[001-1a] 
欽定四庫全書
御製厯象考成後編卷一
日躔數理
日躔總論
嵗實
黄赤距緯
清蒙氣差
地半徑差
[001-1b]
用撱圓面積為平行
求兩心差及撱圓與平圓之比例
求撱圓大小徑之中率
撱圓角度與面積相求
求均數
[001-2a]
日躔總論
欽若授時以日躔為首務蓋日出而為晝入而為夜與
月㑹而為朔行天一周而為嵗嵗月日皆於是乎紀故
堯典以賓餞永短定治厯之大經萬世莫能易也其推
步之法三代以上不可考漢晉諸家皆以日行一度三
百六十五日四分日之一而一周天自北齊張子信始
覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與
四序為升降厥法加詳至元郭守敬乃分盈縮初末四
[001-2b]
限較前代為密西法自多禄畝以至第谷則立為本天
髙卑本輪均輪諸説用三角形推算其術尤精上編言
之備矣近世西人刻白爾噶西尼等更相推考又以本
天為撱圓均分其面積為平行度與舊法逈殊然以求
盈縮之數則界乎本輪均輪所得數之間盖其法之巧
合雖若與第谷不同而其理則猶是本天髙卑之説也
至若嵗實之轉増距緯與兩心差之漸近地半徑差蒙
氣差之互為大小則亦由於積候損益舊數以成一家
[001-3a]
之言今用其法並釋其義云
[001-4a]
嵗實
日行天一周為嵗周嵗之日分為嵗實古法日行一度
故周天為三百六十五度四分度之一嵗實為三百六
十五日四分日之一周日為一萬分四分/之一為二千五百分堯典曰朞三
百有六旬有六日杜預謂舉全數而言則有六日其實
五日四分日之一是也漢末劉洪始覺冬至後天以為
嵗實太强減嵗餘分二千五百為二千四百六十二晉
虞喜宋何承天祖沖之謂嵗當有差乃損嵗餘以益天
[001-4b]
周嵗差之法由斯而立元郭守敬取劉宋大明戊寅以
來相距之積日時刻求得嵗實為三百六十五日二千
四百二十五分比四分日之一減七十五分而天周即
為三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三
百六十度第谷定嵗實為三百六十五日五時三刻三
分四十五秒以周日一萬分通之得三百六十五日二
四二一八七五較之郭守敬又減萬分之三有竒以除
周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十
[001-5a]
九微四十九纖五十一忽三十九芒即十分度之九分/八五六四七三六
五/八嵗差則謂恒星每年東行五十一秒不特天自為天
嵗自為嵗而星又自為星其理甚明其用尤便上編仍
之厥後西人奈端等屢測嵗實又謂第谷所減太過酌
定嵗實為三百六十五日五時三刻三分五十七秒四
十一微三十八纖二忽二十六芒五十六塵以周日一
萬分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一
四一五比第谷所定多萬分之一有竒以除周天三百
[001-5b]
六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十
四纖四十三忽二十二芒零三塵即十分度之九分八/五六四六九六九三
五一二八/二二五比第谷所定少五纖有竒每年少三十微有
竒盖嵗實之分數増則日行之分數減據今表推雍正
元年癸卯天正冬至比第谷舊表遲二刻日躔平行根
比舊表少一分一十四秒見推日/躔用數而第谷去今一百四
十餘年以數計之其差恰合是亦取前後兩冬至相距
之積日時刻而均分之非意為増損也至於嵗實消長
[001-6a]
統天授時用之新法算書雖為之説而實未用其數兹
不具論
[001-7a]
黄赤距緯
黄赤距緯古今所測不同自漢以來皆謂黄道出入赤
道南北二十四度元郭守敬所測為二十三度九十分
三十秒以周天三百六十度每度六十分約之得三十
三度三十三分三十二秒新法算書用西人第谷所測
為二十三度三十一分三十秒康熙五十二年
皇祖聖祖仁皇帝命和碩荘親王等率同儒臣於暢春園蒙
養齋開局測太陽髙度得黄赤大距為二十三度二十
[001-7b]
九分三十秒今監臣戴進賢等厯考西史第谷所測盖
在明隆萬時而漢時多禄畝所測為二十三度五十一
分三十秒較第谷為多我朝順治年間刻白爾改為二
十三度三十分後利酌理噶西尼又改為二十三度二
十九分俱較第谷為少其前後多少之故或謂諸家所
用蒙氣差地半徑差之數各有不同故所定距緯亦異
然合中西考之第谷以前未知有蒙氣差而多禄畝與
古為近至郭守敬則與第谷相若而去多禄畝則有十
[001-8a]
數分之多康熙年間所用蒙氣差地半徑差俱仍第谷
之舊與刻白爾噶西尼等所用之數不同而所測大距
又相去不逺由此觀之則黄赤距度古今實有不同而
非由於所用差數之異所當隨時考測以合天也近日
西法並宗噶西尼故黄赤大距為二十三度二十九分
至於測量之術推算之理上編闡奥發微千古不易故
不復載
[001-9a]
清蒙氣差
清蒙氣差西人第谷始發其義謂地中遊氣上騰能
升卑為髙映小為大而蒙氣之厚薄升像之髙下又
隨地不同其所作蒙氣差表謂其國北極出地五十
五度測得地平上最大蒙氣差三十四分自地平以
上其差漸少至距地髙四十五度猶差五秒更髙則
無蒙氣矣厥後西人又言北極髙四十八度太陽髙
四十五度時蒙氣差尚有一分餘自地平至天頂皆
[001-9b]
有蒙氣差上編具載其説而表則仍新法算書第谷
之舊也今監臣戴進賢等厯考西史第谷所定地平
上蒙氣差其門人刻白爾即謂失之稍大而猶未定
有確數至噶西尼始從而改正焉其説謂蒙氣繞乎
地球之周日月星照乎蒙氣之外人在地面為蒙氣
所映必能視之使髙而日月星之光線入乎蒙氣之
中必反折之使下故光線與視線在蒙氣之内則合
而為一蒙氣之外則岐而為二此二線所交之角即
為蒙氣差角第谷己悟其理然猶未有算術噶西尼
[001-9b]
反覆精求謂視線與光線所岐雖有不同而相合則
[001-10a]
有定處自地心過所合處作線抵圜周則此線即為
蒙氣之割線視線與割線成一角光線與割線亦成
一角二角相減即得蒙氣差角爰在北極出地髙四
十四度處屢加精測得地平上最大差為三十二分
一十九秒蒙氣之厚為地半徑千萬分之六千零九
十五視線角與光線角正弦之比例常如一千萬與
一千萬零二千八百四十一用是以推逐度之蒙氣
差至八十九度尚有一秒驗諸實測較第谷為密近
[001-10b]
日西法並宗之具詳圖法於左
如圖甲為地心乙為地面
乙甲為地半徑一千萬丙
乙為蒙氣之厚六千零九
十五丁為太陽月星/倣此照於
蒙氣之戊人自地面乙視
之則見日於戊者當本天
之巳巳戊乙為視線丁戊
乙為光線是視線常髙光
[001-10b]
線常卑視線常直光線常
[001-11a]
折在戊㸃蒙氣之内則光
線與視線合同為戊乙出
乎戊㸃之外則視線己戊
光線丁戊岐而為二故己
戊丁角為蒙氣差角試自
地心甲出線過戊㸃至庚
則庚甲即為地平上蒙氣
之割線己戊庚角為視線
[001-11b]
與割線所成之角丁戊庚
角為光線與割線所成之
角而己戊丁蒙氣差角即
為兩角之較今既測得地
平上蒙氣差為三十二分
一十九秒又測定蒙氣之
厚為六千零九十五則己
戊庚視線角與丁戊庚光
線角可以得其比例其術
[001-11b]
用甲乙戊直角三角形以
[001-12a]
甲戊一○○○六○九五
與甲乙一千萬之比同於
乙直角正弦一千萬與戊
角正弦九九九三九○八
小餘/七一之比而得戊角為八
十八度小餘百分/秒之四二即己戊
庚角又以己戊丁蒙氣差
角三十二分一十九秒與
[001-12b]
之相加得八十八度三十
二分一十九秒小餘/四二即丁
戊庚角其正弦為九九九
六七四八小餘/二五夫視線角
之正弦己辛為九九九三
九○八小餘/七一則光線角之
正弦丁壬為九九九六七
四八小餘/二五若設己辛為一
千萬則丁壬必為一○○
[001-12b]
○二八四一此兩角正弦
[001-13a]
之比例也既得兩弦之比
例而蒙氣差之戊角與視
線交蒙氣割線之戊角同
以在地平為最大漸近天
頂則漸小則是二者常相
因而逐度之蒙氣差皆可
以兩弦比例而推如求地
平上髙二十度癸己弧之
[001-13b]
蒙氣差則癸戊乙為視線
子戊乙為光線丑戊甲為
地平上二十度蒙氣之割
線戊乙丙角為七十度癸
戊丑角為視線與割線所
成之角其正弦為癸寅子
戊丑角為光線與割線所
成之角其正弦為子卯先
用甲戊乙三角形求得戊
[001-13b]
角六十九度五十四分一
[001-14a]
十五秒小餘/五五即癸戊丑角
又以一千萬與一○○○
二八四一之比同於癸寅
與子卯之比而得子戊丑
角為六十九度五十六分
五十五秒小餘/九二兩角相減
餘癸戊子角二分四十秒
小餘/三七即地平上二十度之
[001-14b]
蒙氣差也餘倣此
[001-15a]
地半徑差
地半徑差者視髙與實髙之差也太陽距地平近則
差角大漸髙則漸小又太陽在最卑距地心近則差
角大在最髙距地心逺則差角小在中距為適中新
法算書用歌白尼所定地半徑與中距日天半徑之
比例為一與一千一百四十二地平上最大差為三
分上編仍之其測量推算之法言之詳矣自後噶西
尼等謂日天半徑甚逺無地半徑差而測量所係只
[001-15b]
在秒微又有蒙氣雜乎其内最為難定因思日月星
之在天惟恒星無地半徑差若以日與恒星相較可
得其準而日星不能兩見是測日不如測五星也土
木二星在日上去地尤逺地半徑差愈微金水二星
雖有時在日下而其行繞日逼近日光均為難測惟
火星繞日而亦繞地能與太陽衝故夜半時火星正
當子午線於南北兩處測之同與一恒星相較其距
恒星若相等則是無地半徑差若相距不等即為有
地半徑差其不等之數即兩處地半徑差之較且火
[001-15b]
星衝太陽時其距地較太陽為近則太陽地半徑差
[001-16a]
必更小於火星地半徑差也噶西尼用此法推得火
星在地平上最大地半徑差為二十五秒比例得太
陽在中距時地平上最大地半徑差為一十秒驗之
交食果為脗合近日西法並宗其説今用所定地半
徑差求地半徑與日天半徑之比例中距為一與二
萬零六百二十六最髙為一與二萬零九百七十五
最卑為一與二萬零二百七十七以求地平上最大
之地半徑差最髙為九秒五十微最卑為一十秒一
[001-16b]
十微測算之法並述於左
康熙十一年壬子秋分前
十四日火星與太陽衝西
人噶西尼於富郎濟亞國
測得火星距天頂五十九
度四十分一十五秒利實
爾於噶耶那島測得火星
距天頂一十五度四十七
分五秒同時用有千里鏡
[001-16b]
能測秒微之儀器與子午
[001-17a]
線上最近一恒星測其相
距噶西尼所測火星較低
一十五秒如噶西尼測得/火星距恒星下
四十分一十五秒利實爾/測得火星距恒星下四十
分又逐日細測恒星距天/頂噶西尼測得為五十九
度利實爾測得為一十五/度七分五秒各與所測火
星距恒星之數相加即/各得火星距天頂之度以
之立法甲為地心乙為富
[001-17b]
郎濟亞國地面丙為天頂
丁為噶耶那島地面戊為
天頂己為火星丙戊己庚
為子午線如兩地面不同/在一子午線則
須按東西里差求其同一/子午線之髙度見上編日
躔厯/理己乙丙角為乙處火
星視距天頂五十九度四
十分一十五秒己丁戊角
為丁處火星視距天頂一
[001-17b]
十五度四十七分五秒地/面
[001-18a]
為視距地/心為實距辛為恒星辛甲
丙角為乙處恒星距天頂
之度辛甲戊角為丁處恒
星距天頂之度因恒星距
地甚逺地面所視與地心
無異故無地半徑差假若
火星亦無地半徑差則乙
處火星實距天頂當為己
[001-18b]
甲丙角丁處火星實距天
頂當為己甲戊角而火星
與恒星之相距即同為己
甲辛角無髙低之異乃乙
處所測火星距天頂為己
乙丙角較之實距天頂之
己甲丙角低一乙己甲角
是即乙處之地半徑差也
丁處所測火星距天頂為
[001-18b]
己丁戊角較之實距天頂
[001-19a]
之己甲戊角低一丁己甲
角是即丁處之地半徑差
也夫火星之距恒星一也
因乙處所測火星距天頂
逺故乙己甲差角大丁處
所測火星距天頂近故丁
己甲差角小則乙處所測
火星距恒星較丁處低一
[001-19b]
十五秒即兩差角相減所
餘之丁己乙角乃兩處地
半徑差之較也既得地半
徑差較丁己乙角而欲求
地平上最大差甲壬乙角
則以兩處所測火星距天
頂之正弦相減與地半徑
差較秒數之比即同於半
徑一千萬與地平上最大
[001-19b]
差秒數之比盖将己乙線
[001-20a]
引長至癸自甲作甲癸垂
線成甲癸乙直角形癸為
直角乙角與己乙丙為對
角即乙處火星距天頂之
度甲癸為地半徑差乙己
甲角之正弦甲己為/半徑故甲乙
為地半徑即最大差甲壬
乙角之正弦甲壬為/半徑故其法
[001-20b]
為乙角正弦與甲癸之比
同於癸直角正弦一千萬
與甲乙之比檢表而得壬
角也又将己丁線引長至
子自甲作甲子垂線成甲
子丁直角形子為直角丁
角與己丁戊為對角即丁
處火星距天頂之度甲子
為地半徑差丁己甲角之
[001-20b]
正弦甲丁與甲乙等亦為
[001-21a]
最大差甲壬乙角之正弦
其法為丁角正弦與甲子
之比同於子直角正弦一
千萬與甲丁之比亦檢表
而得壬角也夫兩視距天
頂之正弦與兩地半徑差
正弦之比既皆同於一千
萬與最大差正弦之比則
[001-21b]
兩視距天頂正弦相減之
較與兩地半徑差正弦相
減之較之比亦必同於一
千萬與最大差正弦之比
又地半徑差角甚小其兩
正弦之較與兩角度之較
可以相為比例則兩視距
天頂正弦相減之較與兩
地半徑差相減所餘秒數
[001-21b]
之比亦必同於一千萬與
[001-22a]
最大差秒數之比矣故以
己乙丙角五十九度四十
分一十五秒之正弦八六
三一三八六與己丁戊角
一十五度四十七分五秒
之正弦二七二○二三六
相減餘五九一一一五○
為一率乙己丁角一十五
[001-22b]
秒為二率一千萬為三率
求得四率二十五秒小餘/三七
即甲壬乙角為火星在地
平上最大之地半徑差也
既得火星地半徑差甲壬
乙角而欲求太陽地半徑
差甲丑乙角據歌白尼第
谷測得火星距地甲壬與
太陽距地甲丑之比如一
[001-22b]
百與二百六十六其法當
[001-23a]
先用甲乙壬形以乙角正
弦為一率甲壬為二率壬
角正弦為三率甲乙為四
率此第一比例也次用甲
乙丑形以甲丑為一率乙
角正弦為二率甲乙為三
率丑角正弦為四率此第
二比例也然第二比例之
[001-23b]
二率三率即第一比例之
一率四率而一率四率相
乗原與二率三率相乗之
數等故即以甲丑二六六
為一率甲壬一○○為二
率壬角二十五秒小餘/三七為
三率求得四率九秒小餘/五三
進為一十秒為丑角度因/壬
丑二角甚小正弦與角度/可以相為比例故壬角用
[001-23b]
秒丑角/亦得秒即太陽在地平上
[001-24a]
最大之地半徑差也
又按上編日躔求地半徑
差法以兩處恒星距天頂
