與四二與三相乗則其兩矩内形
皆各與全數自乗之方形等
四曰此弧之正弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘割
五曰此弧之正弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘割
六曰此弧之正弦與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘割
七曰此弧之餘弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧正割
八曰此弧之餘弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧正割
九曰此弧之餘弦與他弧餘切若他弧之正切與此弧正割
[008-74b]
十曰此弧之正切與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘切
十一曰此弧之正切與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘切
十二曰此弧之正切與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘切
以上九法皆兩弧相當率也其爲四率斷比例而
不用全數則同若以四率之一與四二與三相乗
其矩内形亦各與全數自乗之方形等
[008-75a]
相當法錯綜之理
此三率連比例也首率與中率之比例若中率與末率
故以首率末率相乗即與中率自乗之積等
假如三十度之正弦○五○/○○○與全數一○○/○○○之比例若
[008-75b]
全數一○○/○○○與三十度之餘割二○○/○○○其比例皆為加
例也更之則餘割二○○/○○○與全數一○○/○○○若全數一○/○○
○/○與正弦○五○/○○○其比例為折半也
又如三十度之餘弦○八六/六○三與全數一○○/○○○若全數一/○
○○/○○與三十度之正割一一五/四七○更之則正割一一五/四七○與
全數一○○/○○○若全數一○○/○○○與餘弦○八六/六○三也
又如三十度之正切○五七/七三五與全數一○○/○○○若全數一/○
○○/○○與三十度之餘切一七三/二○五更之則餘切一七三/二○五與
[008-76a]
全數一○○/○○○若全數一○○/○○○與正切○五七/七三五也
用法
凡三率連比例有當用首率與中率者改為中率與末
率假如有四率其一三十度正弦其二全數改用全數
為一率三十度餘割為二率其比例同
[008-76b]
凡四率之前後兩率矩内形與中兩率矩形等故一與
四二與三可互居也
[008-77a]
[008-78a]
右四率斷比例也一率與二率之比例若三率與四率
假如三十度之正弦○五○/○○○與其餘弦○八六/六○三若全數
一○○/○○○與其餘切一七三/二○五更之則餘切一七三/二○五與全數
[008-78b]
一○○/○○○若餘弦○八六/六○三與正弦○五○/○○○也第四法/
又如三十度之正割一一五/四七○與其正切○五七/七三○若全數
一○○/○○○與其正弦○五○/○○○更之則全數一○○/○○○與正割
一一五/四七○若正弦○五○/○○○與正切○五七/七三五也第六法/
又如三十度之餘割二○○/○○○與其正割一一五/四七○若全數
一○○/○○○與其正切○五七/七三五更之則正切○五七/七三五與正割
一一五/四七○若全數一○○/○○○與餘割二○○/○○○也第九法/餘倣此
用法
[008-79a]
凡四率斷比例當用前兩率者可以後兩率代之假如有四率
其一正弦其二餘弦改用全數為一率餘切為二率其比例同
互視
[008-80a]
此本弧中互相視之率也其第一與第四相乗矩第二
與第三相乗矩皆與全數自乗方等故其邊為互相視
之邊而相與爲比例皆等
假如三十度之正弦○五○/○○○與其餘割二○○/○○○相乗一/○
○○○○○/○○○○其餘弦○八六/六○三與其正割一一五/四七○相乗一○/○○
○○○/○○弱皆與全數自乗之方等故以正弦為一率餘弦
[008-80b]
為二率正割為三率餘割為四率則正弦○五○/○○○與餘
弦○八六/六○三若正割一一五/四七○與餘割二○○/○○○也第三法/
又如三十度之正切○五七/七三五與其餘切一七三/二○五相乗一/○
○○○○/○○○弱亦與全數之方等故以正弦為一率餘切為
二率正切為三率餘割為四率則正弦○五○/○○○與正切
○五七/七三五若餘切一七三/二○五與餘割二○○/○○○也第一法/
或以餘弦為一率餘切爲二率正切為三率正割為四
率則餘弦○八六/六○三與餘切一七三/二○五若正切○五七/七三五與正
[008-81a]
割一一五/四七○也第二法/
用法
此亦四法斷比例故當用前兩率者可以後兩率代之
假如有四率當以正弦與正切為一率二率者改用餘
切為一率餘割為二率以乗除之其比例亦同餘倣此
本弧諸線相當約法
其一為弦與股之比例 反之則如股與弦
全 正割 餘切 餘割 全 餘弦 正切 正弦
[008-81b]
正弦 正切 餘弦 全 餘割 餘切 正割 全
其二為弦與句之比例 反之則如句與弦
全 餘割 正切 正割 全 正弦 餘切 餘弦
餘弦 餘切 正弦 全 正割 正切 餘割 全
其三為句與股之比例 反之則如股與句
全 餘弦 餘割 餘切 全 正割 正弦 正切
正切 正弦 正割 全 餘切 餘割 餘弦 全
右括本弧七十八法
[008-82a]
[008-82b]
如圖甲丙甲乙甲丁皆半徑全數乙丙為正弧乙丁為
餘弧乙戊為正弦庚丙為正切線庚甲為正割線乙己
為餘弦辛丁為餘切線辛甲為餘割線
[008-83a]
[008-83b]
此皆一定比例觀圖自明
外有餘切餘弦非弦與股之比例則借第二比例更
之
一 甲乙全數即甲/丁 辛丁餘切
四 辛丁餘切 甲丁全數
全數與餘弦若餘割與餘切更之而餘切與餘弦
[008-84a]
若餘割與全數也餘割與全數既為弦與股則餘
切與餘弦亦如弦與股矣
正切正弦非弦與句之比例則借第一比例更之
一 甲乙全數即甲/丙 庚丙正切
四 庚丙正切 甲丙全數
全數與正弦若正割與正切更之而正切與正弦
[008-84b]
若正割與全數也正割與全數既為弦與句則正
切與正弦亦如弦與句矣
餘割正割非句與股之比例則仍借第一比例更之
一 餘割辛甲 餘割辛甲
二 全數甲丁即甲/丙 正割庚甲
三 正割庚甲 全數甲丙
四 正切庚丙 正切庚丙
餘割與全數若正割與正切更之而餘割與正割
[008-85a]
若全數與正切也全數與正切既爲句與股則餘
割與正割亦如句與股矣
互視自此而分以前為本弧所用共大法三更之/則二十有四合相當法則七十有八而總以三率
連比例三/大法為根
以後為兩弧所用共大法九更之七十/有二而仍以本弧之三率連比例為根
[008-86a]
[008-86b]
九法
[008-87a]
[008-87b]
十二法
[008-88a]
以上大法三更之二十有四是以/本弧之正切餘切與他弧互視
此皆兩弧中互相視之率也本弧有兩率相乗矩與全
數之方等他弧亦有兩率相乗矩與前數之方等則此
四率為互相視之邊互相視者此有一率贏于彼之一
[008-88b]
率若干倍則此之又一率必朒于彼之又一率亦若干
倍而其比例皆相等故以此弧之兩率為一與四則以
他弧之兩率為二與三
假如有角三十度邊四十度此兩弧也角之正弦○五/○○
○/○與其餘割二○○/○○○相乗一○○○○/○○○○○與全數自乗等
邊之正弦○六四/二七九與其餘割一五五/五七二相乗一○○○○/○○○○弱
亦與全數自乗等則此四率為互相視之邊互相視者
言角之正弦○五○/○○○與邊之正弦○六四/二七九若邊之餘割
[008-89a]
一五五/五七二與角之餘割二○○/○○○也第四法/
又如有二邊大邊五十度小邊三十度大邊之正弦○/七
六六/○四餘割一三○/五四一相乗與全數自乗等小邊之正切○/五
七七/三五餘切一七三/二○五相乗亦與全數自乗等則此四者互
相視互相視者言大邊之正弦○七六/六○四與小邊之正切
○五七/七三五若小邊之餘切一七三/二○五與大邊之餘割一三○/五四一
也第六法/
又如有兩角甲角三十度乙角五十度此亦兩弧也甲
[008-89b]
角之正切○五七/七三五餘切一七三/二○五相乗與全數自乗等乙
