[001-1a] 
欽定四庫全書
曉菴新法卷一
吳江王錫闡撰
勾股
置四方形從兩隅斜分之損半為三邊之形形之兩邊
從横相遇其隅中矩曰勾股横為勾從為股
舊法短為勾長為股今不論短長但以從横為定
斜行以兩端屬於勾股之端者曰弦
[001-1b]
此為勾股之弦與割圜法中全正較三弦異理
勾股各為冪
自因曰冪
相從平方開之得弦數弦為冪
勾股兩冪相從即弦冪
以勾冪消弦冪為股冪
即股自因數
股冪消弦冪為勾冪
[001-2a]
即勾自因數
各以平方開之得勾股之數
假如勾數三股數四勾數自因得九為勾冪股數自
因得一十六為股冪兩冪相從得二十五為弦冪平
方開之得五為弦數餘倣此
割圜
置全圜四分之曰象限
日度九十一度少強爻限九十六爻平限九十限
[001-2b]
六分之曰紀限
日度六十一度弱爻限六十四爻平限六十限
十分之曰專限
日度三十六度半強爻限三十八爻四十策平限三
十六限
參分象限之一曰辰限
日度三十度半弱爻限三十二爻平限三十限
四分紀限之一曰氣限
[001-3a]
當辰限之半日度一十五度少弱爻限一十六爻平
限一十五限
參分專限之二曰髀限
日度二十四度強爻限二十五爻六十策平限二十
四限
三百八十四分圜周之一曰爻限
全周三百八十四爻其一爻當日度之九十五分有
奇平限之九十三分太
[001-3b]
三百六十分圜周之一曰平限
全周三百六十限其一限當日度之一度一分半弱
爻限之一爻又三十分爻之二
以歲周分圜周曰度限
亦曰日度全周三百六十五度少弱其一度當爻限
之一爻五策有奇平限之九十八分半強
割圜周之一曰正弧
即用弧隨所用大小不拘度分
[001-4a]
正弧與象限之較曰較弧
置象限内減正弧得較弧
弧之對邊與兩端屬於弧之兩端者曰全弦全弦之半
為其半弧之正弦
正弦亦曰正半弦既得正弦復置半弧為正弧
正弦與半徑為勾弦求股為較弧之正弦亦為正弧之
較弦較弦損半徑為矢矢與正弦為勾股得全弦
置半徑内減較弦得矢矢為勾正弦為股勾股求弦
[001-4b]
得正弧全弦半之又為半弧之正弦用此法可以遞
損半弧求其正弦
圜之全徑為半周全弦
二度
半徑為象限正弦亦為紀限全弦
一度
自為勾股得象限全弦
一度自因倍為實平方開之得一度四十一分四十
[001-5a]
二秒一十三㣲半強即象限全弦
全徑為冪四分去一
三度
平方開之得倍紀全弦
倍紀當日度之一百二十一度太弱爻限之一百二
十八爻平限之一百二十限其全弦得一度七十三
分二十秒五十微太強
半之為紀限正弦
[001-5b]
八十六分六十秒二十五微半弱
四分全徑之一為勾
五十分
半徑為股求弦去勾為專限全弦
六十一分八十秒三十四㣲弱
其冪與半徑之冪相從平方開之得倍專全弦
倍專當日度之七十三度強爻限之七十六爻八十
策平限之七十二限其全弦得一度一十七分五十
[001-6a]
五秒七十㣲半強
半之為專限正弦
五十八分七十七秒八十五㣲少強
紀限專限正弦相損為股
兩正弦數俱見上相損存二十七分八十二秒四十
微弱
較弦相損為勾
紀限較弦五十分專限較弦八十分九十秒一十七
[001-6b]
㣲弱相損存三十分九十秒一十七㣲
得髀限全弦
勾股求弦得四十一分五十八秒二十三㣲半弱即
髀限全弦
有不齊之兩弧互以正弦因較弦相從為兩弧相益之
正弦相消為兩弧相損之正弦倍正弦因較弦為倍弧
之正弦
各隨用弧大小不拘度分
[001-7a]
中分紀限全弦為辰限正弦
五十分
置辰限求全弦
五十一分七十六秒三十八微強
半之為氣限正弦
二十五分八十八秒一十九微強
以弦矢術遞損其半至四分爻限之一之正弦而止
四分爻限之一得二十五策其正弦四十秒九十微
[001-7b]
半強
以二十五為法分之為百分爻限之一之正弦
百分爻限之一即一策其正弦一秒六十三微半強
用兩弧損益之術得三百八十四爻及諸策之正弦
又法置髀限以弦矢術遞損其半至二十分爻限之
一即五/策之正弦而止其數八秒一十八微強為實五
策為法而一亦得百分爻限之一之正弦
半徑因正弦為實較弦為法而一得外切圜分
[001-8a]
省曰切分
半徑自因為實較弦為法而一得割圜界分
省曰界分
較弧損半其切分如正弧切分即正弧界分較弧損
半其切分減正弧界分即正弧切分
命半徑為一度
諸率以半徑為法因之者可免因法以半徑為法而
一者可免分法後俱從省