相減餘四十三度五十二
分五十五秒為戊丙弧即
戊甲丙角先用乙甲丁三
角形甲乙甲丁二邊俱命
為一千萬以甲角折半之
[001-24b]
正弦倍之得七四七三○
二三為乙丁邊又以甲角
與半周相減餘數半之得
六十八度三分三十二秒
三十微為乙角亦即丁角
次用乙己丁三角形此形
有乙丁邊有己乙丁角五
十二度一十六分一十二
秒三十微半周内減去甲/乙丁角又減去
[001-24b]
己乙丙角餘/即己乙丁角有己丁乙角
[001-25a]
一百二十七度四十三分
三十二秒三十微半周内/減去甲
丁乙角加己丁戊/角即己丁乙角有乙己
丁角一十五秒乙丁二角/相併與半
周相減餘即己角與/前地半徑差較合求得
己丁邊八一二七五一二
五一五四小餘/二九次用己丁
甲三角形此形有甲丁邊
[001-25b]
有丁己邊有丁外角一十
五度四十七分五秒即丁/處火
星距/天頂将己丁線引長至子
成甲子丁直角形丁角正
弦二七二○二三六小餘/五
即甲子邊丁角餘弦九六
二二九○六即丁子邊以
丁子與己丁相加得己子
八一二八四七四八○六
[001-25b]
○小餘/二九為股甲子為勾求
[001-26a]
得弦八一二八四七四八
一一二為甲己邊與甲壬
等即火星距地心數以地
半徑較之其比例為一與
八千一百二十八又以甲
壬為一率甲乙為二率一
千萬為三率求得四率一
二三○小餘/二四為壬角之正
[001-26b]
弦檢表得二十五秒小餘/三七
為火星在地平上最大差
與前法所得數同上編求/日纒地
半徑差亦可用前法算但/兩處所測太陽一在天頂
南一在天頂北其差角為/地半徑差總當以兩距天
頂之正弦相加與地半徑/差總秒數之比同於一千
萬與地平上最大/差秒數之比耳
[001-27a]
用撱圓面積為平行
太陽之行有盈縮由於本天有髙卑春分至秋分行
最髙半周故行縮而厯日多秋分至春分行最卑半
周故行盈而厯日少其説一為不同心天一為本輪
而不同心天之兩心差即本輪之半徑故二者名雖
異而理則同也第谷用本輪以推盈縮差惟中距與
實測合最髙前後則失之小最卑前後則失之大又
最髙之髙於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非
[001-27b]
兩心差之全數而止及其半故又用均輪以消息乎
其間而後髙卑之數盈縮之行與當時實測相合上
編言之詳矣然天行不能無差元郭守敬定盈縮之
最大差為二度四○一四以周天三百六十度每度
六十分約之得二度二十二分新法算書第谷所定
之最大差為二度零三分一十一秒刻白爾以來屢
加精測盈縮之最大差止有一度五十六分一十二
秒又以推逐度之盈縮差最髙前後本輪固失之小
矣均輪又失之大最卑前後本輪固失之大矣均輪
[001-27b]
又失之小乃設本天為撱圓均分撱圓面積為逐日
[001-28a]
平行之度則髙卑之理既與舊説無異而髙卑前後
盈縮之行乃俱與今測相符具詳圖説如左
如圖甲為地心乙丙丁戊
為黄道己為不同心天之
心庚辛壬癸為不同心天
乙庚為本輪半徑與甲己
兩心差等以本輪之法論
之最卑時本輪心在乙太
[001-28b]
陽在庚中距時本輪心在
丙太陽在辛乙丙為平行
九十度辛甲丙角為平行
實行之最大差以不同心
天之法論之太陽自最卑
庚行至辛亦九十度己辛
甲角為平行實行之最大
差與辛甲丙角等故本輪
之法與不同心天之法相
[001-28b]
同以均輪之法論之最卑
[001-29a]
時本輪心在乙均輪心在
子太陽在丑中距時本輪
心在丙均輪心在卯太陽
在辛最髙時本輪心在丁
均輪心在辰太陽在巳辛
甲丙角最大差仍當甲己
之全而丑乙之卑於本天
半徑巳丁之髙於本天半
[001-29b]
徑者止及甲己之半與甲
寅等故以推盈縮差惟中
距與本輪同最髙半周比
之本輪則大距地近/故角大最卑
半周比之本輪則小距地/逺故
角/小此其所以消息乎本輪
之行度者當時必有所據
而自刻白尔以來則謂髙
卑之數均輪所定誠是但
[001-29b]
其數漸減耳至以推盈縮
[001-30a]
差則均輪之所消息者又
屬太過惟以寅為不同心
天之心作撱圓形自地心
甲𤓰分之計太陽在撱圓
周右旋其所行之分撱圓
面積日日皆相等而用以
推黄道實行之盈縮則在
本輪均輪所得數之間而
[001-30b]
與實測脗合試以寅為心
與己丑作十字線又取寅
丑之度從甲截横線於午
使午甲午己皆與寅丑半
徑等乃以甲己兩㸃各為
心午為界各用一針釘之
圍以絲線末以鉛筆代午
針引而旋轉即成丑午己
未撱圓形寅丑寅己為撱
[001-30b]
圓大半徑寅午寅未為撱
[001-31a]
圓小半徑則撱圓不以甲
己為心而以寅為心丑乙
之卑於黄道巳丁之髙於
黄道者止及甲己之半與
寅甲等是髙卑之理與均
輪合矣又将撱圓面積以
甲為心均分為三百六十
分每分之積皆為一度每
[001-31b]
一度積為六十分太陽每
日右旋當每一度積之五
十九分有竒是為平行在
最卑半周甲心至撱圓界
之線短則角度必寛是為
行盈在最髙半周甲心至
撱圓界之線長則角度必
狹是為行縮故太陽循撱
圓周行惟所當之面積相
[001-31b]
等而角不等其角度與積
[001-32a]
度之較即平行實行之差
中距平行至申甲申丑積
為撱圓四分之一為平行
九十度與寅午丑積等申/午
酉積微大于酉寅甲積/然所差無多故為相等亦
與申己甲角等而自地心
甲計之己當黄道之戌戌
甲丑角為實行己申甲角
[001-32b]
為平行實行之差是中距
之盈縮差與本輪均輪皆
合矣用是以推逐度之盈
縮差在最髙半周比之本
輪固大比之均輪又微小
最卑半周比之本輪固小
比之均輪又微大驗諸實
測庶為近之推算之法具
詳後篇
[001-33a]
求兩心差及撱圓與平圓之比例
新法算書日躔中距之盈縮差為二度零三分零九
秒四十微檢其正切得兩心差為三五八四一六上
編仍之今測中距之盈縮差得一度五十六分一十
二秒折半得五十八分零六秒檢其正弦得一六九
○○○為兩心差倍之得三三八○○○比舊數少
千分之二有竒乃以兩心差一六九○○○為勾平
圓半徑一千萬為弦求得股九九九八五七一小餘/八四
[001-33b]
八○一/九一即撱圓之小半徑而凡撱圓之正弦角度面
積與平圓之比例皆同於撱圓之小半徑與平圓半
徑之比例焉
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚撱圓為本
天乙丁為大半徑一午萬
乙戊為小半徑丙戊甲戊
皆與乙丁等太陽行至戊
[001-33b]
甲戊丁分撱圓面積八十
[001-34a]
九度一分五十四秒為平
行其小於九十度之五十
八分六秒即甲乙戊勾股
積乙戊丁積為撱圓四分/之一必九十度故甲戊
丁積小於九十度之/積即甲乙戊勾股積亦即
乙戊甲角甲乙戊勾股積/甲戊邊即大徑
乙戊邊即小徑其積介乎/大小徑之間與分平圓面
相似故積度即角度若近/甲丁則邊短而角大近甲
[001-34b]
己則邊長而/角小詳後篇戊甲丁角九
十度五十八分零六秒為
實行其大於九十度者亦
五十八分六秒即戊甲辛
角與乙戊甲角等亦與丙
戊乙角等平行實行之差
一度五十六分一十二秒
即甲戊丙角折半得五十
八分零六秒即乙戊甲角
[001-34b]
甲戊既為一千萬則甲乙
[001-35a]
即乙戊甲角之正弦故檢
表得一六九○○○即甲
乙兩心差以甲乙為勾甲
戊為弦求得乙戊股九九
九八五七一小餘八四八/○一九一
即撱圓小半徑也既得撱
圓小徑則凡撱圓之面線
及角度皆可以得其比例
[001-35b]
以正弦之比例言之試以
乙為心乙丁為半徑作丁
壬己癸平圓則撱圓乙丁
大半徑與平圓乙壬半徑
相等戊乙小半徑之小於
平圓半徑者即壬戊撱圓
差若逐度割之則撱圓之
餘弦必與平圓之餘弦相
等而撱圓之正弦必小於
[001-35b]
平圓之正弦然平圓正弦
[001-36a]
與撱圓正弦之比例必同
於平圓半徑與撱圓小半
徑之比例也如丁㸃為初
度無正弦丁乙為初度之
餘弦平圓與撱圓等丁壬
弧為九十度無餘弦壬乙
為平圓九十度之正弦即
大半徑戊乙為撱圓九十
[001-36b]
度之正弦即小半徑壬戊
即九十度之撱圓差丁子
弧為三十度丑乙為三十
度之餘弦平圓與撱圓等
子丑為平圓三十度之正
弦寅丑為撱圓三十度之
正弦子寅為三十度之撱
圓差丁卯弧為六十度辰
乙為六十度之餘弦平圓
[001-36b]
與撱圓等卯辰為平圓六
[001-37a]
十度之正弦巳辰為撱圓
六十度之正弦卯巳為六
十度之撱圓差則子丑與
寅丑之比卯辰與巳辰之
比皆同於壬乙與戊乙之
比而子丑與子寅之比卯
辰與卯巳之比皆同於壬
乙與壬戊之比也奚以明
[001-37b]
其然也盖撱圓之與平圓
處處皆有一小半徑藏乎
其内試取壬戊之分於乙
心作圜則午乙未乙申乙
酉乙皆與壬戊等壬午卯
未子申丁酉皆與戊乙等
是推而抵於平圓之界各
有一小半徑在也又自甲
丙二㸃出線合於戊則小
[001-37b]
徑之端在戊而末在乙自
[001-38a]
甲丙二㸃出線合於丁則
小徑之端在丁而末在酉
若自甲丙出二線合於寅
則小徑必端在寅而末在
戌合於巳則小徑必端在
巳而末在亥是引而歸於
平圓之徑又各有一小半
徑在也夫寅戌巳亥既皆
[001-38b]
為小徑而申戌未亥又與
子丑卯辰為平行則寅戌
與子申巳亥與卯未亦必
為平行而申戌與子寅未
亥與卯巳必各相等故乙
子丑與戌寅丑及乙申戌
為同式形乙卯辰與亥巳
辰及乙未亥亦為同式形
而子丑與寅丑之比同於
[001-38b]
子乙即壬/乙與寅戌即戊/乙之
[001-39a]
比卯辰與巳辰之比同於
卯乙即壬/乙與巳亥即戊/乙之
比又子丑與申戌即子/寅之
比同於子乙即壬/乙與申乙
即壬/戊之比卯辰與未亥即/卯
巳/之比同於卯乙即壬/乙與
未乙即壬/戊之比是平圓與
撱圓正弦之比例同於大
[001-39b]
徑與小徑之比例也以角
度之比例言之設卯乙辰
角為平圓六十度即丁/卯弧求
撱圓之巳乙辰角試以乙
辰為半徑作弧則卯辰為
卯乙辰角之正切巳辰為
巳乙辰角之正切夫卯辰
與巳辰之比既同於壬乙
與戊乙之比則卯乙辰角
[001-39b]
之正切與巳乙辰角正切
[001-40a]
之比亦必同於壬乙與戊
乙之比故以壬乙一千萬
為一率戊乙九九九八五
七一小餘/八五為二率卯乙辰
角六十度之正切一七三
二○五○八為三率求得
四率一七三一八○三四
為巳乙辰角之正切檢表
[001-40b]
得五十九度五十九分四
十七秒即巳乙辰角而卯
乙巳角一十三秒為撱圓
差角卯乙辰角内減巳乙/辰角餘即卯乙巳角
又設巳甲辰角六十度五
十分三十二秒求卯甲辰
角試以甲辰為半徑作弧
則巳辰為巳甲辰角之正
切卯辰為卯甲辰角之正
[001-40b]
切夫卯辰與巳辰之比既
[001-41a]
同於壬乙與戊乙之比則
巳辰與卯辰之比必同於
戊乙與壬乙之比而巳甲
辰角之正切與卯甲辰角
正切之比亦必同於戊乙
與壬乙之比故以戊乙九
九九八五七一小餘/八五為一
率壬乙一千萬為二率巳
[001-41b]
甲辰角之正切一七九二
三八九七為三率求得四
率一七九二六四五七為
卯甲辰角之正切檢表得
六十度五十分四十五秒
即卯甲辰角而卯甲巳角
一十三秒為撱圓差角是
平圓與撱圓角度之比例
亦同於大徑與小徑之比
[001-41b]
例也再以面積之比例言
[001-42a]
之凡平圓面積與撱圓面
積之比例同於平圓外切
正方面積與撱圓外切長
方面積之比例亦即同於
撱圓大徑與小徑之比例
撱圓大徑即平圓徑見幾/何原本八卷第十二節
如求撱圓六十度之面積
則先設丁卯弧六十度求
[001-42b]
乙卯丁六十度之平圓面
積以比之法以半周率三
一四一五九二六五定率/圓徑
一千萬則圓周為三一四/一五九二六五今一千萬
為半徑故周/率為半周用三分之得
一○四七一九七五五為
卯丁弧線因卯丁弧六十/度為半周三分
之一故三分半周率而得/卯丁弧線若有竒零則須
用比/例法與乙卯半徑一千萬
[001-42b]
相乗折半得五二三五九
[001-43a]
八七七五○○○○○即
乙卯丁分平圓六十度之
面積而為丁壬己癸平圓
全積六分之一又以壬乙
大半徑一千萬為一率戊
乙小半徑九九九八五七
一小餘/八五為二率乙卯丁積
為三率求得四率五二三
[001-43b]
五二三九九七二四○九
五即乙己丁分撱圓六十
度之面積而為丁戊己庚
撱圓全積六分之一也此/所
得六十度積較之全積六/分之一尾數稍大因小徑
之小餘為八四八進為八/五之故然於圓度只差纎
忽可不/計也蓋将平圓撱圓二
面積依壬癸横徑縷析之
則皆成線矣其線與線之
[001-43b]
比既同於大徑與小徑之
[001-44a]
比則面與面之比亦同於
大徑與小徑之比故分之
丁卯辰弧矢積與丁巳辰
弧矢積之比卯辰乙勾股
積與巳辰乙勾股積之比
皆同於大徑與小徑之比
而合之乙卯丁分平圓面
積與乙巳丁分撱圓面積
[001-44b]
之比亦必同於大徑與小
徑之比也既得撱圓與平
圓之各比例則面線角度
皆可得而求至於撱圓正
弦以平圓命度而角度不
同分撱圓面積與全積相
當而角不相應則撱圓差
之所生而與平圓之所以
别也
[001-45a]
求撱圓大小徑之中率
凡平圓面積自中心分之其所分面積之度即其心
角之度以圜界為心角之規而半徑俱相等也若撱
圓有大小徑角與積巳不相應矣見前/篇况實行之角
平行之積皆不以本天心為心而以地心為心太陽
距地心線自最卑以漸而長逐度俱不等又何以知
積之為度而與角相較乎然以大小徑之中率作平
圓其面積與撱圓等将平圓面積逐度遞析之則度
[001-45b]
分秒皆可按積而稽撱圓之全積既與平圓全積等
則其遞析之面積亦必相等故分撱圓面積雖非度
亦可以度命之而度分秒亦可按積而稽也
如圖甲為地心乙為本天
心乙甲為兩心差丙甲為
倍差丁戊己庚撱圓為本
天乙丁為大半徑一千萬
乙戊為小半徑九九九八
五七一小餘八四八/○一九一試以
[001-45b]
乙丁大半徑作丁辛己壬
[001-46a]
平圓則平圓與撱圓二面
積之比例同於平圓外切
癸子丑寅正方積與撱圓
外切卯辰巳午長方積之
比例又試以乙丁大半徑
為首率乙戊小半徑為末
率求得乙申中率九九九
九二八五小餘/八九作平圓則
[001-46b]
大半徑所作丁辛己壬平
圓與中率所作申酉戌亥
平圓二面積之比例亦同
於大徑平圓外切癸子丑
寅正方積與中率平圓外
切乾坎艮震正方積之比
例此二比例既同而乾坎
艮震正方積原與卯辰巳
午長方積等首率末率相/乘與中率自
[001-46b]
乗/等則申酉戌亥平圓積亦
[001-47a]
必與丁戊己庚撱圓積相
等矣乃以己丁大徑二千
萬與戊庚小徑一九九九
七一四三小餘六九六/○三八二相