角之正切一一九/一七五餘切○八三/九一○相乗亦與全數自乘等
則此 率為互相視之邊互相視者言甲角之正切○/五
七七/三五與乙角之正切一一九/一七五若乙角之餘切○八三/九一○與
甲角之餘切一七三/二○五也第十法/
用法
假如别有四率以五十度正弦為第一三十度正切為第
二今改用三十度餘切第一五十度餘割第二其比例同
[008-90a]
[008-91a]
如圖壬丙爲本弧乙丙為他弧他弧小於本弧而並在
半象限以内
本弧正弦壬癸/餘割未甲 餘弦壬丑/正割庚甲 正切庚丙/餘切未丁
他弧正弦乙戊/餘割酉申 餘弦乙巳/正割辛甲 正切辛丙/餘切酉丁
論曰甲丙甲丁皆半徑乃本弧他弧所共也半徑自乗
之方冪為甲丙夘丁而本弧中以正弦乗餘割以餘弦
乗正割以正切乗餘切所作矩形既各與半徑方冪等
則他弧亦然故可以互相視而成相當之率
[008-92a]
如上圖壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外
亦同
[008-93a]
如上圖壬丙本弧小于乙丙他弧而並在半象限外並
同
[008-93b]
厯算全書卷八
欽定四庫全書
厯算全書巻八
宣城梅文鼎撰
弧三角舉要巻三
斜弧三角形作垂弧説
正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形無正
角如平三角之有銳鈍形也平三角銳鈍二形並以虚
線成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正
[008-1b]
弦等線立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股
法也
斜弧三角用垂弧法
垂弧之法有三其一作垂弧于形内則分本形為兩正
角形其二作垂弧于形外則補成正角形其三作垂弧
于次形
總法曰三角俱銳垂弧在形内一鈍二鋭或在形内或
在形外自鈍角作垂弧則在形内/自銳角作垂弧則在形外兩鈍一銳或三角俱
[008-2a]
鈍則用次形其所作垂弧在次形之内之外次形無鈍/角垂弧在
其内有鈍角垂弧在其/外若破鈍角亦可在内
[008-2b]
第一法垂弧在形内成兩正角内分五支/
設甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙甲丙二邊
求對邊及餘兩角
[008-3a]
法于乙角在先有乙丙邊之/端乃不知之角作垂弧如乙/丁至甲丙邊分
甲丙邊為兩即分本形為兩而皆正角凡垂弧之所到/必正角也角不
正即非垂弧故所分/兩角皆正後倣此 一乙丁丙形此形有丁正角丙
角乙丙邊為兩角一邊可求丁丙邊乃丙甲/之分乙丁邊即/垂
弧/及丁乙丙角即乙/分角 次乙丁甲形有丁正角甲丁邊
甲丙内減丁/丙其餘丁甲乙丁邊為一角兩邊可求乙甲邊甲角及
丁乙甲分角 末以兩乙角并之成乙角
[008-3b]
或如上圖丁甲角端作垂弧至乙丙邊分乙丙為兩亦同
右一角二邊而先有者皆角旁之邊為形内垂弧
之第一支此所得分形丁丙邊必小於元設/邊即垂弧在形内而甲為鋭角
[008-4a]
設甲乙丙形有丙銳角有角旁相連之丙乙邊及與角
相對之乙甲邊求餘兩角一邊
[008-4b]
法于不知之乙角在先有二/邊之中作乙丁垂弧分兩正角形
一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙邊邊可求乙
丁分線及所分丁丙邊及丁乙丙分角 次乙甲丁形
此形有丁正角有乙丁邊有乙甲邊可求甲角及丁乙
甲分角丁甲邊 末以兩分角丁乙丙及/丁乙甲并之成乙角
以兩分邊丁丙及/丁甲并之成甲丙邊
右一角二邊而先有對角之邊為形内垂弧之第
二支
[008-5a]
設甲乙丙形有乙丙二角有乙丙邊在兩角/之間求甲角及
餘邊
[008-5b]
法于乙角作垂弧分兩形並如前但欲用乙丙邊故/破乙角存丙角
一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙邊可求乙丁邊丁丙
邊丁乙丙分角 次乙丁甲形有乙丁邊丁正角丁乙
甲分角原設乙角内減丁/乙丙得丁乙甲可求乙甲邊甲角及甲丁邊
末以甲丁并丁丙得甲丙邊
[008-6a]
或於丙角作垂弧亦同
[008-6b]
若角一鈍一鋭即破鈍角作垂線其法並同
右二角一邊而邊在兩角之間不與角對為形内
垂弧之第三支此必未知之角為銳/角則垂弧在形内
[008-7a]
設甲乙丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對/與甲角相連求乙
角及餘二邊
[008-7b]
法于乙角為未知/之角作垂弧分為兩形而皆正角 一乙
丁甲形有丁正角甲角乙甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁
乙甲分角 次丁乙丙形有丁正角乙丁邊丙角可求
乙丙邊丁丙邊丁乙丙分角 末以甲丁丁丙并之成
甲丙邊 以兩分角丁乙甲/丁乙丙并之成乙角
右二角一邊而先有對角之邊為形内垂弧之第
四支此先有二角必俱/銳則垂弧在内
[008-8a]
設乙甲丙形有三邊而内有乙甲/乙丙二邊相同求三角
[008-8b]
法從乙角在相同二/邊之間作垂弧至丙甲邊乃不同/之一邊分兩正
角形其形必相等而甲/丙線必兩平分 乙丙丁形有丁正角乙丙邊
丁丙邊即甲丙/之半可求丙角乙分角乃乙角/之半倍之成乙角
而甲角即同丙角不須/再求
右三邊求角而内有相同之邊故可平分是為形
内垂弧之第五支此必乙丙乙甲二邊並小在九/十度内若九十度外甲丙二角
必俱鈍當用次/形詳第三又法
[008-9a]
第二法垂弧在形外補成正角内分七支/
設甲乙丙形有丙銳角有夾角之兩邊乙丙/甲丙求乙甲邊
及餘兩角
[008-9b]
法自乙角在先有邊/之一端作垂弧乙/丁于形外引丙甲邊至丁補成正
角形二一丙乙丁半虛半實/形二甲乙丁虚形 先算丙乙丁形此形有乙丙邊
丙角有丁正角可求丙乙丁角半虛/半實乙丁邊形外/垂弧丁丙邊丙甲/引長
邊/ 次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁邊甲丁邊丁丙内減内/甲得甲丁
可求乙甲邊甲角及甲乙丁虚角末以甲角減半周得原設
甲角以甲乙丁虚角減丙乙丁角得原設丙乙甲角
右一角二邊角在二邊之中而為銳角是為形外垂弧之
第一支此所得丁丙必大于原設邊/即垂弧在形外而甲為鈍角
[008-10a]
設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之丙甲/乙甲二邊求乙丙邊
及餘二角
[008-10b]
法於乙角作垂弧乙/丁引丙甲至丁補成正角 先算乙
丁甲虚形此形有丁正角甲角即原設甲角減半/周之餘亦曰外角有乙
甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁乙甲虚角 次丁乙丙形
有乙丁邊丁丙邊甲丙加丁/甲得之丁正角可求乙丙邊丙角
丙乙丁角 末于丙乙丁内減丁乙甲虛角得原設乙
角
[008-11a]
或從丙作垂弧至戊引乙甲邊至戊補成正角亦同
右一角二邊角在二邊之中而為鈍角乃形外垂
弧之第二支
[008-11b]
設乙甲丙形有丙銳角有角旁之乙丙邊有對角之乙
甲邊求丙甲邊及餘二角
[008-12a]
法從乙角作垂弧至丁成正角亦引丙/甲至丁 先算丙乙丁
形有丁正角丙角乙丙邊可求諸數乙丁邊丁丙/邊丙乙丁角 次
丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二邊可求諸數乙甲/丁角
甲乙丁角/甲丁邊 末以所得虚形甲角減半周得原設甲鈍
角于丙乙丁内減虛乙角得原設乙角於丁丙内減甲
丁得原設丙甲
右一角二邊角有所對之邊而為銳角乃形外垂
弧之第三支此必甲為鈍角/故垂弧在外
[008-12b]
設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之甲丙邊及對角之乙
丙邊求乙甲邊及餘二角
[008-13a]
法于丙角作垂弧至戊補成正角 先算虚形甲丙/戊有
戊正角甲角甲鈍角減/半周之餘甲丙邊可求諸數丙戊邊甲戊/邊丙虚角