[001-8b]
當日度之五十八度有奇爻限之六十一爻有奇平限
之五十七限少強其一分當日度之五十八分有奇爻
限之六十一策有奇平限之五十七分少強
徑一則圍三有奇圍三則徑一不足命全徑為二度
得圍法六度二十八分三十二秒不足用分全周得
本文諸數
變率
正弧過一象限者與半周相消
[001-9a]
設有正弧一百爻是為過一象限之弧與半周初減
存九十二爻餘倣此
過半周者内損半周
設有正弧二百爻是為過半周之弧内減半周存八
爻餘倣此
至三象限已上者與全周相消
設有正弧三百爻是為三象限已上之弧與全周相
減存八十四限
[001-9b]
各以所存之弧代正弧求弦矢諸數
割圜器表止一象限而全周之為象限者四故正弧
過一象限已上者與全周半周相減以所存之弧求
正較弦矢切分界分
通率
有日度求爻限者以爻限周因之如歲周而一
爻限周三百八十四每度得一爻五策一十三分五
十七秒少弱
[001-10a]
有爻限求平限者以平限周因之如爻限周而一
平限三百六十每爻得空限九十三分七十五秒
有平限求日度者以歲周因之如平限周而一
每限得一度一分四十五秒六十一微半強
若反求者以因法為分法分法為因法
有日度求平限者以平限因之如歲周而一每度得
空限九十八分五十六秒四十七微少強有平限求
爻限者以爻限周因之如平限周而一每限得一爻
[001-10b]
六策又參分策之二有爻限求日度者以歲周因之
如爻限周而一每爻得空度九十五分一十一秒五
十一微半強
自一度以上因陟而上分降而下自一度以下因降而
下分陟而上
假如一度以上者以三度因四度得一十二度故曰
因陟而上以四度分三度得百分度之七十五故曰
分降而下又如三度之冪得九度四度之冪得一十
[001-11a]
六度因陟而上也置九度平方開之得三度置一十
六度平方開之得四度分降而下也餘倣此
假如一度以下者以百分度之二十因百分度之一
十得百分度之二故曰因降而下以百分度之一十
分百分度之二十得二度故曰因陟而上又如百分
度之五十其冪得百分度之二十五因降而下也置
百分度之二十五平方開之得百分度之五十分陟
而上也餘倣此
[001-11b]
曉菴新法卷一
欽定四庫全書
曉菴新法卷一
吳江王錫闡撰
勾股
置四方形從兩隅斜分之損半為三邊之形形之兩邊
從横相遇其隅中矩曰勾股横為勾從為股
舊法短為勾長為股今不論短長但以從横為定
斜行以兩端屬於勾股之端者曰弦
[001-1b]
此為勾股之弦與割圜法中全正較三弦異理
勾股各為冪
自因曰冪
相從平方開之得弦數弦為冪
勾股兩冪相從即弦冪
以勾冪消弦冪為股冪
即股自因數
股冪消弦冪為勾冪
[001-2a]
即勾自因數
各以平方開之得勾股之數
假如勾數三股數四勾數自因得九為勾冪股數自
因得一十六為股冪兩冪相從得二十五為弦冪平
方開之得五為弦數餘倣此
割圜
置全圜四分之曰象限
日度九十一度少強爻限九十六爻平限九十限
[001-2b]
六分之曰紀限
日度六十一度弱爻限六十四爻平限六十限
十分之曰專限
日度三十六度半強爻限三十八爻四十策平限三
十六限
參分象限之一曰辰限
日度三十度半弱爻限三十二爻平限三十限
四分紀限之一曰氣限
[001-3a]
當辰限之半日度一十五度少弱爻限一十六爻平
限一十五限
參分專限之二曰髀限
日度二十四度強爻限二十五爻六十策平限二十
四限
三百八十四分圜周之一曰爻限
全周三百八十四爻其一爻當日度之九十五分有
奇平限之九十三分太
[001-3b]
三百六十分圜周之一曰平限
全周三百六十限其一限當日度之一度一分半弱
爻限之一爻又三十分爻之二
以歲周分圜周曰度限
亦曰日度全周三百六十五度少弱其一度當爻限
之一爻五策有奇平限之九十八分半強
割圜周之一曰正弧
即用弧隨所用大小不拘度分
[001-4a]
正弧與象限之較曰較弧
置象限内減正弧得較弧
弧之對邊與兩端屬於弧之兩端者曰全弦全弦之半
為其半弧之正弦
正弦亦曰正半弦既得正弦復置半弧為正弧
正弦與半徑為勾弦求股為較弧之正弦亦為正弧之
較弦較弦損半徑為矢矢與正弦為勾股得全弦
置半徑内減較弦得矢矢為勾正弦為股勾股求弦
[001-4b]
得正弧全弦半之又為半弧之正弦用此法可以遞
損半弧求其正弦
圜之全徑為半周全弦
二度
半徑為象限正弦亦為紀限全弦