乗得卯辰巳午長方積與
乾坎艮震正方積等以方
與圓之比例定率七八五
三九八一六二五通之得
[001-47b]
三一四一一四三九八二
八二三三七為申酉戌亥
平圓面積與丁戊己庚撱
圓面積等将申酉戌亥平
圓面積以三百六十度除
之得八七二五三九九九
五二二九為一度之面積
其形為分平圓面其兩腰
皆為中率半徑與乙申等
[001-47b]
其弧其角皆為一度若将
[001-48a]
丁戊己庚撱圓面積自甲
心亦平分為三百六十分
則其形為分撱圓面其兩
腰自甲丁極短以漸而長
逐度俱不等其弧其角亦
不等然其每分之面積則
皆與一度之面積等故凡
分一段撱圓面積以一度
[001-48b]
之面積為法而一則面積
即可以度分命之然後以
面積之度與角度相較而
平行實行之差出焉如以
甲為心以中率為半徑作
平圓則甲巽丁分撱圓面
積為太陽距最卑後之平
行度與甲離申分平圓面
積等亦即與離甲申角等
[001-48b]
巽甲離角為平行實行之
[001-49a]
差其實行在平行前甲坤
己分撱圓面積為太陽距
最髙後之平行度與甲兑
戌分平圓面積等亦即與
兑甲戌角等兑甲坤角為
平行實行之差其實行在
平行後也
[001-50a]
撱圓角度與面積相求
前篇言以面積之度與角度相較而平行實行之差
以出盖太陽距最卑後平行之度必與太陽距地心
線所分之撱圓面積等故可以平行度為面積而求
實行也然實行固角度也以實測言之則先得實行
後求平行以角而求積也易以推歩言之則先設平
行後求實行以積而求角也難故先設以角求積之
法可以知數理之實次設以積求角之法可以知比
[001-50b]
例之術次設借積求積借角求角之法可以知巧合
補凑之方反覆參稽而數之離合乃纖悉畢呈焉圖
説詳著於左
先設以角求積法如圖甲
為地心乙為本天心甲乙
為兩心差丙甲為倍差丁
戊己庚為本天丁為最卑
己為最髙設太陽在辛辛
甲丁角為實行距最卑後
[001-50b]
六十度求甲辛丁分撱圓
[001-51a]
面積平行若干度分先将
甲辛線引長至壬作丙壬
垂線成甲丙壬辛丙壬兩
勾股形乃以半徑一千萬
為一率甲角六十度之正
弦八六六○二五四為二
率丙甲壬角與辛甲丁/角為對角其度相等丙
甲倍兩心差三三八○○
[001-51b]
○為三率求得四率二九
二七一六小餘/五九為丙壬邊
又以半徑一千萬為一率
甲角六十度之餘弦五○
○○○○○為二率丙甲
邊為三率求得四率一六
九○○○為甲壬邊次以
丙壬為勾自乗以甲壬與
甲辛丙辛兩邊和二千萬
[001-51b]
相加得二○一六九○○
[001-52a]
○為股弦和除之得四二
四八小餘/二五為股弦較與股
弦和相加折半得一○○
八六六二四小餘/一三為丙辛
邊與二千萬相減餘九九
一三三七五小餘/八七為甲辛
邊即太陽距地心線次以
半徑一千萬為一率甲角
[001-52b]
六十度之正弦八六六○
二五四為二率甲辛邊為
三率求得四率八五八五
二三五小餘/三○即辛癸邊次
以撱圓小徑九九九八五
七一小餘/八五為一率大徑一
千萬為二率辛癸邊為三
率求得四率八五八六四
六一小餘/五八即子癸邊檢正
[001-52b]
弦得五十九度九分五十
[001-53a]
三秒小餘/六九即乙角度亦即
子丁弧度次以半周天一
百八十度化作六十四萬
八千秒為一率半圓周定
率三一四一五九二六小/餘
五/為二率乙角度分化作
二十一萬二千九百九十
三秒小餘/六九為三率求得四
[001-53b]
率一○三二六二二五小/餘
四七八四/○○九為子丁弧線與
乙丁半徑一千萬相乗折
半得五一六三一一二七
三九二○○五為乙子丁
分平圓面積次以撱圓大
徑一千萬為一率小徑九
九九八五七一小餘/八五為二
率乙子丁積為三率求得
[001-53b]
四率五一六二三七五三
[001-54a]
六九二五四六為乙辛丁
分撱圓面積次以乙甲一
六九○○○與辛癸八五
八五二三五小餘/三○相乗折
半得七二五四五二八八
二八五○為辛乙甲三角
積辛乙甲三角積以乙甲/為底辛癸為髙故與同
底同髙折/半之積等與乙辛丁積相
[001-54b]
減餘五○八九八三○○
八○九六九六即甲辛丁
分撱圓面積以一度之面
積定率八七二五三九九
九五二二九除之得五十
八度三三三四小餘/八七收作
五十八度二十分○秒三
十三微即實行距最卑後
六十度時之平行度也
[001-54b]
又法求甲辛太陽距地心
[001-55a]
線将甲辛線引長至壬使
辛壬與丙辛等又自丙至
壬作丙壬線成甲丙壬三
角形此形知丙甲倍兩心
差三三八○○○知甲壬
二千萬甲辛丙辛共二千/萬辛壬既與丙辛
等故甲壬/亦二千萬知甲外角六十
度用切線分外角法求得
[001-55b]
壬角四十九分五十三秒
小餘/三六又求得丙壬邊二○
一七一○八○小餘/二九次将
丙壬邊折半於癸作辛癸
垂線成壬癸辛直角形以
半徑一千萬為一率壬角
正割線一○○○一○五
三小餘/三五為二率癸壬邊一
○○八五五四○小餘一/四五
[001-55b]
為三率求得四率一○○
[001-56a]
八六六○二小餘/六一為辛壬
邊與甲壬二千萬相減餘
九九一三三九七小餘/三九即
甲辛太陽距地心線也此
法所得甲辛線較前法多
二十二盖因壬角甚小比
例易差耳然其角度自不
爽故後借角求角之法則
[001-56b]
用之且以甲為心以二千
萬為半徑作圜如甲/壬又取
兩心差之倍度截直徑於
丙自丙出線至圜周如丙/壬
折半作垂線如癸/辛所抵圜
徑之㸃即撱圓界如辛/㸃依
法逐度作㸃連之即成撱
圓周以此發明撱圓之理
最為精巧故附於此
[001-56b]
又設太陽在壬壬甲己角
[001-57a]
為實行距最髙後六十度
求甲壬己分撱圓面積平
行若干度分則以半徑一
千萬為一率甲角六十度
之正弦八六六○二五四
為二率丙甲三三八○○
○為三率求得四率二九
二七一六小餘/五九為丙癸垂
[001-57b]
線又以半徑一千萬為一
率甲角六十度之餘弦五
○○○○○○為二率丙
甲邊為三率求得四率一
六九○○○為甲癸分邊
次以丙癸為勾自乘以甲
癸與甲壬丙壬兩邊和二
千萬相減餘一九八三一
○○○為股弦和除之得
[001-57b]
四三二○小餘/六六為股弦較
[001-58a]
與股弦和相加折半得九
九一七六六○小餘/三三為丙
壬邊與二千萬相減餘一
○○八二三三九小餘/六七為
甲壬邊即太陽距地心線
次以半徑一千萬為一率
甲角六十度之正弦八六
六○二五四為二率甲壬
[001-58b]
邊為三率求得四率八七
三一五六二小餘/二五即壬子
邊次以撱圓小徑九九九
八五七一小餘/八五為一率大
徑一千萬為二率壬子邊
為三率求得四率八七三
二八○九小餘/四二即丑子邊
檢正弦得六十度五十分
三十一秒小餘/八三即乙角度
[001-58b]
亦即己丑弧度次以半周
[001-59a]
天一百八十度化作六十
四萬八千秒為一率半周
率三一四一五九二六小/餘
五/為二率乙角度分化作
二十一萬九千零三十一
秒小餘/八三為三率求得四率
一○六一八九六二小餘/七六
六一一/一九為已丑弧線與已
[001-59b]
乙半徑一千萬相乗折半
得五三○九四八一三八
三○五五九為乙丑已分
平圓面積次以撱圓大徑
一千萬為一率小徑九九
九八五七一小餘/八五為二率
乙丑己積為三率求得四
率五三○八七二三一○
九四七二二為乙壬已分
[001-59b]
撱圓面積次以甲乙一六
[001-60a]
九○○○與壬子八七三
一五六二小餘/二五相乗折半
得七三七八一七○一○
一二五為壬乙甲三角積
與乙壬己積相加得五三
八二五○四八一○四八
四七即甲壬己分撱圓面
積以一度之面積定率八
[001-60b]
七二五三九九九五二二
九除之得六十一度六八
七七小餘/七二收作六十一度
四十一分一十五秒五十
八微即實行距最髙後六
十度時之平行度也若設
平行求實行亦可以所得
之平行轉相比例然必累
求累較方得恰合一率兩/設平行
[001-60b]
較二率兩設實行較三率/今設平行較四率今求實
[001-61a]
行/較法屬繁難故兹不載
次設以積求角之法如太
陽在辛甲辛丁分撱圓面
積為平行距最卑後一度
求甲角實行若干度分法
以甲丁最卑距地心九八
三一○○○乙丁一千萬/減甲乙兩心
差一六九○/○○餘甲丁自乗得九六
[001-61b]
六四八五六一○○○○
○○為一率中率半徑九
九九九二八六自乗得九
九九八五七一八四八○
一九一即大徑與小/徑相乗之數為二
率甲辛丁一度之面積八
七二五三九九九五二二
九為三率求得四率九○
二六六七七四二○○三
[001-61b]
以一度之面積八七二五
[001-62a]
三九九九五二二九除之
得一度二分四秒小餘/三○為
甲角度即平行距最卑後
一度時之實行度也盖以
甲為心以中率為半徑作
弧将甲丁線引長至壬甲
辛線引長至癸則甲壬甲
癸皆為中率甲壬癸分平
[001-62b]
圓面積與一度之面積為
比例即得甲角而甲辛丁
分撱圓面與甲壬癸分平
圓面為同式形甲辛長於/甲丁然為
數無多故/為同式形以甲丁自乗正
方積與甲壬自乗正方積
之比即同於甲辛丁積與
甲壬癸積之比凡同式形/兩面積之
比同於相當界所作正方/形之比見幾何原本八卷
[001-62b]
第九/節故先比例得甲壬癸
[001-63a]
積以一度之面積除之而
得甲角也捷法以甲丁自/乗方積除甲壬
自乗方積即得甲角盖以/一度面積為三率與二率
相乗又以一度面積除今/省一乗則并省一除也
又如太陽在子甲子丁分
撱圓面積為平行距最卑
後二度求子甲丁角實行
若干度分則先求平行距
[001-63b]
最卑後一度時日距地心
之甲辛線将甲辛線引長
至丑自丙作丙丑垂線成
甲丑丙辛丑丙兩勾股形
以半徑一千萬為一率甲
角一度二分四秒小餘/三○之
正弦一八○五四九小餘/五五
為二率甲丙邊三三八○
○○為三率求得四率六
[001-63b]
一○二小餘/五七為丙丑邊又
[001-64a]
以半徑一千萬為一率甲
角一度二分四秒小餘/三○之
餘弦九九九八三七○小/餘
一/三為二率甲丙邊為三率
求得四率三三七九四四
小餘/九一為甲丑邊乃以丙丑
為勾自乗以甲丑與丙辛
甲辛兩邊和二千萬相加
[001-64b]
得二○三三七九四四小/餘
九/一為股弦和除之得一小/餘
八/三為股弦較與股弦和相
加折半得一○一六八九
七三小餘/三七為辛丙弦與丙
辛甲辛兩邊和二千萬相
減餘九八三一○二六小/餘
六/三為甲辛日距地心線次
以甲辛子形與甲癸寅形
[001-64b]
為比例以甲辛邊自乗得
[001-65a]
九六六四九○八四五九
九七六九為一率甲癸中
率自乗得九九九八五七
一八四八○一九一為二
率甲子辛一度之面積八
七二五三九九九五二二
九為三率求得四率九○
二六六二八五一七六九
[001-65b]
為甲癸寅分平圓面積以
一度之面積除之得一度
二分四秒小餘/二八即癸甲寅
角與先得之癸甲壬角一
度二分四秒小餘/三○相加得
二度四分八秒小餘/五八為子
甲丁角即平行距最卑後
二度時之實行度也此所
求之實行用求積法反求
[001-65b]
之少半秒强因日距地心
[001-66a]
線自最卑丁以漸而長中
距戊為適中至最髙巳而
止今所用一率微小故所
得四率微大若每分遞算
自得密合然須逐一先求
日距地心線若積度多者
則須合前法而兼用之故
又設後法
[001-66b]
次設借積求積之法如平
行距最卑後四十五度求
實行若干度分先從本天
心設辛乙丁角為四十五
度則乙壬丁積即為分撱
圓四十五度之面積三九
二六四二九九七八五二
九二将撱圓全積八分/之得乙壬丁積數求
得壬乙丁角為四十四度
[001-66b]
五十九分四十五秒小餘/二七
[001-67a]
法見/前次與乙壬平行作丙
癸線使丙角與壬乙丁角
等自甲至癸作甲癸線此
甲癸線所截甲癸丁分撱
圓面積若與乙壬丁積等
則癸甲丁角即為平行距
最卑後四十五度之實行
度乃用甲丙癸三角形求
[001-67b]
癸甲丁角以半徑一千萬
為一率丙角正弦七○七
○五六二小餘/七六為二率甲
丙三三八○○○為三率
求得四率二三八九八五
小餘/○二為甲子垂線又以半
徑一千萬為一率丙角餘
弦七○七一五七二小餘/七七
為二率甲丙邊為三率求
[001-67b]
得四率二三九○一九小/餘
[001-68a]
一/六為丙子分邊次以甲子
為勾自乗以丙子與丙癸
甲癸兩邊和二千萬相減
餘一九七六○九八○小/餘
八/四為股弦和除之得二八
九○小餘/二三為股弦較與股
弦和相加得一九七六三
八七一小餘/○七折半得九八
[001-68b]
八一九三五小餘/五四為甲癸
邊次以甲癸邊為一率甲
子垂線為二率半徑一千
萬為三率求得四率二四
一八四○小餘/二九檢正弦得
一度二十三分八秒小餘/七九
即癸角度與丙角相加得
四十六度二十二分五十
四秒小餘/○六即癸甲丁角度
[001-68b]
用切線分外角法得數較/捷因癸角度小比例得甲
[001-69a]
癸線難得確凖/故用垂線法然甲癸線
所截甲癸丁分撱圓面積
比所設乙壬丁四十五度
之面積小一甲乙丑積與
寅壬癸積等甲癸丁積比/乙壬丁積多
一卯壬癸積少一甲乙卯/積而甲乙與寅癸等甲卯
與卯癸等乙卯與卯寅等/卯壬與卯丑等故甲乙卯
積與寅癸卯積等卯壬癸/積與卯甲丑積等以多補
[001-69b]
少尚少一甲乙丑積/與寅壬癸積相等也乃用
前角求積法以半徑一千
萬為一率甲角四十六度
二十二分五十四秒小餘/○六
之正弦七二三九五一三
小餘/六○為二率甲癸邊為三
率求得四率七一五四○
四○小餘/六七即癸辰邊次以
撱圓小半徑九九九八五
[001-69b]
七一小餘/八五為一率大半徑
[001-70a]
一千萬為二率癸辰邊為
三率求得四率七一五五
○六二小餘/五二即己辰邊檢
正弦得四十五度四十一
分四秒小餘/九四即巳乙丁角
度亦即巳丁弧度次以半
周天一百八十度化作六
十四萬八千秒為一率半
[001-70b]
周率三一四一五九二六
小餘/五為二率巳丁弧度分
化作一十六萬四千四百
六十四秒小餘/九四為三率求
得四率七九七三四八五
小餘二八八/三七四八為巳丁弧線
與半徑一千萬相乗折半
得三九八六七四二六四
四一八七四為乙巳丁分
[001-70b]
平圓面積次以撱圓大半
[001-71a]
徑一千萬為一率小半徑
九九九八五七一小餘/八五為
二率乙巳丁分平圓面積
為三率求得四率三九八
六一七三二七七五三六
七為乙癸丁分撱圓面積
内減所設乙壬丁分撱圓
四十五度之面積餘五九
[001-71b]
七四三二九九○○七五
為乙癸壬積次以癸辰邊
七一五四○四○小餘/六七與
