[002-1a] 
欽定四庫全書
御製厯象考成後編卷二
月離數理
月離總論
太陰本天面積随時不同
太陰本天心距地及最高行隨時不同
求初均數
求一平均
[002-1b]
求二平均
求三平均
求二均數
求三均末均
求交均及黄白大距
地半徑差
[002-2a]
月離總論
古歴皆謂月一日行十三度十九分度之七出入日道
不踰六度東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差
率元郭守敬乃定為轉分進退時各不同猶今之初均
數而其出入日道之大距則仍恒為六度也新法算書
初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有遲疾
故有初均兩弦又不同於朔望故有二均兩弦前後又
不同於兩弦故有三均此經度之差也朔望交行遲而
[002-2b]
大距近兩弦交行疾而大距逺故有交均此交行之差
而亦緯度之差也上編言太陰行度有九種一曰平行
二曰自行三曰均輪行四曰次輪行五曰次均輪行六
曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其實均
輪行自行度次輪次均輪皆行月距日倍度則九種行
度之中又止六種而巳自西人刻白爾創為撱圓之法
専主不同心天而不同心天之兩心差及太陰諸行又
皆以日行與日天為消息故日行有盈縮則太陰平行
[002-3a]
最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最
高有逺近則太陰本天心有進退兩心差有大小而平
行面積亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最
高均又白極繞黄極而轉移則白道度有進退而太陰
之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之
所無而刻白爾以来柰端等屢測而創獲者也夫兩心
差既有大小則月距最高雖等而遲疾之差不等故分
大中小三數而仍名曰初均朔望而外其差之最大者
[002-3b]
不在兩弦而在朔弦弦望之間仍名曰二均又月高距
日高與月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差
而遲仍名曰三均又朔後恒差而遲望後恒差而疾因
月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交
後一象限則交行疾日在交前一象限則交行遲仍名
曰正交均此五者末均為昔日之所無其餘諸均亦名
同而數異皆刻白爾以来噶西尼等屢測而改定者也
至於黄白交角即大/距度新法算書朔望最小兩弦最大今
[002-4a]
則謂日在交㸃交角大前後皆小朔望尤小日在大距
交角小前後皆大兩弦尤大似皆與新法算書不同然
用以推歩交食則皆與實測合而與新法算書亦相去
不逺計其行度一平均用日引度二平均最高均用日
距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度
初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用
月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日
度較舊用行度多四種一曰日引二曰日距月最高三
[002-4b]
曰日距正交四曰月高距日高則其行度共行種矣今
考其表中所列誠皆實測之數而要不離乎本天高卑
中距四限與朔望兩弦前後參互比較而得之兹為總
舉其端而各具測算之法於後庶學者知其立法所自
来而推歩考驗咸可通其條貫云
[002-5a]
太陰本天面積隨時不同
太陰初均數生於兩心差兩心差不等則均數亦不
等然於平行無與也自刻白爾以本天為撱圓以平
行為面積則兩心差不等而撱圓之面積與太陰之
平行亦因之不等盖兩心差大者小徑之數小而面
積亦小兩心差小者小徑之數大而面積亦大故分
撱圓之度數雖同而度之面積各異非先求其面積
無以求度數也今取兩心差之大中小三數求其小
[002-5b]
徑及面積以定平行而後均數可得而推也
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚撱圓為太
陰本天乙丁為大半徑一
千萬乙戊為小半徑甲戊
丙戊皆與乙丁大半徑等
以甲戊為弦甲乙為勾求
得股即乙戊小半徑也以
[002-5b]
乙丁大半徑求得丁辛己
[002-6a]
壬平圓積以乙辛與乙戊
為比例即撱圓全積也用
度分秒數除之即得一度
一分一秒之積也以庚戊
小徑與丁己大徑相乗開
平方折半即乙癸中率半
徑也其理皆與日躔同惟
兩心差隨時不同則小徑
[002-6b]
與面積皆各異具列於左
最大兩心差 六六七八二○
小徑 九九七七六七五小餘/九○
中率半徑 九九八八八三一小餘/七二
中率半徑方 九九七七六七五九○四一一七二
撱圓全積 三一三四五七九三二八四四五六七
九十度積 七八三六四四八三二一一一四二
一度積 八七○七一六四八○一二四
一分積 一四五一一九四一三三五
[002-6b]
一秒積 二四一八六五六八九
[002-7a]
中數兩心差 五五○五○五
小徑 九九八四八三五小餘/七一
中率半徑 九九九二四一四小餘/九八
中率半徑方 九九八四八三五七一四四七一○
撱圓全積 三一三六八二八六四九二○三九六
九十度積 七八四二○七一六二三○○九九
一度積 八七一三四一二九一四四六
一分積 一四五二二三五四八五七
[002-7b]
一秒積 二四二○三九二四八
最小兩心差 四三三一九○
小徑 九九九○六一二小餘/九二
中率半徑 九九九五三○五小餘/三六
中率半徑方 九九九○六一二九一五三二七一
撱圓全積 三一三八六四三六一○三七八六七
九十度積 七八四六六○九○二五九四六七
一度積 八七一八四五四四七三二七
一分積 一四五三○七五七四五五
[002-7b]
一秒積 二四二一七九二九一
[002-8a]
太陰本天心距地及最高行隨時不同
太陰之行有遲疾由于本天有高卑其説一為不同
心天一為本輪與太陽同西人第谷以前定本輪半
徑為本天半徑千萬分之八十七萬即不同心天之
兩心差其最大遲疾差為四度五十八分二十七秒
第谷用其法惟中距與實測合最高前後則失之小
最卑前後則失之大因将本輪半徑三分之存其二
分五十四萬為本輪半徑取其一分二十七萬為均
[002-8b]
輪半徑其高卑之數遲疾之差雖各有不同而其距
地之有定數最高之有常行則一也自刻白爾創為
撱圓之法専主不同心天而不同心天之兩心差及
最高行又隨時不同惟日當月天中距時最大遲疾
差為四度五十七分五十七秒兩心差為四三三一
九○倍差即為八十六萬有竒與舊數相去不逺若
日當月天最高或當月天最卑則最大遲疾差為七
度三十九分三十三秒兩心差為六六七八二○日
厯月天高卑而後兩心差漸小中距而後兩心差漸
[002-8b]
大日距月天高卑前後四十五度兩心差適中又日
[002-9a]
當月天高卑時最高之行常速至高卑後四十五度
而止日當月天中距時最高之行常遲至中距後四
十五度而止與日月之盈縮遲疾相似而周轉之數
倍之是則太陰本天之心必更有一均輪以消息乎
兩心差及最高行之數因以地心為心以兩心差最
大最小兩數相加折半得五五○五○五為最高本
輪半徑相減折半得一一七三一五為最高均輪半
徑均輪心循本輪周右旋行最高平行度本天心循
[002-9b]
均輪周右旋行日距月最高之倍度用切線分外角
法求得地心之角為最高均數即最高行之差求得
兩心相距之邊為本天心距地數即本時之兩心差
也今考其表中所載其最大遲疾差不在中距最高
前後九十度多最卑前後九十度少與上編小輪之
理同其求兩心差則在本天高卑之適中而亦不正
九十度與本編日躔之理同而其測量諸均數則必
在高卑中距或高卑中距之間其數乃整齊而易辨
要之測得高卑中距之差則兩心差之數巳見而求
[002-9b]
得兩心差之數則高卑中距之差悉合矣
[002-10a]
如甲為地心乙為太陰本天心丙為最
高丁為最卑戊己為中距戊己乃實行/之中距非平
行之中距因朔望相/對故借實行以明之設日天最高當月
天最高丙太陽在最高後中距戊太陰
亦在戊合朔測得太陰實行比平行少
四度四十五分四十一秒太陰在最高
前中距己望測得太陰實行比平行多
五度九分二十一秒又設太陽在最高
[002-10b]
前中距己太隂亦在己合朔測得太陰
實行比平行多四度四十五分四十一
秒太陰在最高後中距戊望測得太隂
實行比平行少五度九分二十一秒兩
測太隂在戊實行皆比平行為少太陰
在己實行皆比平行為多是知太陰在
最高後則減最高前則加為初均之故
矣然太陽在戊則少數小多數大太陽
在己則少數大多數小是必另有一均
[002-10b]
因太陽在戊而加在己而減者若不因
[002-11a]
太陽之故則太隂在戊為減在己為加
其數必相等也於是以大小兩數相減
折半得一十一分五十秒别為一平均
以減大數加小數得四度五十七分三
十一秒為日距月天最高前後九十度
時月距最高前後九十度之初均數最
高後為減最高前為加也
又設日天最高當月天最高後中距戊
[002-11b]
太陽在最高戊太陰在最高後中距戊
合朔測得太陰實行比平行少四度五
十九分五十六秒太陰在最高前中距
己望測得太陰實行比平行多四度五
十五分六秒又設日天最高當月天最
高前中距己太陽在最高己太陰在最
高前中距己合朔測得太陰實行比平
行多四度五十九分五十六秒太陰在
最高後中距戊望測得太陰實行比平
[002-11b]
行少四度五十五分六秒兩測太陰在
[002-12a]
戊實行皆比平行為少太陰在己實行
皆比平行為多是知太陰在最高後則
減最高前則加為初均之故矣然日天
最高在戊月天最高距日天最高二百
七十度則少數大多數小日天最高在
己月天最高距日天最高九十度則多
數大少數小是必另有一均因月高距
日高九十度而加二百七十度而減者
[002-12b]
於是以大小兩數相減折半得二分二
十五秒别為三均以減大數加小數得
四度五十七分三十一秒為日距月天
最高前後九十度時月距最高前後九
十度之初均數最高後為減最高前為
加與前測合
又設日天最高當月天最高丙太陽在
最高丙太陰在中距戊上弦測得太陰
實行比平行少七度三十五分三十四
[002-12b]
秒太陰在中距己下弦測得太陰實行
[002-13a]
比平行多七度三十五分三十四秒又
設日天最高當月天最卑丁太陽在最
高丁太陰在中距己上弦測得太陰實
行比平行多七度四十分二十四秒太
陰在中距戊下弦測得太陰實行比平
行少七度四十分二十四秒兩測太陰
在戊實行皆比平行為少太陰在己實
行皆比平行為多是知太陰在最高後
[002-13b]
則減最高前則加為初均之故矣然上
弦則少數小多數大下弦則少數大多
數小是必另有一均因上弦而加下弦
而減者於是以大小兩數相減折半得
二分二十五秒别為三均以減大數加
小數得七度三十七分五十九秒為日
在月天最高最卑時月距最高前後九
十度之初均數最高後為減最高前為
加也
[002-13b]
又設日天最高在庚月天最高丙距日
[002-14a]
天最高三百一十五度太陽在庚距月
天最高四十五度太陰在戊距最高九
十度而距日四十五度為朔與上弦之
間測得太陰實行比平行少五度五十
七分四十五秒若日天最高在辛月天
最高距日天最高二百二十五度太陽
在辛距月天最高一百三十五度太陰
仍在戊距月天最高九十度而距日三
[002-14b]
百一十五度為下弦與朔之間測得太
隂實行比平行少六度五十四分四十
九秒又設日天最高在壬月天最高距
日天最高一百三十五度太陽在壬距
月天最卑四十五度太隂在己距最高
前九十度而距日四十五度為朔與上
弦之間測得太隂實行比平行多六度
五十四分四十九秒若日天最高在癸
月天最高距日天最高四十五度太陽
[002-14b]
在癸距月天最高三百一十五度太隂
[002-15a]
仍在己距最高前九十度而距日三百
一十五度為下弦與朔之間測得太隂
實行比平行多五度五十七分四十五
秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少
太陰在己實行皆比平行為多是知太
陰在最高後則減最高前則加為初均
之故矣而朔與上弦之間則少數小多
數大下弦與朔之間則少數大多數小
[002-15b]
是必另有一均因朔後而加朔前而減
者而所大所小之數又不及二均加減
之多是必又有别均加減於其間而此
特為其加減之較於是以大小兩數相
減折半得二十八分三十二秒為二均
與二平均末均加減之較查朔後四十/五度二均應
加三十三分一十四秒而日距月天高/卑後四十五度二平均應減三分三十
四秒又月高距日高在四象限之正中/朔後四十五度時末均應減一分八秒
故以二十八分三十二秒為加減之較/又查朔前四十五度二均應減三十三
[002-15b]
分一十四秒而日距月天高卑前四十/五度二平均應加三分三十四秒又月
[002-16a]
高距日高在四象限之正中朔前四十/五度時末均應加一分八秒故亦以二
十八分三十二秒為/加減之較詳後各篇以減大數加小數
得六度二十六分一十七秒為日距月
天高卑前後四十五度時月距最高前
後九十度之初均數最高後為減最高
前為加也
前測均數之大小皆在月距最高前後
九十度時而測兩心差之大小則必在
[002-16b]
本天高卑之適中其平引即距最高/之平行度之
多於九十度與實引即距最高/之實行度之少於
九十度或平引之少於九十度與實引
之多於九十度者皆適相等見日躔求/兩心差篇
如甲為地心乙為本天心甲乙為兩心
差甲子為倍差丙丑丁寅撱圓為月本
天丙為最高丁為最卑丑寅為中距丑/寅
為本天高卑之適中丙丑甲分撱圓面/積為平引九十度多丑甲丙角為實引
九十度少然相去不逺故亦/名中距以便與日天較算也乙丁為大
[002-16b]
半徑一千萬乙丑為小半徑甲丑子丑
[002-17a]
皆與乙丁等設日天最高當月天最高
前中距寅太陽在最高寅太陰在最高
後中距丑望其丙丑甲分撱圓面積九
十二度二十八分五十七秒五十八微
半為平引其大於九十度之二度二十
八分五十七秒五十八微半即丑甲乙
勾股積與乙丑甲角度等與日躔求兩/心差同但日
躔從最卑起算月/離從最高起算耳此時測得太陰實行
[002-17b]
在最高後八十七度三十三分二十七
秒一微半減此時應加之三均二分二
十五秒此時三均應加二分二十五秒/若不因三均則實行應少二分
二十五/秒故減餘八十七度三十一分二秒一
微半為實引其小於九十度者亦二度
二十八分五十七秒五十八微半即丑
甲卯角與乙丑甲角等亦與子丑乙角
等平行實行之差四度五十七分五十
五秒五十七微即甲丑子角折半得二
[002-17b]
度二十八分五十七秒五十八微半即
[002-18a]
乙丑甲角甲丑既為半徑一千萬則甲
乙即乙丑甲角之正弦檢表得四三三
一九○即日在月天中距時之兩心差
也
又設日天最高當月天最高丙太陽在
最高丙太陰在最高後中距丑上弦其
丙丑甲分撱圓面積九十三度四十九
分四十五秒二微半為平引其大於九
[002-18b]
十度之三度四十九分四十五秒二微
半即丑甲乙勾股積與乙丑甲角度等
此時測得實行在最高後八十六度一
十二分三十九秒五十七微半減此時
應加之三均二分二十五秒同/前餘八十
六度一十分一十四秒五十七微半為
實引其小於九十度者亦三度四十九
分四十五秒二微半即丑甲卯角與乙
丑甲角等亦與子丑乙角等平行實行
[002-18b]
之差七度三十九分三十秒五微即甲
[002-19a]
丑子角折半得三度四十九分四十五
秒二微半即乙丑甲角檢正弦得六六
七八二○即日在月天最高最卑時之
兩心差也
前測日在月天高卑兩心差大日在月
天中距兩心差小又日在月天高卑最
高行速日在月天中距最高行遲用小
輪之法算之如甲為地心乙丙丁戊為
[002-19b]
最高本輪甲乙半徑為五五○五○五
己庚辛壬為最高均輪乙己半徑為一
一七三一五均輪心循本輪周右旋自
乙而丙而丁而戊行最高平行度本天
心循均輪周右旋自己而庚而辛而壬
行日距月最高之倍度本天心在均輪
上半周順輪心行故最高行速距地心
逺故兩心差大本天心在均輪下半周
逆輪心行故最高行遲距地心近故兩
[002-19b]
心差小日在月天最高或在月天最卑
[002-20a]
本天心皆在己甲己六六七八二○為
最大兩心差日在月天兩中距本天心
皆在辛甲辛四三三一九○為最小兩
心差本天最高與甲乙合為一線無最
高均數如日距月最高四十五度則本
天心自己行九十度至庚本天最高必
對甲庚線之上用甲乙庚三角形求得
甲角一十二度一分四十八秒為最高
[002-20b]
均數是為最大之加差以加於最高平
行而得最高實行求得甲庚邉五六二
八六六為本天心距地數即本時之兩
心差也此乙角為直角可用勾股法亦/可用切線分外角法若乙角非
直角則用切/線分外角法如日距月最高一百三十
五度則本天心自己行二百七十度至
壬本天最高必對甲壬線之上用甲乙
壬三角形求得甲角為最高均數與乙
甲庚角等甲壬兩心差亦與甲庚等但
[002-20b]
甲角為最大之減差以減最高平行而
[002-21a]
得最高實行也既得最高實行與兩心
差則以最高實行與太陰平行相減得
平引而初均數可求矣
[002-22a]
求初均數
新法算書用本輪均輪推初均數日躔月離數雖不
同而其法則一也自刻白爾以平行為撱圓面積求
實行用意甚精而推算無術噶西尼等立借角求角
之法亦極補凑之妙矣然日天兩心差為本天半徑
千萬分之一十六萬餘所差之最大者不過百分秒
之六十六見日躔撱圓角度/與面積相求篇月天兩心差之最大者
為本天半徑千萬分之六十六萬餘若仍用日躔之
[002-22b]
法則其差之最大者即至四十秒雖於數不為踈而
於法則猶未宻故又立用兩三角形之法先以半徑
為一邊兩心差為一邊太陰平引與半周相減不及/半周
者與半周相減過/半周者減半周為所夾之角求得對兩心差之小
角與前所夾之角相加復為所夾之角仍用半徑與
兩心差為兩邊求得對半徑之大角為平圓引數次
以大半徑為一率小半徑為二率平圓引數之正切
線為三率求得四率查正切線得實引與平引相減
餘為初均數依日躔借積求積法細推之其差之最
[002-22b]
大者不過一十秒較借角求角之法為密云
[002-23a]
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為最大兩心差六
六七八二○丙丁戊己為
月本天乙丙為大半徑一
千萬與乙庚等乙丁為小
半徑九九七七六七五小/餘
九/○設太陰平引距最高後
九十度用日躔借角求角
[002-23b]
法依甲乙之分截乙丙線
於辛取丙辛壬角為九十
度自地心甲作甲壬線命
甲壬丙分撱圓面積為九
十度與乙丁丙面積等亦
與丙乙丁角度等用甲辛
壬三角形丙辛壬外角為
平引九十度甲辛為倍兩
心差一三三五六四○甲
[002-23b]
壬與辛壬共為二千萬求
[002-24a]
得壬角七度三十八分二
十八秒小餘/七○為初均數即
得壬甲丙角八十二度二
十一分三十一秒小餘/三○為
實引試依日躔借積求積
法細推之辛壬邊為九九
五五四○一小餘/六四甲壬邊
為一○○四四五九八小/餘
[002-24b]
三/六甲壬丙分撱圓面積為
七八三五四五六三一八
四七七三與最大兩心差
之撱圓九十度積七八三
六四四八三二一一一四
二相減餘九九二○○二
六三六九為甲壬癸積即
甲壬丙積小於九十度積
之較故知平引距最高九
[002-24b]
十度時太陰必在壬㸃之
[002-25a]
後如癸乃依最大兩心差
中率半徑九九八八八三
二截甲壬線於子截甲癸
線於丑成甲子丑分平圓
面與甲壬癸為同式形甲/壬
長於甲癸然為數/無多故為同式形以甲壬
自乗得一○○八九三九
五六二一三七一五為一
[002-25b]
率甲子中率自乗方九九
七七六七五九○四一一
七二為二率甲壬癸積較