次虚實合形乙丙/戊有戊正角丙戊邊乙丙邊可求原
設乙角及諸數乙丙戊角/乙戊邊 末以先得虚形數減之得
原設數丙角内減丙虛角得原設丙角乙戊/内減甲戊虚引邊得原設乙甲邊
右一角二邊角有所對之邊而為鈍角乃形外垂
弧之第四支此先得鈍角/垂線必在外
[008-13b]
設乙甲丙形有丙甲二角一銳/一鈍有丙甲邊在兩角之中
[008-14a]
法於丙銳角作垂弧至丁在甲鈍/角外補成正角 丁丙甲
虛形有丁正角甲外角丙甲邊可求諸數丙丁邊甲丁/邊丙虚角
次乙丙丁形半虛/實有丁正角丙丁邊丙角以丙虛角/補原設丙
角得丁/丙乙角可求原設乙丙邊乙角及乙甲邊求得乙丁邊/内減虛形之
甲丁邊得原/設甲乙邊
右二角一邊邊在兩角間為形外垂弧之第五支
此亦可于甲鈍角作垂弧則在/形内法在第一法之第三支
[008-14b]
設乙甲丙形有乙甲二角乙銳/甲鈍有丙甲邊與乙銳角相
對鈍角/相連
[008-15a]
法于丙銳角作垂弧至戊在丙甲/邊外補成正角 甲戊丙
虛形有戊正角有丙甲邊甲角原設形/之外角可求諸數丙戊/甲戊
二邊丙/虛角 次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊邊可求丙
角求得乙丙戊角内減/丙虛角得元設丙角乙丙邊乙甲邊求到乙戊邊内/減甲戊得乙甲
右二角一邊而邊對鋭角為形外垂弧之第六支
[008-15b]
設乙甲丙形有乙銳角甲鈍角有丙乙邊與甲鈍角相
對銳角/相連
[008-16a]
法于丙銳角作垂弧至戊在甲鈍/角外補成正角 乙丙戊
形有戊正角乙角乙丙邊可求諸數丙戊乙戊二/邊乙丙戊角 次
甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊邊可求原設丙甲
邊甲乙邊求到戊甲虚邊以減/乙戊得原設乙甲丙角求到丙虚角以減/乙丙戊角得原設
丙/角
右兩角一邊而邊對鈍角為形外垂弧之第七支
[008-16b]
第三垂弧又法 用次形内分九支/
設乙甲丙形有乙丙二角有乙丙邊在兩角間而兩角
並鈍求餘二邊及甲角
[008-17a]
法引丙甲至己引乙甲至戊各滿半周作戊己邊與乙
丙等而己與戊並乙丙之外角成甲戊己次形依法作
垂弧于次形之内如己/丁分為兩形一己丁戊/一己丁甲可求乙甲
邊以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求/到甲丁合之成甲戊以減半周即得乙甲丙甲邊以/己
丁甲分形求到己甲/以減半周即得丙甲甲角以己丁甲分形/求到甲交角
右二角一邊邊在角間而用次形為垂弧又法之
第一支
論曰舊説弧三角形以大邊為底底旁兩角同類垂弧
[008-17b]
在形内異類垂弧在形外由今考之殆不盡然蓋形内
垂弧分底弧為兩成兩正角形所用者銳角也底旁原/有兩銳
角分兩正角形/則各有兩銳角形外垂弧補成正角形所用者亦銳角
也底旁原有一銳角補成正角/形則虚實兩形各有兩銳角故惟三銳角形作垂弧
于形内一鈍兩銳則垂弧或在形内或在形外若兩鈍
一鋭則形内形外俱不可以作垂弧垂弧雖有内外而/其用算時並為一
正角兩銳角之比例若形有兩鈍角則雖作垂弧只能/成一正一鈍一銳之形無比例可求則垂弧為徒設矣
故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得謂之形
[008-18a]
内然則同類之説止可施于兩銳若兩鈍雖亦同類而/不可于形内作垂弧
異類之説止可施于一鈍兩銳若兩鈍一銳而底弧之/旁一鈍一銳雖亦異類
然不可于形/外作垂弧非通法矣兩鈍角不用次形垂弧/之法己窮况三鈍角乎
又論曰以垂弧之法徵之則大邊為底之說理亦未盡
蓋鈍角所對邊必大既有形外立垂線垂弧之法則鈍
角有時在下而所對之邊在上矣不知何術能常令大
邊為㡳乎此尤易見
[008-18b]
設乙甲丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對而兩
角俱鈍求乙角及餘邊
[008-19a]
如法引甲乙丙乙俱滿半周㑹于己成丙甲己次形作
己丁垂弧于次形内分次形為兩可求乙角依法求到/分形兩己
角合之為次形己/角與乙對角等甲丙邊求到分形甲丁及/丁丙并之即甲丙乙丙邊求/到
次形己丙以/減半周得之
右二角一邊邊與角對而用次形為垂弧又法之
第二支此三角俱鈍也或乙為鋭角亦同
[008-19b]
設乙甲丙形有乙丙乙甲兩邊有乙角在兩邊之中
[008-20a]
法用甲乙戊次形有乙甲邊有乙戊邊為乙/丙減半周之餘有乙外角作甲丁垂
弧分為兩形可求丙甲邊及餘兩角以乙甲丁分形求/到丁乙及甲分角
人以甲戊丁形求到甲戊以減半周為丙甲又得甲分/角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙對角
右二邊一角角在二邊之中而用次形為垂弧又
法之第三支
或丙為鈍角則于次形戊角作垂弧法同上條
[008-20b]
設乙甲丙形有丙角有甲丙邊與角連有乙甲邊與角
對
[008-21a]
法用甲己戊次形甲己為甲乙減半周之餘甲戊為甲/丙減半周之餘戊角為丙之外角
作垂弧甲/丁于内分為兩形可求丙乙邊及餘兩角以甲/丁戊
分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并/丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲
交角也又得己/角即乙外角也
右二邊一角角與邊對而用次形為垂弧又法之
第四支若甲為鈍角亦同
論曰先得丙鈍角宜作垂弧於外而乙亦鈍角不可作
垂弧故用次形
[008-21b]
設乙甲丙形有三邊内有乙甲/丙甲二邊相同而皆為過弧
求三角
[008-22a]
法引相同之二邊各滿半周作弧線聨之成戊甲己次
形如法作甲丁垂弧分次形為兩其形/相等可求相同之二
角任以甲丁戊分形求到戊角/以減半周得乙角亦即丙角及甲角求到甲半角/倍之成甲角
右三邊求角内有相同兩大邊為垂弧又法之第
五支 若甲為鋭角亦同
以上垂弧並作於次形之内
[008-22b]
設乙甲丙形有丙甲二鈍角有甲丙邊在兩角間
[008-23a]
法引乙丙乙甲滿半周㑹於戊成甲戊丙次形自甲作
垂弧與丙戊引長弧㑹于丁補成正角可求乙甲邊乙
丙邊乙角先求丙甲丁形諸數次求甲戊丁得甲戊以/減半周為甲乙又以丁戊減先得丁丙得丙
戊以減半周為乙丙又求得戊/虚角減半周為戊角即乙對角
右兩鈍角一邊邊在角間而於次形外作垂弧為
又法之第六支
[008-23b]
或自丙角作垂弧亦同
[008-24a]
設乙甲丙形有乙甲二鈍角有甲丙邊與角對
[008-24b]
法引設邊成丙戊甲次形有甲外角有戊鈍角/為乙對角有丙甲邊如上法
作丙丁垂弧引次形邊㑹於丁可求乙丙邊先求甲丁/丙形諸數
次丙丁戊虛形求到丙/戊以減半周為乙丙乙甲邊先求到丁甲以虛線丁/戊減之得戊甲即得乙
甲/丙角先求到甲丙丁角内減丙虛/角得丙外角即得元設丙角
右二角一邊邊與角對垂弧在次形外為又法之
第七支
[008-25a]
設乙甲丙形有丙鈍角有角旁之兩邊丙乙/丙甲
[008-25b]
法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊㑹於丁可求乙
甲邊及甲乙二角先以甲丁丙形求到諸數再以甲丁/戊虛形求甲戊即得乙甲又甲虚角
減先得甲角成甲外角/又戊虛角即乙外角
右二邊一角角在二邊之中垂弧在次形外為又
法之第八支
[008-26a]
設乙甲丙形有甲鈍角有一邊與角對乙/丙一邊與角連
丙/甲
[008-26b]
法用丙戊甲次形自丙作垂弧與甲戊引長邊㑹于丁
可求乙甲邊及餘兩角依法求到甲戊即得乙甲求戊/角即乙角以丙虛角減先得丙
角即丙/外角
右二邊一角角有對邊垂弧在次形外為又法之
第九支
以上垂弧並作於次形之外
論曰三角俱鈍則任以一邊為底其兩端之角皆同類
矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益
[008-27a]
可與前論相發也
[008-28a]
弧三角舉要卷四
弧三角用次形法
次形之用有二
正弧三角斜弧三角並有次形法而其用各有二其一
易大形為小形則大邊成小邊鈍角成銳角其一易角
爲弧易弧為角則三角可以求邊亦二邊可求一邊