癸寅邊一六九○○○相
乗折半得六○四五一六
四三六六一五為乙癸寅
積内減乙癸壬積餘七○
八三四四六五四○為寅
壬癸積與甲乙丑積等即
[001-71b]
甲癸丁積小於乙壬丁積
[001-72a]
之較或於乙癸丁積内先/減甲乙癸積得甲癸
丁積再與乙壬丁/積相減得數亦同夫甲癸
丁積既小於乙壬丁積則
是甲癸丁積不足四十五
度而平行距最卑後四十
五度時太陽必仍在癸㸃
之前如午則甲癸午積與
寅壬癸積等甲午丁為分
[001-72b]
撱圓四十五度之面積與
乙壬丁積等實行午甲丁
角比癸甲丁角尚大一午
甲癸角乃用前積求角法
将甲癸線引長至未甲午
線引長至申甲未甲申皆
為中率半徑成甲未申分
平圓面與甲癸午為同式
形以甲癸自乗得九七六
[001-72b]
五二六五○○一六七一
[001-73a]
五為一率甲未中率自乗
得九九九八五七一八四
八○一九一為二率甲癸
午積七○八三四四六五
四○為三率求得四率七
二五二六八○七一六為
甲未申積以撱圓一秒之
面積二四二三七二二二
[001-73b]
一除之得二十九秒小餘/九二
為未甲申角即癸甲/午角與癸
甲丁角四十六度二十二
分五十四秒小餘/○六相加得
四十六度二十三分二十
三秒小餘/九八為午甲丁角即
平行距最卑後四十五度
時之實行度也此法乃合
前二法而兼用之而午甲
[001-73b]
癸角止三十秒甲癸甲午
[001-74a]
二線相差無多得數為密
其所以先設辛乙丁角為
四十五度乙壬丁積為四
十五度而求壬乙丁角以
為丙角者第借積以比其
大小耳究之撱圓面積逐
度皆有成數原不待求且
先求壬乙丁角為丙角而
[001-74b]
求甲癸丁積又與所設之
乙壬丁積相差不逺則併
先求壬乙丁角亦屬可省
詳後法
又法逕設丙角為四十五
度依前法求得甲癸線九
八八一九四四小餘/二八癸甲
丁角四十六度二十三分
九秒小餘/一四甲癸丁積三九
[001-74b]
二六○七九四六七九三
[001-75a]
四八與四十五度撱圓積
三九二六四二九九七八
五二九二相減餘三五○
五一○五九四四為甲癸
丁積小於四十五度平行
積之較即知平行四十五
度時太陽在癸㸃之前如
午乃以甲癸自乘得九七
[001-75b]
六五二八二二七五三○
二五為一率中率自乘方
九九九八五七一八四八
○一九一為二率積較為
三率即甲癸/午積求得四率三
五八八八四一八四一為
甲未申分平圓面積以一
秒之面積二四二三七二
二二一除之得一十四秒
[001-75b]
小餘/八一為未甲申角即癸甲/午角
[001-76a]
與癸甲丁角四十六度二
十三分九秒小餘/一四相加得
午甲丁角為四十六度二
十三分二十三秒小餘/九五即
平行距最卑後四十五度
時之實行度此法得數與
前同而即以平行積度為
丙角較前法為省便也
[001-76b]
又如平行距最卑後九十
度求實行若干度分則先
設丙角為九十度作丙丑
甲丑二線成甲丙丑勾股
形依法求得甲丑線一○
○○二八五六小餘/一丑甲
丁角九十一度五十六分
一十一秒小餘/○九甲丑丁積
七八五二八七六○一八
[001-76b]
三六九五與九十度撱圓
[001-77a]
積七八五二八五九九五
七○五八四相減餘一六
○六一三一一一為甲丑
丁積大於九十度平行積
之較即知平行九十度時
太陽在丑㸃之後如卯乃
依中率半徑截甲卯線於
辰截甲丑線於巳成甲辰
[001-77b]
巳分平圓面與甲卯丑為
同式形以甲丑自乘得一
○○○五七一三○一五
七三○七為一率中率自
乘方九九九八五七一八
四八○一九一為二率積
較為三率即丑甲/卯積求得四
率一六○四九八四八○
為甲辰巳分平圓面積以
[001-77b]
一秒之面積二四二三七
[001-78a]
二二二一除之得百分秒
之六六為辰甲已角即丑/甲卯
角/與丑甲丁角九十一度
五十六分一十一秒小餘/○九
相減餘九十一度五十六
分一十秒小餘/四三為卯甲丁
角即平行距最卑後九十
度時之實行度也
[001-78b]
又如平行距最卑後一百
二十度求實行若干度分
則先設丙角為一百二十
度作丙寅甲寅二線成甲
丙寅三角形依法求得甲
寅線一○○八六六二四
小餘/一三寅甲丁角一百二十
一度三十九分四十六秒
小餘/六九甲寅丁積一○四七
[001-78b]
○七九九○六四九五○
[001-79a]
六與一百二十度之撱圓
積一○四七○四七九九
四二七四四六相減餘三
一九一二二二○六○為
甲寅丁積大於一百二十
度平行積之較即知平行
一百二十度時太陽在寅
㸃之後如辰乃依中率半
[001-79b]
徑截甲寅線於巳截甲辰
線於午成甲巳午分平圓
面與甲寅辰為同式形以
甲寅邊自乘得一○一七
三九九八六三三九八九
八為一率中率自乘方九
九九八五七一八四八○
一九一為二率積較為三
率即甲寅/辰積求得四率三一
[001-79b]
三六一九七八九一為甲
[001-80a]
已午積以一秒之面積二
四二三七二二二一除之
得一十二秒小餘/九四為巳甲
午角即寅甲/辰角與寅甲丁角
一百二十一度三十九分
四十六秒小餘/六九相減餘一
百二十一度三十九分三
十三秒小餘/七五為辰甲丁角
[001-80b]
即平行距最卑後一百二
十度時之實行度也右借
積求積之法最為精密而
理亦易曉然須乗除比例
十數次推算則屬繁難故
又設後法
次設借角求角之法如太
陽平行距最卑後四十五
度求實行若干度分先從
[001-80b]
本天心設丁乙辛角為四
[001-81a]
十五度則乙壬丁分撱圓
面積亦為四十五度次将
丁乙辛角加癸乙子撱圓
差角九十度以内大一撱/圓差角九十度以外
小一撱圓差/角解見後以撱圓小半
徑九九九八五七一小餘/八五
為一率大半徑一千萬為
二率所設丁乙辛角四十
[001-81b]
五度之正切一千萬為三
率求得四率一○○○一
四二八小餘/三五為丁乙癸角
之正切檢表得四十五度
○分一十四秒小餘/七三即丁
乙癸角度次與乙癸平行
作丙丑線自甲作甲丑線
則丙角與丁乙癸角等而
甲丑丁積為分撱圓四十
[001-81b]
五度之面積與乙壬丁積
[001-82a]
等是為平行丑甲丁角即
為實行乃将丙丑線引長
至寅使丑寅與甲丑等則
丙寅為二千萬甲丑丙丑/共二千萬
丑寅既與甲丑等/故丙寅亦二千萬又自甲
至寅作甲寅線成甲寅丙
三角形用切線分外角法
求得寅角四十一分三十
[001-82b]
四秒小餘/七四倍之得一度二
十三分九秒小餘/四九即甲丙
丑形之丑角度甲丑寅形/之丑角以
甲丑丙角為外角與甲寅/二内角等丑寅既與甲丑
等則甲角必與寅角等故/倍寅角即得甲丑丙角
與丙角四十五度○分一
十四秒小餘/七三相加得四十
六度二十三分二十四秒
小餘/二二為丑甲丁角度丑甲/丁角
[001-82b]
為丑甲丙角之外角與丙/丑二内角等故以丑角與
[001-83a]
丙角相加得/丑甲丁角即平行距最
卑後四十五度時之實行
度也然則何以設丙角比
平行積度大一撱圓差角
而甲丑丁積即與平行積
度相等也蓋與丙丑平行
之乙癸線截本天於卯所
截之乙卯丁積比甲丑丁
[001-83b]
積多一甲乙巳形乙卯丁/積比甲
丑丁積少一辰丑卯形多/一甲乙辰形辰丑與甲辰
等辰卯與己辰等辰丑卯/積與辰甲巳積等以多補
少尚多一甲/乙巳積也此甲乙巳形
之積與癸午倍撱圓差乘
乙未餘弦折半之乙癸午
三角形積等癸子辛壬皆/撱圓差而辛
壬㣲小於癸子子午又微/小於辛壬然為數無多故
謂癸午/為倍差亦即與乙卯壬積
[001-83b]
等以卯癸子補子壬午弧/内弧外所差無多故謂
[001-84a]
相/等夫乙卯丁積比乙壬丁
積多一乙卯壬形比甲丑
丁積多一甲乙巳形甲乙
已積既與乙卯壬積等則
甲丑丁積必與乙壬丁積
等而乙壬丁為分撱圓四
十五度之面積辛乙丁角
為四十五度之角癸乙丁
[001-84b]
角比辛乙丁角原大一撱
圓差角丑丙丁角又原與
癸乙丁角等故設丙角比
平行積大一撱圓差角而
甲丑線所截撱圓積即與
平行積相等也然則又何
以知甲乙巳積與乙癸午
積相等也試以乙丁大半
徑作乙丁申酉正方形又
[001-84b]
以乙戊小半徑作乙戊戌
[001-85a]
亥正方形兩積相減餘酉
申丁亥戌戊磬折形積與
兩心差自乘之甲乙乾坎
正方積等乙丁與甲戊等/為弦乙戊為股
甲乙為勾股弦兩/方相減與勾方等斜分而
半之則乙甲坎勾股積即
與酉申戌戊斜尖長方積
等而申艮倍撱圓差與酉
[001-85b]
申相乘折半之乙申艮三
角積原與酉申震戊長方
積等乙申艮三角形與酉/申震戊長方形同以
酉申為髙而申艮為申震/之一倍以申艮與酉申相
乘折半得乙申艮三角積/故與酉申震戊長方積等
比酉申戌戊斜尖長方積
僅多申震戌一小勾股積
則借乙申艮三角積為與
乙甲坎勾股積相等可也
[001-85b]
又以方為斜截丁辛弧為
[001-86a]
四十五度乙辛與乙丁等
辛巽為四十五度之正弦
辛離為四十五度之餘弦
依乙戊小徑截乙辛線於
坤依乙甲兩心差截乙辛
線於兑與辛巽平行作坤
亢兑氐二線與辛離平行
作坤房兑尾二線所成正
[001-86b]
方各為前圖正方積之一
半則於離辛巽乙正方形
内減房坤亢乙正方形餘
離辛巽亢坤房磬折形積
亦與乙尾兑氐正方積等
乙兑氐勾股積亦與離辛
坤房斜尖長方積等而辛
箕倍撱圓差乘辛離餘弦
折半之乙辛箕三角積原
[001-86b]
與離辛壬房長方積等辛/壬
[001-87a]
為四十五度之撱圓差辛/箕為倍差與辛離餘弦相
乗折半得乙辛箕積故/與離辛壬房長方積等比
離辛坤房斜尖長方積僅
多辛壬坤一小勾股積則
借乙辛箕三角積為與乙
兑氐勾股積相等亦可也
由此推之逐度之正弦餘
弦所成之勾股雖非正方
[001-87b]
而斜弦不改則各數比例
皆同試自與丙丑平行之
乙癸線所截之癸㸃作癸
未正弦癸斗餘弦又依乙
戊小徑截乙癸線於牛作
牛女牛虚二線又依甲乙
兩心差截乙癸線於水作
水火水金二線皆相平行
則於斗癸未乙長方形内
[001-87b]
減去女牛虚乙長方形餘
[001-88a]
斗癸未虚牛女磬折形積
亦與金水火乙長方積等
乙水火勾股積亦與斗癸
牛女斜尖長方積等而癸
午倍撱圓差乗癸斗餘弦
與乙/未等折半之乙癸午三角
積原與斗癸子女長方積
等癸子為撱圓差癸午為/倍差與癸斗餘弦相乗
[001-88b]
折半得乙癸午積故與/斗癸子女長方積等比
斗癸牛女斜尖長方積僅
多癸牛子一小勾股積則
借乙癸午積為亦與乙水
火勾股積等而甲乙土勾
股與乙水火勾股為相等
形同用一乙角土角與火/角同為直角而甲乙與
乙水等故三邊/及面積皆相等比甲乙巳
積僅多甲巳土一小弧矢
[001-88b]
積其差只在微纎之間故
[001-89a]
謂甲乙巳積與乙癸午積
相等也此法所得實行較
前法多百分秒之二十四
盖乙卯丁積比乙壬丁積
多乙卯壬積實與甲乙土
積等而比甲丑丁積僅多
甲乙巳積則是甲丑丁積
比乙壬丁四十五度積為
[001-89b]
稍大故所得實行丑甲丁
角亦稍大計其所大之數
適與甲巳土弧矢積度相
去不逺至於以乙癸午三
角積為與斗癸牛女斜尖
長方積等其數微多多癸/牛子
勾股/積以癸午為倍撱圓差
其數微少然其多少之差
約足相抵可不計也
[001-89b]
又如太陽平行距最卑後
[001-90a]
九十度求實行若干度分
先從本天心設丁乙戊角
九十度則乙戊丁分撱圓
面積亦為九十度次與乙
戊平行作丙癸線自甲至
癸作甲癸線則丙角與戊
乙丁角等而甲癸丁分撱
圓面積即為九十度與乙
[001-90b]
戊丁積等九十度無撱/圓差觧見後是
為平行癸甲丁角即為實
行乃將丙癸線引長至子
使癸子與甲癸等則丙子
為二千萬又自甲至子作
甲子線成甲丙子三角形
求得子角五十八分五秒
小餘/五五倍之得一度五十六
分一十一秒小餘/一○即甲丙
[001-90b]
癸形之癸角度與丙角九
[001-91a]
十度相加得九十一度五
十六分一十一秒小餘/一○為
癸甲丁角度即平行距最
卑後九十度時之實行度
也盖乙戊丁為撱圓四分
之一其積為九十度戊乙
丁角亦九十度積度與角/度同為一
線故無/撱圓差丙角既與乙角等
[001-91b]
甲癸丁積又與乙戊丁積
等甲癸丁積比乙戊丁積/多一丑癸戊形少一甲
乙丑形而甲乙丑積與丑/癸寅積等是丑癸戊形比
甲乙丑形僅多癸戊寅一/小弧矢積故謂丑癸戊積
與甲乙丑積等而甲癸丁/積亦謂與乙戊丁積等
故即以平行積度為丙角
而求甲角為實行度也此
法所得實行較前法多百
分秒之六十七盖甲癸丁
[001-91b]
積比乙戊丁積多癸戊寅
[001-92a]
弧矢積九十度稍大故實
行亦稍大又丙角至九十
度則弧矢之癸寅半弦與
甲乙兩心差相等是為最
長積亦最大故所差最多
過此則所差又漸少矣
又如太陽平行距最卑後
一百二十度求實行若干
[001-92b]
度分先從本天心設丁乙
癸角一百二十度則乙子
丁分撱圓面積亦為一百
二十度次将丁乙癸角減
丑乙寅撱圓差角九十度/以外小
一撱圓差/角故減則癸乙已外角
大一撱圓差角以撱圓小
半徑九九九八五七一小/餘
八/五為一率大半徑一千萬
[001-92b]
為二率所設癸乙已外角
[001-93a]
六十度之正切一七三二
○五○八為三率求得四
率一七三二二九八一小/餘
九/八為己乙寅外角之正切
檢表得六十度○分一十
二秒小餘/七六即己乙寅外角
度與一百八十度相減餘
一百一十九度五十九分
[001-93b]
四十七秒小餘/二四即寅乙丁
内角度次與乙寅平行作
丙卯線自甲作甲卯線則
丙角與寅乙丁角等甲卯
丁積為分撱圓一百二十
度之面積與乙子丁積等
是為平行卯甲丁角即為
實行乃将丙卯線引長至
辰使卯辰與甲卯等則丙
[001-93b]
辰為二千萬又自甲至辰
[001-94a]
作甲辰線成甲丙辰三角
形求得辰角四十九分五
十三秒小餘/四六倍之得一度
三十九分四十六秒小餘/九二
即甲丙卯形之卯角度與
丙内角一百一十九度五
十九分四十七秒小餘/二四相
加得一百二十一度三十
[001-94b]
九分三十四秒小餘/一六為卯
甲丁角度即平行距最卑
後一百二十度時之實行
度也盖與丙卯平行之乙
寅線截本天於巳所截之
乙巳丁積比甲卯丁積小
一卯己午形與甲乙未形
等乙巳丁積比甲卯丁積/少一卯己酉形多一甲
乙酉形而甲乙酉形與卯/午酉形等以多補少仍少
[001-94b]
一卯巳午形又将乙己線/引長至未使酉未與酉巳
[001-95a]
等而酉甲原與酉卯等卯/午原與甲乙等故作甲未
弧則卯巳午積即/與甲乙未積等此甲乙
未形之積與寅申倍撱圓
差乘乙戌餘弦折半之乙
寅申三角形積等寅丑癸/子皆撱
圓差而癸子微小於寅丑/丑申又微小於癸子然為