為三率求得四率九八一
○一八二○七五為甲子
丑分平圓面積以最大兩
心差之一秒積二四一八
六五六八九除之得四十
秒小餘/五六為子甲丑角與壬
[002-25b]
甲丙角相加得八十二度
[002-26a]
二十二分一十一秒小餘/八六
為癸甲丙角即平引距最
高後九十度之實引與平
引九十度相減餘七度三
十七分四十八秒小餘/一四即
平引距最高後九十度時
之初均數前用日躔借角
求角法所得實引壬甲丙
[002-26b]
角比細推少四十秒蓋乙
丁丙為撱圓面四分之一
其積為九十度今命太隂
在壬以甲壬丙分撱圓積
為與乙丁丙積等其實甲
壬丙積比乙丁丙積多一
甲乙寅形少一寅壬丁形
而甲乙寅積僅與寅壬卯
積等以多補少尚少壬卯
[002-26b]
丁弧矢積故推得壬甲丙
[002-27a]
角比細推少四十秒也日/躔
從最卑起算則推得辰/甲戊角比細推為多又
查日天兩心差為一六九
○○○小矢為一四二六
所得實引比細推差百分
秒之六十六月天甲乙兩
心差為六六七八二○與
壬卯半弦等幾為日天之
[002-27b]
四倍卯丁小矢為二二二
七四乙丁内減去辛壬/餘即卯丁小矢也幾
為日天之一十六倍則壬
卯丁弧矢積幾為日天之
六十四倍四因一十六倍/得六十四倍
故實引比細推差四十秒
亦幾為日躔實引所差之
六十四倍也
今用兩三角形法先設丙
[002-27b]
乙庚角為平引九十度用
[002-28a]
甲乙庚三角形甲乙庚角
為九十度乙庚為半徑一
千萬甲乙為最大兩心差
六六七八二○求得甲庚
乙角三度四十九分一十
四秒小餘/三五又與甲庚平行
作乙己線自甲至己作甲
己線成甲乙己三角形己
[002-28b]
乙庚角與甲庚乙角等以
己乙庚角與甲乙庚角九
十度相加得九十三度四
十九分一十四秒小餘/三五為
甲乙己角求得乙甲己角
八十二度二十三分二秒
小餘/四一為平圓引數次以乙
庚大半徑一千萬為一率
乙丁小半徑九九七七六
[002-28b]
七六為二率乙甲己角之
[002-29a]
正切線為三率求得四率
為乙甲午角之正切線檢
表得八十二度二十二分
一秒小餘/七九為實引與平引
九十度相減餘七度三十
七分五十八秒小餘/二一即最
大兩心差平引九十度之
初均數也此法推得實引
[002-29b]
比前細推所得之數仍少
一十秒而較之日躔借角
求角之法則為己宻葢設
丙乙庚角為九十度則乙
庚丙分平圓積乙丁丙分
撱圓積皆為九十度今與
甲庚平行作乙己線甲己
丙面與乙庚丙面相等而
為平圓九十度積則甲午
[002-29b]
丙面亦必與乙丁丙面相
[002-30a]
等而為撱圓九十度積夫
甲己丙面内有乙己丙形
與甲乙己形乙庚丙面内
有乙己丙形與乙己庚形
甲乙己積與乙己庚積相
等則甲己丙積即與乙庚
丙積相等試自己至庚作
己庚直線則乙己庚與甲
[002-30b]
乙己為二平行線内同底
同高之兩三角形其積相
等乙己原與甲庚平行庚/未正弦與甲申垂線等
以乙己底與庚未高相乗/折半得乙己庚三角積以
乙己底與甲申高相乗折/半得甲乙己三角積庚未
旣與甲申等故兩/三角積必等也是甲乙
己形比乙己庚形尚少庚
酉巳弧矢積而甲己丙分
平圓面比乙庚丙平圓九
[002-30b]
十度積甲午丙分撱圓面
[002-31a]
比乙丁丙撱圓九十度積
亦少庚酉已弧矢積故求
得實引比細推少一十秒
即庚酉巳弧矢積之度然
為數無多非若差壬卯丁
弧矢積者比故其法較日
躔為己宻也又以日躔之
法明之日躔設太陰在壬
[002-31b]
其甲壬丙分撱圓面積比
乙丁丙撱圓九十度積少
壬卯丁弧矢積故實引壬
甲丙角少四十秒今平引
用乙角甲乙與乙辛等而
乙庚長於辛壬則與甲庚
平行之乙己線必在壬㸃
下減巳甲午撱圓差角太
陰午㸃亦必仍在壬㸃下
[002-31b]
是甲午丙積比甲壬丙積
[002-32a]
即多甲午壬積足與所少
壬卯丁弧矢積相補故求
得實引午甲丙角即比壬
甲丙角大一午甲壬角以
數計之已午畧與卯丁等
甲戌畧與甲辛等則甲已
午三角積為壬卯丁勾股
積之二倍而甲午壬積約
[002-32b]
為甲己午積之一半故甲
午壬積與壬卯丁勾股積
等比壬卯丁弧矢積僅少
壬亥丁一小弧矢積故實
引止少一十秒且此之平
引為九十度乃差之最大
者九十度前後愈近最高
最卑其差愈少故推太陰
初均用此法也
[002-32b]
依前法設平引九十度甲
[002-33a]
乙為最小兩心差四三三
一九○求得乙甲午角八
十五度二分二十九秒為
實引與平引九十度相減
餘四度五十七分三十一
秒為最小兩心差平引九
十度之初均數又設甲乙
為中數兩心差五五○五
[002-33b]
○五求得乙甲午角八十
三度四十二分一十秒為
實引與平引九十度相減
餘六度一十七分五十秒
為中數兩心差平引九十
度之初均數如設平引九
十度日距月最高四十五
度兩心差為五六二八六
六求初均數則以最大兩
[002-33b]
心差與中數兩心差相減
[002-34a]
餘一一七三一五為一率
最大兩心差之初均數與
中數兩心差之初均數相
減餘一度二十分八秒化
作四千八百零八秒為二
率今有之兩心差與中數
兩心差相減餘一二三六
一為三率求得四率五百
[002-34b]
零七秒収作八分二十七
秒與中數兩心差之初均
數相加得六度二十六分
一十七秒為平引九十度
兩心差五六二八六六之
初均數盖均數因兩心差
為大小故初均大小之差
即用兩心差之較為比例
若以甲乙兩心差五六二
[002-34b]
八六六用兩三角形法算
[002-35a]
之則得乙甲午角八十三
度三十三分四十三秒為
實引與平引九十度相減
餘六度二十六分一十七
秒為初均數與用兩心差
之較為比例所得數同故
初均表止列大中小三限
為省算也餘倣此
[002-36a]
求一平均
新法算書推歩朔望惟用初均數若月在本天最高
或在本天最卑則平行與實行合為一線並無初均
數矣刻白爾以来奈端等屢加測騐謂月在最高最
卑雖無初均數而日在最卑後則太陰平行常遲最
高平行正交平行常速日在最高後太陰平行常速
最高平行正交平行常遲因定日在中距太陰平行
差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六
[002-36b]
秒正交平行差九分三十秒其間逐度之差皆以太
陽中距之均數與太陽逐度之均數為比例名曰一
平均蓋太陽平行自子正隨天左旋復至子正是為
一日月距日一日順行一十二度餘最高一日順行
六分餘正交一日退行三分餘皆隨太陽平行為行
度故為平行而太陰二均生於月距日之倍度最高
均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交
之倍度皆以太陽實行立算太陽實行有盈縮則諸
行亦隨之有進退此因太陽右旋之盈縮而差者也
[002-36b]
又太陽右旋加多一度則左旋之時刻差早一度諸
[002-37a]
行亦隨之而差早一度之行太陽右旋減少一度則
左旋之時刻差遲一度諸行亦隨之而差遲一度之
行此因太陽隨天左旋之遲早而差者也由是二者
故有一平均之法然太陰一平均則惟因左旋時差
之故最高平均與正交平均則兼左旋右旋兩差之
故焉以太陰一平均言之太陰二均生於月距日之
倍度而月距日之度乃置太陰實行減太陽實行而
得之太陽右旋之度差而多則月距日之度反差而
[002-37b]
少太陽右旋之度差而少則月距日之度反差而多
是月距日之行不隨太陽右旋之盈縮為進退也惟
是太陽左旋時刻差一度倍月距日已差二度太陰
又隨之差二度則平行即差四度時差行差早者應
減差遲者應加然差早一度者太陽未至子正一度
應加一度時差行差遲一度者太陽已過子正一度
應減一度時差行是差三倍時差行也故以一小時
六十分為一率一小時月距日平行一千八百二十
八秒六二為二率太陽中距均數一度五十六分一
[002-37b]
十三秒變時每度變為四分十五分變/為一分十五秒變為一秒得七分四十
[002-38a]
五秒為三率求得四率二百三十六秒二○用三因
之得七百零八秒六○収為一十一分四十九秒為
太陰一平均太陽均數加者為減減者為加是為太
陽實行至子正時之太陰平行度也以最高平均與
正交平均言之最高均生於日距月最高之倍度正
交均生於日距正交之倍度而日距月最高與日距
正交之度乃置太陽實行減月最高與正交而得之
太陽右旋之度加而多則相距之度亦多太陽右旋
[002-38b]
之度減而少則相距之度亦少是最高與正交之行
固隨太陽右旋之盈縮為進退也又太陽左旋之時
刻差一度日距月最高與日距正交之倍度巳差二
度最高與正交又隨之差二度則最高與正交即差
四度時差行差早者應加差遲者應減且最高均與
正交均皆隨太陽行相距之倍度太陽實行差一度
則最高與正交亦隨之差一度之行太陽又加倍差
一度則最高與正交又隨之差半度之行是右旋左
旋之差皆為一倍有半而未至子正應加巳過子正
[002-38b]
應減之時差行又其在外者也故以一日太陽平行
[002-39a]
三千五百四十八秒三三為一率一日最高平行四
百零一秒○七為二率太陽中距均數一度五十六
分一十三秒為三率求得四率七百八十八秒一六
加四倍時差最高行八秒用一五因之再加最高時
差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九
分五十六秒為最高一平均又以一日太陽平行為
一率一日正交平行一百九十秒六三為二率太陽
中距均數為三率求得四率三百七十四秒六二加
[002-39b]
四倍時差正交行四秒用一五因之再加正交時差
行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒
為正交一平均最高順行故加減與太陽均數同正
交退行故加減與太陽均數相反是為太陽實行至
子正時之最高平行與正交平行也最高一平均與
舊表合太陰一平均正交一平均皆少一秒今仍用
舊數既得太陽中距之平均而逐度之平均皆由太
陽均數立算故以太陽中距均數與中距平均之比
即同於太陽逐度均數與逐度平均之比也測法附
[002-39b]
後
[002-40a]
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設月天最高當日天最高丙太陽
在中距丁太陰在最卑戊上弦測得太
陰實行比平行多一十四分一十五秒
太陰在最高丙下弦測得太陰實行比
平行多九分二十五秒又設太陽在中
距己太陰在最高丙上弦測得太陰實
[002-40b]
行比平行少九分二十五秒太陰在最
卑戊下弦測得太陰實行比平行少一
十四分一十五秒兩測太陽在丁實行
皆比平行為多太陽在己實行皆比平
行為少是知太陽在最高後則加在最
卑後則減為一平均之故矣而上弦則
多數大少數小下弦則多數小少數大
是必另有一均因月距日九十度而加
二百七十度而減者於是以大小兩數
[002-40b]
相減折半得二分二十五秒别為三均
[002-41a]
以減大數加小數得一十一分五十秒
為太陽中距一平均最高後為加最卑
後為減也
又設太陽在丁月天最高在丁距日天
最高後九十度太隂在丁合朔測得太
隂實行比平行多一十四分一十五秒
月天最高在己距日天最高後二百七
十度太隂在己望測得太隂實行比平
[002-41b]
行多九分二十五秒又設太陽在己月
天最高在己距日天最高後二百七十
度太隂在己合朔測得太陰實行比平
行少一十四分一十五秒月天最高在
丁距日天最高後九十度太陰在丁望
測得太隂實行比平行少九分二十五
秒兩測太陽在丁實行皆比平行為多
太陽在己實行皆比平行為少是知太
陽在最高後則加在最卑後則減為一
[002-41b]
平均之故矣然月天最高在丁距日天
[002-42a]
最高後九十度則多數大少數小月天
最高在己距日天最高後二百七十度
則多數小少數大是必另有一均因月
天最高距日天最高九十度而加二百
七十度而減者於是以大小兩數相減
折半得二分二十五秒别為三均以減
大數加小數得一十一分五十秒為太
陽中距一平均最高後為加最卑後為
[002-42b]
減也
又設太陽在庚距最高後四十五度月
天最高在庚太隂在庚合朔測得太隂
實行比平行多九分五十八秒月天最
高在辛太隂在辛望測得太隂實行比
平行多六分三十二秒又設太陽在壬
距最高前四十五度月天最高在壬太
隂在壬合朔測得太隂實行比平行少
九分五十八秒月天最高在癸太隂在
[002-42b]
癸望測得太隂實行比平行少六分三
[002-43a]
十二秒兩測太陽距最高前後皆四十
五度而在最高後庚太隂實行皆比平
行為多在最高前壬太隂實行皆比平
行為少是知太陽在最高後則加在最
高前則減為一平均之故矣然月天最
高在庚距日天最高後四十五度則多
數大月天最高在辛距日天最高後二
百二十五度則多數小月天最高在壬
[002-43b]
距日天最高後三百一十五度則少數
大月天最高在癸距日天最高後一百
三十五度則少數小是必另有一均因
月天最高距日天最高半周内而加半
周外而減者於是以大小兩數相減折
半得一分四十三秒别為三均以減大
數加小數得八分一十五秒為太陽距
最高前後四十五度之一平均最高後
為加最高前為減也查太陽最高前後
[002-43b]
四十五度之均數為一度二十分五十
[002-44a]
七秒以太陽中距之均數一度五十六
分一十三秒與中距一平均一十一分
五十秒之比同於最高前後四十五度
之均數一度二十分五十七秒與四十
五度之一平均八分一十五秒之比是
知逐度太隂一平均當以逐度太陽均
數為比例也
又設太陽在最高後中距丁月天最高
[002-44b]
在丁太隂在最卑巳望正當交㸃此時
應無初均惟一平均應加一十一分五
十秒月天最高距日天最高九十度三
均應加二分二十五秒然測太隂實行
比平行多一十九分一十四秒較之一
平均與三均應加之數仍多四分五十
九秒為最卑後三十四分一十一秒所
應加之初均數夫太隂本在最卑以一
平均與三均應加之數計之應在最卑
[002-44b]
後一十四分一十五秒是必最高又有
[002-45a]
減差太隂始得在最卑後三十四分一
十一秒乃於三十四分一十一秒内減
一平均與三均應加之一十四分一十
五秒餘一十九分五十六秒為太陽在
最高後中距應減之最高平均也又此
時太隂正當交㸃應無距緯然測太陰
緯度在黄道北二十六秒為太隂距正
交後四分四十五秒之緯度夫太隂本
[002-45b]
在交㸃以一平均與三均應加之數計
之則應距正交後一十四分一十五秒
是必正交又有加差太隂始得在交後
四分四十五秒乃於一平均與三均應
加之一十四分一十五秒内減四分四
十五秒餘九分三十秒為太陽在最高
後中距應加之正交平均也太陽在最
高前倣此
[002-46a]
求二平均
前篇言太陰在本天高卑雖無初均數而太陽在本
天高卑前後猶有一平均若太陽亦在本天高卑則
並無一平均矣奈端以来又屢加精測謂日天最高
與月天最高同度或相距一百八十度日月又同在
最高卑則實行與平行合為一線無諸均數太陽雖
在最高卑而在月天高卑前後則平行常遲至高卑
後四十五度而止在月天中距前後則平行常速至
[002-46b]
中距後四十五度而止然積遲積速之多正在四十
五度而太陽在最高與在最卑其差又有不同因定
太陽在最高距月天高卑中距後四十五度之最大
差為三分三十四秒太陽在最卑距月天高卑中距
後四十五度之最大差為三分五十六秒高卑後為
減中距後為加其間日距月最高逐度之差皆以半
徑與日距月最高倍度之正弦為比例其太陽距地
逐度之差又以太陽高卑距地之立方較與本日太
陽距地之立方較為比例名曰二平均蓋太陰本天
[002-46b]
心循最高均輪周行日距月最高之倍度日在月天
[002-47a]
高卑則兩心差大而撱圓之面積小故平行遲也日
在月天中距則兩心差小而撱圓之面積大故平行
速也日距月天高卑中距四十五度則兩心差與撱
圓之面積皆為適中太隂平行原以適中之數立算
故其平行無遲速也然推盈縮遲疾之法皆以小輪
上下二㸃為起算之端而以九十度處為差數之極
今太隂本天心既循均輪周行日距月最高之倍度
則是日在月天高卑時本天心皆在均輪上㸃也日
[002-47b]
在月天中距時本天心皆在均輪下㸃也日距月天
高卑中距四十五度時本天心皆在均輪九十度處
也故二平均以高卑中距分加減之限而以四十五
度為最大差至其大差之數與比例之法固由測量
而得亦可推算而知測算之法並設於左
如甲為地心乙為月本天心丙丁戊己
為月本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設日天最高在庚月天最高相距
三百一十五度日在最高庚距月天最
[002-47b]
高四十五度月在辛望距本天最高二
[002-48a]
百二十五度此時太隂初均應加四度
四十七分四十二秒然測太隂實行僅
比平行多四度四十二分二十五秒比
所推實行少五分一十七秒若日天最
高在辛月天最高相距一百三十五度
日在最高辛距月天最卑四十五度月
在庚望距本天最高四十五度此時太
隂初均應減四度二十分二十四秒然
[002-48b]
測太隂實行却比平行少四度二十二
分一十五秒比所推實行少一分五十
一秒又設日天最高在壬月天最高相
距二百二十五度日在最高壬距月天
最高一百三十五度而在中距後四十
五度月在癸望距本天最高三百一十
五度此時太隂初均應加四度二十分
二十四秒然測太隂實行却比平行多
四度二十二分一十五秒比所推實行
[002-48b]
多一分五十一秒若日天最高在癸月
[002-49a]
天最高相距四十五度日在最高癸距
月天最高三百一十五度而在中距後
四十五度月在壬望距本天最高一百
三十五度此時太隂初均應減四度四
十七分四十二秒然測太隂實行僅比
平行少四度四十二分二十五秒比所
推實行多五分一十七秒兩測太陽同
在最高前測太陽一在月天最高後四
[002-49b]
十五度一在月天最卑後四十五度實
行皆比所推為少後測太陽在月天中
距後四十五度實行皆比所推為多是
知日在月天高卑後則減中距後則加
為二平均之故矣然前測日天最高在
庚月天最高相距三百一十五度則少
數大日天最高在辛月天最高相距一
百三十五度則少數小後測日天最高
在壬月天最高相距二百二十五度則
[002-49b]
多數小日天最高在癸月天最高相距
[002-50a]
四十五度則多數大是必另有一均因
月天最高距日天最高半周内而加半
周外而減者於是以大小兩數相減折
半得一分四十三秒别為三均以減大
數加小數得三分三十四秒為太陽在
最高時距月天高卑中距後四十五度
之最大二平均高卑後為減中距後為
加也
[002-50b]
設日天最高在庚月天最高相距三百
一十五度日在最卑辛距月天最卑四
十五度月在庚望距本天最高四十五
度此時太陰初均應減四度二十分二
十四秒然測太陰實行却比平行少四
度二十六分三秒比所推實行少五分
三十九秒若日天最高在辛月天最高
相距一百三十五度日在最卑庚距月
天最高四十五度月在辛望距本天最
[002-50b]
高二百二十五度此時太陰初均應加
[002-51a]
四度四十七分四十二秒然測太隂實
行僅比平行多四度四十五分二十九
秒比所推實行少二分一十三秒又設
日天最高在壬月天最高相距二百二
十五度日在最卑癸距月天最高三百
一十五度而在中距後四十五度月在
壬望距本天最高一百三十五度此時
太陰初均應減四度四十七分四十二
[002-51b]
秒然測太陰實行僅比平行少四度四
十五分二十九秒比所推實行多二分
一十三秒若日天最高在癸月天最高
相距四十五度日在最卑壬距月天最
高一百三十五度而在中距後四十五
度月在癸望距本天最高三百一十五
度此時太陰初均應加四度二十分二
十四秒然測太隂實行却比平行多四
度二十六分三秒比所推實行多五分
[002-51b]
三十九秒兩測太陽同在最卑前測太
[002-52a]
陽一在月天最卑後四十五度一在月
天最高後四十五度實行皆比平行為
少後測太陽在月天中距後四十五度
實行皆比平行為多是知日在月天高
卑後則減中距後則加為二平均之故
矣然前測日天最高在庚月天最高相
距三百一十五度則少數大日天最高