[008-28b]
第一正弧三角形易大為小 用次形
[008-29a]
如圖戊己甲乙半渾圜以戊丙甲/己丙乙兩半周線分為弧三角
形四一戊丙乙二己丙戊三己丙/甲並大四乙丙甲為最小今可盡易為小形
一戊丙乙形易為乙甲丙形戊丙減半周餘丙甲又戊/乙減半周餘乙甲而乙丙
為同用之弧則三邊之正弦同也乙丙甲角為戊丙乙/外角甲乙丙為戊乙丙外角戊角又同甲角則三角之
正弦同也故算甲/丙乙即得戊丙乙
[008-30a]
二己丙戊形易為乙甲丙形乙甲己及甲己戊並半周/内各減己甲則乙甲同己
戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之餘又甲戊/並正角丙為交角而乙角又為己角之外角故算乙丙
甲得己/丙戊
三己丙甲形易為乙丙甲形乙甲為己甲減半周之餘/乙丙為丙己減半周之餘
而同用甲丙又次形丙角為元形之外角乙角/同己角甲同為正角故算乙丙甲得己丙甲
用法
凡正弧三角内有大邊及鈍角者皆以次形立算但於
得數後以次形之邊與角減半周即得元形之大邊及
[008-30b]
鈍角其元形内原有小邊及銳角與次形/同者徑用得數命之不必復減半周斜弧同
以上易大形為小形而大邊成小邊鈍角成鋭角
為正弧三角次形之第一用大邊易小鈍角易鋭/則用算畫一算理易
明其算例並/詳第二用
[008-31a]
第二正弧三角形弧角相易 用次形内分/四支
一乙甲丙形易為丁丙庚次形
[008-31b]
解曰丁如北極 戊己壬甲如赤道圈 己庚乙如黄
道半周 辛丁壬如極至交圈壬如夏至/辛如冬至 戊丁甲如
所設過極經圈 乙如春分己如秋分並以庚壬大距
爲其度 丙如所設某星黄道度 丙乙如黄道距春
分度其餘丙庚即黄道距夏至為次形之一邊 丙甲
如黄赤距度其餘丙丁即丙在黄道距北極度為次形
又一邊 庚丁如夏至黄道距北極而為乙角餘度是
角易為邊也壬庚為乙角/度其餘庚丁是為次形之三邊
[008-32a]
[008-32b]
又丙交角如黄道上交角 庚正角如黃道夏至 甲
乙如赤道同升度其餘壬甲如赤道距夏至即丁角之
弧是邊易為角也則次形又有三角
用法
假如有丙交角乙春分角而求諸數是三角求邊也乙/丙
兩角幷甲/正角而三法為丙角之正弦與乙角之餘弦若半徑與
丙甲之餘弦得丙甲邊可求餘邊
一 丙角正弦 丙角正弦
[008-33a]
二 乙角餘弦 丙角正弦
三 半徑甲角/ 在次形/ 半徑庚角/
四 甲丙餘弦 丁丙正弦
右以三角求邊也若三邊求角反此用之
若先有乙丙邊乙甲邊而求甲丙邊則為乙甲餘弦即/次
形丁角/正弦與乙丙餘弦即庚丙/正弦若半徑甲角即次/形庚角與甲丙
餘弦即丁丙/正弦
或先有乙丙邊甲丙邊而求乙甲邊則為甲丙餘弦即/丁
[008-33b]
丙正/弦與乙丙餘弦即庚丙/正弦若半徑甲角即/庚角與乙甲餘弦
即丁角/正弦
或先有乙甲邊甲丙邊而求乙丙邊則為半徑甲角即/庚角
與甲丙餘弦即丁丙/正弦若乙甲餘弦即丁角/正弦與乙丙餘弦
即庚丙/正弦
右皆以兩弧求一弧而不用角也
以上爲乙甲丙形用次形之法本形三邊皆小一
正角偕兩銳角次形亦然所以必用次形者為三
[008-34a]
角求邊之用也是為正弧三角次形第二用之第
一支
[008-34b]
二己丙甲形甲正角餘二角丙鈍己銳/丙甲邊小餘二邊並大易為丁丙庚次
形
[008-35a]
法曰截己甲於壬截己丙於庚使己壬己庚皆滿九十
度作壬庚丁象限弧又引丙甲邊至丁亦滿象限而成
丁丙庚次形此形有丁丙邊為丙甲之餘有庚丙邊為
己丙之餘凡過弧内去象限其餘度正弦即過弧之/餘弦故己丙内減己庚而庚丙為其餘弧有
庚丁邊為己角之餘乃角易為邊也庚與壬皆象限即/庚壬為己角之度
而丁庚/為其餘又有丙銳角爲元形丙鈍角之外角有庚正角
與元形甲角等壬庚既為己角之弧/則壬與庚必皆正角有丁角為己甲邊
之餘己甲過弧以壬甲/為餘度説見上文乃邊易為角也
[008-35b]
用法
假如有甲正角己銳角丙鈍角而求丙甲邊法為丙鈍
角之正弦即次形丙銳角正弦蓋/外角内角正弦同用也與己角之餘弦即次/形丁
庚邊之/正弦若半徑即次形庚正/角之正弦與丙甲邊之餘弦即次形/丁丙邊
[008-36a]
既得丙甲可求己丙邊 法為半徑與丙角餘弦若甲
丙餘切次形為丁/丙正切與己丙餘切次形為庚/丙正切得數以減半
周為己丙下同凡以八線取弧角度者若係大邊鈍角/皆以得數與半周相減命度後倣此
求己甲邊 法為己角之餘弦即庚丁/正弦與丙角之正弦
若己丙之餘弦即庚丙/正弦與己甲之餘弦即丁角正弦/其弧壬甲
右三角求邊
又如有己甲己丙兩大邊求丙甲邊 法為己甲餘弦
即丁角/正弦與己丙餘弦即庚丙/正弦若半徑與丙甲餘弦即丁/丙正
[008-36b]
弦/
或有己甲丙甲兩邊求己丙大邊 法為半徑與丙甲
餘弦即丁丙/正弦若己甲餘弦即丁角/正弦與己丙餘弦即庚丙/正弦
得數減半周/為己丙下同
或有丙甲己二邊求己甲大邊 法為丙甲餘弦與半
徑若己丙餘弦與己甲餘弦即上法/之反理
右二邊求一邊
以上己丙甲形用次形之法本形有兩大邊一鈍
[008-37a]
角次形則邊小角銳而且以本形之邊易為次形
之角本形之角易為次形之邊後二形/並同是為正弧
三角次形第二用之第二支
[008-37b]
三己丙戊形戊正角己鈍角丙銳角/己丙與戊丙並大邊易為丁丙庚次形
[008-38a]
法曰以象限截己丙于庚其餘庚丙截戊丙于丁其餘
丁丙為次形之二邊作丁庚弧其度為己角之餘己鈍/角與
外銳角同以壬庚之度取正弦其餘丁/庚為己外角之餘亦即為己鈍角之餘角易邊也次形
又為元形之截形同用丙角又庚正角與戊角等而丁
角即己戊邊之餘度試引己戊至辛成象限則戊辛等/壬甲皆丁角之度而又為己戊之
餘/邊易角也
用法
假如有丙銳角己鈍角偕戊正角求戊丙邊 法為丙
[008-38b]
角正弦與己角餘弦即庚丁/正弦若半徑與戊丙餘弦即丁/丙正
弦/得數減半周為戊丙下同/
既得戊丙可求己丙 法為半徑與丙角餘弦若戊丙
餘切即丁丙/正切與己丙餘切即庚丙/正切
求己戊邊 法為戊丙餘弦即丁丙/正弦與半徑若己丙餘
弦即庚丙/正弦與己戊餘弦即丁角/正弦
以上己丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二
用之第三支
[008-39a]
四乙丙戊形戊正角乙丙並鈍角戊乙/戊丙並大邊乙丙小邊易為丁丙庚次
形
[008-39b]
法曰引乙丙邊至庚滿象限得次形丙庚邊即乙丙/之餘于
丙戊截戊丁象限得次形丁丙邊為戊丙/之餘而丁即為戊
乙弧之極戊正角至丁九/十度故知之從丁作弧至庚成次形庚丁
邊為乙角之餘是角易為邊也試引庚丁至辛則辛丁/亦象限而辛為正角庚
亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙鈍角之/弧度内截丁辛象限而丁庚為乙鈍角之餘度矣又
庚正角與戊等丙為外角丁角為乙戊邊之餘是邊易
為角也乙戊丙截乙辛象限其/餘戊辛即丁交角之弧
用法
[008-40a]
假如三角求邊以丙角正弦為一率乙角餘弦為二率
半徑為三率求得戊丙餘弦為四率以得數減半周為
戊丙餘並同前
以上乙丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二
用之第四支
論曰厯書用次形止有乙甲丙形一例若正角形有鈍
角及大邊者未之及也故特詳其法
又論曰依第一用法大邊可易為小鈍角可易為銳則
[008-40b]
第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣
己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易為乙甲/丙形而乙甲丙又易為丁丙庚是又次形也
[008-41a]
正弧形弧角相易又法 用又次形
甲乙丙正弧三角形易為丁丙庚次形再易為丁戊壬
形
[008-41b]
法曰依前法引乙丙邊甲乙邊各滿象限至庚至己作
庚己弧引長之至丁亦引甲丙㑹于丁亦各滿象限成
丁丙庚次形
又引丙庚至辛引丙丁至戊亦滿象限作辛戊弧引之
至壬亦引庚丁㑹于壬則辛壬庚壬亦皆象限成丁戊
壬又次形此形與甲乙丙形相當
論曰乙丙邊易為壬角乙庚及丙辛皆象限内減同用/之丙庚則辛庚即乙丙而辛庚
即壬角/之弧乙甲邊易為丁角乙甲之餘度己甲/即丁交角之弧是次形之
[008-42a]