數無多故謂寅申為倍差/與乙戌餘弦相乘折半得
積與甲乙亥勾股積等比/甲乙未積僅小甲未亥一
[001-95b]
小弧矢積故借甲乙未/積為與乙寅申積等亦
即與乙子巳積等與前/法同夫
乙巳丁積比乙子丁小一
乙子巳積比甲卯丁積小
一甲乙未積甲乙未積既
與乙子巳積等則甲卯丁
積必與乙子丁積等而乙
子丁為分撱圓一百二十
度之面積癸乙丁角為一
[001-95b]
百二十度之角寅乙丁角
[001-96a]
比癸乙丁角原小一撱圓
差角卯丙丁角又原與寅
乙丁角等故於平行一百
二十度内減一撱圓差角
為丙角其甲卯線所截撱
圓積即與平行度相等而
求得甲角為實行度也此
法所得實行較之前法多
[001-96b]
百分秒之四十一盖乙巳
丁積比乙子丁積少乙子
己積僅與甲乙亥積等而
比甲卯丁積則少甲乙未
積是甲卯丁積比乙子丁
一百二十度積為稍大故
所得實行卯甲丁角亦稍
大然所差最大者不過半
秒有竒不為不密而法最
[001-96b]
為簡便故日躔求實行用
[001-97a]
此法也
[001-98a]
求均數
均數者盈縮差也最卑前後兩象限為行盈最髙前
後兩象限為行縮然盈縮差自最卑最髙起算最髙
前一象限雖行縮而實行仍大於平行故最卑後半
周皆為加差最卑前一象限雖行盈而實行仍小於
平行故最髙後半周皆為減差上編言之詳矣今求
盈縮差用前借角求角之法與不同心天之法畧同
但多一撱圓差耳故先以平行求得對倍兩心差之
[001-98b]
角又以平行求得撱圓差角與對倍兩心差之角相
加減而得均數加減之法具詳於左
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚為本天辛
壬癸子為黄道以行度言
之太陽在最卑前後當子
辛辛壬兩象限其本天平
行丑甲寅丁面積未及半
[001-98b]
周而以黄道度計之巳見
[001-99a]
自子行至壬故為行盈太
陽在最髙前後當壬癸癸
子兩象限其本天平行寅
甲丑已面積巳過半周而
以黄道度計之止見自壬
行至子故為行縮以盈縮
差言之太陽在最卑丁是
為初宫初度當黄道之辛
[001-99b]
甲丁辛成一直線無盈縮
差太陽在最髙已是為六
宫初度當黄道之癸甲癸
己成一直線亦無盈縮差
而自最卑後行丁寅戊巳
半周實行皆大於平行如
平行至寅所截甲寅丁平
行積度畧與寅丙丁角度
等爭一撱圓差/角故謂畧等自地心甲
[001-99b]
視之巳當黄道之壬壬甲
[001-100a]
辛角必大於寅丙丁角又
如平行至戊所截之甲戊
丁平行積度畧與戊丙丁
角度等自地心甲視之己
當黄道之卯卯甲辛角必
大於戊丙丁角故皆為加
差自最髙後行已庚丑丁
半周實行皆小於平行如
[001-100b]
平行至庚所截甲庚已平
行積度畧與庚丙己角度
等自地心甲視之方當黄
道之辰辰甲癸角必小於
庚丙己角又如平行至丑
所截甲丑巳平行積度畧
與丑丙巳角度等自地心
甲視之方當黄道之子子
甲癸角必小於丑丙已角
[001-100b]
故皆為減差此盈縮之理
[001-101a]
與不同心天之理同至求
盈縮差之法當先以平行
積度加減撱圓差角九十/度以
内大一撱圓差角則加九/十度以外小一撱圓差角
則減正九十度/無差角解見前為所設之
丙角而求對倍差之角與
所設之丙角相加得實行
以平行與實行相減乃為
[001-101b]
均數解見前借/角求角法然其數竒
零不便立算故先以平行
求得對倍差之角而後加
減撱圓差角為尤便也如
設太陽在己甲己丁分撱
圓面積為平行距最卑後
六十度知己丙甲角度比
所設之甲己丁平行積度
大一撱圓差角則於己丙
[001-101b]
甲角内減未丙午撱圓差
[001-102a]
角餘午丙甲角必為六十
度而與甲巳丁平行積度
相等故先設午丙甲角為
六十度用甲丙午三角形
求得對甲丙倍差之午角
一度四十一分二十九秒
與平行午丙甲角相加則
得午甲丁角然太陽原在
[001-102b]
已當黄道之申實行申甲
辛角即辛/申弧比午甲丁角尚
大一巳甲午角故又求得
未丙午撱圓差角一十三
秒與巳甲午角等巳甲午/角與未
丙午角同當巳午弧而甲/午線短於丙午則角畧大
然所差甚微/故為相等與午角相加
九十度以内大一/撱圓差角故加得一度
四十一分四十二秒是為
[001-102b]
均數為加差以加於平行
[001-103a]
而得實行也若太陽在酉
當黄道之戌甲酉巳分撱
圓面積爲平行距最高後
一百二十度而距最卑前
六十度則對甲丙倍差之
亥角與午角等乾丙亥撱
圓差角亦與未丙午角等
但其均數爲減差以減於
[001-103b]
平行而得實行也
如設太陽在亢甲亢丁分
撱圓面積爲平行距最卑
後一百二十度知亢丙甲
角度比所設之甲亢丁平
行積度小一撱圓差角則
於亢丙甲角加房丙氐撱
圓差角得氐丙甲角必為
一百二十度而與甲亢丁
[001-103b]
平行積度相等故先設氐
[001-104a]
丙甲角為一百二十度用
甲丙氐三角形求得對甲
丙倍差之氐角一度三十
九分四十七秒與平行氐
丙甲角相加則得氐甲丁
角然太陽原在亢當黄道
之尾實行尾甲辛角即辛/尾弧
比氐甲丁角尚小一氐甲
[001-104b]
亢角故又求得房丙氐撱
圓差角一十三秒與氐甲
亢角等氐甲亢角與房丙/氐角同當亢氐弧
而甲氐線長於丙氐則角/畧小然所差甚㣲故為相
等/與氐角相減九十度以/外小一撱
圓差角/故減餘一度三十九分
三十四秒是為均數為加
差以加於平行而得實行
也若太陽在斗當黄道之
[001-104b]
牛甲斗己分撱圓面積為
[001-105a]
平行距最高後六十度則
對甲丙倍差之女角與氐
角等女丙虛撱圓差角亦
與房丙氐角等但其均數
為減差以減於平行而得
實行也用此法求得最卑
後半周之加差即得最高
後半周之減差列爲表此
[001-105b]
法與以丙爲心作不同心
天之法畧同但多一撱圓
差又平圓之半徑爲一千
萬撱圓則自甲丙兩心出
線合於圓界共爲二千萬
耳而太陽距地高卑之差
止及兩心差之半與均輪
之法不謀而合故撱圓之
法正所以合不同心天與
[001-105b]
本輪均輪而一之也
[001-106a]
[001-106b]
御製厯象考成後編卷一
欽定四庫全書
御製厯象考成後編卷一
日躔數理
日躔總論
嵗實
黄赤距緯
清蒙氣差
地半徑差
[001-1b]
用撱圓面積為平行
求兩心差及撱圓與平圓之比例
求撱圓大小徑之中率
撱圓角度與面積相求
求均數
[001-2a]
日躔總論
欽若授時以日躔為首務蓋日出而為晝入而為夜與
月㑹而為朔行天一周而為嵗嵗月日皆於是乎紀故
堯典以賓餞永短定治厯之大經萬世莫能易也其推
步之法三代以上不可考漢晉諸家皆以日行一度三
百六十五日四分日之一而一周天自北齊張子信始
覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與
四序為升降厥法加詳至元郭守敬乃分盈縮初末四
[001-2b]
限較前代為密西法自多禄畝以至第谷則立為本天
髙卑本輪均輪諸説用三角形推算其術尤精上編言
之備矣近世西人刻白爾噶西尼等更相推考又以本
天為撱圓均分其面積為平行度與舊法逈殊然以求
盈縮之數則界乎本輪均輪所得數之間盖其法之巧
合雖若與第谷不同而其理則猶是本天髙卑之説也
至若嵗實之轉増距緯與兩心差之漸近地半徑差蒙
氣差之互為大小則亦由於積候損益舊數以成一家
[001-3a]
之言今用其法並釋其義云
[001-4a]
嵗實
日行天一周為嵗周嵗之日分為嵗實古法日行一度
故周天為三百六十五度四分度之一嵗實為三百六
十五日四分日之一周日為一萬分四分/之一為二千五百分堯典曰朞三
百有六旬有六日杜預謂舉全數而言則有六日其實
五日四分日之一是也漢末劉洪始覺冬至後天以為
嵗實太强減嵗餘分二千五百為二千四百六十二晉
虞喜宋何承天祖沖之謂嵗當有差乃損嵗餘以益天
[001-4b]
周嵗差之法由斯而立元郭守敬取劉宋大明戊寅以
來相距之積日時刻求得嵗實為三百六十五日二千
四百二十五分比四分日之一減七十五分而天周即
為三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三
百六十度第谷定嵗實為三百六十五日五時三刻三
分四十五秒以周日一萬分通之得三百六十五日二
四二一八七五較之郭守敬又減萬分之三有竒以除
周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十
[001-5a]
九微四十九纖五十一忽三十九芒即十分度之九分/八五六四七三六
五/八嵗差則謂恒星每年東行五十一秒不特天自為天
嵗自為嵗而星又自為星其理甚明其用尤便上編仍
之厥後西人奈端等屢測嵗實又謂第谷所減太過酌
定嵗實為三百六十五日五時三刻三分五十七秒四
十一微三十八纖二忽二十六芒五十六塵以周日一
萬分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一
四一五比第谷所定多萬分之一有竒以除周天三百
[001-5b]
六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十
四纖四十三忽二十二芒零三塵即十分度之九分八/五六四六九六九三
五一二八/二二五比第谷所定少五纖有竒每年少三十微有
竒盖嵗實之分數増則日行之分數減據今表推雍正
元年癸卯天正冬至比第谷舊表遲二刻日躔平行根
比舊表少一分一十四秒見推日/躔用數而第谷去今一百四
十餘年以數計之其差恰合是亦取前後兩冬至相距
之積日時刻而均分之非意為増損也至於嵗實消長
[001-6a]
統天授時用之新法算書雖為之説而實未用其數兹
不具論
[001-7a]
黄赤距緯
黄赤距緯古今所測不同自漢以來皆謂黄道出入赤
道南北二十四度元郭守敬所測為二十三度九十分
三十秒以周天三百六十度每度六十分約之得三十
三度三十三分三十二秒新法算書用西人第谷所測
為二十三度三十一分三十秒康熙五十二年
皇祖聖祖仁皇帝命和碩荘親王等率同儒臣於暢春園蒙
養齋開局測太陽髙度得黄赤大距為二十三度二十
[001-7b]
九分三十秒今監臣戴進賢等厯考西史第谷所測盖
在明隆萬時而漢時多禄畝所測為二十三度五十一
分三十秒較第谷為多我朝順治年間刻白爾改為二
十三度三十分後利酌理噶西尼又改為二十三度二
十九分俱較第谷為少其前後多少之故或謂諸家所
用蒙氣差地半徑差之數各有不同故所定距緯亦異
然合中西考之第谷以前未知有蒙氣差而多禄畝與
古為近至郭守敬則與第谷相若而去多禄畝則有十
[001-8a]
數分之多康熙年間所用蒙氣差地半徑差俱仍第谷
之舊與刻白爾噶西尼等所用之數不同而所測大距
又相去不逺由此觀之則黄赤距度古今實有不同而
非由於所用差數之異所當隨時考測以合天也近日
西法並宗噶西尼故黄赤大距為二十三度二十九分
至於測量之術推算之理上編闡奥發微千古不易故
不復載
[001-9a]
清蒙氣差
清蒙氣差西人第谷始發其義謂地中遊氣上騰能
升卑為髙映小為大而蒙氣之厚薄升像之髙下又
隨地不同其所作蒙氣差表謂其國北極出地五十
五度測得地平上最大蒙氣差三十四分自地平以
上其差漸少至距地髙四十五度猶差五秒更髙則
無蒙氣矣厥後西人又言北極髙四十八度太陽髙
四十五度時蒙氣差尚有一分餘自地平至天頂皆
[001-9b]
有蒙氣差上編具載其説而表則仍新法算書第谷
之舊也今監臣戴進賢等厯考西史第谷所定地平
上蒙氣差其門人刻白爾即謂失之稍大而猶未定
有確數至噶西尼始從而改正焉其説謂蒙氣繞乎
地球之周日月星照乎蒙氣之外人在地面為蒙氣
所映必能視之使髙而日月星之光線入乎蒙氣之
中必反折之使下故光線與視線在蒙氣之内則合
而為一蒙氣之外則岐而為二此二線所交之角即
為蒙氣差角第谷己悟其理然猶未有算術噶西尼
[001-9b]
反覆精求謂視線與光線所岐雖有不同而相合則
[001-10a]
有定處自地心過所合處作線抵圜周則此線即為
蒙氣之割線視線與割線成一角光線與割線亦成
一角二角相減即得蒙氣差角爰在北極出地髙四
十四度處屢加精測得地平上最大差為三十二分
一十九秒蒙氣之厚為地半徑千萬分之六千零九
十五視線角與光線角正弦之比例常如一千萬與
一千萬零二千八百四十一用是以推逐度之蒙氣
差至八十九度尚有一秒驗諸實測較第谷為密近
[001-10b]
日西法並宗之具詳圖法於左
如圖甲為地心乙為地面
乙甲為地半徑一千萬丙
乙為蒙氣之厚六千零九
十五丁為太陽月星/倣此照於
蒙氣之戊人自地面乙視
之則見日於戊者當本天
之巳巳戊乙為視線丁戊
乙為光線是視線常髙光
[001-10b]
線常卑視線常直光線常
[001-11a]
折在戊㸃蒙氣之内則光
線與視線合同為戊乙出
乎戊㸃之外則視線己戊
光線丁戊岐而為二故己
戊丁角為蒙氣差角試自
地心甲出線過戊㸃至庚
則庚甲即為地平上蒙氣
之割線己戊庚角為視線
[001-11b]
與割線所成之角丁戊庚
角為光線與割線所成之
角而己戊丁蒙氣差角即
為兩角之較今既測得地
平上蒙氣差為三十二分
一十九秒又測定蒙氣之
厚為六千零九十五則己
戊庚視線角與丁戊庚光
線角可以得其比例其術
[001-11b]
用甲乙戊直角三角形以
[001-12a]
甲戊一○○○六○九五
與甲乙一千萬之比同於
乙直角正弦一千萬與戊
角正弦九九九三九○八
小餘/七一之比而得戊角為八
十八度小餘百分/秒之四二即己戊
庚角又以己戊丁蒙氣差
角三十二分一十九秒與
[001-12b]
之相加得八十八度三十
二分一十九秒小餘/四二即丁
戊庚角其正弦為九九九
六七四八小餘/二五夫視線角
之正弦己辛為九九九三
九○八小餘/七一則光線角之
正弦丁壬為九九九六七
四八小餘/二五若設己辛為一
千萬則丁壬必為一○○
[001-12b]
○二八四一此兩角正弦
[001-13a]
之比例也既得兩弦之比
例而蒙氣差之戊角與視
線交蒙氣割線之戊角同
以在地平為最大漸近天
頂則漸小則是二者常相
因而逐度之蒙氣差皆可
以兩弦比例而推如求地
平上髙二十度癸己弧之
[001-13b]
蒙氣差則癸戊乙為視線
子戊乙為光線丑戊甲為
地平上二十度蒙氣之割
線戊乙丙角為七十度癸
戊丑角為視線與割線所
成之角其正弦為癸寅子
戊丑角為光線與割線所
成之角其正弦為子卯先
用甲戊乙三角形求得戊
[001-13b]
角六十九度五十四分一
[001-14a]
十五秒小餘/五五即癸戊丑角
又以一千萬與一○○○
二八四一之比同於癸寅
與子卯之比而得子戊丑
角為六十九度五十六分
五十五秒小餘/九二兩角相減
餘癸戊子角二分四十秒