在辛月天最高相距一百三十五度則
[002-52b]
少數小後測日天最高在壬月天最高
相距二百二十五度則多數小日天最
高在癸月天最高相距四十五度則多
數大是必另有一均因月天最高距日
天最高半周内而加半周外而減者於
是以大小兩數相減折半得一分四十
三秒别為三均以減大數加小數得三
分五十六秒為太陽在最卑時距月天
高卑中距後四十五度之最大二平均
[002-52b]
高卑後為減中距後為加也
[002-53a]
設日天最高在丙與月天最高同度日
在庚距月天最高四十五度距日天最
高亦四十五度此時一平均應加八分
一十五秒月在辛望距本天最高二百
二十五度初均應加四度四十七分四
十二秒實行應比平行多四度五十五
分五十七秒然測太陰實行僅比平行
多四度五十二分二十秒比所推實行
[002-53b]
少三分三十七秒是為日在最高後四
十五度時距月天最高後四十五度應
減之二平均也又設日在壬距月天最
高一百三十五度而在中距後四十五
度距日天最高亦一百三十五度此時
一平均應加八分三十秒月在癸望距
本天最高三百一十五度初均應加四
度二十分二十四秒實行應比平行多
四度二十八分五十四秒然測太陰實
[002-53b]
行却比平行多四度三十二分四十七
[002-54a]
秒比所推實行多三分五十三秒是為
日在最高後一百三十五度時距月天
中距後四十五度應加之二平均也又
設日在子距月天最高二十度距日天
最高亦二十度此時一平均應加三分
五十八秒月在丑望距本天最高二百
度初均應加二度四十四分二秒實行
比平行應多二度四十八分然測太隂
[002-54b]
實行僅比平行多二度四十五分四十
二秒比所推實行少二分一十八秒是
為日在最高後二十度時距月天最高
二十度應減之二平均也又設日在寅
距月天最高一百一十度而在中距後
二十度距日天最高亦一百一十度此
時一平均應加一十一分一十二秒月
在卯望距本天最高後二百九十度初
均應加四度五十五分一十六秒實行
[002-54b]
比平行應多五度六分二十八秒然測
[002-55a]
太陰實行却比平行多五度八分五十
六秒比所推實行多二分二十八秒是
為日在最高後一百一十度時距月天
最高一百一十度應加之二平均也
以上測得諸數與本天面積比例相似
如甲乙丙丁為最大兩心差之撱圓其
面積小甲戊丙己為最小兩心差之撱
圓其面積大甲庚丙辛為相加折半之
[002-55b]
撱圓其面積適中今以適中之面積均
分之為平行在小面積必比中積為少
故平行遲在大面積必比中積為多故
平行速然其遲速之限止在日距月最
高倍度九十度之間故其遲速之差亦
至九十度而止試以最大兩心差之甲
乙壬撱圓九十度積七八三六四四八
三二一一一四二與最小兩心差之甲
戊壬撱圓九十度積七八四六六○九
[002-55b]
○二五九四六七相減餘一○一六○
[002-56a]
七○四八三二五為甲乙戊積折半得
五○八○三五二四一六二為甲乙庚
積與甲庚戊積等以適中一秒積二四
二○二二四九○除之得二百一十秒
収為三分三十秒比日在最高之最大
二平均僅少四秒今仍用舊數
又日在最高距地逺而差數小日在最
卑距地近而差數大與轉比例相似試
[002-56b]
以日在最卑距地九八三一之平方九
六六四為一率日在最高距地一○一
六九之平方一○三四○為二率面積/從末
截去十位/以便入算日在最高距地數乗最高二
平均三分三十四秒之長方為三率求
得四率為日在最卑距地數乗最卑二
平均之長方以最卑距地數除之得三
分五十六秒强為日在最卑之二平均
又法先以四率最卑距地數與一率最
[002-56b]
卑平方相乗得最卑距地之立方九五
[002-57a]
○一五二為一率以三率最高距地數
與二率最高平方相乗得最高距地之
立方一○五一五六二為二率立方積/從末截
去十五位/以便入算即以日在最高二平均三分
三十四秒為三率則得四率即為日在
最卑二平均三分五十六秒與表合
日距月最高逐度之二平均以半徑與
日距月最高倍度之正弦為比例如甲
[002-57b]
為地心甲乙為中數兩心差甲丙為最
大兩心差甲丁為最小兩心差日在月
天最高月本天心在丙面積最小平行
最遲自丙向戊所遲漸少迨日距月天
最高四十五度則月本天心自丙行九
十度至戊面積適中即無所遲而復於
平行然積遲之多正在戊故為最大之
減差由戊向丁面積漸大平行漸速然
因有積遲之度方以次相補迨日距月
[002-57b]
天最高九十度則月本天心自丙行一
[002-58a]
百八十度至丁平行最速而積遲之度
方補足無缺故自丙至丁半周皆為減
差也日在月天中距月本天心在丁面
積最大平行最速自丁向己所速漸少
迨日距月天最高一百三十五度則月
本天心自丙行二百七十度至己面積
適中即無所速而復於平行然積速之
多正在己故為最大之加差由己向丙
[002-58b]
面積漸小平行漸遲然因有積速之度
方以次相消迨日距月天最高後半周
與月天最卑同度則月本天心自丙行
一周復至丙平行最遲而積速之度始
消盡無餘故自丁至丙半周皆為加差
也日距月天最卑後皆倣此今以日距
月最高倍度之正弦為比例自丙向戊
自丁向己正弦漸大而其較漸小自戊
向丁自己向丙正弦漸小而其較漸大
[002-58b]
故自戊㸃而後所減漸少而所少之較
[002-59a]
又漸大實即加也加至丁㸃而極自丁
㸃而後為加雖所加漸多而所加之較
實漸小至己則逐日所加相等是即無
所加矣自己㸃而後所加漸少而所少
之較又漸大實即減也減至丙㸃而極
自丙㸃而後為減雖所減漸多而所減
之較實漸小至戊則逐日所減相等是
即無所減矣故太陰平行以丙㸃前後
[002-59b]
為遲丁㸃前後為速而遲速之差至戊
己二㸃而止其間逐度之二平均皆以
日距月最高倍度之正弦為比例也
太陽距地逐度二平均較以太陽高卑
距地之立方較與本日太陽距地之立
方較為比例蓋以本日太陽距地之立
方與最高距地之立方為比同於最高
之二平均與本日太陽距地之二平均
為比此正理也法見/前然以此立表則不
[002-59b]
勝其繁而逐度太陽距地之立方推算
[002-60a]
亦不易且其至大之差不過二十二秒
用立方較為比例其數巳自相合故先
以日在最高之最大二平均三分三十
四秒比例得日在最高時本日之二平
均又以日在最卑之最大二平均三分
五十六秒比例得日在最卑時本日之
二平均兩二平均相減為高卑二平均
之較乃以日在最高距地一○一六九
[002-60b]
之立方一○五一五六二與日在最卑
距地九八三一之立方九五○一五二
相減餘一○一四一○為高卑立方大
較為一率高卑二平均之較為二率本
日太陽距地之立方與最高距地之立
方相減為本日之立方較為三率求得
四率為本日二平均較與日在最高之
二平均相加即得本日之二平均也
[002-61a]
求三平均
前篇言日天最高與月天最高同度或相距一百八
十度日月又同在最高卑則實行與平行合為一線
無諸均數然惟太陽在兩交與大距為然若太陽在
兩交後則平行又稍遲在大距後則平行又稍速其
最大差為四十七秒名曰三平均蓋白極在正交均
輪周新法算書謂行月距日之倍度奈端以来謂行
日距正交之倍度詳見後/交均篇故惟太陽在兩交與大距
[002-61b]
則白極與均輪心參直其平行無加減太陽在兩交
後則白極在均輪心之東而白道經圏之過黄道者
亦差而東其黄道舊㸃所當白道度即差而西故平
行應減而遲也太陽在大距後則白極在均輪心之
西而白道經圏之過黄道者亦差而西其黄道舊㸃
所當白道度即差而東故平行應加而速也此其所
差止在數十秒之間雖不易得之仰觀而實可稽諸
儀象其法以半徑一千萬與均輪半徑切線為比同
於本輪半徑與最大三平均切線為比而逐度之三
[002-61b]
平均皆以半徑與日距正交倍度之正即為比例焉
[002-62a]
如圖甲為黄極乙丙丁戊
為黄道以最大黄白大距
五度一十七分二十秒與
最小黄白大距四度五十
九分三十五秒相加折半
得五度八分二十七秒半
為黄白大距之中數以中
數為半徑作己庚辛壬圏
[002-62b]
為白極繞黄極本輪又以
兩大距相減折半得八分
五十二秒半為半徑作癸
子丑寅圏為負白極均輪
均輪心循本輪周左旋自
己向庚每日三分有餘為
正交行度白極循均輪周
右旋自癸向子每日二度
四分有餘為日距正交之
[002-62b]
倍度日在兩交白極在癸
[002-63a]
日在大距白極在丑與均
輪心參直成一直線故無
三平均如日距兩交後四
十五度則白道之北極自
癸行九十度至子在均輪
心之東而白道之南極即
轉在均輪心之西白道經
圏交白道於卯當黄道之
[002-63b]
辰在乙㸃黄道度之東而
白道經圏之過乙㸃者即
當白道之己是白道度退
矣白道度退則太隂亦隨
之而退故白極在癸子丑
半周三平均皆為減差也
如日在大距後四十五度
則白道之北極自丑行九
十度至寅在均輪心之西
[002-63b]
而白道之南極即轉在均
[002-64a]
輪心之東白道經圏交白
道於卯當黄道之午在乙
㸃黄道度之西而白道經
圏之過乙㸃者即當白道
之未是白道度進矣白道
度進則太陰亦隨之而進
故白極在丑寅癸半周三
平均皆為加差也巳卯子
[002-64b]
卯寅卯皆九十度巳角子
角寅角皆直角巳子巳寅
皆均輪半徑八分五十二
秒半即卯角度乙卯五度
八分二十七秒半與甲己
本輪半徑等故以半徑一
千萬與卯角正切線二五
八一六為比同於乙卯弧
之正弦八九六○六六與
[002-64b]
乙午或乙辰之正切線二
[002-65a]
三一三為比而得乙午乙
辰弧各四十七秒為最大
三平均若日距正交之倍
度不及九十度或過九十
度則巳角或鋭或鈍不得
成直角而卯角與乙辰乙
午三平均皆以漸而小當
用弧線三角形法推算然
[002-65b]
均輪半徑不過八分餘其
逐度之正弦即與卯角等
故逐度之三平均即以半
徑與日距正交倍度之正
弦為比例也今按三平均
係白道度當用卯巳與卯
未弧又按推交均法将均
輪半徑減五十秒餘巳申
八分二秒半為小輪半徑
[002-65b]
則三平均又當用卯酉弧
[002-66a]
然以數推之卯巳弧為四
十八秒卯酉弧為四十三
秒其差不逺故即以均輪
半徑比例為省算云
[002-67a]
求二均數
新法算書惟太陰兩弦行度止有初均二均兩弦前
後始有三均初均之最大者四度五十八分餘二均
之最大者二度二十七分餘三均之最大者四十二
分餘計兩弦前後最大差共八度弱噶西尼以来屢
加測驗謂兩弦太陰行度止有初均三均而三均又
不盡關乎兩弦之故二均之最大者不在兩弦而在
朔弦弦望之間其初均之最大者七度三十九分三
[002-67b]
十四秒二均之最大者三十七分一十一秒計兩弦
前後最大差共八度强則是今之二均固兼新法算
書二均三均之義而其數則又不同蓋太陰去地甚
近其行最著又二十七日有竒而一周天一月之中
備日行四時之軌至為參錯不齊古人惟重交食故
朔望而外置之弗論西人第谷始創二三均之法其
門人精測不已又數十年然後改定則其數必實有
所據而非為臆説也其法定日在最高朔望前後四
十五度最大差為三十三分一十四秒日在最卑朔
[002-67b]
望前後四十五度最大差為三十七分一十一秒朔
[002-68a]
望後為加兩弦後為減其間月距日逐度之二均則
以半徑與月距日倍度之正弦為比例其太陽距最
高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方較與
本日太陽距地之立方較為比例與二平均同測算
之法並設於後
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設月天最高在日天最高丙太陽
[002-68b]
在最高丙太陰在庚距最高四十五度
距日亦四十五度為朔與上弦之間此
時太陰初均應減五度六分一十一秒
然測太陰實行則僅比平行少四度三
十一分一十四秒比所推實行多三十
四分五十七秒若太隂在辛距最高二
百二十五度距日亦二百二十五度而
在望後四十五度為望與下弦之間此
時太隂初均應加五度四十四分二十
[002-68b]
九秒然測太隂實行却比平行多六度
[002-69a]
一十六分比所推實行多三十一分三
十一秒又設太隂在壬距最高三百一
十五度距日亦三百一十五度而在朔
前四十五度為下弦與朔之間此時太
隂初均應加五度六分一十一秒然測
太陰實行則僅比平行多四度三十一
分一十四秒比所推實行少三十四分
五十七秒若太陰在癸距最高一百三
[002-69b]
十五度距日亦一百三十五度而在望
前四十五度為上弦與望之間此時太
隂初均應減五度四十四分二十九秒
然測太隂實行却比平行少六度一十
六分比所推實行少三十一分三十一
秒兩測太陽同在最高前測太隂在朔
望後四十五度實行皆比所推為多後
測太陰在朔望前四十五度實行皆比
所推為少是知太陰在朔望後則加在
[002-69b]
朔望前則減為二均之故矣然朔後則
[002-70a]
多數大望後則多數小朔前則少數大
望前則少數小是必另有一均因朔後
而加望後而減者於是以大小兩數相
減折半得一分四十三秒别為三均以
減大數加小數得三十三分一十四秒
為太陽在最高時月在朔望前後四十
五度之最大二均數朔望後為加兩弦
後為減也
[002-70b]
設月天最高在日天最卑戊太陽在最
卑戊太陰在辛距最高四十五度距日
亦四十五度為朔與上弦之間此時太
隂初均應減五度六分一十一秒然測
太隂實行則僅比平行少四度二十七
分一十七秒比所推實行多三十八分
五十四秒若太隂在庚距最高二百二
十五度距日亦二百二十五度而在望
後四十五度為望與下弦之間此時太
[002-70b]
隂初均應加五度四十四分二十九秒
[002-71a]
然測太陰實行却比平行多六度一十
九分五十七秒比所推實行多三十五
分二十八秒又設太陰在癸距最高三
百一十五度距日亦三百一十五度而
在朔前四十五度為下弦與朔之間此
時太陰初均應加五度六分一十一秒
然測太陰實行則僅比平行多四度二
十七分一十七秒比所推實行少三十
[002-71b]
八分五十四秒若太陽在壬距最高一
百三十五度距日亦一百三十五度而
在望前四十五度為上弦與望之間此
時太陰初均應減五度四十四分二十
九秒然測太陰實行却比平行少六度
一十九分五十七秒比所推實行少三
十五分二十八秒兩測太陽同在最卑
前測太陰在朔望後四十五度實行皆
比所推為多後測太陰在朔望前四十
[002-71b]
五度實行皆比所推為少是知太陰在
[002-72a]
朔望後則加在朔望前則減為二均之
故矣然朔後則多數大望後則多數小
朔前則少數大望前則少數小是必另
有一均因朔後而加望後而減者於是
以大小兩數相減折半得一分四十三
秒别為三均以減大數加小數得三十
七分一十一秒為太陽在最卑時月在
朔望前後四十五度之最大二均數朔
[002-72b]
望後為加兩弦後為減也
設月天最高當日天最高丙太陽在最
高丙太陰在子距最高三十度距日亦
三十度此時太陰初均應減三度三十
三分五十七秒然測太陰實行僅比平
行少三度三分五十七秒比所推實行
多三十分若太陰在丑距最高二百一
十度距日亦二百一十度而在望後三
十度此時太陰初均應加四度七分一
[002-72b]
十三秒然測太陰實行却比平行多四
[002-73a]
度三十四分四十七秒比所推實行多
二十七分三十四秒又設太隂在寅距
最高三百三十度距日亦三百三十度
而在朔前三十度此時太陰初均應加
三度三十三分五十七秒然測太隂實
行僅比平行多三度三分五十七秒比
所推實行少三十分若太陰在卯距最
高一百五十度距日亦一百五十度而
[002-73b]
在望前三十度此時太陰初均應減四
度七分一十三秒然測太隂實行却比
平行少四度三十四分四十七秒比所
推實行少二十七分三十四秒兩測太
陽同在最高前測太陰在朔望後三十
度實行皆比所推為多後測太陰在朔
望前三十度實行皆比所推為少是知
太陰在朔望後則加在朔望前則減為
二均之故矣然朔後則多數大望後則
[002-73b]
多數小朔前則少數大望前則少數小
[002-74a]
是必另有一均因朔後而加望後而減
者於是以大小兩數相減折半得一分
一十三秒别為三均以減大數加小數
得二十八分四十七秒為日在最高時
月距日三十度之二均數朔望後為加
兩弦後為減也乃以前第一測月距日
四十五度倍之得九十度其正弦即半
徑一千萬為一率前第一測月距日四
[002-74b]
十五度之二均三十三分一十四秒為
二率第三測月距日三十度倍之得六
十度其正弦八六六○二五四為三率
求得四率二十八分四十七秒與所測
合故知月距日逐度之差以半徑與月
距日倍度之正弦為比例也
又設月天最高在日天最高丙太陽在
辰距本天最高三十度距月天最高亦
三十度太陰在己距本天最高六十度
[002-74b]
距日三十度此時一平均應加五分四
[002-75a]
十九秒二平均應減三分六秒初均應
減五度五十三分二十二秒三均應加
一分一十三秒實行應比平行少五度
四十九分二十六秒然測太陰實行則
僅比平行少五度二十分二十六秒比
所推實行多二十九分是為日在日天
最高後三十度時月距日三十度應加
之二均數與本天高卑比例相合蓋以
[002-75b]
日在最卑距地之立方九五○一五二
為一率日在最高距地之立方一○五
一五六二為二率以日在最高之最大
二均數三十三分一十四秒加高卑二
平均較二十二秒得三十三分三十六
秒為三率則得四率三十七分一十一
秒為日在最卑之最大二均數以今設
日距最高三十度距地一○一四五六
之立方一○四四三一九為一率日在
[002-75b]
最高距地之立方一○五一五六二為
[002-76a]
二率以日在最高月距日三十度之二
均數二十八分四十七秒加本日二平
均較一秒法見前求/二平均篇得二十八分四十
八秒為三率則得四率二十九分為本
日之二均數此正理也然列表則甚繁
而入算亦不易故先以半徑為一率日
在最高最大二均數三十三分一十四
秒為二率月距日三十度倍之得六十
[002-76b]
度其正弦八六六○二五四為三率得
四率二十八分四十七秒為日在最高
月距日三十度之二均數又以半徑為
一率日在最卑最大二均數三十七分
一十一秒為二率月距日倍度之正弦
為三率得四率三十二分一十二秒為
日在最卑月距日三十度之二均數兩
二均之較為三分二十五秒乃以太陽
高卑立方大較一○一四一○為一率
[002-76b]
兩二均之較三分二十五秒為二率日
[002-77a]
距最高三十度距地之立方一○四四
三一九與最高距地之立方一○五一
五六二相減餘七二四三為本日立方
較為三率求得四率一十四秒與日在
最高之二均相加得二十九分一秒為
日距最高三十度時月距日三十度之
二均數比前法僅多一秒故太陽距最
高逐度二均之差以日天高卑距地之
[002-77b]
立方較與本日太陽距地之立方較為
比例也
[002-78a]
求三均末均
新法算書推歩朔望兩弦皆無三均數而三均之最
大者毎在朔弦弦望之間故知三均之差生於月距
日之倍度自噶西尼以来以朔弦弦望間之最大差
屬之二均而月距日九十度與月高距日高九十度
其差正等見求兩心差第二第三條/求一平均第一第二條月距日四十五
度與月高距日高四十五度其差又等見求一平均/第三條求二
平均第一條求/二均第一條則是三均之差不専係乎月距日之
[002-78b]
故也於是取月距日與月高距日高之共為九十度
時測之其差與月距日或月高距日高之獨為九十
度者等又取月距日與月高距日高之共為四十五
度時測之其差與月距日或月高距日高之獨為四
十五度者等乃知三均之差生於月距日與月高距
日高之總度半周内為加半周外為減其九十度與
二百七十度之最大差為二分二十五秒其間逐度
之差以半徑與總度之正弦為比例則三均之法定
矣然必日月最高同度或日月同度兩者止有一相
[002-78b]
距之差則止有三均若月天最高與日天最高有距
[002-79a]
度日月又有距度則三均之外朔後又差而遲望後
又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十
度時無三均而其差反最大故知三均之外又有末
均乃将月高距日高九十度分為九限各於月距日