兩角即元形之兩邊也乙角易為丁壬邊丁己及庚壬/俱象限内減
同用之庚丁則丁壬即己/庚而為元形乙角之弧丙角易為戊壬邊丙交之弧/弧辛戊其
餘為次/形戊壬是次形之兩邊即元形之兩角而次形戊丁邊
即元形丙甲次形戊角即元形甲角
用法
若原形有三角則次形有戊直角有戊壬丁壬二邊可
求乙甲邊 法為乙角之正弦即丁壬/正弦與半徑若丙角
之餘弦即戊壬/正弦與乙甲之餘弦即丁角/正弦
[008-42b]
求乙丙邊 法為乙角之切線即丁壬/切線與丙角之餘切
即戊壬/正切若半徑與丙乙之餘弦即壬角/餘弦既得兩邊可求
餘邊
以上又次形三角求邊為正弧三角第二用之又
法
論曰用次形止一弧一角相易今用又次形則兩弧並
易為角兩角並易為弧故於前四支並峙而為又一法
也
[008-43a]
第三斜弧三角易大為小 用次形内分/二支
一甲乙丙二等邊形 三角皆鈍
[008-43b]
如法先引乙丙邊成全圖又引甲丙甲乙兩邊出圜周
外㑹于丁又引兩邊各至圜周如戊/如己成乙丁丙及戊甲
己兩小形皆相似而等即各與元形相當而大形易為
小形
論曰次形甲戊/甲己二邊為元形邊減半周之餘則同一正
弦次形己/戊二角為元形之外角亦同一正弦甲乙戊為/甲乙丙外
角而與次形己角等甲丙己為/甲丙乙外角亦與次形戊角等而次形甲角原與元形
為交角戊己邊又等乙丙邊戊乙丙及己戊乙並半周/各減乙戊則戊己等乙丙
[008-44a]
故算小形與大形同法惟於得數後以減半周即得大
邊及鈍角之度置半周減戊甲得甲丙減己甲亦得甲/乙又置半周減己銳角得元形乙鈍角
減戊鋭角亦得元形丙鈍角其交角甲及/相等之戊己邊只得數便是并不用減
[008-45a]
論曰凡兩大圈相交皆半周故丁丙與丁乙亦元形減
半周之餘又同用乙丙而乙與丙皆外角丁為對角故
乙丙丁形與戊甲己次形等邊等角而並與元形甲乙
丙相當
右二邊等形易大為小為斜弧次形第一用之第
一支
[008-45b]
二甲乙丙三邊不等形 角一鈍二銳
[008-46a]
如法引乙丙作圜又引餘二邊甲乙/甲丙至圜周己/戊得相當
次形己甲戊算戊甲得甲丙算己甲/得甲乙算己戊得乙丙其角亦一鈍二銳
算戊鈍角得丙銳角算己鋭角/得乙鈍角而甲交角一算得之
又戊甲乙形 角一鈍二鋭 如法引戊乙作圜又引
乙甲至圜周己/成次形己甲戊與元形相當算己甲得/甲乙算己
戊得戊乙又同用戊甲邊故相當算甲銳角得/甲鈍角算戊鈍角得戊鋭角算己角即乙角
又甲己丙形 三角俱鈍 如上法引丙己作圜又引
丙甲至戊成次形己甲戊與元形相當元形甲丙與戊/甲元形己丙與
[008-46b]
己戊並減半周之餘又同用己甲又丙鈍/角即戊鈍角甲己兩銳角並元形之外角
右三邊不等形易大爲小為斜弧次形第一用之
第二支
[008-47a]
第四斜弧三角形弧角互易 用次形内分/三支
一乙甲丙形三角/俱鈍易為丑癸寅形一鈍/二銳
[008-47b]
法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未並半周
次以甲為心作丁辛癸寅弧乙為心作戊丑癸壬弧丙
為心作丑子午寅弧三弧交處别成一丑癸寅形與元
形相當而元形之角盡易為邊邊盡易為角
論曰甲角之弧丁辛與次形癸寅等則甲角易為癸寅
邊丁癸及辛寅皆象限減同/用之辛癸則癸寅同丁辛乙角之弧己壬與次形丑
癸等則乙角易為丑癸邊癸己及丑壬皆象限減同/用之癸壬即丑癸同壬己丙
外角之弧午申引丑午寅至申取亥/申與庚子等成午申與次形寅丑等則
[008-48a]
丙外角易為寅丑弧丑午及寅申皆象限各加同/用之午寅即午申等丑寅是元
形有三角即次形有三邊也 又甲乙邊之度易為癸
外角乙己及甲辰皆象限内減同用之/甲己則乙甲同己辰為癸外角弧甲丙邊易為寅
角甲辛及丙子皆象限内減同用之丙/辛則甲丙等辛子而同為寅角之弧乙丙邊易為丑
角乙壬及午丙皆象限内減同用之丙/壬則乙丙等午壬而同為丑角之弧是元形有三邊
即次形有三角也
又論曰有此法則三角可以求邊既以三角易為次形/之三邊再用三邊求
角法求得次形三角即反為元形/之三邊 三邊求角法詳别卷
[008-48b]
又論曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外㑹于
申則庚亥與子申並半周内各減子亥即子庚同亥申
而子寅既象弧則寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅
與以丑午象限午壬為丑角之弧/故丑午亦象限加午寅必等而申午
者丙外角之度丑寅者次形之邊也故丙角能為次形
之邊也
又論曰凡引弧線出圜外者其弧線不離渾圜面幂因
平視故為周線所掩稍轉其渾形即見之矣但所引出
[008-49a]
之線原為半周之餘見此餘線時即當别用一圈為外
周而先見者反有所掩如見亥申即不能見子庚故其
度分恒必相當亦自然之理也
又論曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形
丙酉甲形並可易為甲乙丙則又皆以癸丑寅為又次
形矣
右三角俱銳形弧角相易為斜弧次形第二用之
第一支
[008-49b]
二未丙酉形三角/俱鈍易為丑癸寅形一鈍/二銳
[008-50a]
法曰引酉未弧作圜又引兩邊至圜周如乙/如甲乃以未為
心作丁辛癸寅辰弧以酉為心作戊丑癸壬己弧以丙
為心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外㑹於申三
弧相交成丑癸寅形此形與元形相當而角盡易為弧
弧盡易為角
論曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧癸丁及寅辛皆/象限内減同用
之癸辛則癸/寅即丁辛酉外角之弧壬己成次形丑癸弧壬丑及/癸己皆
象限各減癸壬/則丑癸即壬己丙外角之弧申午成次形寅丑弧準前/論庚
[008-50b]
亥及子申並半周則申亥等子庚而申寅為/象限與午丑象限各減午寅即寅丑同申午 是三角盡
易為邊也酉未邊成癸外角酉戊及未丁皆象限各減/未戊則丁戊即酉未而為
癸外角之弧若以丁戊減戊乙己半周/其餘丁乙己過弧亦即為癸交角之弧未丙邊減半周
其餘甲丙成寅角甲辛及子丙皆象限各減辛丙/則辛子即甲丙而為寅角之弧酉丙
邊減半周其餘乙丙成丑角午丙及壬乙皆象限各減/丙壬則壬午即乙丙而為
丑角/之弧是三邊盡易為角也寅角丑角並原邊減半周則/原邊即兩外角弧與酉未成
癸外/角等故三角減半周得次形三邊算得次形三角減半
周得原設三邊
[008-51a]
右三角俱鈍形弧角相易為斜弧次形第二用之
第二支
論曰若所設為乙未丙形則未角易為次形癸寅邊徑/用
丁辛子形内以當/癸寅不須言外角乙外角為丑癸邊亦以己壬當丑癸/與用酉外角同理
丙角為丑寅邊徑以丙交角之弧甲/午當丑寅不言外角 若所設為甲酉
丙形則酉角易為丑癸邊己壬徑當丑/癸不言外角甲外角為寅癸
邊用丁辛當癸/寅即甲外角丙角為丑寅邊亦申午當丑/寅不言外角
又論曰此皆大邊徑易次形不必復言又次
[008-51b]
三甲乙丙形一鈍角/兩銳角易為丑癸寅形
[008-52a]
如法引甲乙邊作全圜引餘二邊各滿半周又以甲為
心作丁壬癸丑辰半周以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧
以丙為心作己午子丑寅夘弧三弧線相交成丑癸寅
次形與元形相當而角為弧弧爲角
論曰易甲角為次形丑癸邊於癸丁象限減壬癸成丁/壬為甲角之弧於丑壬象
限亦減壬癸即成/癸丑邊其數相等乙外角為次形癸寅邊於癸戊象限/減癸辛成辛
戊為乙外角之弧于寅辛象限亦/減癸辛即成癸寅邊其數相等丙角為次形丑寅邊
于丑午象限減丑子成午子為丙角之弧于/寅子象限亦減丑子即成丑寅邊其數相等則角盡為
[008-52b]
邊又甲乙邊為癸角于甲丁象限乙戊象限各減乙丁/則戊丁等甲乙而癸角角之弧
乙丙邊成寅角于乙辛及子丙兩象限各減丙辛/則辛子等乙丙而為寅角之弧甲丙
邊為丑外角于甲壬及午丙兩象限各減丙壬/則午壬等甲丙而為丑外角之弧則邊盡
為角
右一鈍角兩銳角形弧角相易為斜弧次形第二
用之第三支
論曰若所設為甲丙酉形三角俱鈍而/有兩大邊則以甲外角為
次形丑癸邊酉外角為癸寅邊丙外角為丑寅邊又以
[008-53a]
三邊為次形三外角並與第二支未丙/酉形三鈍角同理 若所設為丙