小餘/三七即地平上二十度之
[001-14b]
蒙氣差也餘倣此
[001-15a]
地半徑差
地半徑差者視髙與實髙之差也太陽距地平近則
差角大漸髙則漸小又太陽在最卑距地心近則差
角大在最髙距地心逺則差角小在中距為適中新
法算書用歌白尼所定地半徑與中距日天半徑之
比例為一與一千一百四十二地平上最大差為三
分上編仍之其測量推算之法言之詳矣自後噶西
尼等謂日天半徑甚逺無地半徑差而測量所係只
[001-15b]
在秒微又有蒙氣雜乎其内最為難定因思日月星
之在天惟恒星無地半徑差若以日與恒星相較可
得其準而日星不能兩見是測日不如測五星也土
木二星在日上去地尤逺地半徑差愈微金水二星
雖有時在日下而其行繞日逼近日光均為難測惟
火星繞日而亦繞地能與太陽衝故夜半時火星正
當子午線於南北兩處測之同與一恒星相較其距
恒星若相等則是無地半徑差若相距不等即為有
地半徑差其不等之數即兩處地半徑差之較且火
[001-15b]
星衝太陽時其距地較太陽為近則太陽地半徑差
[001-16a]
必更小於火星地半徑差也噶西尼用此法推得火
星在地平上最大地半徑差為二十五秒比例得太
陽在中距時地平上最大地半徑差為一十秒驗之
交食果為脗合近日西法並宗其説今用所定地半
徑差求地半徑與日天半徑之比例中距為一與二
萬零六百二十六最髙為一與二萬零九百七十五
最卑為一與二萬零二百七十七以求地平上最大
之地半徑差最髙為九秒五十微最卑為一十秒一
[001-16b]
十微測算之法並述於左
康熙十一年壬子秋分前
十四日火星與太陽衝西
人噶西尼於富郎濟亞國
測得火星距天頂五十九
度四十分一十五秒利實
爾於噶耶那島測得火星
距天頂一十五度四十七
分五秒同時用有千里鏡
[001-16b]
能測秒微之儀器與子午
[001-17a]
線上最近一恒星測其相
距噶西尼所測火星較低
一十五秒如噶西尼測得/火星距恒星下
四十分一十五秒利實爾/測得火星距恒星下四十
分又逐日細測恒星距天/頂噶西尼測得為五十九
度利實爾測得為一十五/度七分五秒各與所測火
星距恒星之數相加即/各得火星距天頂之度以
之立法甲為地心乙為富
[001-17b]
郎濟亞國地面丙為天頂
丁為噶耶那島地面戊為
天頂己為火星丙戊己庚
為子午線如兩地面不同/在一子午線則
須按東西里差求其同一/子午線之髙度見上編日
躔厯/理己乙丙角為乙處火
星視距天頂五十九度四
十分一十五秒己丁戊角
為丁處火星視距天頂一
[001-17b]
十五度四十七分五秒地/面
[001-18a]
為視距地/心為實距辛為恒星辛甲
丙角為乙處恒星距天頂
之度辛甲戊角為丁處恒
星距天頂之度因恒星距
地甚逺地面所視與地心
無異故無地半徑差假若
火星亦無地半徑差則乙
處火星實距天頂當為己
[001-18b]
甲丙角丁處火星實距天
頂當為己甲戊角而火星
與恒星之相距即同為己
甲辛角無髙低之異乃乙
處所測火星距天頂為己
乙丙角較之實距天頂之
己甲丙角低一乙己甲角
是即乙處之地半徑差也
丁處所測火星距天頂為
[001-18b]
己丁戊角較之實距天頂
[001-19a]
之己甲戊角低一丁己甲
角是即丁處之地半徑差
也夫火星之距恒星一也
因乙處所測火星距天頂
逺故乙己甲差角大丁處
所測火星距天頂近故丁
己甲差角小則乙處所測
火星距恒星較丁處低一
[001-19b]
十五秒即兩差角相減所
餘之丁己乙角乃兩處地
半徑差之較也既得地半
徑差較丁己乙角而欲求
地平上最大差甲壬乙角
則以兩處所測火星距天
頂之正弦相減與地半徑
差較秒數之比即同於半
徑一千萬與地平上最大
[001-19b]
差秒數之比盖将己乙線
[001-20a]
引長至癸自甲作甲癸垂
線成甲癸乙直角形癸為
直角乙角與己乙丙為對
角即乙處火星距天頂之
度甲癸為地半徑差乙己
甲角之正弦甲己為/半徑故甲乙
為地半徑即最大差甲壬
乙角之正弦甲壬為/半徑故其法
[001-20b]
為乙角正弦與甲癸之比
同於癸直角正弦一千萬
與甲乙之比檢表而得壬
角也又将己丁線引長至
子自甲作甲子垂線成甲
子丁直角形子為直角丁
角與己丁戊為對角即丁
處火星距天頂之度甲子
為地半徑差丁己甲角之
[001-20b]
正弦甲丁與甲乙等亦為
[001-21a]
最大差甲壬乙角之正弦
其法為丁角正弦與甲子
之比同於子直角正弦一
千萬與甲丁之比亦檢表
而得壬角也夫兩視距天
頂之正弦與兩地半徑差
正弦之比既皆同於一千
萬與最大差正弦之比則
[001-21b]
兩視距天頂正弦相減之
較與兩地半徑差正弦相
減之較之比亦必同於一
千萬與最大差正弦之比
又地半徑差角甚小其兩
正弦之較與兩角度之較
可以相為比例則兩視距
天頂正弦相減之較與兩
地半徑差相減所餘秒數
[001-21b]
之比亦必同於一千萬與
[001-22a]
最大差秒數之比矣故以
己乙丙角五十九度四十
分一十五秒之正弦八六
三一三八六與己丁戊角
一十五度四十七分五秒
之正弦二七二○二三六
相減餘五九一一一五○
為一率乙己丁角一十五
[001-22b]
秒為二率一千萬為三率
求得四率二十五秒小餘/三七
即甲壬乙角為火星在地
平上最大之地半徑差也
既得火星地半徑差甲壬
乙角而欲求太陽地半徑
差甲丑乙角據歌白尼第
谷測得火星距地甲壬與
太陽距地甲丑之比如一
[001-22b]
百與二百六十六其法當
[001-23a]
先用甲乙壬形以乙角正
弦為一率甲壬為二率壬
角正弦為三率甲乙為四
率此第一比例也次用甲
乙丑形以甲丑為一率乙
角正弦為二率甲乙為三
率丑角正弦為四率此第
二比例也然第二比例之
[001-23b]
二率三率即第一比例之
一率四率而一率四率相
乗原與二率三率相乗之
數等故即以甲丑二六六
為一率甲壬一○○為二
率壬角二十五秒小餘/三七為
三率求得四率九秒小餘/五三
進為一十秒為丑角度因/壬
丑二角甚小正弦與角度/可以相為比例故壬角用
[001-23b]
秒丑角/亦得秒即太陽在地平上
[001-24a]
最大之地半徑差也
又按上編日躔求地半徑
差法以兩處恒星距天頂
相減餘四十三度五十二
分五十五秒為戊丙弧即
戊甲丙角先用乙甲丁三
角形甲乙甲丁二邊俱命
為一千萬以甲角折半之
[001-24b]
正弦倍之得七四七三○
二三為乙丁邊又以甲角
與半周相減餘數半之得
六十八度三分三十二秒
三十微為乙角亦即丁角
次用乙己丁三角形此形
有乙丁邊有己乙丁角五
十二度一十六分一十二
秒三十微半周内減去甲/乙丁角又減去
[001-24b]
己乙丙角餘/即己乙丁角有己丁乙角
[001-25a]
一百二十七度四十三分
三十二秒三十微半周内/減去甲
丁乙角加己丁戊/角即己丁乙角有乙己
丁角一十五秒乙丁二角/相併與半
周相減餘即己角與/前地半徑差較合求得
己丁邊八一二七五一二
五一五四小餘/二九次用己丁
甲三角形此形有甲丁邊
[001-25b]
有丁己邊有丁外角一十
五度四十七分五秒即丁/處火
星距/天頂将己丁線引長至子
成甲子丁直角形丁角正
弦二七二○二三六小餘/五
即甲子邊丁角餘弦九六
二二九○六即丁子邊以
丁子與己丁相加得己子
八一二八四七四八○六
[001-25b]
○小餘/二九為股甲子為勾求
[001-26a]
得弦八一二八四七四八
一一二為甲己邊與甲壬
等即火星距地心數以地
半徑較之其比例為一與
八千一百二十八又以甲
壬為一率甲乙為二率一
千萬為三率求得四率一
二三○小餘/二四為壬角之正
[001-26b]
弦檢表得二十五秒小餘/三七
為火星在地平上最大差
與前法所得數同上編求/日纒地
半徑差亦可用前法算但/兩處所測太陽一在天頂
南一在天頂北其差角為/地半徑差總當以兩距天
頂之正弦相加與地半徑/差總秒數之比同於一千
萬與地平上最大/差秒數之比耳
[001-27a]
用撱圓面積為平行
太陽之行有盈縮由於本天有髙卑春分至秋分行
最髙半周故行縮而厯日多秋分至春分行最卑半
周故行盈而厯日少其説一為不同心天一為本輪
而不同心天之兩心差即本輪之半徑故二者名雖
異而理則同也第谷用本輪以推盈縮差惟中距與
實測合最髙前後則失之小最卑前後則失之大又
最髙之髙於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非
[001-27b]
兩心差之全數而止及其半故又用均輪以消息乎
其間而後髙卑之數盈縮之行與當時實測相合上
編言之詳矣然天行不能無差元郭守敬定盈縮之
最大差為二度四○一四以周天三百六十度每度
六十分約之得二度二十二分新法算書第谷所定
之最大差為二度零三分一十一秒刻白爾以來屢
加精測盈縮之最大差止有一度五十六分一十二
秒又以推逐度之盈縮差最髙前後本輪固失之小
矣均輪又失之大最卑前後本輪固失之大矣均輪
[001-27b]
又失之小乃設本天為撱圓均分撱圓面積為逐日
[001-28a]
平行之度則髙卑之理既與舊説無異而髙卑前後
盈縮之行乃俱與今測相符具詳圖説如左
如圖甲為地心乙丙丁戊
為黄道己為不同心天之
心庚辛壬癸為不同心天
乙庚為本輪半徑與甲己
兩心差等以本輪之法論
之最卑時本輪心在乙太
[001-28b]
陽在庚中距時本輪心在
丙太陽在辛乙丙為平行
九十度辛甲丙角為平行
實行之最大差以不同心
天之法論之太陽自最卑
庚行至辛亦九十度己辛
甲角為平行實行之最大
差與辛甲丙角等故本輪
之法與不同心天之法相
[001-28b]
同以均輪之法論之最卑
[001-29a]
時本輪心在乙均輪心在
子太陽在丑中距時本輪
心在丙均輪心在卯太陽
在辛最髙時本輪心在丁
均輪心在辰太陽在巳辛
甲丙角最大差仍當甲己
之全而丑乙之卑於本天
半徑巳丁之髙於本天半
[001-29b]
徑者止及甲己之半與甲
寅等故以推盈縮差惟中
距與本輪同最髙半周比
之本輪則大距地近/故角大最卑
半周比之本輪則小距地/逺故
角/小此其所以消息乎本輪
之行度者當時必有所據
而自刻白尔以來則謂髙
卑之數均輪所定誠是但
[001-29b]
其數漸減耳至以推盈縮
[001-30a]
差則均輪之所消息者又
屬太過惟以寅為不同心
天之心作撱圓形自地心
甲𤓰分之計太陽在撱圓
周右旋其所行之分撱圓
面積日日皆相等而用以
推黄道實行之盈縮則在
本輪均輪所得數之間而
[001-30b]
與實測脗合試以寅為心
與己丑作十字線又取寅
丑之度從甲截横線於午
使午甲午己皆與寅丑半
徑等乃以甲己兩㸃各為
心午為界各用一針釘之
圍以絲線末以鉛筆代午
針引而旋轉即成丑午己
未撱圓形寅丑寅己為撱
[001-30b]
圓大半徑寅午寅未為撱
[001-31a]
圓小半徑則撱圓不以甲
己為心而以寅為心丑乙
之卑於黄道巳丁之髙於
黄道者止及甲己之半與
寅甲等是髙卑之理與均
輪合矣又将撱圓面積以
甲為心均分為三百六十
分每分之積皆為一度每
[001-31b]
一度積為六十分太陽每
日右旋當每一度積之五
十九分有竒是為平行在
最卑半周甲心至撱圓界
之線短則角度必寛是為
行盈在最髙半周甲心至
撱圓界之線長則角度必
狹是為行縮故太陽循撱
圓周行惟所當之面積相
[001-31b]
等而角不等其角度與積
[001-32a]
度之較即平行實行之差
中距平行至申甲申丑積
為撱圓四分之一為平行
九十度與寅午丑積等申/午
酉積微大于酉寅甲積/然所差無多故為相等亦
與申己甲角等而自地心
甲計之己當黄道之戌戌
甲丑角為實行己申甲角
[001-32b]
為平行實行之差是中距
之盈縮差與本輪均輪皆
合矣用是以推逐度之盈
縮差在最髙半周比之本
輪固大比之均輪又微小
最卑半周比之本輪固小
比之均輪又微大驗諸實
測庶為近之推算之法具
詳後篇
[001-33a]
求兩心差及撱圓與平圓之比例
新法算書日躔中距之盈縮差為二度零三分零九
秒四十微檢其正切得兩心差為三五八四一六上
編仍之今測中距之盈縮差得一度五十六分一十
二秒折半得五十八分零六秒檢其正弦得一六九
○○○為兩心差倍之得三三八○○○比舊數少
千分之二有竒乃以兩心差一六九○○○為勾平
圓半徑一千萬為弦求得股九九九八五七一小餘/八四
[001-33b]
八○一/九一即撱圓之小半徑而凡撱圓之正弦角度面
積與平圓之比例皆同於撱圓之小半徑與平圓半
徑之比例焉
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚撱圓為本
天乙丁為大半徑一午萬
乙戊為小半徑丙戊甲戊
皆與乙丁等太陽行至戊
[001-33b]
甲戊丁分撱圓面積八十
[001-34a]
九度一分五十四秒為平
行其小於九十度之五十
八分六秒即甲乙戊勾股
積乙戊丁積為撱圓四分/之一必九十度故甲戊
丁積小於九十度之/積即甲乙戊勾股積亦即
乙戊甲角甲乙戊勾股積/甲戊邊即大徑
乙戊邊即小徑其積介乎/大小徑之間與分平圓面
相似故積度即角度若近/甲丁則邊短而角大近甲
[001-34b]
己則邊長而/角小詳後篇戊甲丁角九
十度五十八分零六秒為
實行其大於九十度者亦
五十八分六秒即戊甲辛
角與乙戊甲角等亦與丙
戊乙角等平行實行之差
一度五十六分一十二秒
即甲戊丙角折半得五十
八分零六秒即乙戊甲角
[001-34b]
甲戊既為一千萬則甲乙
[001-35a]
即乙戊甲角之正弦故檢
表得一六九○○○即甲
乙兩心差以甲乙為勾甲
戊為弦求得乙戊股九九
九八五七一小餘八四八/○一九一
即撱圓小半徑也既得撱
圓小徑則凡撱圓之面線
及角度皆可以得其比例
[001-35b]
以正弦之比例言之試以
乙為心乙丁為半徑作丁
壬己癸平圓則撱圓乙丁
大半徑與平圓乙壬半徑
相等戊乙小半徑之小於
平圓半徑者即壬戊撱圓
差若逐度割之則撱圓之
餘弦必與平圓之餘弦相
等而撱圓之正弦必小於
[001-35b]
平圓之正弦然平圓正弦
[001-36a]
與撱圓正弦之比例必同
於平圓半徑與撱圓小半
徑之比例也如丁㸃為初
度無正弦丁乙為初度之
餘弦平圓與撱圓等丁壬
弧為九十度無餘弦壬乙
為平圓九十度之正弦即
大半徑戊乙為撱圓九十
[001-36b]
度之正弦即小半徑壬戊
即九十度之撱圓差丁子
弧為三十度丑乙為三十
度之餘弦平圓與撱圓等
子丑為平圓三十度之正
弦寅丑為撱圓三十度之
正弦子寅為三十度之撱
圓差丁卯弧為六十度辰
乙為六十度之餘弦平圓
[001-36b]
與撱圓等卯辰為平圓六
[001-37a]
十度之正弦巳辰為撱圓
六十度之正弦卯巳為六
十度之撱圓差則子丑與
寅丑之比卯辰與巳辰之
比皆同於壬乙與戊乙之