九十度時測之兩高相距九十度其差三分漸近則
漸小其間月距日逐度末均之差皆以半徑與月距
日之正弦為比例朔後為減望後為加而後推太隂
經度之法纎悉具備今考其所測其數之小者只在
[002-79b]
秒微之間其時又數十年而不一遇然其用意細宻
學者茍通乎此何患推測之無術歟
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設日在最高丙月天最高在庚距
日天最高四十五度日距月天最高三
百一十五度月在最高庚距日四十五
度與月高距日高共為九十度此時二
平均應加三分三十四秒二均應加三
[002-79b]
十三分一十四秒實行應比平行多三
[002-80a]
十六分四十八秒然測太隂實行却比
平行多三十八分五秒半比所推實行
多一分一十七秒半若月天最高在辛
距日天最高二百二十五度日距月天
最高一百三十五度月在最高辛距日
二百二十五度與月高距日高共為四
百五十度減全周餘亦九十度此時二
平均亦應加三分三十四秒二均亦應
[002-80b]
加三十三分一十四秒實行應比平行
多三十六分四十八秒然測太陰實行
却比平行多四十分二十秒半比所推
實行多三分三十二秒半又設月天最
高在壬距日天最高三百一十五度日
距月天最高四十五度月在最高壬距
日三百一十五度與月高距日高共六
百三十度減全周餘二百七十度此時
二平均應減三分三十四秒二均應減
[002-80b]
三十三分一十四秒實行應比平行少
[002-81a]
三十六分四十八秒然測太陰實行却
比平行少三十八分五秒半比所推實
行少一分一十七秒半若月天最高在
癸距日天最高一百三十五度日距月
天最高二百二十五度月在最高癸距
日一百三十五度與月高距日高亦共
為二百七十度此時二平均亦應減三
分三十四秒二均亦應減三十三分一
[002-81b]
十四秒實行應比平行少三十六分四
十八秒然測太陰實行却比平行少四
十分二十秒半比所推實行少三分三
十二秒半前測兩距總數共九十度實
行皆比所推為多後測兩距總數共二
百七十度實行皆比所推為少是知兩
距之總度半周内為加半周外為減兩
三均之故矣然距日半周内則多數小
少數大距日半周外則多數大少數小
[002-81b]
是必另有一均因朔後而減望後而加
[002-82a]
者於是以大小兩數相減折半得一分
七秒半别為末均以加小數減大數得
二分二十五秒為兩距共九十度與二
百七十度之三均九十度為加二百七
十度為減也
設日在最高丙月天最高在子距日天
最高二十二度半日距月天最高三百
三十七度半月在最高子距日二十二
[002-82b]
度半與月高距日高共為四十五度此
時二平均應加二分三十一秒二均應
加二十三分三十秒實行應比平行多
二十六分一秒然測太陰實行却比平
行多二十七分一十八秒七微半比所
推實行多一分一十七秒七微半若月
天最高在丑距日天最高二百零二度
半日距月天最高一百五十七度半月
在最高丑距日二百零二度半與月高
[002-82b]
距日高共四百零五度減全周餘亦四
[002-83a]
十五度此時二平均亦應加二分三十
一秒二均亦應加二十三分三十秒實
行應比平行多二十六分一秒然測太
陰實行却比平行多二十八分九秒五
十二微半比所推實行多二分八秒五
十二微半又設月天最高在寅距日天
最高三百三十七度半日距月天最高
二十二度半月在最高寅距日三百三
[002-83b]
十七度半與月高距日高共六百七十
五度減全周餘三百一十五度此時二
平均應減二分三十一秒二均應減二
十三分三十秒實行應比平行少二十
六分一秒然測太陰實行却比平行少
二十七分一十八秒七微半比所推實
行少一分一十七秒七微半若月天最
高在卯距日天最高一百五十七度半
日距月天最高二百零二度半月在最
[002-83b]
高卯距日一百五十七度半與月高距
[002-84a]
日高亦共為三百一十五度此時二平
均亦應減二分三十一秒二均亦應減
二十三分三十秒實行應比平行少一
十六分一秒然測太陰實行却比平行
少二十八分九秒五十二微半比所推
實行少二分八秒五十二微半前測兩
距總數共四十五度實行皆比所推為
多後測兩距總數共三百一十五度實
[002-84b]
行皆比所推為少是知兩距總度半周
内為加半周外為減為三均之故矣然
距日半周内則多數小少數大距日半
周外則多數大少數小是必另有一均
因朔後而減望後而加者於是以大小
兩數相減折半得二十五秒五十二微
半别為末均以加小數減大數得一分
四十三秒為兩距共四十五度與三百
一十五度之三均四十五度為加三百
[002-84b]
一十五度為減也
[002-85a]
前測日月同度兩高相距九十度三均
差二分二十五秒見求兩心差第二/條一平均第二條兩
高同度日月相距九十度三均亦差二
分二十五秒見求兩心差第三/條一平均第一條日月同
度兩高相距四十五度三均差一分四
十三秒見求二平/均第二條兩高同度日月相距
四十五度三均亦差一分四十三秒見/求
二均第/一條今測兩距共九十度三均亦差
[002-85b]
二分二十五秒兩距共四十五度三均
亦差一分四十三秒故知三均生於兩
距之總度而九十度之正弦與二分二
十五秒之比同於四十五度之正弦與
一分四十三秒之比故知逐度之三均
以半徑與總度之正弦為比例也
前測月天最高在日天高卑前後四十
五度月在朔望前後四十五度末均皆
為一分七秒半月天最高在日天高卑
[002-85b]
前後二十二度半月在朔望前後二十
[002-86a]
二度半末均皆為二十五秒五十二微
半可見月天最高距日天高卑前後之
度等則其差亦等月距朔望前後之度
等則其差亦等而獨四十五度與二十
二度半一分七秒半與二十五秒五十
二微半無以為比例於是取月天最高
距日天高卑前後九十度時按月距日
逐度測之設日在最高丙正當交點月
[002-86b]
天最高在丁距日天最高後九十度月
在最高丁距朔後九十度此時無一二
三平均亦無初二三均然測太陰實行
比平行少三分若月天最高在己距日
天最高前九十度月在己距日二百七
十度而距朔前九十度以測太陰實行
則比平行多三分是知月天最高距日
天最高前後九十度而月距日朔望前
後九十度時末均為三分朔後為減望
[002-86b]
後為加又設日在最高丙月天最高在
[002-87a]
丁距日天最高後九十度月在庚距最
高前六十度而在朔後三十度此時太
陰初均應加四度一十分五十六秒二
均應加二十八分四十七秒三均應加
二分六秒實行應比平行多四度四十
一分四十九秒然測太陰實行僅比平
行多四度四十分一十九秒比所推實
行少一分三十秒若月天最高在己距
[002-87b]
日天最高後二百七十度而距日天最
高前九十度月在辛距最高前六十度
距日二百一十度而距望後三十度此
時太陰諸均俱與前同然以測太陰實
行則比平行多四度四十三分一十九
秒比所推實行多一分三十秒又設日
在最高丙月天最高在丁月在壬距最
高後六十度距日一百五十度而距望
前三十度此時初均應減四度一十分
[002-87b]
五十六秒二均應減二十八分四十七
[002-88a]
秒三均應減二分六秒實行應比平行
少四度四十一分四十九秒然測太陰
實行却比平行少四度四十三分一十
九秒比所推實行少一分三十秒若月
天最高在己月在癸距日三百三十度
而距朔前三十度此時太陰諸均俱與
前同然以測太陰實行僅比平行少四
度四十分一十九秒比所推實行多一
[002-88b]
分三十秒是知月天最高距日天最高
前後九十度而月距日朔望前後三十
度時末均為一分三十秒朔後為減望
後為加又九十度之正弦一千萬與三
分之比同於三十度之正弦五百萬與
一分三十秒之比故知月距日逐度之
末均以半徑與月距日之正弦為比例
也乃用此法各於月距日九十度時測
得月天最高距日天高卑前後九十度
[002-88b]
最大末均為三分八十度最大末均為
[002-89a]
二分三十九秒七十度最大末均為二
分一十九秒六十度最大末均為二分
五十度最大末均為一分四十三秒四
十度最大末均為一分二十八秒三十
度最大末均為一分一十六秒二十度
最大末均為一分七秒一十度最大末
均為一分一秒月天最高與日天高卑
同度無末均其間月高距日高逐度之
[002-89b]
差用中比例法求得月天最高距日天
高卑前後四十五度之最大末均為一
分三十五秒半以半徑與月距日四十
五度之正弦為比例得本時末均為一
分七秒半又求得月天最高距日天高
卑前後二十二度半之最大末均為一
分九秒一十五微以半徑與月距日二
十二度半之正弦為比例得本時末均
為二十六秒二十二微半與前測合
[002-90a]
求交均及黄白大距
正交之行有遲疾由於黄白大距有大小上編言之
詳矣授時厯用古法黄白大距恒為六度以周天三/百六十度
每度六十分約之得五/度五十四分三十九秒朔望兩弦無異故無交均新
法算書測定朔望時交角即大/距度最小為四度五十八
分三十秒兩弦時交角最大為五度一十七分三十
秒兩距度之較為一十九分交均之最大者為一度
四十六分零八秒自奈端噶西尼以来謂日在兩交
[002-90b]
時交角最大為五度一十七分二十秒日距交九十
度時交角最小為四度五十九分三十五秒兩距度
之較為一十七分四十五秒朔望而後交角又有加
分因日距交與月距日之漸逺以漸而大至日距交
九十度月距日亦九十度時加三分四十三秒交均
之最大者為一度二十九分四十二秒皆與新法算
書不同然厯家測黄白大距必於月距交九十度時
夫月距交九十度而值朔望則日距交亦九十度是
今之謂日距交九十度交角小猶與朔望交角小之
[002-90b]
義同也月距交九十度而值兩弦則日必在兩交是
[002-91a]
今之謂日在兩交交角大猶與兩弦交角大之義同
也惟日在兩交而又值朔望則交角關乎食分之淺
深日距交九十度而又值兩弦則加分關乎距緯之
逺近是必驗諸實測古今確有不同之處㕘稽經緯
以成一家之言而非輕為改定也至其推算之法以
五十九為邊總五十六為邊較求得黄極之角為交
均以日距交月距日之餘弦比例得加分與最小之
交角相加為大距亦與新法算書不同則是作者務
[002-91b]
出新竒而又取其易於入算故近日西士皆從之稱
為新學今並悉其根源具詳圖説於左
如圖甲為黄極乙丙丁為
黄道以最大距限距限即/大距度
因大距又有大小/故名距限以别之五度一
十七分二十秒與最小距
限四度五十九分三十五
秒相加折半得五度八分
二十七秒半為距限中數
[002-91b]
以中數為半徑作戊己庚
[002-92a]
辛圏為白極繞黄極本輪
又以兩距限相減折半得
八分五十二秒半為半徑
作壬癸子丑圏為負白極
均輪均輪心循本輪周左
旋自戊向己每日三分有
餘為正交行度白極循均
輪周右旋自壬向癸每日
[002-92b]
二度四分有餘為日距正
交之倍度如均輪心在戊
日在兩交時白極在壬正
交在乙中交在丁寅丙弧
為最大距限五度一十七
分二十秒與壬甲弧等日
距交九十度時白極在子
正交亦在乙中交亦在丁
卯丙弧為最小距限四度
[002-92b]
五十九分三十五秒與子
[002-93a]
甲弧等惟此二時白極與
輪心同在一線故無交均
日厯兩交而後白極從壬
向癸距限漸小交行漸遲
交均俱為加差日距交九
十度而後白極從子向丑
距限漸大交行漸疾交均
俱為減差正交逆行故加/為遲減為疾也
[002-93b]
此即上編求交均大距之
法惟白極行日距正交之
倍度與月距日倍度不同
耳然用是以推交均則與
今表不合設日距交四十
五度白極自壬行九十度
至癸交均戊甲癸角當為
一度三十九分一秒今表
則為一度二十九分四十
[002-93b]
秒其法以五十九為一率
[002-94a]
五十六為二率日距正交
之正切線為三率求得四
率為正切線檢表與日距
正交相減得交均盖弧線
三角形之小者可作直線
算而甲戊癸三角形知甲
戊戊癸二邊及壬戊癸外
角當用切線分外角法日
[002-94b]
距正交之度即半外角也
則五十九必邊總也五十
六必邊較也以數推之戊
辰當為四百八十二秒半
辰癸當為五十秒用約分
比例甲戊一萬八千五百
零七秒半為五十七分半
則戊辰四百八十二秒半
為一分四九九若以甲戊
[002-94b]
正弦八九六○六六為五
[002-95a]
十七分半則戊辰正弦二
三三九二為一分五○一
折中而取之為一分半故
相加得五十九分為邊總
相減得五十六分為邊較
此其為立法所自来斷如
矣然用是以求大距則又
與今表不合盖均輪之内
[002-95b]
仍有一小輪試将壬子均
輪全徑一千零六十五秒
五分之得二百一十三秒
除一百六十三秒為加分
小輪全徑餘五十秒即為
交均小輪全徑與均輪全
徑相減餘一千零一十五
秒為負小輪全徑小輪心
循負小輪周右旋行日距
[002-95b]
正交之倍度白極自小輪
[002-96a]
最逺㸃左旋行輪心之倍
度如日在兩交無距度則
小輪心在己白極在壬無
交均仍以壬甲弧為距限
也日距交九十度則小輪
心自己行一百八十度至
午白極自最逺子行三百
六十度仍至子無交均仍
[002-96b]
以子甲為距限也如日距
交四十五度則小輪心自
己行九十度至未白極自
最逺癸行一百八十度至
辰戊甲辰角一度二十九
分四十秒為交均辰甲五
度八分三十四秒為距限
也如日距交三十度則小
輪心自己行六十度至申
[002-96b]
白極自最逺酉行一百二
[002-97a]
十度至戌戊甲戌角一度
一十六分三十七秒為交
均表多/二秒戌甲五度一十二
分五十八秒為距限也先/用
戊酉斗三角形求得酉斗/邉七分四十一秒一六斗
戊邉四分二十六秒二五/則斗甲為五度一十二分
五十三秒七五次求得酉/戌通弦四十三秒三○與
酉斗相減餘六分五十七/秒八六為斗戌邉然後用
[002-97b]
斗甲戌直角形求甲/角及甲戌邉餘倣此如日
距交六十度則小輪心自
巳行一百二十度至亥白
極自最逺亢行二百四十
度至氐戊甲氐角一度一
十八分五十秒為交均表/少
九/秒氐甲五度四分六秒為
距限也如此則交均距限
理數皆極精宻而推算則
[002-97b]
屬繁難且交均用小輪與
[002-98a]
去一小輪全徑作小均輪
其角度相去不逺見/前距限
用弦與用股其邉度亦相
去不逺見/後故將戊癸均輪
半徑五百三十二秒半減
癸辰小輪全徑五十秒餘
戊辰四百八十二秒半作
小均輪半徑則甲戊與戊
[002-98b]
辰之比常如五十七分半
與一分半之比用切線分
外角法即得逐度之交均
以半徑一千萬為一率日
距正交倍度之正矢為二
率過九十度/則用大矢仍以均輪壬
戊半徑五百三十二秒半
為三率酉斗癸戊亢牛等/線皆為均輪正弦
壬斗壬戊壬牛等線皆為/均輪正矢故仍以均輪半
[002-98b]
徑為/比例求得四率為距交減
[002-99a]
分如壬斗壬戊/壬牛之類與壬甲最
大距限五度一十七分二
十秒相減即得逐度之距
限也斗甲為五度一十二/分五十四秒比戊甲
少四秒戊甲為五度八分/二十八秒比辰甲少六秒
牛甲為五度四分一秒比/氐甲少五秒故日相去不
逺/然此又惟朔望為然朔
望而後交角又有加分因
[002-99b]
日距交與月距日之漸逺
以漸而大至日距交九十
度月距日亦九十度時交
角比朔望大二分四十三
秒蓋白道之上又有小輪
其周之下點與白道相切
日距交漸逺其徑漸大至
日距交九十度時最大全
徑為二分四十三秒其逐
[002-99b]
度之小輪全徑與最大小
[002-100a]
輪日距正交倍度之正矢
等是為距交加差朔望而
後白道以漸而張與白道
小輪月距日倍度之正矢
等凡正矢過九十度/俱用大矢後倣此是為
距日加分如白極在壬無
日距交度則無白道小輪
即無距交加差如白極在
[002-100b]
子日距交倍度為一百八
十度則白道小輪女卯全
徑為二分四十三秒即距
交加差一百八十度之大/矢即全徑故小輪
全徑/最大設兩弦時月距日倍
度為一百八十度則白道
自卯張至女女卯小輪全
徑即為距日加分一百八/十度之
大矢即全徑故交角加/分即與小輪全徑等與
[002-100b]
卯丙距限相加卯丙與/子甲等得
[002-101a]
女丙為黄白大距設月距
日倍度為六十度則白道
張至危以半徑一千萬為
一率六十度之正矢五百
萬為二率半徑與餘弦/相減為正矢小
輪半徑一分二十一秒半
為三率求得四率危卯四
十一秒為距日加分與卯
[002-101b]
丙距限相加得危丙為黄
白大距又如白極在辰日
距交倍度為九十度則白
道小輪乾坎全徑一分二
十一秒半為女卯最大小
輪全徑之一半是為距交
加差九十度之正矢與半/徑等故白道小輪全
徑與最大小/輪半徑等設月距日倍
度為一百二十度則白道
[002-101b]
張至艮以半徑一千萬為
[002-102a]
一率一百二十度之大矢
一千五百萬為二率半徑/與餘
弦相加/為大矢小輪半徑四十秒
七五為三率求得四率坎
艮一分一秒為距日加分
與坎震距限相加坎震與/辰甲等
得艮震為黄白大距其數
悉與今表相合而表之立
[002-102b]
算則不用距交減分而總
用加分其法以半徑一千
萬為一率日距正交倍度
之餘弦為二率壬戊均輪
半徑八分五十二秒半為
三率求得四率如斗戊與
戊牛之類日距正交倍度
九十度以内者與戊子半
徑相加得數如斗子之類
[002-102b]
日距正交倍度九十度以
[002-103a]
外者與戊子半徑相減得
數如牛子之類是為距交
加分蓋前以壬斗壬牛等
類之距交減分與壬甲最
大距限相減此以斗子牛
子等類之距交加分與子
甲最小距限相加其得數
同也至求距日加分則又
[002-103b]
用兩加差為比例先以半
徑一千萬為一率日距正
交倍度之正矢為二率最
大加分二分四十三秒折
半得一分二十一秒半為
三率求得四率為距交加
差次以半徑一千萬為一
率月距日倍度之正矢為
二率仍以最大加分之半
[002-103b]
數一分二十一秒半為三
[002-104a]
率求得四率為距日加差
乃以最大加分二分四十
三秒為一率距交加差為
二率距日加差為三率求
得四率為距日加分蓋距
交加差即白道小輪全徑
用其半徑與月距日倍度
之正矢為比例即得距日
[002-104b]
加分今距日加差與距交
加差同列一表仍以最大
加分為全徑立算則其所
得距日加差乃差之最大
者故以最大加分即最大/小輪全
徑/也與距交加差之比即本/時小
輪全/徑也同於最大距日加差
最大小輪/全徑所生與本時距日加
分之比也本時小輪/全徑所生以距
[002-104b]
日加分與距交加分相加
[002-105a]
為交角加分與最小距限
相加即為黄白大距蓋以
距交加分加於最小距限
與以距交減分減於最大
距限其得數旣同而得距
限之後再加距日加分與
先以距日加分與距交加
分相加而後加於最小距
[002-105b]
限其得數亦同也論法則
用交角減分為明列表則
用交角加分為便故推月
離之法則兩載之實並行
而不相悖也
[002-106a]
地半徑差
太陰地半徑差以太陰距地平及距地心之逺近為大
小上編言之詳矣顧舊法高卑距地心有定數而推距
地平逐度之視差則皆用三角形立表易而推算難故
自五十三倍地半徑至六十二倍地半徑列為十表今
法高卑距地心無定數太陰之自行雖同度而距地心
之逺近常不同至推距地平逐度之視差則即以距天
頂之正弦與地平最大差為比例見本編日躔/地半徑差篇立表難
[002-106b]
而推算易故以最大兩心差與最小兩心差各求太陰
自高至卑逐度之地平最大差合為一表若兩心差在
大小之間者則用中比例求之法見/本表其求太陰自高至
卑逐度地平最大差之法則先求得兩心差最大時最
高距地心一○六六七八二○為六十三倍地半徑又
百分之七十七最卑距地心九三三二一八○為五十
五倍地半徑又百分之七十九兩心差最小時最高
距地心一○四三三一九○為六十二倍地半徑又
[002-107a]
百分之三十七最卑距地心九五六六八一○為五十
七倍地半徑又百分之一十九中距距地心一千萬
為五十九倍地半徑又百分之七十八測算之法/並同上編依
法求得太陰自高至卑逐度距地心線與地半徑之
比例及地平最大差列為表因其為推交食之用故
表入交食焉
[002-107b]
御製厯象考成後編卷二
欽定四庫全書