一度
自為勾股得象限全弦
一度自因倍為實平方開之得一度四十一分四十
[001-5a]
二秒一十三㣲半強即象限全弦
全徑為冪四分去一
三度
平方開之得倍紀全弦
倍紀當日度之一百二十一度太弱爻限之一百二
十八爻平限之一百二十限其全弦得一度七十三
分二十秒五十微太強
半之為紀限正弦
[001-5b]
八十六分六十秒二十五微半弱
四分全徑之一為勾
五十分
半徑為股求弦去勾為專限全弦
六十一分八十秒三十四㣲弱
其冪與半徑之冪相從平方開之得倍專全弦
倍專當日度之七十三度強爻限之七十六爻八十
策平限之七十二限其全弦得一度一十七分五十
[001-6a]
五秒七十㣲半強
半之為專限正弦
五十八分七十七秒八十五㣲少強
紀限專限正弦相損為股
兩正弦數俱見上相損存二十七分八十二秒四十
微弱
較弦相損為勾
紀限較弦五十分專限較弦八十分九十秒一十七
[001-6b]
㣲弱相損存三十分九十秒一十七㣲
得髀限全弦
勾股求弦得四十一分五十八秒二十三㣲半弱即
髀限全弦
有不齊之兩弧互以正弦因較弦相從為兩弧相益之
正弦相消為兩弧相損之正弦倍正弦因較弦為倍弧
之正弦
各隨用弧大小不拘度分
[001-7a]
中分紀限全弦為辰限正弦
五十分
置辰限求全弦
五十一分七十六秒三十八微強
半之為氣限正弦
二十五分八十八秒一十九微強
以弦矢術遞損其半至四分爻限之一之正弦而止
四分爻限之一得二十五策其正弦四十秒九十微
[001-7b]
半強
以二十五為法分之為百分爻限之一之正弦
百分爻限之一即一策其正弦一秒六十三微半強
用兩弧損益之術得三百八十四爻及諸策之正弦
又法置髀限以弦矢術遞損其半至二十分爻限之
一即五/策之正弦而止其數八秒一十八微強為實五
策為法而一亦得百分爻限之一之正弦
半徑因正弦為實較弦為法而一得外切圜分
[001-8a]
省曰切分
半徑自因為實較弦為法而一得割圜界分
省曰界分
較弧損半其切分如正弧切分即正弧界分較弧損
半其切分減正弧界分即正弧切分
命半徑為一度
諸率以半徑為法因之者可免因法以半徑為法而
一者可免分法後俱從省
[001-8b]
當日度之五十八度有奇爻限之六十一爻有奇平限
之五十七限少強其一分當日度之五十八分有奇爻
限之六十一策有奇平限之五十七分少強
徑一則圍三有奇圍三則徑一不足命全徑為二度
得圍法六度二十八分三十二秒不足用分全周得
本文諸數
變率
正弧過一象限者與半周相消
[001-9a]
設有正弧一百爻是為過一象限之弧與半周初減
存九十二爻餘倣此
過半周者内損半周
設有正弧二百爻是為過半周之弧内減半周存八
爻餘倣此
至三象限已上者與全周相消
設有正弧三百爻是為三象限已上之弧與全周相
減存八十四限
[001-9b]
各以所存之弧代正弧求弦矢諸數
割圜器表止一象限而全周之為象限者四故正弧
過一象限已上者與全周半周相減以所存之弧求
正較弦矢切分界分
通率
有日度求爻限者以爻限周因之如歲周而一
爻限周三百八十四每度得一爻五策一十三分五
十七秒少弱
[001-10a]
有爻限求平限者以平限周因之如爻限周而一
平限三百六十每爻得空限九十三分七十五秒
有平限求日度者以歲周因之如平限周而一
每限得一度一分四十五秒六十一微半強
若反求者以因法為分法分法為因法
有日度求平限者以平限因之如歲周而一每度得
空限九十八分五十六秒四十七微少強有平限求
爻限者以爻限周因之如平限周而一每限得一爻
[001-10b]
六策又參分策之二有爻限求日度者以歲周因之
如爻限周而一每爻得空度九十五分一十一秒五
十一微半強
自一度以上因陟而上分降而下自一度以下因降而
下分陟而上
假如一度以上者以三度因四度得一十二度故曰
因陟而上以四度分三度得百分度之七十五故曰
分降而下又如三度之冪得九度四度之冪得一十
[001-11a]
六度因陟而上也置九度平方開之得三度置一十
六度平方開之得四度分降而下也餘倣此
假如一度以下者以百分度之二十因百分度之一
十得百分度之二故曰因降而下以百分度之一十
分百分度之二十得二度故曰因陟而上又如百分
度之五十其冪得百分度之二十五因降而下也置
百分度之二十五平方開之得百分度之五十分陟
而上也餘倣此
[001-11b]
曉菴新法卷一