比而子丑與子寅之比卯
辰與卯巳之比皆同於壬
乙與壬戊之比也奚以明
[001-37b]
其然也盖撱圓之與平圓
處處皆有一小半徑藏乎
其内試取壬戊之分於乙
心作圜則午乙未乙申乙
酉乙皆與壬戊等壬午卯
未子申丁酉皆與戊乙等
是推而抵於平圓之界各
有一小半徑在也又自甲
丙二㸃出線合於戊則小
[001-37b]
徑之端在戊而末在乙自
[001-38a]
甲丙二㸃出線合於丁則
小徑之端在丁而末在酉
若自甲丙出二線合於寅
則小徑必端在寅而末在
戌合於巳則小徑必端在
巳而末在亥是引而歸於
平圓之徑又各有一小半
徑在也夫寅戌巳亥既皆
[001-38b]
為小徑而申戌未亥又與
子丑卯辰為平行則寅戌
與子申巳亥與卯未亦必
為平行而申戌與子寅未
亥與卯巳必各相等故乙
子丑與戌寅丑及乙申戌
為同式形乙卯辰與亥巳
辰及乙未亥亦為同式形
而子丑與寅丑之比同於
[001-38b]
子乙即壬/乙與寅戌即戊/乙之
[001-39a]
比卯辰與巳辰之比同於
卯乙即壬/乙與巳亥即戊/乙之
比又子丑與申戌即子/寅之
比同於子乙即壬/乙與申乙
即壬/戊之比卯辰與未亥即/卯
巳/之比同於卯乙即壬/乙與
未乙即壬/戊之比是平圓與
撱圓正弦之比例同於大
[001-39b]
徑與小徑之比例也以角
度之比例言之設卯乙辰
角為平圓六十度即丁/卯弧求
撱圓之巳乙辰角試以乙
辰為半徑作弧則卯辰為
卯乙辰角之正切巳辰為
巳乙辰角之正切夫卯辰
與巳辰之比既同於壬乙
與戊乙之比則卯乙辰角
[001-39b]
之正切與巳乙辰角正切
[001-40a]
之比亦必同於壬乙與戊
乙之比故以壬乙一千萬
為一率戊乙九九九八五
七一小餘/八五為二率卯乙辰
角六十度之正切一七三
二○五○八為三率求得
四率一七三一八○三四
為巳乙辰角之正切檢表
[001-40b]
得五十九度五十九分四
十七秒即巳乙辰角而卯
乙巳角一十三秒為撱圓
差角卯乙辰角内減巳乙/辰角餘即卯乙巳角
又設巳甲辰角六十度五
十分三十二秒求卯甲辰
角試以甲辰為半徑作弧
則巳辰為巳甲辰角之正
切卯辰為卯甲辰角之正
[001-40b]
切夫卯辰與巳辰之比既
[001-41a]
同於壬乙與戊乙之比則
巳辰與卯辰之比必同於
戊乙與壬乙之比而巳甲
辰角之正切與卯甲辰角
正切之比亦必同於戊乙
與壬乙之比故以戊乙九
九九八五七一小餘/八五為一
率壬乙一千萬為二率巳
[001-41b]
甲辰角之正切一七九二
三八九七為三率求得四
率一七九二六四五七為
卯甲辰角之正切檢表得
六十度五十分四十五秒
即卯甲辰角而卯甲巳角
一十三秒為撱圓差角是
平圓與撱圓角度之比例
亦同於大徑與小徑之比
[001-41b]
例也再以面積之比例言
[001-42a]
之凡平圓面積與撱圓面
積之比例同於平圓外切
正方面積與撱圓外切長
方面積之比例亦即同於
撱圓大徑與小徑之比例
撱圓大徑即平圓徑見幾/何原本八卷第十二節
如求撱圓六十度之面積
則先設丁卯弧六十度求
[001-42b]
乙卯丁六十度之平圓面
積以比之法以半周率三
一四一五九二六五定率/圓徑
一千萬則圓周為三一四/一五九二六五今一千萬
為半徑故周/率為半周用三分之得
一○四七一九七五五為
卯丁弧線因卯丁弧六十/度為半周三分
之一故三分半周率而得/卯丁弧線若有竒零則須
用比/例法與乙卯半徑一千萬
[001-42b]
相乗折半得五二三五九
[001-43a]
八七七五○○○○○即
乙卯丁分平圓六十度之
面積而為丁壬己癸平圓
全積六分之一又以壬乙
大半徑一千萬為一率戊
乙小半徑九九九八五七
一小餘/八五為二率乙卯丁積
為三率求得四率五二三
[001-43b]
五二三九九七二四○九
五即乙己丁分撱圓六十
度之面積而為丁戊己庚
撱圓全積六分之一也此/所
得六十度積較之全積六/分之一尾數稍大因小徑
之小餘為八四八進為八/五之故然於圓度只差纎
忽可不/計也蓋将平圓撱圓二
面積依壬癸横徑縷析之
則皆成線矣其線與線之
[001-43b]
比既同於大徑與小徑之
[001-44a]
比則面與面之比亦同於
大徑與小徑之比故分之
丁卯辰弧矢積與丁巳辰
弧矢積之比卯辰乙勾股
積與巳辰乙勾股積之比
皆同於大徑與小徑之比
而合之乙卯丁分平圓面
積與乙巳丁分撱圓面積
[001-44b]
之比亦必同於大徑與小
徑之比也既得撱圓與平
圓之各比例則面線角度
皆可得而求至於撱圓正
弦以平圓命度而角度不
同分撱圓面積與全積相
當而角不相應則撱圓差
之所生而與平圓之所以
别也
[001-45a]
求撱圓大小徑之中率
凡平圓面積自中心分之其所分面積之度即其心
角之度以圜界為心角之規而半徑俱相等也若撱
圓有大小徑角與積巳不相應矣見前/篇况實行之角
平行之積皆不以本天心為心而以地心為心太陽
距地心線自最卑以漸而長逐度俱不等又何以知
積之為度而與角相較乎然以大小徑之中率作平
圓其面積與撱圓等将平圓面積逐度遞析之則度
[001-45b]
分秒皆可按積而稽撱圓之全積既與平圓全積等
則其遞析之面積亦必相等故分撱圓面積雖非度
亦可以度命之而度分秒亦可按積而稽也
如圖甲為地心乙為本天
心乙甲為兩心差丙甲為
倍差丁戊己庚撱圓為本
天乙丁為大半徑一千萬
乙戊為小半徑九九九八
五七一小餘八四八/○一九一試以
[001-45b]
乙丁大半徑作丁辛己壬
[001-46a]
平圓則平圓與撱圓二面
積之比例同於平圓外切
癸子丑寅正方積與撱圓
外切卯辰巳午長方積之
比例又試以乙丁大半徑
為首率乙戊小半徑為末
率求得乙申中率九九九
九二八五小餘/八九作平圓則
[001-46b]
大半徑所作丁辛己壬平
圓與中率所作申酉戌亥
平圓二面積之比例亦同
於大徑平圓外切癸子丑
寅正方積與中率平圓外
切乾坎艮震正方積之比
例此二比例既同而乾坎
艮震正方積原與卯辰巳
午長方積等首率末率相/乘與中率自
[001-46b]
乗/等則申酉戌亥平圓積亦
[001-47a]
必與丁戊己庚撱圓積相
等矣乃以己丁大徑二千
萬與戊庚小徑一九九九
七一四三小餘六九六/○三八二相
乗得卯辰巳午長方積與
乾坎艮震正方積等以方
與圓之比例定率七八五
三九八一六二五通之得
[001-47b]
三一四一一四三九八二
八二三三七為申酉戌亥
平圓面積與丁戊己庚撱
圓面積等将申酉戌亥平
圓面積以三百六十度除
之得八七二五三九九九
五二二九為一度之面積
其形為分平圓面其兩腰
皆為中率半徑與乙申等
[001-47b]
其弧其角皆為一度若将
[001-48a]
丁戊己庚撱圓面積自甲
心亦平分為三百六十分
則其形為分撱圓面其兩
腰自甲丁極短以漸而長
逐度俱不等其弧其角亦
不等然其每分之面積則
皆與一度之面積等故凡
分一段撱圓面積以一度
[001-48b]
之面積為法而一則面積
即可以度分命之然後以
面積之度與角度相較而
平行實行之差出焉如以
甲為心以中率為半徑作
平圓則甲巽丁分撱圓面
積為太陽距最卑後之平
行度與甲離申分平圓面
積等亦即與離甲申角等
[001-48b]
巽甲離角為平行實行之
[001-49a]
差其實行在平行前甲坤
己分撱圓面積為太陽距
最髙後之平行度與甲兑
戌分平圓面積等亦即與
兑甲戌角等兑甲坤角為
平行實行之差其實行在
平行後也
[001-50a]
撱圓角度與面積相求
前篇言以面積之度與角度相較而平行實行之差
以出盖太陽距最卑後平行之度必與太陽距地心
線所分之撱圓面積等故可以平行度為面積而求
實行也然實行固角度也以實測言之則先得實行
後求平行以角而求積也易以推歩言之則先設平
行後求實行以積而求角也難故先設以角求積之
法可以知數理之實次設以積求角之法可以知比
[001-50b]
例之術次設借積求積借角求角之法可以知巧合
補凑之方反覆參稽而數之離合乃纖悉畢呈焉圖
説詳著於左
先設以角求積法如圖甲
為地心乙為本天心甲乙
為兩心差丙甲為倍差丁
戊己庚為本天丁為最卑
己為最髙設太陽在辛辛
甲丁角為實行距最卑後
[001-50b]
六十度求甲辛丁分撱圓
[001-51a]
面積平行若干度分先将
甲辛線引長至壬作丙壬
垂線成甲丙壬辛丙壬兩
勾股形乃以半徑一千萬
為一率甲角六十度之正
弦八六六○二五四為二
率丙甲壬角與辛甲丁/角為對角其度相等丙
甲倍兩心差三三八○○
[001-51b]
○為三率求得四率二九
二七一六小餘/五九為丙壬邊
又以半徑一千萬為一率
甲角六十度之餘弦五○
○○○○○為二率丙甲
邊為三率求得四率一六
九○○○為甲壬邊次以
丙壬為勾自乗以甲壬與
甲辛丙辛兩邊和二千萬
[001-51b]
相加得二○一六九○○
[001-52a]
○為股弦和除之得四二
四八小餘/二五為股弦較與股
弦和相加折半得一○○
八六六二四小餘/一三為丙辛
邊與二千萬相減餘九九
一三三七五小餘/八七為甲辛
邊即太陽距地心線次以
半徑一千萬為一率甲角
[001-52b]
六十度之正弦八六六○
二五四為二率甲辛邊為
三率求得四率八五八五
二三五小餘/三○即辛癸邊次
以撱圓小徑九九九八五
七一小餘/八五為一率大徑一
千萬為二率辛癸邊為三
率求得四率八五八六四
六一小餘/五八即子癸邊檢正
[001-52b]
弦得五十九度九分五十
[001-53a]
三秒小餘/六九即乙角度亦即
子丁弧度次以半周天一
百八十度化作六十四萬
八千秒為一率半圓周定
率三一四一五九二六小/餘
五/為二率乙角度分化作
二十一萬二千九百九十
三秒小餘/六九為三率求得四
[001-53b]
率一○三二六二二五小/餘
四七八四/○○九為子丁弧線與
乙丁半徑一千萬相乗折
半得五一六三一一二七
三九二○○五為乙子丁
分平圓面積次以撱圓大
徑一千萬為一率小徑九
九九八五七一小餘/八五為二
率乙子丁積為三率求得
[001-53b]
四率五一六二三七五三
[001-54a]
六九二五四六為乙辛丁
分撱圓面積次以乙甲一
六九○○○與辛癸八五
八五二三五小餘/三○相乗折
半得七二五四五二八八
二八五○為辛乙甲三角
積辛乙甲三角積以乙甲/為底辛癸為髙故與同
底同髙折/半之積等與乙辛丁積相
[001-54b]
減餘五○八九八三○○
八○九六九六即甲辛丁
分撱圓面積以一度之面
積定率八七二五三九九
九五二二九除之得五十
八度三三三四小餘/八七收作
五十八度二十分○秒三
十三微即實行距最卑後
六十度時之平行度也
[001-54b]
又法求甲辛太陽距地心
[001-55a]
線将甲辛線引長至壬使
辛壬與丙辛等又自丙至
壬作丙壬線成甲丙壬三
角形此形知丙甲倍兩心
差三三八○○○知甲壬
二千萬甲辛丙辛共二千/萬辛壬既與丙辛
等故甲壬/亦二千萬知甲外角六十
度用切線分外角法求得
[001-55b]
壬角四十九分五十三秒
小餘/三六又求得丙壬邊二○
一七一○八○小餘/二九次将
丙壬邊折半於癸作辛癸
垂線成壬癸辛直角形以
半徑一千萬為一率壬角
正割線一○○○一○五
三小餘/三五為二率癸壬邊一
○○八五五四○小餘一/四五
[001-55b]
為三率求得四率一○○
[001-56a]
八六六○二小餘/六一為辛壬
邊與甲壬二千萬相減餘
九九一三三九七小餘/三九即
甲辛太陽距地心線也此
法所得甲辛線較前法多
二十二盖因壬角甚小比
例易差耳然其角度自不
爽故後借角求角之法則
[001-56b]
用之且以甲為心以二千
萬為半徑作圜如甲/壬又取
兩心差之倍度截直徑於
丙自丙出線至圜周如丙/壬
折半作垂線如癸/辛所抵圜
徑之㸃即撱圓界如辛/㸃依
法逐度作㸃連之即成撱
圓周以此發明撱圓之理
最為精巧故附於此
[001-56b]
又設太陽在壬壬甲己角
[001-57a]
為實行距最髙後六十度
求甲壬己分撱圓面積平
行若干度分則以半徑一
千萬為一率甲角六十度
之正弦八六六○二五四
為二率丙甲三三八○○
○為三率求得四率二九
二七一六小餘/五九為丙癸垂
[001-57b]
線又以半徑一千萬為一
率甲角六十度之餘弦五
○○○○○○為二率丙
甲邊為三率求得四率一
六九○○○為甲癸分邊
次以丙癸為勾自乘以甲
癸與甲壬丙壬兩邊和二
千萬相減餘一九八三一
○○○為股弦和除之得
[001-57b]
四三二○小餘/六六為股弦較
[001-58a]
與股弦和相加折半得九
九一七六六○小餘/三三為丙
壬邊與二千萬相減餘一
○○八二三三九小餘/六七為
甲壬邊即太陽距地心線
次以半徑一千萬為一率
甲角六十度之正弦八六
六○二五四為二率甲壬
[001-58b]
邊為三率求得四率八七
三一五六二小餘/二五即壬子
邊次以撱圓小徑九九九
八五七一小餘/八五為一率大
徑一千萬為二率壬子邊
為三率求得四率八七三
二八○九小餘/四二即丑子邊
檢正弦得六十度五十分
三十一秒小餘/八三即乙角度
[001-58b]
亦即己丑弧度次以半周
[001-59a]
天一百八十度化作六十
四萬八千秒為一率半周
率三一四一五九二六小/餘
五/為二率乙角度分化作
二十一萬九千零三十一
秒小餘/八三為三率求得四率
一○六一八九六二小餘/七六
六一一/一九為已丑弧線與已
[001-59b]
乙半徑一千萬相乗折半
得五三○九四八一三八
三○五五九為乙丑已分
平圓面積次以撱圓大徑
一千萬為一率小徑九九
九八五七一小餘/八五為二率
乙丑己積為三率求得四
率五三○八七二三一○
九四七二二為乙壬已分
[001-59b]
撱圓面積次以甲乙一六
[001-60a]
九○○○與壬子八七三
一五六二小餘/二五相乗折半
得七三七八一七○一○
一二五為壬乙甲三角積
與乙壬己積相加得五三
八二五○四八一○四八
四七即甲壬己分撱圓面
積以一度之面積定率八
[001-60b]
七二五三九九九五二二
九除之得六十一度六八
七七小餘/七二收作六十一度
四十一分一十五秒五十
八微即實行距最髙後六
十度時之平行度也若設
平行求實行亦可以所得
之平行轉相比例然必累
求累較方得恰合一率兩/設平行
[001-60b]
較二率兩設實行較三率/今設平行較四率今求實
[001-61a]
行/較法屬繁難故兹不載
次設以積求角之法如太
陽在辛甲辛丁分撱圓面
積為平行距最卑後一度
求甲角實行若干度分法
以甲丁最卑距地心九八
三一○○○乙丁一千萬/減甲乙兩心
差一六九○/○○餘甲丁自乗得九六
[001-61b]
六四八五六一○○○○
○○為一率中率半徑九
九九九二八六自乗得九
九九八五七一八四八○
一九一即大徑與小/徑相乗之數為二
率甲辛丁一度之面積八
七二五三九九九五二二