御製厯象考成後編卷二
月離數理
月離總論
太陰本天面積随時不同
太陰本天心距地及最高行隨時不同
求初均數
求一平均
[002-1b]
求二平均
求三平均
求二均數
求三均末均
求交均及黄白大距
地半徑差
[002-2a]
月離總論
古歴皆謂月一日行十三度十九分度之七出入日道
不踰六度東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差
率元郭守敬乃定為轉分進退時各不同猶今之初均
數而其出入日道之大距則仍恒為六度也新法算書
初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有遲疾
故有初均兩弦又不同於朔望故有二均兩弦前後又
不同於兩弦故有三均此經度之差也朔望交行遲而
[002-2b]
大距近兩弦交行疾而大距逺故有交均此交行之差
而亦緯度之差也上編言太陰行度有九種一曰平行
二曰自行三曰均輪行四曰次輪行五曰次均輪行六
曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其實均
輪行自行度次輪次均輪皆行月距日倍度則九種行
度之中又止六種而巳自西人刻白爾創為撱圓之法
専主不同心天而不同心天之兩心差及太陰諸行又
皆以日行與日天為消息故日行有盈縮則太陰平行
[002-3a]
最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最
高有逺近則太陰本天心有進退兩心差有大小而平
行面積亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最
高均又白極繞黄極而轉移則白道度有進退而太陰
之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之
所無而刻白爾以来柰端等屢測而創獲者也夫兩心
差既有大小則月距最高雖等而遲疾之差不等故分
大中小三數而仍名曰初均朔望而外其差之最大者
[002-3b]
不在兩弦而在朔弦弦望之間仍名曰二均又月高距
日高與月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差
而遲仍名曰三均又朔後恒差而遲望後恒差而疾因
月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交
後一象限則交行疾日在交前一象限則交行遲仍名
曰正交均此五者末均為昔日之所無其餘諸均亦名
同而數異皆刻白爾以来噶西尼等屢測而改定者也
至於黄白交角即大/距度新法算書朔望最小兩弦最大今
[002-4a]
則謂日在交㸃交角大前後皆小朔望尤小日在大距
交角小前後皆大兩弦尤大似皆與新法算書不同然
用以推歩交食則皆與實測合而與新法算書亦相去
不逺計其行度一平均用日引度二平均最高均用日
距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度
初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用
月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日
度較舊用行度多四種一曰日引二曰日距月最高三
[002-4b]
曰日距正交四曰月高距日高則其行度共行種矣今
考其表中所列誠皆實測之數而要不離乎本天高卑
中距四限與朔望兩弦前後參互比較而得之兹為總
舉其端而各具測算之法於後庶學者知其立法所自
来而推歩考驗咸可通其條貫云
[002-5a]
太陰本天面積隨時不同
太陰初均數生於兩心差兩心差不等則均數亦不
等然於平行無與也自刻白爾以本天為撱圓以平
行為面積則兩心差不等而撱圓之面積與太陰之
平行亦因之不等盖兩心差大者小徑之數小而面
積亦小兩心差小者小徑之數大而面積亦大故分
撱圓之度數雖同而度之面積各異非先求其面積
無以求度數也今取兩心差之大中小三數求其小
[002-5b]
徑及面積以定平行而後均數可得而推也
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚撱圓為太
陰本天乙丁為大半徑一
千萬乙戊為小半徑甲戊
丙戊皆與乙丁大半徑等
以甲戊為弦甲乙為勾求
得股即乙戊小半徑也以
[002-5b]
乙丁大半徑求得丁辛己
[002-6a]
壬平圓積以乙辛與乙戊
為比例即撱圓全積也用
度分秒數除之即得一度
一分一秒之積也以庚戊
小徑與丁己大徑相乗開
平方折半即乙癸中率半
徑也其理皆與日躔同惟
兩心差隨時不同則小徑
[002-6b]
與面積皆各異具列於左
最大兩心差 六六七八二○
小徑 九九七七六七五小餘/九○
中率半徑 九九八八八三一小餘/七二
中率半徑方 九九七七六七五九○四一一七二
撱圓全積 三一三四五七九三二八四四五六七
九十度積 七八三六四四八三二一一一四二
一度積 八七○七一六四八○一二四
一分積 一四五一一九四一三三五
[002-6b]
一秒積 二四一八六五六八九
[002-7a]
中數兩心差 五五○五○五
小徑 九九八四八三五小餘/七一
中率半徑 九九九二四一四小餘/九八
中率半徑方 九九八四八三五七一四四七一○
撱圓全積 三一三六八二八六四九二○三九六
九十度積 七八四二○七一六二三○○九九
一度積 八七一三四一二九一四四六
一分積 一四五二二三五四八五七
[002-7b]
一秒積 二四二○三九二四八
最小兩心差 四三三一九○
小徑 九九九○六一二小餘/九二
中率半徑 九九九五三○五小餘/三六
中率半徑方 九九九○六一二九一五三二七一
撱圓全積 三一三八六四三六一○三七八六七
九十度積 七八四六六○九○二五九四六七
一度積 八七一八四五四四七三二七
一分積 一四五三○七五七四五五
[002-7b]
一秒積 二四二一七九二九一
[002-8a]
太陰本天心距地及最高行隨時不同
太陰之行有遲疾由于本天有高卑其説一為不同
心天一為本輪與太陽同西人第谷以前定本輪半
徑為本天半徑千萬分之八十七萬即不同心天之
兩心差其最大遲疾差為四度五十八分二十七秒
第谷用其法惟中距與實測合最高前後則失之小
最卑前後則失之大因将本輪半徑三分之存其二
分五十四萬為本輪半徑取其一分二十七萬為均
[002-8b]
輪半徑其高卑之數遲疾之差雖各有不同而其距
地之有定數最高之有常行則一也自刻白爾創為
撱圓之法専主不同心天而不同心天之兩心差及
最高行又隨時不同惟日當月天中距時最大遲疾
差為四度五十七分五十七秒兩心差為四三三一
九○倍差即為八十六萬有竒與舊數相去不逺若
日當月天最高或當月天最卑則最大遲疾差為七
度三十九分三十三秒兩心差為六六七八二○日
厯月天高卑而後兩心差漸小中距而後兩心差漸
[002-8b]
大日距月天高卑前後四十五度兩心差適中又日
[002-9a]
當月天高卑時最高之行常速至高卑後四十五度
而止日當月天中距時最高之行常遲至中距後四
十五度而止與日月之盈縮遲疾相似而周轉之數
倍之是則太陰本天之心必更有一均輪以消息乎
兩心差及最高行之數因以地心為心以兩心差最
大最小兩數相加折半得五五○五○五為最高本
輪半徑相減折半得一一七三一五為最高均輪半
徑均輪心循本輪周右旋行最高平行度本天心循
[002-9b]
均輪周右旋行日距月最高之倍度用切線分外角
法求得地心之角為最高均數即最高行之差求得
兩心相距之邊為本天心距地數即本時之兩心差
也今考其表中所載其最大遲疾差不在中距最高
前後九十度多最卑前後九十度少與上編小輪之
理同其求兩心差則在本天高卑之適中而亦不正
九十度與本編日躔之理同而其測量諸均數則必
在高卑中距或高卑中距之間其數乃整齊而易辨
要之測得高卑中距之差則兩心差之數巳見而求
[002-9b]
得兩心差之數則高卑中距之差悉合矣
[002-10a]
如甲為地心乙為太陰本天心丙為最
高丁為最卑戊己為中距戊己乃實行/之中距非平
行之中距因朔望相/對故借實行以明之設日天最高當月
天最高丙太陽在最高後中距戊太陰
亦在戊合朔測得太陰實行比平行少
四度四十五分四十一秒太陰在最高
前中距己望測得太陰實行比平行多
五度九分二十一秒又設太陽在最高
[002-10b]
前中距己太隂亦在己合朔測得太陰
實行比平行多四度四十五分四十一
秒太陰在最高後中距戊望測得太隂
實行比平行少五度九分二十一秒兩
測太隂在戊實行皆比平行為少太陰
在己實行皆比平行為多是知太陰在
最高後則減最高前則加為初均之故
矣然太陽在戊則少數小多數大太陽
在己則少數大多數小是必另有一均
[002-10b]
因太陽在戊而加在己而減者若不因
[002-11a]
太陽之故則太隂在戊為減在己為加
其數必相等也於是以大小兩數相減
折半得一十一分五十秒别為一平均
以減大數加小數得四度五十七分三
十一秒為日距月天最高前後九十度
時月距最高前後九十度之初均數最
高後為減最高前為加也
又設日天最高當月天最高後中距戊
[002-11b]
太陽在最高戊太陰在最高後中距戊
合朔測得太陰實行比平行少四度五
十九分五十六秒太陰在最高前中距
己望測得太陰實行比平行多四度五
十五分六秒又設日天最高當月天最
高前中距己太陽在最高己太陰在最
高前中距己合朔測得太陰實行比平
行多四度五十九分五十六秒太陰在
最高後中距戊望測得太陰實行比平
[002-11b]
行少四度五十五分六秒兩測太陰在
[002-12a]
戊實行皆比平行為少太陰在己實行
皆比平行為多是知太陰在最高後則
減最高前則加為初均之故矣然日天
最高在戊月天最高距日天最高二百
七十度則少數大多數小日天最高在
己月天最高距日天最高九十度則多
數大少數小是必另有一均因月高距
日高九十度而加二百七十度而減者
[002-12b]
於是以大小兩數相減折半得二分二
十五秒别為三均以減大數加小數得
四度五十七分三十一秒為日距月天
最高前後九十度時月距最高前後九
十度之初均數最高後為減最高前為
加與前測合
又設日天最高當月天最高丙太陽在
最高丙太陰在中距戊上弦測得太陰
實行比平行少七度三十五分三十四
[002-12b]
秒太陰在中距己下弦測得太陰實行
[002-13a]
比平行多七度三十五分三十四秒又
設日天最高當月天最卑丁太陽在最
高丁太陰在中距己上弦測得太陰實
行比平行多七度四十分二十四秒太
陰在中距戊下弦測得太陰實行比平
行少七度四十分二十四秒兩測太陰
在戊實行皆比平行為少太陰在己實
行皆比平行為多是知太陰在最高後
[002-13b]
則減最高前則加為初均之故矣然上
弦則少數小多數大下弦則少數大多
數小是必另有一均因上弦而加下弦
而減者於是以大小兩數相減折半得
二分二十五秒别為三均以減大數加
小數得七度三十七分五十九秒為日
在月天最高最卑時月距最高前後九
十度之初均數最高後為減最高前為
加也
[002-13b]
又設日天最高在庚月天最高丙距日
[002-14a]
天最高三百一十五度太陽在庚距月
天最高四十五度太陰在戊距最高九
十度而距日四十五度為朔與上弦之
間測得太陰實行比平行少五度五十
七分四十五秒若日天最高在辛月天
最高距日天最高二百二十五度太陽
在辛距月天最高一百三十五度太陰
仍在戊距月天最高九十度而距日三
[002-14b]
百一十五度為下弦與朔之間測得太
隂實行比平行少六度五十四分四十
九秒又設日天最高在壬月天最高距
日天最高一百三十五度太陽在壬距
月天最卑四十五度太隂在己距最高
前九十度而距日四十五度為朔與上
弦之間測得太隂實行比平行多六度
五十四分四十九秒若日天最高在癸
月天最高距日天最高四十五度太陽
[002-14b]
在癸距月天最高三百一十五度太隂
[002-15a]
仍在己距最高前九十度而距日三百
一十五度為下弦與朔之間測得太隂
實行比平行多五度五十七分四十五
秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少
太陰在己實行皆比平行為多是知太
陰在最高後則減最高前則加為初均
之故矣而朔與上弦之間則少數小多
數大下弦與朔之間則少數大多數小
[002-15b]
是必另有一均因朔後而加朔前而減
者而所大所小之數又不及二均加減
之多是必又有别均加減於其間而此
特為其加減之較於是以大小兩數相
減折半得二十八分三十二秒為二均
與二平均末均加減之較查朔後四十/五度二均應
加三十三分一十四秒而日距月天高/卑後四十五度二平均應減三分三十
四秒又月高距日高在四象限之正中/朔後四十五度時末均應減一分八秒
故以二十八分三十二秒為加減之較/又查朔前四十五度二均應減三十三
[002-15b]
分一十四秒而日距月天高卑前四十/五度二平均應加三分三十四秒又月
[002-16a]
高距日高在四象限之正中朔前四十/五度時末均應加一分八秒故亦以二
十八分三十二秒為/加減之較詳後各篇以減大數加小數
得六度二十六分一十七秒為日距月
天高卑前後四十五度時月距最高前
後九十度之初均數最高後為減最高
前為加也
前測均數之大小皆在月距最高前後
九十度時而測兩心差之大小則必在
[002-16b]
本天高卑之適中其平引即距最高/之平行度之
多於九十度與實引即距最高/之實行度之少於
九十度或平引之少於九十度與實引
之多於九十度者皆適相等見日躔求/兩心差篇
如甲為地心乙為本天心甲乙為兩心
差甲子為倍差丙丑丁寅撱圓為月本
天丙為最高丁為最卑丑寅為中距丑/寅
為本天高卑之適中丙丑甲分撱圓面/積為平引九十度多丑甲丙角為實引
九十度少然相去不逺故亦/名中距以便與日天較算也乙丁為大
[002-16b]
半徑一千萬乙丑為小半徑甲丑子丑
[002-17a]
皆與乙丁等設日天最高當月天最高
前中距寅太陽在最高寅太陰在最高
後中距丑望其丙丑甲分撱圓面積九
十二度二十八分五十七秒五十八微
半為平引其大於九十度之二度二十
八分五十七秒五十八微半即丑甲乙
勾股積與乙丑甲角度等與日躔求兩/心差同但日
躔從最卑起算月/離從最高起算耳此時測得太陰實行
[002-17b]
在最高後八十七度三十三分二十七
秒一微半減此時應加之三均二分二
十五秒此時三均應加二分二十五秒/若不因三均則實行應少二分
二十五/秒故減餘八十七度三十一分二秒一
微半為實引其小於九十度者亦二度
二十八分五十七秒五十八微半即丑
甲卯角與乙丑甲角等亦與子丑乙角
等平行實行之差四度五十七分五十
五秒五十七微即甲丑子角折半得二
[002-17b]
度二十八分五十七秒五十八微半即
[002-18a]
乙丑甲角甲丑既為半徑一千萬則甲
乙即乙丑甲角之正弦檢表得四三三
一九○即日在月天中距時之兩心差
也
又設日天最高當月天最高丙太陽在
最高丙太陰在最高後中距丑上弦其
丙丑甲分撱圓面積九十三度四十九
分四十五秒二微半為平引其大於九
[002-18b]
十度之三度四十九分四十五秒二微
半即丑甲乙勾股積與乙丑甲角度等
此時測得實行在最高後八十六度一
十二分三十九秒五十七微半減此時
應加之三均二分二十五秒同/前餘八十
六度一十分一十四秒五十七微半為
實引其小於九十度者亦三度四十九
分四十五秒二微半即丑甲卯角與乙
丑甲角等亦與子丑乙角等平行實行
[002-18b]
之差七度三十九分三十秒五微即甲
[002-19a]
丑子角折半得三度四十九分四十五
秒二微半即乙丑甲角檢正弦得六六
七八二○即日在月天最高最卑時之
兩心差也
前測日在月天高卑兩心差大日在月
天中距兩心差小又日在月天高卑最
高行速日在月天中距最高行遲用小
輪之法算之如甲為地心乙丙丁戊為
[002-19b]
最高本輪甲乙半徑為五五○五○五
己庚辛壬為最高均輪乙己半徑為一
一七三一五均輪心循本輪周右旋自
乙而丙而丁而戊行最高平行度本天
心循均輪周右旋自己而庚而辛而壬
行日距月最高之倍度本天心在均輪
上半周順輪心行故最高行速距地心
逺故兩心差大本天心在均輪下半周
逆輪心行故最高行遲距地心近故兩
[002-19b]
心差小日在月天最高或在月天最卑
[002-20a]
本天心皆在己甲己六六七八二○為
最大兩心差日在月天兩中距本天心
皆在辛甲辛四三三一九○為最小兩
心差本天最高與甲乙合為一線無最
高均數如日距月最高四十五度則本
天心自己行九十度至庚本天最高必
對甲庚線之上用甲乙庚三角形求得
甲角一十二度一分四十八秒為最高
[002-20b]
均數是為最大之加差以加於最高平
行而得最高實行求得甲庚邉五六二
八六六為本天心距地數即本時之兩
心差也此乙角為直角可用勾股法亦/可用切線分外角法若乙角非
直角則用切/線分外角法如日距月最高一百三十
五度則本天心自己行二百七十度至
壬本天最高必對甲壬線之上用甲乙
壬三角形求得甲角為最高均數與乙
甲庚角等甲壬兩心差亦與甲庚等但
[002-20b]
甲角為最大之減差以減最高平行而
[002-21a]
得最高實行也既得最高實行與兩心
差則以最高實行與太陰平行相減得
平引而初均數可求矣
[002-22a]
求初均數
新法算書用本輪均輪推初均數日躔月離數雖不
同而其法則一也自刻白爾以平行為撱圓面積求
實行用意甚精而推算無術噶西尼等立借角求角
之法亦極補凑之妙矣然日天兩心差為本天半徑
千萬分之一十六萬餘所差之最大者不過百分秒
之六十六見日躔撱圓角度/與面積相求篇月天兩心差之最大者
為本天半徑千萬分之六十六萬餘若仍用日躔之
[002-22b]
法則其差之最大者即至四十秒雖於數不為踈而
於法則猶未宻故又立用兩三角形之法先以半徑
為一邊兩心差為一邊太陰平引與半周相減不及/半周
者與半周相減過/半周者減半周為所夾之角求得對兩心差之小
角與前所夾之角相加復為所夾之角仍用半徑與
兩心差為兩邊求得對半徑之大角為平圓引數次
以大半徑為一率小半徑為二率平圓引數之正切
線為三率求得四率查正切線得實引與平引相減
餘為初均數依日躔借積求積法細推之其差之最
[002-22b]
大者不過一十秒較借角求角之法為密云
[002-23a]
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為最大兩心差六
六七八二○丙丁戊己為
月本天乙丙為大半徑一
千萬與乙庚等乙丁為小
半徑九九七七六七五小/餘
九/○設太陰平引距最高後
九十度用日躔借角求角
[002-23b]
法依甲乙之分截乙丙線
於辛取丙辛壬角為九十
度自地心甲作甲壬線命
甲壬丙分撱圓面積為九
十度與乙丁丙面積等亦
與丙乙丁角度等用甲辛
壬三角形丙辛壬外角為
平引九十度甲辛為倍兩
心差一三三五六四○甲
[002-23b]
壬與辛壬共為二千萬求
[002-24a]
得壬角七度三十八分二
十八秒小餘/七○為初均數即
得壬甲丙角八十二度二
十一分三十一秒小餘/三○為
實引試依日躔借積求積
法細推之辛壬邊為九九
五五四○一小餘/六四甲壬邊
為一○○四四五九八小/餘
[002-24b]
三/六甲壬丙分撱圓面積為
七八三五四五六三一八
四七七三與最大兩心差
之撱圓九十度積七八三
六四四八三二一一一四
二相減餘九九二○○二
六三六九為甲壬癸積即
甲壬丙積小於九十度積
之較故知平引距最高九
[002-24b]
十度時太陰必在壬㸃之
[002-25a]
後如癸乃依最大兩心差
中率半徑九九八八八三
二截甲壬線於子截甲癸
線於丑成甲子丑分平圓
面與甲壬癸為同式形甲/壬
長於甲癸然為數/無多故為同式形以甲壬
自乗得一○○八九三九
五六二一三七一五為一
[002-25b]
率甲子中率自乗方九九
七七六七五九○四一一
七二為二率甲壬癸積較
為三率求得四率九八一
○一八二○七五為甲子