未酉形乙未丙形並一鈍二銳/而有兩大邊皆依上法可徑易為丑
癸寅次形觀圖自明
[008-53b]
甲乙丙形三邊並大/三角並鈍易為次形
[008-54a]
法以本形三外角之度為次形三邊午己為乙外角之/度而與癸壬等丑
辛為甲外角之度而與癸寅等申/亥為丙外角之度而與寅壬等以本形三邊減半周
之餘為次形三角甲乙減半周其餘戊乙或子甲而並/與辰丁等即癸角之度甲丙減半周
其餘戊丙而與丑庚等即寅角之度乙丙減/半周其餘子丙而與午亥等即壬角之度並同前術
論曰此即厯學㑹通所謂别算一三角其邊為此角一
百八十度之餘者也然惟三鈍角或兩鈍角則然其餘
則兼用本角之度不皆外角
右三角俱鈍形弧角相易同第二支惟三邊/俱大
[008-54b]
子戊丙形一大邊二小邊/一鈍角二銳角
[008-55a]
其法亦以次形癸壬/癸寅二邊為本形子/戊二角之度寅壬邊
為丙外角之度次形寅/壬二角為本形二小邊之度癸角
為大邊減半周之度
論曰此所用次形與前同而用外角度者惟丙角其子
角戊角只用本度為次形之邊非一百八十度之減餘
也 若設戊丙乙形子丙甲形並同戊丙乙形惟次形/癸寅邊為戊外角
其餘癸壬邊之度為乙角寅壬邊之度為丙角則皆本/度子丙甲形惟次形癸壬邊為子外角其餘寅壬邊之
度為丙角癸寅邊之/度為甲角則皆本度
[008-55b]
右一鈍角二銳角與第三支同惟為邊一/大一小
[008-56a]
第五斜弧正弧以弧角互易内分/二支
一甲乙丙形甲乙邊適足九十度餘二/邊一大一小角一鈍二銳易為丑癸寅正
弧形癸正角餘銳/三邊並小
[008-56b]
法曰引乙丙小邊成半周於乙引至夘補成丙乙夘象/限又于丙引至午成丙辛午
象限即/成半周作夘亥庚丑寅午以丙為心之半周截丙甲大/邊于庚使
丙庚與丙乙夘等乃作庚夘弧為丙角之度即庚與夘/皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙為心
作甲丑癸辛戊以乙為心之半周引甲乙象限至戊成/半周于甲于戊各作
正角聨之即又成半周而截乙辛成象限與乙/戊等即辛戊為乙外角度而此半周以乙為心作乙壬
癸寅弧以甲為心甲戊半周折半于癸成兩象限從癸/作十字正角弧一端至寅一端至乙
成癸乙象限其所截甲壬亦象限/即乙壬為甲角之弧而甲為其心三弧線相交成一丑
癸寅次形與本形弧角相易而有正角
[008-57a]
[008-57b]
論曰次形丑寅邊即本形丙角之度丑夘及寅庚皆象/限各減丑庚則丑
寅即庚夘而/為丙角之弧癸寅邊即甲角之度寅壬及癸乙皆象限/各減癸壬則癸寅即
壬乙而為/甲角之弧癸丑邊即乙外角之度丑辛及癸戊皆象限/各減癸辛則丑癸即
辛戊而為乙/外角之弧是角盡易邊也又寅角為甲丙邊所成庚/丙
及壬戊皆象限各減丙壬則寅角之/弧庚壬與甲丙減半周之丙戊等丑角為乙丙邊所
成午丙及辛乙皆象限各減辛丙/則丑角之弧午辛與乙丙邊等癸正角為甲乙邊所
成癸正角内外並九十度而甲乙象限為癸外/角弧若減半周則乙戊象限為癸交角弧是邊盡
為角而有正角也
[008-58a]
又辰戊丙形辰戊邊象限/餘並同前易為正弧形並同前法/觀圖自明
[008-58b]
乙丙戊形乙戊邊足一/象限餘並小易為正角形則丑寅度即丙外
角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角為邊也又寅角
生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是邊為角
[008-59a]
辰甲丙形辰甲象弧餘二/邊大三角並鈍易為正角形則丑寅邊為丙
外角丑癸邊為辰外角寅癸邊為甲外角角為邊也又
寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲並/準
前條諸/論推變是邊為角而且有正角也
[008-59b]
右本形有象限弧即次形有正角而斜弧變正弧
為弧角互易之第一支
[008-60a]
丙乙甲形丙正角餘兩銳角相/等邊三小相等者二易為己癸壬次形角一/鈍二
銳銳/相等
[008-60b]
法以甲為心作寅己丑半周則甲角之度子寅/弧成次形
一邊己/壬以乙為心作夘己午半周則乙角之度夘辰/弧成
次形又一邊己/癸此所成二邊相等以丙為心作亥癸壬
未半周則丙角之度癸壬/象限即為次形第三邊 依法平
分次形以己壬酉形求壬角得原設甲丙邊壬角之度/癸子與甲
丙/等乙丙邊壬癸兩銳角原同度而癸角之度/辰壬與乙丙等故一得兼得也求半己角
倍之成己角以減半周得原設乙甲邊己外角之度午/寅或丑夘並與
乙甲/等
[008-61a]
論曰本形有正角次形無正角而有象限弧得次形之
象限弧得本形之正角矣
若設丙戊丁形丙正角兩鈍角同度/二大邊同度一邊小易為己癸壬次形
與上同法惟丁戊用外角
若設甲丙戊形丙正角餘一銳一鈍而銳角鈍角合成/半周邊二大一小而小邊與一大邊合
成一/半周易為己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本
角而同度所得次形之邊亦同度甲外角之度子寅成/次形巳壬邊戊本角
乏度辰夘成次形己/癸邊而四者皆同度其轉求本形也用次形之壬角得
[008-61b]
甲丙以減半周即得丙戊或乙丙丁/形亦同
右本形有正角而次形無正角爲弧角互易之第
二支
或三角形無相同之邊角而有正角其次形必/有象限邊或無正
角而有相同之邊角其次形亦有/等邊等角準此論之
[008-62a]
次形法補遺角一銳一鈍/邊二大一小
附算例 三角求邊 三邊求角
甲乙丙形甲角一百二十度乙角一百一十/度丙角八十五度為一銳二鈍三角求邊
[008-62b]
如法易為丑寅癸次形癸寅邊六十度當甲角丑癸邊/七十度當乙角寅丑邊當丙角
並以角度減/半周得之
求甲乙邊即次形/癸外角法以甲/乙兩角正弦相乗半徑除之得
數八一三/八○為一率半徑一○○/○○○為二率甲/乙兩角相較十/度
之矢與丙角減半周九十/五度大矢相較得數一○七/一九七為三
率求得四率一三一/七二四爲次形癸角大矢内減半徑成餘
弦三一七/二四撿表得癸外角七十一度/三十分為甲乙邊本宜求/癸角以
減半周得甲乙/今用省法亦同
[008-63a]
論曰三角求邊而用次形實即三邊求角也故其求甲
乙邊實求次形癸角得癸角得甲乙邊矣然則兩角正
弦仍用本度者何也凡減半周之餘度與其本度同一
正弦也甲角一百二十度之正弦八六六○三即次形/癸寅邊六十度之正弦乙角一百一十度之正
弦九三九六九即次形/丑癸邊七十度正弦獨丙角用餘度大矢何也正弦
可同用而矢不可以同用也丙以外角易為次形丑寅/邊九十五度其大矢一○
八七一六而丙角本八十五度是/銳角當用正矢故不可以通用然則兩角較矢又何
以仍用本度曰兩餘度之較與本度同故也甲角乙角/之較十度
[008-63b]
所易次形之癸寅邊/丑癸邊其較亦十度所得四率為大矢而甲乙邊小何
也曰餘度故也甲乙邊易為癸外角而四率所得者/癸内角也故為甲乙減半周之餘度用
餘度宜減半周命度矣今何以不減曰省算也雖不減
猶之減矣四率係大矢必先得癸外角七十一度半以/減半周得癸内角一百○八度半再以癸内
角減半周仍得七十一度半為甲乙邊今徑/以先得癸外角之度為甲乙邊其理無二
求甲丙邊 如上法以邊左右兩角正弦甲八六六○/三丙九九六
一/九相乘半徑除之得數八六二/七三為一率半徑一○○/○○○為
二率甲/丙兩角相較三十/五度矢一八○/八五與乙外角七十/度矢六/五
[008-64a]
七九/八相較得數四七七/一三為三率求得甲丙邊半周餘度
之矢五五三/○四為四率撿表得六十三/度二十七分以減半周得甲丙
邊一百一十六/度三十三分
論曰此亦用次形三邊求寅角也以甲角所易癸寅邊/丙角所易寅丑邊為
角旁二邊以乙角所易丑癸邊為對角之邊求得/寅角之度辛子與酉丙等即甲丙減半周餘度
求乙丙邊 如法以邊左右兩角正弦丙九九六一九/乙九三九六九
相乘半徑除之得數九三六/一二爲一率半徑一○○/○○○為二
率丙/乙兩角較二十/五度矢○九三/六九與甲外角六十/度矢相較四/○
[008-64b]
六三/一爲三率求得餘度矢四三四/○三為四率撿表得五十分/五度三十二
以減半周得乙丙邊一百廿四/度廿八分
論曰此用次形三邊求丑角也丙角易寅丑邊乙角易丑癸邊/為角旁二邊甲角易癸寅為對
邊求得丑角度午壬與未丙/等即乙丙邊減半周餘度又論曰此所用次形之三邊三角