丑分平圓面積以最大兩
心差之一秒積二四一八
六五六八九除之得四十
秒小餘/五六為子甲丑角與壬
[002-25b]
甲丙角相加得八十二度
[002-26a]
二十二分一十一秒小餘/八六
為癸甲丙角即平引距最
高後九十度之實引與平
引九十度相減餘七度三
十七分四十八秒小餘/一四即
平引距最高後九十度時
之初均數前用日躔借角
求角法所得實引壬甲丙
[002-26b]
角比細推少四十秒蓋乙
丁丙為撱圓面四分之一
其積為九十度今命太隂
在壬以甲壬丙分撱圓積
為與乙丁丙積等其實甲
壬丙積比乙丁丙積多一
甲乙寅形少一寅壬丁形
而甲乙寅積僅與寅壬卯
積等以多補少尚少壬卯
[002-26b]
丁弧矢積故推得壬甲丙
[002-27a]
角比細推少四十秒也日/躔
從最卑起算則推得辰/甲戊角比細推為多又
查日天兩心差為一六九
○○○小矢為一四二六
所得實引比細推差百分
秒之六十六月天甲乙兩
心差為六六七八二○與
壬卯半弦等幾為日天之
[002-27b]
四倍卯丁小矢為二二二
七四乙丁内減去辛壬/餘即卯丁小矢也幾
為日天之一十六倍則壬
卯丁弧矢積幾為日天之
六十四倍四因一十六倍/得六十四倍
故實引比細推差四十秒
亦幾為日躔實引所差之
六十四倍也
今用兩三角形法先設丙
[002-27b]
乙庚角為平引九十度用
[002-28a]
甲乙庚三角形甲乙庚角
為九十度乙庚為半徑一
千萬甲乙為最大兩心差
六六七八二○求得甲庚
乙角三度四十九分一十
四秒小餘/三五又與甲庚平行
作乙己線自甲至己作甲
己線成甲乙己三角形己
[002-28b]
乙庚角與甲庚乙角等以
己乙庚角與甲乙庚角九
十度相加得九十三度四
十九分一十四秒小餘/三五為
甲乙己角求得乙甲己角
八十二度二十三分二秒
小餘/四一為平圓引數次以乙
庚大半徑一千萬為一率
乙丁小半徑九九七七六
[002-28b]
七六為二率乙甲己角之
[002-29a]
正切線為三率求得四率
為乙甲午角之正切線檢
表得八十二度二十二分
一秒小餘/七九為實引與平引
九十度相減餘七度三十
七分五十八秒小餘/二一即最
大兩心差平引九十度之
初均數也此法推得實引
[002-29b]
比前細推所得之數仍少
一十秒而較之日躔借角
求角之法則為己宻葢設
丙乙庚角為九十度則乙
庚丙分平圓積乙丁丙分
撱圓積皆為九十度今與
甲庚平行作乙己線甲己
丙面與乙庚丙面相等而
為平圓九十度積則甲午
[002-29b]
丙面亦必與乙丁丙面相
[002-30a]
等而為撱圓九十度積夫
甲己丙面内有乙己丙形
與甲乙己形乙庚丙面内
有乙己丙形與乙己庚形
甲乙己積與乙己庚積相
等則甲己丙積即與乙庚
丙積相等試自己至庚作
己庚直線則乙己庚與甲
[002-30b]
乙己為二平行線内同底
同高之兩三角形其積相
等乙己原與甲庚平行庚/未正弦與甲申垂線等
以乙己底與庚未高相乗/折半得乙己庚三角積以
乙己底與甲申高相乗折/半得甲乙己三角積庚未
旣與甲申等故兩/三角積必等也是甲乙
己形比乙己庚形尚少庚
酉巳弧矢積而甲己丙分
平圓面比乙庚丙平圓九
[002-30b]
十度積甲午丙分撱圓面
[002-31a]
比乙丁丙撱圓九十度積
亦少庚酉已弧矢積故求
得實引比細推少一十秒
即庚酉巳弧矢積之度然
為數無多非若差壬卯丁
弧矢積者比故其法較日
躔為己宻也又以日躔之
法明之日躔設太陰在壬
[002-31b]
其甲壬丙分撱圓面積比
乙丁丙撱圓九十度積少
壬卯丁弧矢積故實引壬
甲丙角少四十秒今平引
用乙角甲乙與乙辛等而
乙庚長於辛壬則與甲庚
平行之乙己線必在壬㸃
下減巳甲午撱圓差角太
陰午㸃亦必仍在壬㸃下
[002-31b]
是甲午丙積比甲壬丙積
[002-32a]
即多甲午壬積足與所少
壬卯丁弧矢積相補故求
得實引午甲丙角即比壬
甲丙角大一午甲壬角以
數計之已午畧與卯丁等
甲戌畧與甲辛等則甲已
午三角積為壬卯丁勾股
積之二倍而甲午壬積約
[002-32b]
為甲己午積之一半故甲
午壬積與壬卯丁勾股積
等比壬卯丁弧矢積僅少
壬亥丁一小弧矢積故實
引止少一十秒且此之平
引為九十度乃差之最大
者九十度前後愈近最高
最卑其差愈少故推太陰
初均用此法也
[002-32b]
依前法設平引九十度甲
[002-33a]
乙為最小兩心差四三三
一九○求得乙甲午角八
十五度二分二十九秒為
實引與平引九十度相減
餘四度五十七分三十一
秒為最小兩心差平引九
十度之初均數又設甲乙
為中數兩心差五五○五
[002-33b]
○五求得乙甲午角八十
三度四十二分一十秒為
實引與平引九十度相減
餘六度一十七分五十秒
為中數兩心差平引九十
度之初均數如設平引九
十度日距月最高四十五
度兩心差為五六二八六
六求初均數則以最大兩
[002-33b]
心差與中數兩心差相減
[002-34a]
餘一一七三一五為一率
最大兩心差之初均數與
中數兩心差之初均數相
減餘一度二十分八秒化
作四千八百零八秒為二
率今有之兩心差與中數
兩心差相減餘一二三六
一為三率求得四率五百
[002-34b]
零七秒収作八分二十七
秒與中數兩心差之初均
數相加得六度二十六分
一十七秒為平引九十度
兩心差五六二八六六之
初均數盖均數因兩心差
為大小故初均大小之差
即用兩心差之較為比例
若以甲乙兩心差五六二
[002-34b]
八六六用兩三角形法算
[002-35a]
之則得乙甲午角八十三
度三十三分四十三秒為
實引與平引九十度相減
餘六度二十六分一十七
秒為初均數與用兩心差
之較為比例所得數同故
初均表止列大中小三限
為省算也餘倣此
[002-36a]
求一平均
新法算書推歩朔望惟用初均數若月在本天最高
或在本天最卑則平行與實行合為一線並無初均
數矣刻白爾以来奈端等屢加測騐謂月在最高最
卑雖無初均數而日在最卑後則太陰平行常遲最
高平行正交平行常速日在最高後太陰平行常速
最高平行正交平行常遲因定日在中距太陰平行
差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六
[002-36b]
秒正交平行差九分三十秒其間逐度之差皆以太
陽中距之均數與太陽逐度之均數為比例名曰一
平均蓋太陽平行自子正隨天左旋復至子正是為
一日月距日一日順行一十二度餘最高一日順行
六分餘正交一日退行三分餘皆隨太陽平行為行
度故為平行而太陰二均生於月距日之倍度最高
均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交
之倍度皆以太陽實行立算太陽實行有盈縮則諸
行亦隨之有進退此因太陽右旋之盈縮而差者也
[002-36b]
又太陽右旋加多一度則左旋之時刻差早一度諸
[002-37a]
行亦隨之而差早一度之行太陽右旋減少一度則
左旋之時刻差遲一度諸行亦隨之而差遲一度之
行此因太陽隨天左旋之遲早而差者也由是二者
故有一平均之法然太陰一平均則惟因左旋時差
之故最高平均與正交平均則兼左旋右旋兩差之
故焉以太陰一平均言之太陰二均生於月距日之
倍度而月距日之度乃置太陰實行減太陽實行而
得之太陽右旋之度差而多則月距日之度反差而
[002-37b]
少太陽右旋之度差而少則月距日之度反差而多
是月距日之行不隨太陽右旋之盈縮為進退也惟
是太陽左旋時刻差一度倍月距日已差二度太陰
又隨之差二度則平行即差四度時差行差早者應
減差遲者應加然差早一度者太陽未至子正一度
應加一度時差行差遲一度者太陽已過子正一度
應減一度時差行是差三倍時差行也故以一小時
六十分為一率一小時月距日平行一千八百二十
八秒六二為二率太陽中距均數一度五十六分一
[002-37b]
十三秒變時每度變為四分十五分變/為一分十五秒變為一秒得七分四十
[002-38a]
五秒為三率求得四率二百三十六秒二○用三因
之得七百零八秒六○収為一十一分四十九秒為
太陰一平均太陽均數加者為減減者為加是為太
陽實行至子正時之太陰平行度也以最高平均與
正交平均言之最高均生於日距月最高之倍度正
交均生於日距正交之倍度而日距月最高與日距
正交之度乃置太陽實行減月最高與正交而得之
太陽右旋之度加而多則相距之度亦多太陽右旋
[002-38b]
之度減而少則相距之度亦少是最高與正交之行
固隨太陽右旋之盈縮為進退也又太陽左旋之時
刻差一度日距月最高與日距正交之倍度巳差二
度最高與正交又隨之差二度則最高與正交即差
四度時差行差早者應加差遲者應減且最高均與
正交均皆隨太陽行相距之倍度太陽實行差一度
則最高與正交亦隨之差一度之行太陽又加倍差
一度則最高與正交又隨之差半度之行是右旋左
旋之差皆為一倍有半而未至子正應加巳過子正
[002-38b]
應減之時差行又其在外者也故以一日太陽平行
[002-39a]
三千五百四十八秒三三為一率一日最高平行四
百零一秒○七為二率太陽中距均數一度五十六
分一十三秒為三率求得四率七百八十八秒一六
加四倍時差最高行八秒用一五因之再加最高時
差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九
分五十六秒為最高一平均又以一日太陽平行為
一率一日正交平行一百九十秒六三為二率太陽
中距均數為三率求得四率三百七十四秒六二加
[002-39b]
四倍時差正交行四秒用一五因之再加正交時差
行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒
為正交一平均最高順行故加減與太陽均數同正
交退行故加減與太陽均數相反是為太陽實行至
子正時之最高平行與正交平行也最高一平均與
舊表合太陰一平均正交一平均皆少一秒今仍用
舊數既得太陽中距之平均而逐度之平均皆由太
陽均數立算故以太陽中距均數與中距平均之比
即同於太陽逐度均數與逐度平均之比也測法附
[002-39b]
後
[002-40a]
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設月天最高當日天最高丙太陽
在中距丁太陰在最卑戊上弦測得太
陰實行比平行多一十四分一十五秒
太陰在最高丙下弦測得太陰實行比
平行多九分二十五秒又設太陽在中
距己太陰在最高丙上弦測得太陰實
[002-40b]
行比平行少九分二十五秒太陰在最
卑戊下弦測得太陰實行比平行少一
十四分一十五秒兩測太陽在丁實行
皆比平行為多太陽在己實行皆比平
行為少是知太陽在最高後則加在最
卑後則減為一平均之故矣而上弦則
多數大少數小下弦則多數小少數大
是必另有一均因月距日九十度而加
二百七十度而減者於是以大小兩數
[002-40b]
相減折半得二分二十五秒别為三均
[002-41a]
以減大數加小數得一十一分五十秒
為太陽中距一平均最高後為加最卑
後為減也
又設太陽在丁月天最高在丁距日天
最高後九十度太隂在丁合朔測得太
隂實行比平行多一十四分一十五秒
月天最高在己距日天最高後二百七
十度太隂在己望測得太隂實行比平
[002-41b]
行多九分二十五秒又設太陽在己月
天最高在己距日天最高後二百七十
度太隂在己合朔測得太陰實行比平
行少一十四分一十五秒月天最高在
丁距日天最高後九十度太陰在丁望
測得太隂實行比平行少九分二十五
秒兩測太陽在丁實行皆比平行為多
太陽在己實行皆比平行為少是知太
陽在最高後則加在最卑後則減為一
[002-41b]
平均之故矣然月天最高在丁距日天
[002-42a]
最高後九十度則多數大少數小月天
最高在己距日天最高後二百七十度
則多數小少數大是必另有一均因月
天最高距日天最高九十度而加二百
七十度而減者於是以大小兩數相減
折半得二分二十五秒别為三均以減
大數加小數得一十一分五十秒為太
陽中距一平均最高後為加最卑後為
[002-42b]
減也
又設太陽在庚距最高後四十五度月
天最高在庚太隂在庚合朔測得太隂
實行比平行多九分五十八秒月天最
高在辛太隂在辛望測得太隂實行比
平行多六分三十二秒又設太陽在壬
距最高前四十五度月天最高在壬太
隂在壬合朔測得太隂實行比平行少
九分五十八秒月天最高在癸太隂在
[002-42b]
癸望測得太隂實行比平行少六分三
[002-43a]
十二秒兩測太陽距最高前後皆四十
五度而在最高後庚太隂實行皆比平
行為多在最高前壬太隂實行皆比平
行為少是知太陽在最高後則加在最
高前則減為一平均之故矣然月天最
高在庚距日天最高後四十五度則多
數大月天最高在辛距日天最高後二
百二十五度則多數小月天最高在壬
[002-43b]
距日天最高後三百一十五度則少數
大月天最高在癸距日天最高後一百
三十五度則少數小是必另有一均因
月天最高距日天最高半周内而加半
周外而減者於是以大小兩數相減折
半得一分四十三秒别為三均以減大
數加小數得八分一十五秒為太陽距
最高前後四十五度之一平均最高後
為加最高前為減也查太陽最高前後
[002-43b]
四十五度之均數為一度二十分五十
[002-44a]
七秒以太陽中距之均數一度五十六
分一十三秒與中距一平均一十一分
五十秒之比同於最高前後四十五度
之均數一度二十分五十七秒與四十
五度之一平均八分一十五秒之比是
知逐度太隂一平均當以逐度太陽均
數為比例也
又設太陽在最高後中距丁月天最高
[002-44b]
在丁太隂在最卑巳望正當交㸃此時
應無初均惟一平均應加一十一分五
十秒月天最高距日天最高九十度三
均應加二分二十五秒然測太隂實行
比平行多一十九分一十四秒較之一
平均與三均應加之數仍多四分五十
九秒為最卑後三十四分一十一秒所
應加之初均數夫太隂本在最卑以一
平均與三均應加之數計之應在最卑
[002-44b]
後一十四分一十五秒是必最高又有
[002-45a]
減差太隂始得在最卑後三十四分一
十一秒乃於三十四分一十一秒内減
一平均與三均應加之一十四分一十
五秒餘一十九分五十六秒為太陽在
最高後中距應減之最高平均也又此
時太隂正當交㸃應無距緯然測太陰
緯度在黄道北二十六秒為太隂距正
交後四分四十五秒之緯度夫太隂本
[002-45b]
在交㸃以一平均與三均應加之數計
之則應距正交後一十四分一十五秒
是必正交又有加差太隂始得在交後
四分四十五秒乃於一平均與三均應
加之一十四分一十五秒内減四分四
十五秒餘九分三十秒為太陽在最高
後中距應加之正交平均也太陽在最
高前倣此
[002-46a]
求二平均
前篇言太陰在本天高卑雖無初均數而太陽在本
天高卑前後猶有一平均若太陽亦在本天高卑則
並無一平均矣奈端以来又屢加精測謂日天最高
與月天最高同度或相距一百八十度日月又同在
最高卑則實行與平行合為一線無諸均數太陽雖
在最高卑而在月天高卑前後則平行常遲至高卑
後四十五度而止在月天中距前後則平行常速至
[002-46b]
中距後四十五度而止然積遲積速之多正在四十
五度而太陽在最高與在最卑其差又有不同因定
太陽在最高距月天高卑中距後四十五度之最大
差為三分三十四秒太陽在最卑距月天高卑中距
後四十五度之最大差為三分五十六秒高卑後為
減中距後為加其間日距月最高逐度之差皆以半
徑與日距月最高倍度之正弦為比例其太陽距地
逐度之差又以太陽高卑距地之立方較與本日太
陽距地之立方較為比例名曰二平均蓋太陰本天
[002-46b]
心循最高均輪周行日距月最高之倍度日在月天
[002-47a]
高卑則兩心差大而撱圓之面積小故平行遲也日
在月天中距則兩心差小而撱圓之面積大故平行
速也日距月天高卑中距四十五度則兩心差與撱
圓之面積皆為適中太隂平行原以適中之數立算
故其平行無遲速也然推盈縮遲疾之法皆以小輪
上下二㸃為起算之端而以九十度處為差數之極
今太隂本天心既循均輪周行日距月最高之倍度
則是日在月天高卑時本天心皆在均輪上㸃也日
[002-47b]
在月天中距時本天心皆在均輪下㸃也日距月天
高卑中距四十五度時本天心皆在均輪九十度處
也故二平均以高卑中距分加減之限而以四十五
度為最大差至其大差之數與比例之法固由測量
而得亦可推算而知測算之法並設於左
如甲為地心乙為月本天心丙丁戊己
為月本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設日天最高在庚月天最高相距
三百一十五度日在最高庚距月天最
[002-47b]
高四十五度月在辛望距本天最高二
[002-48a]
百二十五度此時太隂初均應加四度
四十七分四十二秒然測太隂實行僅
比平行多四度四十二分二十五秒比
所推實行少五分一十七秒若日天最
高在辛月天最高相距一百三十五度
日在最高辛距月天最卑四十五度月
在庚望距本天最高四十五度此時太
隂初均應減四度二十分二十四秒然
[002-48b]
測太隂實行却比平行少四度二十二
分一十五秒比所推實行少一分五十
一秒又設日天最高在壬月天最高相
距二百二十五度日在最高壬距月天
最高一百三十五度而在中距後四十
五度月在癸望距本天最高三百一十
五度此時太隂初均應加四度二十分
二十四秒然測太隂實行却比平行多
四度二十二分一十五秒比所推實行
[002-48b]
多一分五十一秒若日天最高在癸月
[002-49a]
天最高相距四十五度日在最高癸距
月天最高三百一十五度而在中距後
四十五度月在壬望距本天最高一百
三十五度此時太隂初均應減四度四
十七分四十二秒然測太隂實行僅比
平行少四度四十二分二十五秒比所
推實行多五分一十七秒兩測太陽同
在最高前測太陽一在月天最高後四
[002-49b]
十五度一在月天最卑後四十五度實
行皆比所推為少後測太陽在月天中
距後四十五度實行皆比所推為多是
知日在月天高卑後則減中距後則加
為二平均之故矣然前測日天最高在
庚月天最高相距三百一十五度則少
數大日天最高在辛月天最高相距一
百三十五度則少數小後測日天最高
在壬月天最高相距二百二十五度則
[002-49b]
多數小日天最高在癸月天最高相距
[002-50a]
四十五度則多數大是必另有一均因
月天最高距日天最高半周内而加半
周外而減者於是以大小兩數相減折
半得一分四十三秒别為三均以減大
數加小數得三分三十四秒為太陽在
最高時距月天高卑中距後四十五度
之最大二平均高卑後為減中距後為
加也
[002-50b]
設日天最高在庚月天最高相距三百
一十五度日在最卑辛距月天最卑四
十五度月在庚望距本天最高四十五
度此時太陰初均應減四度二十分二
十四秒然測太陰實行却比平行少四
度二十六分三秒比所推實行少五分
三十九秒若日天最高在辛月天最高
相距一百三十五度日在最卑庚距月
天最高四十五度月在辛望距本天最
[002-50b]
高二百二十五度此時太陰初均應加
[002-51a]
四度四十七分四十二秒然測太隂實
行僅比平行多四度四十五分二十九
秒比所推實行少二分一十三秒又設
日天最高在壬月天最高相距二百二
十五度日在最卑癸距月天最高三百
一十五度而在中距後四十五度月在
壬望距本天最高一百三十五度此時
太陰初均應減四度四十七分四十二
[002-51b]
秒然測太陰實行僅比平行少四度四
十五分二十九秒比所推實行多二分
一十三秒若日天最高在癸月天最高
相距四十五度日在最卑壬距月天最
高一百三十五度而在中距後四十五
度月在癸望距本天最高三百一十五
度此時太陰初均應加四度二十分二
十四秒然測太隂實行却比平行多四
度二十六分三秒比所推實行多五分
[002-51b]
三十九秒兩測太陽同在最卑前測太
[002-52a]
陽一在月天最卑後四十五度一在月
天最高後四十五度實行皆比平行為
少後測太陽在月天中距後四十五度
實行皆比平行為多是知日在月天高
卑後則減中距後則加為二平均之故
矣然前測日天最高在庚月天最高相
距三百一十五度則少數大日天最高
在辛月天最高相距一百三十五度則
[002-52b]
少數小後測日天最高在壬月天最高
相距二百二十五度則多數小日天最
高在癸月天最高相距四十五度則多
數大是必另有一均因月天最高距日
天最高半周内而加半周外而減者於
是以大小兩數相減折半得一分四十
三秒别為三均以減大數加小數得三
分五十六秒為太陽在最卑時距月天
高卑中距後四十五度之最大二平均
[002-52b]
高卑後為減中距後為加也
[002-53a]
設日天最高在丙與月天最高同度日
在庚距月天最高四十五度距日天最
高亦四十五度此時一平均應加八分
一十五秒月在辛望距本天最高二百
二十五度初均應加四度四十七分四
十二秒實行應比平行多四度五十五
分五十七秒然測太陰實行僅比平行
多四度五十二分二十秒比所推實行
[002-53b]
少三分三十七秒是為日在最高後四
十五度時距月天最高後四十五度應
減之二平均也又設日在壬距月天最
高一百三十五度而在中距後四十五
度距日天最高亦一百三十五度此時
一平均應加八分三十秒月在癸望距
本天最高三百一十五度初均應加四
度二十分二十四秒實行應比平行多
四度二十八分五十四秒然測太陰實
[002-53b]
行却比平行多四度三十二分四十七
[002-54a]
秒比所推實行多三分五十三秒是為
日在最高後一百三十五度時距月天
中距後四十五度應加之二平均也又
設日在子距月天最高二十度距日天
最高亦二十度此時一平均應加三分
五十八秒月在丑望距本天最高二百
度初均應加二度四十四分二秒實行
比平行應多二度四十八分然測太隂
[002-54b]
實行僅比平行多二度四十五分四十
二秒比所推實行少二分一十八秒是
為日在最高後二十度時距月天最高
二十度應減之二平均也又設日在寅
距月天最高一百一十度而在中距後
二十度距日天最高亦一百一十度此
時一平均應加一十一分一十二秒月
在卯望距本天最高後二百九十度初
均應加四度五十五分一十六秒實行
[002-54b]
比平行應多五度六分二十八秒然測
[002-55a]
太陰實行却比平行多五度八分五十
六秒比所推實行多二分二十八秒是
為日在最高後一百一十度時距月天
最高一百一十度應加之二平均也
以上測得諸數與本天面積比例相似
如甲乙丙丁為最大兩心差之撱圓其
面積小甲戊丙己為最小兩心差之撱
圓其面積大甲庚丙辛為相加折半之
[002-55b]
撱圓其面積適中今以適中之面積均
分之為平行在小面積必比中積為少
故平行遲在大面積必比中積為多故
平行速然其遲速之限止在日距月最
高倍度九十度之間故其遲速之差亦
至九十度而止試以最大兩心差之甲
乙壬撱圓九十度積七八三六四四八
三二一一一四二與最小兩心差之甲
戊壬撱圓九十度積七八四六六○九
[002-55b]
○二五九四六七相減餘一○一六○
[002-56a]
七○四八三二五為甲乙戊積折半得
五○八○三五二四一六二為甲乙庚
積與甲庚戊積等以適中一秒積二四
二○二二四九○除之得二百一十秒
収為三分三十秒比日在最高之最大
二平均僅少四秒今仍用舊數
又日在最高距地逺而差數小日在最
卑距地近而差數大與轉比例相似試
[002-56b]
以日在最卑距地九八三一之平方九
六六四為一率日在最高距地一○一
六九之平方一○三四○為二率面積/從末
截去十位/以便入算日在最高距地數乗最高二
平均三分三十四秒之長方為三率求
得四率為日在最卑距地數乗最卑二
平均之長方以最卑距地數除之得三
分五十六秒强為日在最卑之二平均
又法先以四率最卑距地數與一率最
[002-56b]
卑平方相乗得最卑距地之立方九五
[002-57a]
○一五二為一率以三率最高距地數
與二率最高平方相乗得最高距地之
立方一○五一五六二為二率立方積/從末截
去十五位/以便入算即以日在最高二平均三分
三十四秒為三率則得四率即為日在
最卑二平均三分五十六秒與表合
日距月最高逐度之二平均以半徑與
日距月最高倍度之正弦為比例如甲
[002-57b]
為地心甲乙為中數兩心差甲丙為最
大兩心差甲丁為最小兩心差日在月
天最高月本天心在丙面積最小平行
最遲自丙向戊所遲漸少迨日距月天
最高四十五度則月本天心自丙行九
十度至戊面積適中即無所遲而復於
平行然積遲之多正在戊故為最大之
減差由戊向丁面積漸大平行漸速然
因有積遲之度方以次相補迨日距月
[002-57b]
天最高九十度則月本天心自丙行一
[002-58a]
百八十度至丁平行最速而積遲之度
方補足無缺故自丙至丁半周皆為減
差也日在月天中距月本天心在丁面
積最大平行最速自丁向己所速漸少
迨日距月天最高一百三十五度則月
本天心自丙行二百七十度至己面積
適中即無所速而復於平行然積速之
多正在己故為最大之加差由己向丙
[002-58b]
面積漸小平行漸遲然因有積速之度
方以次相消迨日距月天最高後半周
與月天最卑同度則月本天心自丙行
一周復至丙平行最遲而積速之度始
消盡無餘故自丁至丙半周皆為加差
也日距月天最卑後皆倣此今以日距
月最高倍度之正弦為比例自丙向戊
自丁向己正弦漸大而其較漸小自戊
向丁自己向丙正弦漸小而其較漸大
[002-58b]
故自戊㸃而後所減漸少而所少之較
[002-59a]
又漸大實即加也加至丁㸃而極自丁
㸃而後為加雖所加漸多而所加之較
實漸小至己則逐日所加相等是即無
所加矣自己㸃而後所加漸少而所少
之較又漸大實即減也減至丙㸃而極
自丙㸃而後為減雖所減漸多而所減
之較實漸小至戊則逐日所減相等是
即無所減矣故太陰平行以丙㸃前後
[002-59b]
為遲丁㸃前後為速而遲速之差至戊
己二㸃而止其間逐度之二平均皆以
日距月最高倍度之正弦為比例也
太陽距地逐度二平均較以太陽高卑
距地之立方較與本日太陽距地之立
方較為比例蓋以本日太陽距地之立
方與最高距地之立方為比同於最高
之二平均與本日太陽距地之二平均
為比此正理也法見/前然以此立表則不
[002-59b]
勝其繁而逐度太陽距地之立方推算
[002-60a]
亦不易且其至大之差不過二十二秒
用立方較為比例其數巳自相合故先
以日在最高之最大二平均三分三十
四秒比例得日在最高時本日之二平
均又以日在最卑之最大二平均三分
五十六秒比例得日在最卑時本日之
二平均兩二平均相減為高卑二平均
之較乃以日在最高距地一○一六九
[002-60b]
之立方一○五一五六二與日在最卑
距地九八三一之立方九五○一五二
相減餘一○一四一○為高卑立方大
較為一率高卑二平均之較為二率本
日太陽距地之立方與最高距地之立
方相減為本日之立方較為三率求得
四率為本日二平均較與日在最高之
二平均相加即得本日之二平均也
[002-61a]
求三平均
前篇言日天最高與月天最高同度或相距一百八
十度日月又同在最高卑則實行與平行合為一線
無諸均數然惟太陽在兩交與大距為然若太陽在
兩交後則平行又稍遲在大距後則平行又稍速其
最大差為四十七秒名曰三平均蓋白極在正交均
輪周新法算書謂行月距日之倍度奈端以来謂行
日距正交之倍度詳見後/交均篇故惟太陽在兩交與大距
[002-61b]
則白極與均輪心參直其平行無加減太陽在兩交
後則白極在均輪心之東而白道經圏之過黄道者
亦差而東其黄道舊㸃所當白道度即差而西故平
行應減而遲也太陽在大距後則白極在均輪心之
西而白道經圏之過黄道者亦差而西其黄道舊㸃
所當白道度即差而東故平行應加而速也此其所
差止在數十秒之間雖不易得之仰觀而實可稽諸
儀象其法以半徑一千萬與均輪半徑切線為比同
於本輪半徑與最大三平均切線為比而逐度之三
[002-61b]
平均皆以半徑與日距正交倍度之正即為比例焉
[002-62a]
如圖甲為黄極乙丙丁戊
為黄道以最大黄白大距
五度一十七分二十秒與
最小黄白大距四度五十
九分三十五秒相加折半
得五度八分二十七秒半
為黄白大距之中數以中
數為半徑作己庚辛壬圏
[002-62b]
為白極繞黄極本輪又以
兩大距相減折半得八分
五十二秒半為半徑作癸
子丑寅圏為負白極均輪
均輪心循本輪周左旋自
己向庚每日三分有餘為
正交行度白極循均輪周
右旋自癸向子每日二度
四分有餘為日距正交之
[002-62b]
倍度日在兩交白極在癸
[002-63a]
日在大距白極在丑與均
輪心參直成一直線故無
三平均如日距兩交後四
十五度則白道之北極自
癸行九十度至子在均輪
心之東而白道之南極即
轉在均輪心之西白道經
圏交白道於卯當黄道之
[002-63b]
辰在乙㸃黄道度之東而
白道經圏之過乙㸃者即
當白道之己是白道度退
矣白道度退則太隂亦隨
之而退故白極在癸子丑
半周三平均皆為減差也
如日在大距後四十五度
則白道之北極自丑行九
十度至寅在均輪心之西
[002-63b]
而白道之南極即轉在均
[002-64a]
輪心之東白道經圏交白
道於卯當黄道之午在乙
㸃黄道度之西而白道經
圏之過乙㸃者即當白道
之未是白道度進矣白道
度進則太陰亦隨之而進
故白極在丑寅癸半周三
平均皆為加差也巳卯子
[002-64b]
卯寅卯皆九十度巳角子
角寅角皆直角巳子巳寅
皆均輪半徑八分五十二
秒半即卯角度乙卯五度
八分二十七秒半與甲己
本輪半徑等故以半徑一
千萬與卯角正切線二五
八一六為比同於乙卯弧
之正弦八九六○六六與
[002-64b]
乙午或乙辰之正切線二
[002-65a]
三一三為比而得乙午乙
辰弧各四十七秒為最大
三平均若日距正交之倍
度不及九十度或過九十
度則巳角或鋭或鈍不得
成直角而卯角與乙辰乙
午三平均皆以漸而小當
用弧線三角形法推算然
[002-65b]
均輪半徑不過八分餘其
逐度之正弦即與卯角等
故逐度之三平均即以半
徑與日距正交倍度之正
弦為比例也今按三平均
係白道度當用卯巳與卯
未弧又按推交均法将均
輪半徑減五十秒餘巳申
八分二秒半為小輪半徑
[002-65b]
則三平均又當用卯酉弧
[002-66a]
然以數推之卯巳弧為四
十八秒卯酉弧為四十三
秒其差不逺故即以均輪
半徑比例為省算云
[002-67a]
求二均數
新法算書惟太陰兩弦行度止有初均二均兩弦前
後始有三均初均之最大者四度五十八分餘二均
之最大者二度二十七分餘三均之最大者四十二
分餘計兩弦前後最大差共八度弱噶西尼以来屢
加測驗謂兩弦太陰行度止有初均三均而三均又
不盡關乎兩弦之故二均之最大者不在兩弦而在
朔弦弦望之間其初均之最大者七度三十九分三
[002-67b]
十四秒二均之最大者三十七分一十一秒計兩弦
前後最大差共八度强則是今之二均固兼新法算
書二均三均之義而其數則又不同蓋太陰去地甚
近其行最著又二十七日有竒而一周天一月之中
備日行四時之軌至為參錯不齊古人惟重交食故
朔望而外置之弗論西人第谷始創二三均之法其
門人精測不已又數十年然後改定則其數必實有
所據而非為臆説也其法定日在最高朔望前後四
十五度最大差為三十三分一十四秒日在最卑朔
[002-67b]
望前後四十五度最大差為三十七分一十一秒朔
[002-68a]
望後為加兩弦後為減其間月距日逐度之二均則
以半徑與月距日倍度之正弦為比例其太陽距最
高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方較與
本日太陽距地之立方較為比例與二平均同測算
之法並設於後
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設月天最高在日天最高丙太陽
[002-68b]
在最高丙太陰在庚距最高四十五度
距日亦四十五度為朔與上弦之間此
時太陰初均應減五度六分一十一秒
然測太陰實行則僅比平行少四度三
十一分一十四秒比所推實行多三十
四分五十七秒若太隂在辛距最高二
百二十五度距日亦二百二十五度而
在望後四十五度為望與下弦之間此
時太隂初均應加五度四十四分二十
[002-68b]
九秒然測太隂實行却比平行多六度
[002-69a]
一十六分比所推實行多三十一分三
十一秒又設太隂在壬距最高三百一
十五度距日亦三百一十五度而在朔
前四十五度為下弦與朔之間此時太
隂初均應加五度六分一十一秒然測
太陰實行則僅比平行多四度三十一
分一十四秒比所推實行少三十四分
五十七秒若太陰在癸距最高一百三
[002-69b]
十五度距日亦一百三十五度而在望
前四十五度為上弦與望之間此時太
隂初均應減五度四十四分二十九秒
然測太隂實行却比平行少六度一十
六分比所推實行少三十一分三十一
秒兩測太陽同在最高前測太隂在朔
望後四十五度實行皆比所推為多後
測太陰在朔望前四十五度實行皆比
所推為少是知太陰在朔望後則加在
[002-69b]
朔望前則減為二均之故矣然朔後則
[002-70a]
多數大望後則多數小朔前則少數大
望前則少數小是必另有一均因朔後
而加望後而減者於是以大小兩數相
減折半得一分四十三秒别為三均以
減大數加小數得三十三分一十四秒
為太陽在最高時月在朔望前後四十
五度之最大二均數朔望後為加兩弦
後為減也
[002-70b]
設月天最高在日天最卑戊太陽在最
卑戊太陰在辛距最高四十五度距日
亦四十五度為朔與上弦之間此時太
隂初均應減五度六分一十一秒然測
太隂實行則僅比平行少四度二十七
分一十七秒比所推實行多三十八分
五十四秒若太隂在庚距最高二百二
十五度距日亦二百二十五度而在望
後四十五度為望與下弦之間此時太
[002-70b]
隂初均應加五度四十四分二十九秒
[002-71a]
然測太陰實行却比平行多六度一十
九分五十七秒比所推實行多三十五
分二十八秒又設太陰在癸距最高三
百一十五度距日亦三百一十五度而
在朔前四十五度為下弦與朔之間此
時太陰初均應加五度六分一十一秒
然測太陰實行則僅比平行多四度二
十七分一十七秒比所推實行少三十
[002-71b]
八分五十四秒若太陽在壬距最高一
百三十五度距日亦一百三十五度而
在望前四十五度為上弦與望之間此
時太陰初均應減五度四十四分二十
九秒然測太陰實行却比平行少六度
一十九分五十七秒比所推實行少三
十五分二十八秒兩測太陽同在最卑
前測太陰在朔望後四十五度實行皆
比所推為多後測太陰在朔望前四十
[002-71b]
五度實行皆比所推為少是知太陰在
[002-72a]
朔望後則加在朔望前則減為二均之
故矣然朔後則多數大望後則多數小
朔前則少數大望前則少數小是必另
有一均因朔後而加望後而減者於是
以大小兩數相減折半得一分四十三
秒别為三均以減大數加小數得三十
七分一十一秒為太陽在最卑時月在
朔望前後四十五度之最大二均數朔
[002-72b]
望後為加兩弦後為減也
設月天最高當日天最高丙太陽在最
高丙太陰在子距最高三十度距日亦
三十度此時太陰初均應減三度三十
三分五十七秒然測太陰實行僅比平
行少三度三分五十七秒比所推實行
多三十分若太陰在丑距最高二百一
十度距日亦二百一十度而在望後三
十度此時太陰初均應加四度七分一
[002-72b]
十三秒然測太陰實行却比平行多四
[002-73a]
度三十四分四十七秒比所推實行多
二十七分三十四秒又設太隂在寅距
最高三百三十度距日亦三百三十度
而在朔前三十度此時太陰初均應加
三度三十三分五十七秒然測太隂實
行僅比平行多三度三分五十七秒比
所推實行少三十分若太陰在卯距最
高一百五十度距日亦一百五十度而
[002-73b]
在望前三十度此時太陰初均應減四
度七分一十三秒然測太隂實行却比
平行少四度三十四分四十七秒比所
推實行少二十七分三十四秒兩測太
陽同在最高前測太陰在朔望後三十
度實行皆比所推為多後測太陰在朔
望前三十度實行皆比所推為少是知
太陰在朔望後則加在朔望前則減為
二均之故矣然朔後則多數大望後則
[002-73b]
多數小朔前則少數大望前則少數小
[002-74a]
是必另有一均因朔後而加望後而減
者於是以大小兩數相減折半得一分
一十三秒别為三均以減大數加小數
得二十八分四十七秒為日在最高時
月距日三十度之二均數朔望後為加
兩弦後為減也乃以前第一測月距日
四十五度倍之得九十度其正弦即半
徑一千萬為一率前第一測月距日四
[002-74b]
十五度之二均三十三分一十四秒為
二率第三測月距日三十度倍之得六
十度其正弦八六六○二五四為三率
求得四率二十八分四十七秒與所測
合故知月距日逐度之差以半徑與月
距日倍度之正弦為比例也
又設月天最高在日天最高丙太陽在
辰距本天最高三十度距月天最高亦
三十度太陰在己距本天最高六十度
[002-74b]
距日三十度此時一平均應加五分四
[002-75a]
十九秒二平均應減三分六秒初均應
減五度五十三分二十二秒三均應加
一分一十三秒實行應比平行少五度
四十九分二十六秒然測太陰實行則
僅比平行少五度二十分二十六秒比
所推實行多二十九分是為日在日天
最高後三十度時月距日三十度應加
之二均數與本天高卑比例相合蓋以
[002-75b]
日在最卑距地之立方九五○一五二
為一率日在最高距地之立方一○五
一五六二為二率以日在最高之最大
二均數三十三分一十四秒加高卑二
平均較二十二秒得三十三分三十六
秒為三率則得四率三十七分一十一
秒為日在最卑之最大二均數以今設
日距最高三十度距地一○一四五六
之立方一○四四三一九為一率日在
[002-75b]
最高距地之立方一○五一五六二為
[002-76a]
二率以日在最高月距日三十度之二
均數二十八分四十七秒加本日二平
均較一秒法見前求/二平均篇得二十八分四十
八秒為三率則得四率二十九分為本
日之二均數此正理也然列表則甚繁
而入算亦不易故先以半徑為一率日
在最高最大二均數三十三分一十四
秒為二率月距日三十度倍之得六十
[002-76b]
度其正弦八六六○二五四為三率得
四率二十八分四十七秒為日在最高
月距日三十度之二均數又以半徑為
一率日在最卑最大二均數三十七分
一十一秒為二率月距日倍度之正弦
為三率得四率三十二分一十二秒為
日在最卑月距日三十度之二均數兩
二均之較為三分二十五秒乃以太陽
高卑立方大較一○一四一○為一率
[002-76b]
兩二均之較三分二十五秒為二率日
[002-77a]
距最高三十度距地之立方一○四四
三一九與最高距地之立方一○五一
五六二相減餘七二四三為本日立方
較為三率求得四率一十四秒與日在
最高之二均相加得二十九分一秒為
日距最高三十度時月距日三十度之
二均數比前法僅多一秒故太陽距最
高逐度二均之差以日天高卑距地之
[002-77b]
立方較與本日太陽距地之立方較為
比例也
[002-78a]
求三均末均
新法算書推歩朔望兩弦皆無三均數而三均之最
大者毎在朔弦弦望之間故知三均之差生於月距
日之倍度自噶西尼以来以朔弦弦望間之最大差
屬之二均而月距日九十度與月高距日高九十度
其差正等見求兩心差第二第三條/求一平均第一第二條月距日四十五
度與月高距日高四十五度其差又等見求一平均/第三條求二
平均第一條求/二均第一條則是三均之差不専係乎月距日之
[002-78b]
故也於是取月距日與月高距日高之共為九十度
時測之其差與月距日或月高距日高之獨為九十
度者等又取月距日與月高距日高之共為四十五
度時測之其差與月距日或月高距日高之獨為四
十五度者等乃知三均之差生於月距日與月高距
日高之總度半周内為加半周外為減其九十度與
二百七十度之最大差為二分二十五秒其間逐度
之差以半徑與總度之正弦為比例則三均之法定
矣然必日月最高同度或日月同度兩者止有一相
[002-78b]
距之差則止有三均若月天最高與日天最高有距
[002-79a]
度日月又有距度則三均之外朔後又差而遲望後
又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十
度時無三均而其差反最大故知三均之外又有末
均乃将月高距日高九十度分為九限各於月距日