皆本形減半周之餘度甲乙同己辰即癸外角度則次形癸角/為甲乙邊之半周餘度也寅角之度子
辛與酉丙等甲丙邊之餘度也丑角之度午壬與未丙/等乙丙邊之餘度也是次形三角皆本形三邊減半周
之餘度矣其次形三邊爲本形/三角減半周之餘己詳前註故所得四率為角之大
小矢者皆必減半周然後可以命度若他形則不盡然
[008-65a]
必須詳審
[008-65b]
如甲未丙形甲角六十度丙角九/十五未角一百一十易丑寅癸次形則其
角易為邊用本度者二甲角弧丁辛六十度易次形癸/寅邊丙角弧申午九十五度易
次形寅/丑邊用餘度者一未角弧壬戊一百一十度其半周/餘度己壬七十度易次形丑癸邊
而其邊易為角用本度者二未丙邊五十五度三十二/分與午壬等成次形丑角
甲未邊餘度未酉七十一度三十分與丁戊等成癸外/角則次形癸角一百○八度三十分為甲未邊本度
用餘者者一甲丙邊一百十六度三十三分其餘度酉/丙六十三度二十七分與辛子等成次形
寅/角若一槩用餘度算次豈不大謬
又如乙丙酉形乙角七○丙角九/五酉角一二○用癸寅/丑次形前/圖求丙
[008-66a]
酉邊
如法以邊左右兩角正弦丙九九六一九/酉八六六○三相乗去末五
位得數八六二/七三為一率半徑一○○/○○○為二率以酉外角/丙角
相差三十/五度矢一八○/八五與乙角矢六五七/九八相較四七七/一三爲
三率求得正矢五五三/○四為四率次形寅/角之矢撿表得六十三
度二十七分為丙酉邊
論曰此所用四率與前條求甲丙邊之數同而邊之大
小迥異一為餘度一為本度也前條為餘度之矢故甲/丙邊大此條為本度之
[008-66b]
矢故丙/酉邊小又所用矢較亦以不同而成其同前條以兩角/相差此則以
酉外角與丙角相差不同也而相差三十五度則同前條/用乙外角之矢此條用乙本角又不同也而矢數六五
七九八/則同其理皆出次形也
求酉乙邊 如法以兩角正弦乙九三九六九/酉八六六○三相乗去
末五位得八一/三八○為一率半徑為二率酉外角/乙角相差十/度之
矢與丙角九十/五度之矢相較得一○六/一九七為三率求得大矢
次形癸/角之矢為四率一三一/七二四撿表得一百○八/度三十分為酉乙邊此/與
前條求甲乙邊參㸔即見次/形用法不同之理如前所論
[008-67a]
求乙丙邊 與前條同法因丙乙兩内角之正弦及差/度並與兩外角同而酉角又
同甲角/故也
論曰三角求邊必用次形而次形之用數得數並有用
求度餘度之異即此數條可知其槩
又論曰在本形為三角求邊者在次形為三邊求角故
此數條即三邊求角之例也餘詳環/中黍尺
[008-67b]
垂弧捷法作垂弧而不用/其數故稱捷法 亦為次形雙法用兩次形/故稱雙法
設亥甲丁形有甲亥邊亥丁邊亥角在二邊/之中求甲丁邊
對角/之邊
[008-68a]
本法作垂弧分兩形先求甲已邊次求亥已邊分丁巳
邊再用甲巳丁巳二邊求甲丁邊
今捷法不求甲已邊但求亥已邊分丁已邊即用兩分
形之兩次形以徑得甲丁
一 亥已餘弦 即次形亥戊正弦
二 亥甲餘弦 即次形亥丙正弦
三 已丁餘弦 即次形辛丁正弦
四 甲丁餘弦 即次形庚丁正弦
[008-68b]
法引甲亥邊至丙引甲丁邊至庚引甲已垂弧至乙皆
滿象限又引分形邊亥已至戊引丁已至辛亦滿象限
末作辛庚乙丙戊半周與亥已遇于戊與丁已遇于辛
成亥丙戊次形與甲已亥分形相當丁亥辛次形與甲
已丁分形相當而此兩次形又自相當戊角辛角同以/己乙為其度則
兩角等丙與庚又同為正/角則其正弦之比例皆等
論曰半徑與戊角之正弦若戊亥之正弦與亥丙之正
弦又半徑與辛角即戊/角之正弦若辛丁之正弦與丁庚
[008-69a]
之正弦合之則戊亥正弦與亥丙正弦亦若辛丁正弦
與丁庚正弦
又論曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道
半周甲如北極辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距
即夏至之緯乃二分同用之角度即戊角辛/角之度亥丙及丁
庚皆赤緯甲亥及甲丁皆距北極之度即赤緯/之度
一 戊亥正弦 黄經 戊亥為未到秋分之度辛
二 亥丙正弦 赤緯 丁為已過春分之度似有
[008-69b]
三 辛丁正弦 黄經 不同而二分之角度既同
四 丁庚正弦 赤緯 故其比例等
[008-70a]
一 亥已餘弦 即亥戊正弦
二 亥甲餘弦 即亥丙正弦
三 已丁餘弦 即戊丁正弦
四 甲丁餘弦 即庚丁正弦
論曰此理在前論中蓋以同用戊角故比例同也
又論曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊
角如秋分其弧己乙如夏至距緯此兩黄經並在夏至/後秋分前其理易見
或先有者是丁鈍角甲丁丁亥二邊則先求丁巳線亦用/前圖
[008-70b]
一 丁已餘弦 即戊丁正弦
二 甲丁餘弦 即丁庚正弦
三 亥已餘弦 即亥戊正弦
四 亥甲餘弦 即亥丙正弦
又論曰假如星在甲求其黄赤經緯則亥丁如兩極之
距亥角若為黄經則丁角為赤經而亥甲黄緯丁甲赤
緯也若丁角為黄經則亥角為赤經而丁甲黄緯亥甲
赤緯也弧三角之理隨處可/施故舉此以發其例
[008-71a]
弧三角舉要卷五
八線相當法引
弧三角有以相當立法者何也以四率皆八線也弧三
角四率何以皆八線而不用他線八線但論度他/線則有丈尺渾體
故也弧三角皆在/渾員之面渾體異平而御渾者必以平是故八
線之數生于平員而八線之用專于渾員也曷言乎專
為渾員曰平三角之角之邊皆直線也同在一平面而
可以相為比例故雖用八線而四率中必兼他線焉以/八
[008-71b]
線例他線則用角可以求邊以他線例/八線則用邊可以求角皆兼用兩種線弧三角之角之
邊皆弧度曲線也不同在平面故非八線不能為比例
而四率中無他線焉既皆以八線相比例則同宗半徑
有角之八線有邊之八線各角各邊俱/非平面而可以相求者同一半徑也相當互視之法
所由以立也錯舉似紛實則有條不紊故爲論列使有
倫次云
[008-72a]
八線相當法詳衍
總曰相當分之則有二曰相當曰互視互視又分為二
曰本弧曰兩弧
但曰相當者皆本弧也又分為二曰三率連比例者以
全數為中率也其目有三曰四率斷比例者中有全數
也其目有六凡相當之目九
互視者亦相當也皆爲斷比例而不用全數若以四率
之一與四相乗二與三相乗則皆與全數之自乗等也
[008-72b]
本弧之互視其目有三兩弧之互視其目有九凡互
視之目十二
總名之皆曰相當其目共二十一内三率連比例三更
之則六四率斷比例十有八更之反之錯而綜之則百
四十有四共百有五十
相當共九
一曰正弦與全數若全數與餘割
二曰餘弦與全數若全數與正割
[008-73a]
三曰正切與全數若全數與餘切
以上三法皆本弧皆三率連比例而以全數為中
率
四曰正弦與餘弦若全數與餘切
五曰餘弦與正弦若全數與正切
六曰正割與正切若全數與正弦
七曰餘割與餘切若全數與餘弦
八曰正割與餘割若全數與餘切
[008-73b]
九曰餘割與正割若全數與正切
以上六法亦皆本法而皆四率斷比例四率之内
有一率為全數
互視共十二
一曰正弦與正切若餘切與餘割
二曰餘弦與餘切若正切與正割
三曰正弦與餘弦若正割與餘割
以上三法亦皆本弧皆四率斷比例而不用全數
[008-74a]
然以四率之一與四二與三相乗則其兩矩内形
皆各與全數自乗之方形等
四曰此弧之正弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘割
五曰此弧之正弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘割
六曰此弧之正弦與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘割
七曰此弧之餘弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧正割
八曰此弧之餘弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧正割
九曰此弧之餘弦與他弧餘切若他弧之正切與此弧正割
[008-74b]
十曰此弧之正切與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘切
十一曰此弧之正切與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘切
十二曰此弧之正切與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘切
以上九法皆兩弧相當率也其爲四率斷比例而
不用全數則同若以四率之一與四二與三相乗
其矩内形亦各與全數自乗之方形等
[008-75a]
相當法錯綜之理
此三率連比例也首率與中率之比例若中率與末率
故以首率末率相乗即與中率自乗之積等
假如三十度之正弦○五○/○○○與全數一○○/○○○之比例若
[008-75b]
全數一○○/○○○與三十度之餘割二○○/○○○其比例皆為加
例也更之則餘割二○○/○○○與全數一○○/○○○若全數一○/○○
○/○與正弦○五○/○○○其比例為折半也
又如三十度之餘弦○八六/六○三與全數一○○/○○○若全數一/○
○○/○○與三十度之正割一一五/四七○更之則正割一一五/四七○與
全數一○○/○○○若全數一○○/○○○與餘弦○八六/六○三也
又如三十度之正切○五七/七三五與全數一○○/○○○若全數一/○
○○/○○與三十度之餘切一七三/二○五更之則餘切一七三/二○五與
[008-76a]
全數一○○/○○○若全數一○○/○○○與正切○五七/七三五也
用法
凡三率連比例有當用首率與中率者改為中率與末
率假如有四率其一三十度正弦其二全數改用全數
為一率三十度餘割為二率其比例同
[008-76b]
凡四率之前後兩率矩内形與中兩率矩形等故一與
四二與三可互居也
[008-77a]
[008-78a]
右四率斷比例也一率與二率之比例若三率與四率
假如三十度之正弦○五○/○○○與其餘弦○八六/六○三若全數
一○○/○○○與其餘切一七三/二○五更之則餘切一七三/二○五與全數
[008-78b]
一○○/○○○若餘弦○八六/六○三與正弦○五○/○○○也第四法/
又如三十度之正割一一五/四七○與其正切○五七/七三○若全數
一○○/○○○與其正弦○五○/○○○更之則全數一○○/○○○與正割
一一五/四七○若正弦○五○/○○○與正切○五七/七三五也第六法/
又如三十度之餘割二○○/○○○與其正割一一五/四七○若全數
一○○/○○○與其正切○五七/七三五更之則正切○五七/七三五與正割
一一五/四七○若全數一○○/○○○與餘割二○○/○○○也第九法/餘倣此
用法
[008-79a]
凡四率斷比例當用前兩率者可以後兩率代之假如有四率
其一正弦其二餘弦改用全數為一率餘切為二率其比例同
互視
[008-80a]
此本弧中互相視之率也其第一與第四相乗矩第二
與第三相乗矩皆與全數自乗方等故其邊為互相視
之邊而相與爲比例皆等
假如三十度之正弦○五○/○○○與其餘割二○○/○○○相乗一/○
○○○○○/○○○○其餘弦○八六/六○三與其正割一一五/四七○相乗一○/○○
○○○/○○弱皆與全數自乗之方等故以正弦為一率餘弦
[008-80b]
為二率正割為三率餘割為四率則正弦○五○/○○○與餘
弦○八六/六○三若正割一一五/四七○與餘割二○○/○○○也第三法/
又如三十度之正切○五七/七三五與其餘切一七三/二○五相乗一/○
○○○○/○○○弱亦與全數之方等故以正弦為一率餘切為
二率正切為三率餘割為四率則正弦○五○/○○○與正切
○五七/七三五若餘切一七三/二○五與餘割二○○/○○○也第一法/
或以餘弦為一率餘切爲二率正切為三率正割為四
率則餘弦○八六/六○三與餘切一七三/二○五若正切○五七/七三五與正
[008-81a]
割一一五/四七○也第二法/
用法
此亦四法斷比例故當用前兩率者可以後兩率代之
假如有四率當以正弦與正切為一率二率者改用餘
切為一率餘割為二率以乗除之其比例亦同餘倣此
本弧諸線相當約法
其一為弦與股之比例 反之則如股與弦
全 正割 餘切 餘割 全 餘弦 正切 正弦
[008-81b]
正弦 正切 餘弦 全 餘割 餘切 正割 全
其二為弦與句之比例 反之則如句與弦
全 餘割 正切 正割 全 正弦 餘切 餘弦
餘弦 餘切 正弦 全 正割 正切 餘割 全
其三為句與股之比例 反之則如股與句
全 餘弦 餘割 餘切 全 正割 正弦 正切
正切 正弦 正割 全 餘切 餘割 餘弦 全
右括本弧七十八法
[008-82a]
[008-82b]
如圖甲丙甲乙甲丁皆半徑全數乙丙為正弧乙丁為
餘弧乙戊為正弦庚丙為正切線庚甲為正割線乙己
為餘弦辛丁為餘切線辛甲為餘割線
[008-83a]
[008-83b]
此皆一定比例觀圖自明
外有餘切餘弦非弦與股之比例則借第二比例更
之
一 甲乙全數即甲/丁 辛丁餘切
四 辛丁餘切 甲丁全數
全數與餘弦若餘割與餘切更之而餘切與餘弦
[008-84a]
若餘割與全數也餘割與全數既為弦與股則餘
切與餘弦亦如弦與股矣
正切正弦非弦與句之比例則借第一比例更之
一 甲乙全數即甲/丙 庚丙正切
四 庚丙正切 甲丙全數
全數與正弦若正割與正切更之而正切與正弦
[008-84b]
若正割與全數也正割與全數既為弦與句則正
切與正弦亦如弦與句矣
餘割正割非句與股之比例則仍借第一比例更之
一 餘割辛甲 餘割辛甲
二 全數甲丁即甲/丙 正割庚甲
三 正割庚甲 全數甲丙
四 正切庚丙 正切庚丙
餘割與全數若正割與正切更之而餘割與正割
[008-85a]
若全數與正切也全數與正切既爲句與股則餘
割與正割亦如句與股矣
互視自此而分以前為本弧所用共大法三更之/則二十有四合相當法則七十有八而總以三率
連比例三/大法為根
以後為兩弧所用共大法九更之七十/有二而仍以本弧之三率連比例為根
[008-86a]
[008-86b]
九法
[008-87a]
[008-87b]
十二法
[008-88a]
以上大法三更之二十有四是以/本弧之正切餘切與他弧互視
此皆兩弧中互相視之率也本弧有兩率相乗矩與全
數之方等他弧亦有兩率相乗矩與前數之方等則此
四率為互相視之邊互相視者此有一率贏于彼之一
[008-88b]
率若干倍則此之又一率必朒于彼之又一率亦若干
倍而其比例皆相等故以此弧之兩率為一與四則以
他弧之兩率為二與三
假如有角三十度邊四十度此兩弧也角之正弦○五/○○
○/○與其餘割二○○/○○○相乗一○○○○/○○○○○與全數自乗等
邊之正弦○六四/二七九與其餘割一五五/五七二相乗一○○○○/○○○○弱
亦與全數自乗等則此四率為互相視之邊互相視者
言角之正弦○五○/○○○與邊之正弦○六四/二七九若邊之餘割
[008-89a]
一五五/五七二與角之餘割二○○/○○○也第四法/
又如有二邊大邊五十度小邊三十度大邊之正弦○/七
六六/○四餘割一三○/五四一相乗與全數自乗等小邊之正切○/五
七七/三五餘切一七三/二○五相乗亦與全數自乗等則此四者互
相視互相視者言大邊之正弦○七六/六○四與小邊之正切
○五七/七三五若小邊之餘切一七三/二○五與大邊之餘割一三○/五四一
也第六法/
又如有兩角甲角三十度乙角五十度此亦兩弧也甲
[008-89b]
角之正切○五七/七三五餘切一七三/二○五相乗與全數自乗等乙
角之正切一一九/一七五餘切○八三/九一○相乗亦與全數自乘等
則此 率為互相視之邊互相視者言甲角之正切○/五
七七/三五與乙角之正切一一九/一七五若乙角之餘切○八三/九一○與
甲角之餘切一七三/二○五也第十法/
用法
假如别有四率以五十度正弦為第一三十度正切為第
二今改用三十度餘切第一五十度餘割第二其比例同
[008-90a]
[008-91a]
如圖壬丙爲本弧乙丙為他弧他弧小於本弧而並在
半象限以内
本弧正弦壬癸/餘割未甲 餘弦壬丑/正割庚甲 正切庚丙/餘切未丁
他弧正弦乙戊/餘割酉申 餘弦乙巳/正割辛甲 正切辛丙/餘切酉丁
論曰甲丙甲丁皆半徑乃本弧他弧所共也半徑自乗
之方冪為甲丙夘丁而本弧中以正弦乗餘割以餘弦
乗正割以正切乗餘切所作矩形既各與半徑方冪等
則他弧亦然故可以互相視而成相當之率
[008-92a]
如上圖壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外
亦同
[008-93a]
如上圖壬丙本弧小于乙丙他弧而並在半象限外並
同
[008-93b]
厯算全書卷八