九十度時測之兩高相距九十度其差三分漸近則
漸小其間月距日逐度末均之差皆以半徑與月距
日之正弦為比例朔後為減望後為加而後推太隂
經度之法纎悉具備今考其所測其數之小者只在
[002-79b]
秒微之間其時又數十年而不一遇然其用意細宻
學者茍通乎此何患推測之無術歟
如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己
為日本天丙為最高戊為最卑丁己為
中距設日在最高丙月天最高在庚距
日天最高四十五度日距月天最高三
百一十五度月在最高庚距日四十五
度與月高距日高共為九十度此時二
平均應加三分三十四秒二均應加三
[002-79b]
十三分一十四秒實行應比平行多三
[002-80a]
十六分四十八秒然測太隂實行却比
平行多三十八分五秒半比所推實行
多一分一十七秒半若月天最高在辛
距日天最高二百二十五度日距月天
最高一百三十五度月在最高辛距日
二百二十五度與月高距日高共為四
百五十度減全周餘亦九十度此時二
平均亦應加三分三十四秒二均亦應
[002-80b]
加三十三分一十四秒實行應比平行
多三十六分四十八秒然測太陰實行
却比平行多四十分二十秒半比所推
實行多三分三十二秒半又設月天最
高在壬距日天最高三百一十五度日
距月天最高四十五度月在最高壬距
日三百一十五度與月高距日高共六
百三十度減全周餘二百七十度此時
二平均應減三分三十四秒二均應減
[002-80b]
三十三分一十四秒實行應比平行少
[002-81a]
三十六分四十八秒然測太陰實行却
比平行少三十八分五秒半比所推實
行少一分一十七秒半若月天最高在
癸距日天最高一百三十五度日距月
天最高二百二十五度月在最高癸距
日一百三十五度與月高距日高亦共
為二百七十度此時二平均亦應減三
分三十四秒二均亦應減三十三分一
[002-81b]
十四秒實行應比平行少三十六分四
十八秒然測太陰實行却比平行少四
十分二十秒半比所推實行少三分三
十二秒半前測兩距總數共九十度實
行皆比所推為多後測兩距總數共二
百七十度實行皆比所推為少是知兩
距之總度半周内為加半周外為減兩
三均之故矣然距日半周内則多數小
少數大距日半周外則多數大少數小
[002-81b]
是必另有一均因朔後而減望後而加
[002-82a]
者於是以大小兩數相減折半得一分
七秒半别為末均以加小數減大數得
二分二十五秒為兩距共九十度與二
百七十度之三均九十度為加二百七
十度為減也
設日在最高丙月天最高在子距日天
最高二十二度半日距月天最高三百
三十七度半月在最高子距日二十二
[002-82b]
度半與月高距日高共為四十五度此
時二平均應加二分三十一秒二均應
加二十三分三十秒實行應比平行多
二十六分一秒然測太陰實行却比平
行多二十七分一十八秒七微半比所
推實行多一分一十七秒七微半若月
天最高在丑距日天最高二百零二度
半日距月天最高一百五十七度半月
在最高丑距日二百零二度半與月高
[002-82b]
距日高共四百零五度減全周餘亦四
[002-83a]
十五度此時二平均亦應加二分三十
一秒二均亦應加二十三分三十秒實
行應比平行多二十六分一秒然測太
陰實行却比平行多二十八分九秒五
十二微半比所推實行多二分八秒五
十二微半又設月天最高在寅距日天
最高三百三十七度半日距月天最高
二十二度半月在最高寅距日三百三
[002-83b]
十七度半與月高距日高共六百七十
五度減全周餘三百一十五度此時二
平均應減二分三十一秒二均應減二
十三分三十秒實行應比平行少二十
六分一秒然測太陰實行却比平行少
二十七分一十八秒七微半比所推實
行少一分一十七秒七微半若月天最
高在卯距日天最高一百五十七度半
日距月天最高二百零二度半月在最
[002-83b]
高卯距日一百五十七度半與月高距
[002-84a]
日高亦共為三百一十五度此時二平
均亦應減二分三十一秒二均亦應減
二十三分三十秒實行應比平行少一
十六分一秒然測太陰實行却比平行
少二十八分九秒五十二微半比所推
實行少二分八秒五十二微半前測兩
距總數共四十五度實行皆比所推為
多後測兩距總數共三百一十五度實
[002-84b]
行皆比所推為少是知兩距總度半周
内為加半周外為減為三均之故矣然
距日半周内則多數小少數大距日半
周外則多數大少數小是必另有一均
因朔後而減望後而加者於是以大小
兩數相減折半得二十五秒五十二微
半别為末均以加小數減大數得一分
四十三秒為兩距共四十五度與三百
一十五度之三均四十五度為加三百
[002-84b]
一十五度為減也
[002-85a]
前測日月同度兩高相距九十度三均
差二分二十五秒見求兩心差第二/條一平均第二條兩
高同度日月相距九十度三均亦差二
分二十五秒見求兩心差第三/條一平均第一條日月同
度兩高相距四十五度三均差一分四
十三秒見求二平/均第二條兩高同度日月相距
四十五度三均亦差一分四十三秒見/求
二均第/一條今測兩距共九十度三均亦差
[002-85b]
二分二十五秒兩距共四十五度三均
亦差一分四十三秒故知三均生於兩
距之總度而九十度之正弦與二分二
十五秒之比同於四十五度之正弦與
一分四十三秒之比故知逐度之三均
以半徑與總度之正弦為比例也
前測月天最高在日天高卑前後四十
五度月在朔望前後四十五度末均皆
為一分七秒半月天最高在日天高卑
[002-85b]
前後二十二度半月在朔望前後二十
[002-86a]
二度半末均皆為二十五秒五十二微
半可見月天最高距日天高卑前後之
度等則其差亦等月距朔望前後之度
等則其差亦等而獨四十五度與二十
二度半一分七秒半與二十五秒五十
二微半無以為比例於是取月天最高
距日天高卑前後九十度時按月距日
逐度測之設日在最高丙正當交點月
[002-86b]
天最高在丁距日天最高後九十度月
在最高丁距朔後九十度此時無一二
三平均亦無初二三均然測太陰實行
比平行少三分若月天最高在己距日
天最高前九十度月在己距日二百七
十度而距朔前九十度以測太陰實行
則比平行多三分是知月天最高距日
天最高前後九十度而月距日朔望前
後九十度時末均為三分朔後為減望
[002-86b]
後為加又設日在最高丙月天最高在
[002-87a]
丁距日天最高後九十度月在庚距最
高前六十度而在朔後三十度此時太
陰初均應加四度一十分五十六秒二
均應加二十八分四十七秒三均應加
二分六秒實行應比平行多四度四十
一分四十九秒然測太陰實行僅比平
行多四度四十分一十九秒比所推實
行少一分三十秒若月天最高在己距
[002-87b]
日天最高後二百七十度而距日天最
高前九十度月在辛距最高前六十度
距日二百一十度而距望後三十度此
時太陰諸均俱與前同然以測太陰實
行則比平行多四度四十三分一十九
秒比所推實行多一分三十秒又設日
在最高丙月天最高在丁月在壬距最
高後六十度距日一百五十度而距望
前三十度此時初均應減四度一十分
[002-87b]
五十六秒二均應減二十八分四十七
[002-88a]
秒三均應減二分六秒實行應比平行
少四度四十一分四十九秒然測太陰
實行却比平行少四度四十三分一十
九秒比所推實行少一分三十秒若月
天最高在己月在癸距日三百三十度
而距朔前三十度此時太陰諸均俱與
前同然以測太陰實行僅比平行少四
度四十分一十九秒比所推實行多一
[002-88b]
分三十秒是知月天最高距日天最高
前後九十度而月距日朔望前後三十
度時末均為一分三十秒朔後為減望
後為加又九十度之正弦一千萬與三
分之比同於三十度之正弦五百萬與
一分三十秒之比故知月距日逐度之
末均以半徑與月距日之正弦為比例
也乃用此法各於月距日九十度時測
得月天最高距日天高卑前後九十度
[002-88b]
最大末均為三分八十度最大末均為
[002-89a]
二分三十九秒七十度最大末均為二
分一十九秒六十度最大末均為二分
五十度最大末均為一分四十三秒四
十度最大末均為一分二十八秒三十
度最大末均為一分一十六秒二十度
最大末均為一分七秒一十度最大末
均為一分一秒月天最高與日天高卑
同度無末均其間月高距日高逐度之
[002-89b]
差用中比例法求得月天最高距日天
高卑前後四十五度之最大末均為一
分三十五秒半以半徑與月距日四十
五度之正弦為比例得本時末均為一
分七秒半又求得月天最高距日天高
卑前後二十二度半之最大末均為一
分九秒一十五微以半徑與月距日二
十二度半之正弦為比例得本時末均
為二十六秒二十二微半與前測合
[002-90a]
求交均及黄白大距
正交之行有遲疾由於黄白大距有大小上編言之
詳矣授時厯用古法黄白大距恒為六度以周天三/百六十度
每度六十分約之得五/度五十四分三十九秒朔望兩弦無異故無交均新
法算書測定朔望時交角即大/距度最小為四度五十八
分三十秒兩弦時交角最大為五度一十七分三十
秒兩距度之較為一十九分交均之最大者為一度
四十六分零八秒自奈端噶西尼以来謂日在兩交
[002-90b]
時交角最大為五度一十七分二十秒日距交九十
度時交角最小為四度五十九分三十五秒兩距度
之較為一十七分四十五秒朔望而後交角又有加
分因日距交與月距日之漸逺以漸而大至日距交
九十度月距日亦九十度時加三分四十三秒交均
之最大者為一度二十九分四十二秒皆與新法算
書不同然厯家測黄白大距必於月距交九十度時
夫月距交九十度而值朔望則日距交亦九十度是
今之謂日距交九十度交角小猶與朔望交角小之
[002-90b]
義同也月距交九十度而值兩弦則日必在兩交是
[002-91a]
今之謂日在兩交交角大猶與兩弦交角大之義同
也惟日在兩交而又值朔望則交角關乎食分之淺
深日距交九十度而又值兩弦則加分關乎距緯之
逺近是必驗諸實測古今確有不同之處㕘稽經緯
以成一家之言而非輕為改定也至其推算之法以
五十九為邊總五十六為邊較求得黄極之角為交
均以日距交月距日之餘弦比例得加分與最小之
交角相加為大距亦與新法算書不同則是作者務
[002-91b]
出新竒而又取其易於入算故近日西士皆從之稱
為新學今並悉其根源具詳圖説於左
如圖甲為黄極乙丙丁為
黄道以最大距限距限即/大距度
因大距又有大小/故名距限以别之五度一
十七分二十秒與最小距
限四度五十九分三十五
秒相加折半得五度八分
二十七秒半為距限中數
[002-91b]
以中數為半徑作戊己庚
[002-92a]
辛圏為白極繞黄極本輪
又以兩距限相減折半得
八分五十二秒半為半徑
作壬癸子丑圏為負白極
均輪均輪心循本輪周左
旋自戊向己每日三分有
餘為正交行度白極循均
輪周右旋自壬向癸每日
[002-92b]
二度四分有餘為日距正
交之倍度如均輪心在戊
日在兩交時白極在壬正
交在乙中交在丁寅丙弧
為最大距限五度一十七
分二十秒與壬甲弧等日
距交九十度時白極在子
正交亦在乙中交亦在丁
卯丙弧為最小距限四度
[002-92b]
五十九分三十五秒與子
[002-93a]
甲弧等惟此二時白極與
輪心同在一線故無交均
日厯兩交而後白極從壬
向癸距限漸小交行漸遲
交均俱為加差日距交九
十度而後白極從子向丑
距限漸大交行漸疾交均
俱為減差正交逆行故加/為遲減為疾也
[002-93b]
此即上編求交均大距之
法惟白極行日距正交之
倍度與月距日倍度不同
耳然用是以推交均則與
今表不合設日距交四十
五度白極自壬行九十度
至癸交均戊甲癸角當為
一度三十九分一秒今表
則為一度二十九分四十
[002-93b]
秒其法以五十九為一率
[002-94a]
五十六為二率日距正交
之正切線為三率求得四
率為正切線檢表與日距
正交相減得交均盖弧線
三角形之小者可作直線
算而甲戊癸三角形知甲
戊戊癸二邊及壬戊癸外
角當用切線分外角法日
[002-94b]
距正交之度即半外角也
則五十九必邊總也五十
六必邊較也以數推之戊
辰當為四百八十二秒半
辰癸當為五十秒用約分
比例甲戊一萬八千五百
零七秒半為五十七分半
則戊辰四百八十二秒半
為一分四九九若以甲戊
[002-94b]
正弦八九六○六六為五
[002-95a]
十七分半則戊辰正弦二
三三九二為一分五○一
折中而取之為一分半故
相加得五十九分為邊總
相減得五十六分為邊較
此其為立法所自来斷如
矣然用是以求大距則又
與今表不合盖均輪之内
[002-95b]
仍有一小輪試将壬子均
輪全徑一千零六十五秒
五分之得二百一十三秒
除一百六十三秒為加分
小輪全徑餘五十秒即為
交均小輪全徑與均輪全
徑相減餘一千零一十五
秒為負小輪全徑小輪心
循負小輪周右旋行日距
[002-95b]
正交之倍度白極自小輪
[002-96a]
最逺㸃左旋行輪心之倍
度如日在兩交無距度則
小輪心在己白極在壬無
交均仍以壬甲弧為距限
也日距交九十度則小輪
心自己行一百八十度至
午白極自最逺子行三百
六十度仍至子無交均仍
[002-96b]
以子甲為距限也如日距
交四十五度則小輪心自
己行九十度至未白極自
最逺癸行一百八十度至
辰戊甲辰角一度二十九
分四十秒為交均辰甲五
度八分三十四秒為距限
也如日距交三十度則小
輪心自己行六十度至申
[002-96b]
白極自最逺酉行一百二
[002-97a]
十度至戌戊甲戌角一度
一十六分三十七秒為交
均表多/二秒戌甲五度一十二
分五十八秒為距限也先/用
戊酉斗三角形求得酉斗/邉七分四十一秒一六斗
戊邉四分二十六秒二五/則斗甲為五度一十二分
五十三秒七五次求得酉/戌通弦四十三秒三○與
酉斗相減餘六分五十七/秒八六為斗戌邉然後用
[002-97b]
斗甲戌直角形求甲/角及甲戌邉餘倣此如日
距交六十度則小輪心自
巳行一百二十度至亥白
極自最逺亢行二百四十
度至氐戊甲氐角一度一
十八分五十秒為交均表/少
九/秒氐甲五度四分六秒為
距限也如此則交均距限
理數皆極精宻而推算則
[002-97b]
屬繁難且交均用小輪與
[002-98a]
去一小輪全徑作小均輪
其角度相去不逺見/前距限
用弦與用股其邉度亦相
去不逺見/後故將戊癸均輪
半徑五百三十二秒半減
癸辰小輪全徑五十秒餘
戊辰四百八十二秒半作
小均輪半徑則甲戊與戊
[002-98b]
辰之比常如五十七分半
與一分半之比用切線分
外角法即得逐度之交均
以半徑一千萬為一率日
距正交倍度之正矢為二
率過九十度/則用大矢仍以均輪壬
戊半徑五百三十二秒半
為三率酉斗癸戊亢牛等/線皆為均輪正弦
壬斗壬戊壬牛等線皆為/均輪正矢故仍以均輪半
[002-98b]
徑為/比例求得四率為距交減
[002-99a]
分如壬斗壬戊/壬牛之類與壬甲最
大距限五度一十七分二
十秒相減即得逐度之距
限也斗甲為五度一十二/分五十四秒比戊甲
少四秒戊甲為五度八分/二十八秒比辰甲少六秒
牛甲為五度四分一秒比/氐甲少五秒故日相去不
逺/然此又惟朔望為然朔
望而後交角又有加分因
[002-99b]
日距交與月距日之漸逺
以漸而大至日距交九十
度月距日亦九十度時交
角比朔望大二分四十三
秒蓋白道之上又有小輪
其周之下點與白道相切
日距交漸逺其徑漸大至
日距交九十度時最大全
徑為二分四十三秒其逐
[002-99b]
度之小輪全徑與最大小
[002-100a]
輪日距正交倍度之正矢
等是為距交加差朔望而
後白道以漸而張與白道
小輪月距日倍度之正矢
等凡正矢過九十度/俱用大矢後倣此是為
距日加分如白極在壬無
日距交度則無白道小輪
即無距交加差如白極在
[002-100b]
子日距交倍度為一百八
十度則白道小輪女卯全
徑為二分四十三秒即距
交加差一百八十度之大/矢即全徑故小輪
全徑/最大設兩弦時月距日倍
度為一百八十度則白道
自卯張至女女卯小輪全
徑即為距日加分一百八/十度之
大矢即全徑故交角加/分即與小輪全徑等與
[002-100b]
卯丙距限相加卯丙與/子甲等得
[002-101a]
女丙為黄白大距設月距
日倍度為六十度則白道
張至危以半徑一千萬為
一率六十度之正矢五百
萬為二率半徑與餘弦/相減為正矢小
輪半徑一分二十一秒半
為三率求得四率危卯四
十一秒為距日加分與卯
[002-101b]
丙距限相加得危丙為黄
白大距又如白極在辰日
距交倍度為九十度則白
道小輪乾坎全徑一分二
十一秒半為女卯最大小
輪全徑之一半是為距交
加差九十度之正矢與半/徑等故白道小輪全
徑與最大小/輪半徑等設月距日倍
度為一百二十度則白道
[002-101b]
張至艮以半徑一千萬為
[002-102a]
一率一百二十度之大矢
一千五百萬為二率半徑/與餘
弦相加/為大矢小輪半徑四十秒
七五為三率求得四率坎
艮一分一秒為距日加分
與坎震距限相加坎震與/辰甲等
得艮震為黄白大距其數
悉與今表相合而表之立
[002-102b]
算則不用距交減分而總
用加分其法以半徑一千
萬為一率日距正交倍度
之餘弦為二率壬戊均輪
半徑八分五十二秒半為
三率求得四率如斗戊與
戊牛之類日距正交倍度
九十度以内者與戊子半
徑相加得數如斗子之類
[002-102b]
日距正交倍度九十度以
[002-103a]
外者與戊子半徑相減得
數如牛子之類是為距交
加分蓋前以壬斗壬牛等
類之距交減分與壬甲最
大距限相減此以斗子牛
子等類之距交加分與子
甲最小距限相加其得數
同也至求距日加分則又
[002-103b]
用兩加差為比例先以半
徑一千萬為一率日距正
交倍度之正矢為二率最
大加分二分四十三秒折
半得一分二十一秒半為
三率求得四率為距交加
差次以半徑一千萬為一
率月距日倍度之正矢為
二率仍以最大加分之半
[002-103b]
數一分二十一秒半為三
[002-104a]
率求得四率為距日加差
乃以最大加分二分四十
三秒為一率距交加差為
二率距日加差為三率求
得四率為距日加分蓋距
交加差即白道小輪全徑
用其半徑與月距日倍度
之正矢為比例即得距日
[002-104b]
加分今距日加差與距交
加差同列一表仍以最大
加分為全徑立算則其所
得距日加差乃差之最大
者故以最大加分即最大/小輪全
徑/也與距交加差之比即本/時小
輪全/徑也同於最大距日加差
最大小輪/全徑所生與本時距日加
分之比也本時小輪/全徑所生以距
[002-104b]
日加分與距交加分相加
[002-105a]
為交角加分與最小距限
相加即為黄白大距蓋以
距交加分加於最小距限
與以距交減分減於最大
距限其得數旣同而得距
限之後再加距日加分與
先以距日加分與距交加
分相加而後加於最小距
[002-105b]
限其得數亦同也論法則
用交角減分為明列表則
用交角加分為便故推月
離之法則兩載之實並行
而不相悖也
[002-106a]
地半徑差
太陰地半徑差以太陰距地平及距地心之逺近為大
小上編言之詳矣顧舊法高卑距地心有定數而推距
地平逐度之視差則皆用三角形立表易而推算難故
自五十三倍地半徑至六十二倍地半徑列為十表今
法高卑距地心無定數太陰之自行雖同度而距地心
之逺近常不同至推距地平逐度之視差則即以距天
頂之正弦與地平最大差為比例見本編日躔/地半徑差篇立表難
[002-106b]
而推算易故以最大兩心差與最小兩心差各求太陰
自高至卑逐度之地平最大差合為一表若兩心差在
大小之間者則用中比例求之法見/本表其求太陰自高至
卑逐度地平最大差之法則先求得兩心差最大時最
高距地心一○六六七八二○為六十三倍地半徑又
百分之七十七最卑距地心九三三二一八○為五十
五倍地半徑又百分之七十九兩心差最小時最高
距地心一○四三三一九○為六十二倍地半徑又
[002-107a]
百分之三十七最卑距地心九五六六八一○為五十
七倍地半徑又百分之一十九中距距地心一千萬
為五十九倍地半徑又百分之七十八測算之法/並同上編依
法求得太陰自高至卑逐度距地心線與地半徑之
比例及地平最大差列為表因其為推交食之用故
表入交食焉
[002-107b]
御製厯象考成後編卷二