九為三率求得四率九○
二六六七七四二○○三
[001-61b]
以一度之面積八七二五
[001-62a]
三九九九五二二九除之
得一度二分四秒小餘/三○為
甲角度即平行距最卑後
一度時之實行度也盖以
甲為心以中率為半徑作
弧将甲丁線引長至壬甲
辛線引長至癸則甲壬甲
癸皆為中率甲壬癸分平
[001-62b]
圓面積與一度之面積為
比例即得甲角而甲辛丁
分撱圓面與甲壬癸分平
圓面為同式形甲辛長於/甲丁然為
數無多故/為同式形以甲丁自乗正
方積與甲壬自乗正方積
之比即同於甲辛丁積與
甲壬癸積之比凡同式形/兩面積之
比同於相當界所作正方/形之比見幾何原本八卷
[001-62b]
第九/節故先比例得甲壬癸
[001-63a]
積以一度之面積除之而
得甲角也捷法以甲丁自/乗方積除甲壬
自乗方積即得甲角盖以/一度面積為三率與二率
相乗又以一度面積除今/省一乗則并省一除也
又如太陽在子甲子丁分
撱圓面積為平行距最卑
後二度求子甲丁角實行
若干度分則先求平行距
[001-63b]
最卑後一度時日距地心
之甲辛線将甲辛線引長
至丑自丙作丙丑垂線成
甲丑丙辛丑丙兩勾股形
以半徑一千萬為一率甲
角一度二分四秒小餘/三○之
正弦一八○五四九小餘/五五
為二率甲丙邊三三八○
○○為三率求得四率六
[001-63b]
一○二小餘/五七為丙丑邊又
[001-64a]
以半徑一千萬為一率甲
角一度二分四秒小餘/三○之
餘弦九九九八三七○小/餘
一/三為二率甲丙邊為三率
求得四率三三七九四四
小餘/九一為甲丑邊乃以丙丑
為勾自乗以甲丑與丙辛
甲辛兩邊和二千萬相加
[001-64b]
得二○三三七九四四小/餘
九/一為股弦和除之得一小/餘
八/三為股弦較與股弦和相
加折半得一○一六八九
七三小餘/三七為辛丙弦與丙
辛甲辛兩邊和二千萬相
減餘九八三一○二六小/餘
六/三為甲辛日距地心線次
以甲辛子形與甲癸寅形
[001-64b]
為比例以甲辛邊自乗得
[001-65a]
九六六四九○八四五九
九七六九為一率甲癸中
率自乗得九九九八五七
一八四八○一九一為二
率甲子辛一度之面積八
七二五三九九九五二二
九為三率求得四率九○
二六六二八五一七六九
[001-65b]
為甲癸寅分平圓面積以
一度之面積除之得一度
二分四秒小餘/二八即癸甲寅
角與先得之癸甲壬角一
度二分四秒小餘/三○相加得
二度四分八秒小餘/五八為子
甲丁角即平行距最卑後
二度時之實行度也此所
求之實行用求積法反求
[001-65b]
之少半秒强因日距地心
[001-66a]
線自最卑丁以漸而長中
距戊為適中至最髙巳而
止今所用一率微小故所
得四率微大若每分遞算
自得密合然須逐一先求
日距地心線若積度多者
則須合前法而兼用之故
又設後法
[001-66b]
次設借積求積之法如平
行距最卑後四十五度求
實行若干度分先從本天
心設辛乙丁角為四十五
度則乙壬丁積即為分撱
圓四十五度之面積三九
二六四二九九七八五二
九二将撱圓全積八分/之得乙壬丁積數求
得壬乙丁角為四十四度
[001-66b]
五十九分四十五秒小餘/二七
[001-67a]
法見/前次與乙壬平行作丙
癸線使丙角與壬乙丁角
等自甲至癸作甲癸線此
甲癸線所截甲癸丁分撱
圓面積若與乙壬丁積等
則癸甲丁角即為平行距
最卑後四十五度之實行
度乃用甲丙癸三角形求
[001-67b]
癸甲丁角以半徑一千萬
為一率丙角正弦七○七
○五六二小餘/七六為二率甲
丙三三八○○○為三率
求得四率二三八九八五
小餘/○二為甲子垂線又以半
徑一千萬為一率丙角餘
弦七○七一五七二小餘/七七
為二率甲丙邊為三率求
[001-67b]
得四率二三九○一九小/餘
[001-68a]
一/六為丙子分邊次以甲子
為勾自乗以丙子與丙癸
甲癸兩邊和二千萬相減
餘一九七六○九八○小/餘
八/四為股弦和除之得二八
九○小餘/二三為股弦較與股
弦和相加得一九七六三
八七一小餘/○七折半得九八
[001-68b]
八一九三五小餘/五四為甲癸
邊次以甲癸邊為一率甲
子垂線為二率半徑一千
萬為三率求得四率二四
一八四○小餘/二九檢正弦得
一度二十三分八秒小餘/七九
即癸角度與丙角相加得
四十六度二十二分五十
四秒小餘/○六即癸甲丁角度
[001-68b]
用切線分外角法得數較/捷因癸角度小比例得甲
[001-69a]
癸線難得確凖/故用垂線法然甲癸線
所截甲癸丁分撱圓面積
比所設乙壬丁四十五度
之面積小一甲乙丑積與
寅壬癸積等甲癸丁積比/乙壬丁積多
一卯壬癸積少一甲乙卯/積而甲乙與寅癸等甲卯
與卯癸等乙卯與卯寅等/卯壬與卯丑等故甲乙卯
積與寅癸卯積等卯壬癸/積與卯甲丑積等以多補
[001-69b]
少尚少一甲乙丑積/與寅壬癸積相等也乃用
前角求積法以半徑一千
萬為一率甲角四十六度
二十二分五十四秒小餘/○六
之正弦七二三九五一三
小餘/六○為二率甲癸邊為三
率求得四率七一五四○
四○小餘/六七即癸辰邊次以
撱圓小半徑九九九八五
[001-69b]
七一小餘/八五為一率大半徑
[001-70a]
一千萬為二率癸辰邊為
三率求得四率七一五五
○六二小餘/五二即己辰邊檢
正弦得四十五度四十一
分四秒小餘/九四即巳乙丁角
度亦即巳丁弧度次以半
周天一百八十度化作六
十四萬八千秒為一率半
[001-70b]
周率三一四一五九二六
小餘/五為二率巳丁弧度分
化作一十六萬四千四百
六十四秒小餘/九四為三率求
得四率七九七三四八五
小餘二八八/三七四八為巳丁弧線
與半徑一千萬相乗折半
得三九八六七四二六四
四一八七四為乙巳丁分
[001-70b]
平圓面積次以撱圓大半
[001-71a]
徑一千萬為一率小半徑
九九九八五七一小餘/八五為
二率乙巳丁分平圓面積
為三率求得四率三九八
六一七三二七七五三六
七為乙癸丁分撱圓面積
内減所設乙壬丁分撱圓
四十五度之面積餘五九
[001-71b]
七四三二九九○○七五
為乙癸壬積次以癸辰邊
七一五四○四○小餘/六七與
癸寅邊一六九○○○相
乗折半得六○四五一六
四三六六一五為乙癸寅
積内減乙癸壬積餘七○
八三四四六五四○為寅
壬癸積與甲乙丑積等即
[001-71b]
甲癸丁積小於乙壬丁積
[001-72a]
之較或於乙癸丁積内先/減甲乙癸積得甲癸
丁積再與乙壬丁/積相減得數亦同夫甲癸
丁積既小於乙壬丁積則
是甲癸丁積不足四十五
度而平行距最卑後四十
五度時太陽必仍在癸㸃
之前如午則甲癸午積與
寅壬癸積等甲午丁為分
[001-72b]
撱圓四十五度之面積與
乙壬丁積等實行午甲丁
角比癸甲丁角尚大一午
甲癸角乃用前積求角法
将甲癸線引長至未甲午
線引長至申甲未甲申皆
為中率半徑成甲未申分
平圓面與甲癸午為同式
形以甲癸自乗得九七六
[001-72b]
五二六五○○一六七一
[001-73a]
五為一率甲未中率自乗
得九九九八五七一八四
八○一九一為二率甲癸
午積七○八三四四六五
四○為三率求得四率七
二五二六八○七一六為
甲未申積以撱圓一秒之
面積二四二三七二二二
[001-73b]
一除之得二十九秒小餘/九二
為未甲申角即癸甲/午角與癸
甲丁角四十六度二十二
分五十四秒小餘/○六相加得
四十六度二十三分二十
三秒小餘/九八為午甲丁角即
平行距最卑後四十五度
時之實行度也此法乃合
前二法而兼用之而午甲
[001-73b]
癸角止三十秒甲癸甲午
[001-74a]
二線相差無多得數為密
其所以先設辛乙丁角為
四十五度乙壬丁積為四
十五度而求壬乙丁角以
為丙角者第借積以比其
大小耳究之撱圓面積逐
度皆有成數原不待求且
先求壬乙丁角為丙角而
[001-74b]
求甲癸丁積又與所設之
乙壬丁積相差不逺則併
先求壬乙丁角亦屬可省
詳後法
又法逕設丙角為四十五
度依前法求得甲癸線九
八八一九四四小餘/二八癸甲
丁角四十六度二十三分
九秒小餘/一四甲癸丁積三九
[001-74b]
二六○七九四六七九三
[001-75a]
四八與四十五度撱圓積
三九二六四二九九七八
五二九二相減餘三五○
五一○五九四四為甲癸
丁積小於四十五度平行
積之較即知平行四十五
度時太陽在癸㸃之前如
午乃以甲癸自乘得九七
[001-75b]
六五二八二二七五三○
二五為一率中率自乘方
九九九八五七一八四八
○一九一為二率積較為
三率即甲癸/午積求得四率三
五八八八四一八四一為
甲未申分平圓面積以一
秒之面積二四二三七二
二二一除之得一十四秒
[001-75b]
小餘/八一為未甲申角即癸甲/午角
[001-76a]
與癸甲丁角四十六度二
十三分九秒小餘/一四相加得
午甲丁角為四十六度二
十三分二十三秒小餘/九五即
平行距最卑後四十五度
時之實行度此法得數與
前同而即以平行積度為
丙角較前法為省便也
[001-76b]
又如平行距最卑後九十
度求實行若干度分則先
設丙角為九十度作丙丑
甲丑二線成甲丙丑勾股
形依法求得甲丑線一○
○○二八五六小餘/一丑甲
丁角九十一度五十六分
一十一秒小餘/○九甲丑丁積
七八五二八七六○一八
[001-76b]
三六九五與九十度撱圓
[001-77a]
積七八五二八五九九五
七○五八四相減餘一六
○六一三一一一為甲丑
丁積大於九十度平行積
之較即知平行九十度時
太陽在丑㸃之後如卯乃
依中率半徑截甲卯線於
辰截甲丑線於巳成甲辰
[001-77b]
巳分平圓面與甲卯丑為
同式形以甲丑自乘得一
○○○五七一三○一五
七三○七為一率中率自
乘方九九九八五七一八
四八○一九一為二率積
較為三率即丑甲/卯積求得四
率一六○四九八四八○
為甲辰巳分平圓面積以
[001-77b]
一秒之面積二四二三七
[001-78a]
二二二一除之得百分秒
之六六為辰甲已角即丑/甲卯
角/與丑甲丁角九十一度
五十六分一十一秒小餘/○九
相減餘九十一度五十六
分一十秒小餘/四三為卯甲丁
角即平行距最卑後九十
度時之實行度也
[001-78b]
又如平行距最卑後一百
二十度求實行若干度分
則先設丙角為一百二十
度作丙寅甲寅二線成甲
丙寅三角形依法求得甲
寅線一○○八六六二四
小餘/一三寅甲丁角一百二十
一度三十九分四十六秒
小餘/六九甲寅丁積一○四七
[001-78b]
○七九九○六四九五○
[001-79a]
六與一百二十度之撱圓
積一○四七○四七九九
四二七四四六相減餘三
一九一二二二○六○為
甲寅丁積大於一百二十
度平行積之較即知平行
一百二十度時太陽在寅
㸃之後如辰乃依中率半
[001-79b]
徑截甲寅線於巳截甲辰
線於午成甲巳午分平圓
面與甲寅辰為同式形以
甲寅邊自乘得一○一七
三九九八六三三九八九
八為一率中率自乘方九
九九八五七一八四八○
一九一為二率積較為三
率即甲寅/辰積求得四率三一
[001-79b]
三六一九七八九一為甲
[001-80a]
已午積以一秒之面積二
四二三七二二二一除之
得一十二秒小餘/九四為巳甲
午角即寅甲/辰角與寅甲丁角
一百二十一度三十九分
四十六秒小餘/六九相減餘一
百二十一度三十九分三
十三秒小餘/七五為辰甲丁角
[001-80b]
即平行距最卑後一百二
十度時之實行度也右借
積求積之法最為精密而
理亦易曉然須乗除比例
十數次推算則屬繁難故
又設後法
次設借角求角之法如太
陽平行距最卑後四十五
度求實行若干度分先從
[001-80b]
本天心設丁乙辛角為四
[001-81a]
十五度則乙壬丁分撱圓
面積亦為四十五度次将
丁乙辛角加癸乙子撱圓
差角九十度以内大一撱/圓差角九十度以外
小一撱圓差/角解見後以撱圓小半
徑九九九八五七一小餘/八五
為一率大半徑一千萬為
二率所設丁乙辛角四十
[001-81b]
五度之正切一千萬為三
率求得四率一○○○一
四二八小餘/三五為丁乙癸角
之正切檢表得四十五度
○分一十四秒小餘/七三即丁
乙癸角度次與乙癸平行
作丙丑線自甲作甲丑線
則丙角與丁乙癸角等而
甲丑丁積為分撱圓四十
[001-81b]
五度之面積與乙壬丁積
[001-82a]
等是為平行丑甲丁角即
為實行乃将丙丑線引長
至寅使丑寅與甲丑等則
丙寅為二千萬甲丑丙丑/共二千萬
丑寅既與甲丑等/故丙寅亦二千萬又自甲
至寅作甲寅線成甲寅丙
三角形用切線分外角法
求得寅角四十一分三十
[001-82b]
四秒小餘/七四倍之得一度二
十三分九秒小餘/四九即甲丙
丑形之丑角度甲丑寅形/之丑角以
甲丑丙角為外角與甲寅/二内角等丑寅既與甲丑
等則甲角必與寅角等故/倍寅角即得甲丑丙角
與丙角四十五度○分一
十四秒小餘/七三相加得四十
六度二十三分二十四秒
小餘/二二為丑甲丁角度丑甲/丁角
[001-82b]
為丑甲丙角之外角與丙/丑二内角等故以丑角與
[001-83a]
丙角相加得/丑甲丁角即平行距最
卑後四十五度時之實行
度也然則何以設丙角比
平行積度大一撱圓差角
而甲丑丁積即與平行積
度相等也蓋與丙丑平行
之乙癸線截本天於卯所
截之乙卯丁積比甲丑丁
[001-83b]
積多一甲乙巳形乙卯丁/積比甲
丑丁積少一辰丑卯形多/一甲乙辰形辰丑與甲辰
等辰卯與己辰等辰丑卯/積與辰甲巳積等以多補
少尚多一甲/乙巳積也此甲乙巳形
之積與癸午倍撱圓差乘
乙未餘弦折半之乙癸午
三角形積等癸子辛壬皆/撱圓差而辛
壬㣲小於癸子子午又微/小於辛壬然為數無多故
謂癸午/為倍差亦即與乙卯壬積
[001-83b]
等以卯癸子補子壬午弧/内弧外所差無多故謂
[001-84a]
相/等夫乙卯丁積比乙壬丁
積多一乙卯壬形比甲丑
丁積多一甲乙巳形甲乙
已積既與乙卯壬積等則
甲丑丁積必與乙壬丁積
等而乙壬丁為分撱圓四
十五度之面積辛乙丁角
為四十五度之角癸乙丁
[001-84b]
角比辛乙丁角原大一撱
圓差角丑丙丁角又原與
癸乙丁角等故設丙角比
平行積大一撱圓差角而
甲丑線所截撱圓積即與
平行積相等也然則又何
以知甲乙巳積與乙癸午
積相等也試以乙丁大半
徑作乙丁申酉正方形又
[001-84b]
以乙戊小半徑作乙戊戌
[001-85a]
亥正方形兩積相減餘酉
申丁亥戌戊磬折形積與
兩心差自乘之甲乙乾坎
正方積等乙丁與甲戊等/為弦乙戊為股
甲乙為勾股弦兩/方相減與勾方等斜分而
半之則乙甲坎勾股積即
與酉申戌戊斜尖長方積
等而申艮倍撱圓差與酉
[001-85b]
申相乘折半之乙申艮三
角積原與酉申震戊長方
積等乙申艮三角形與酉/申震戊長方形同以
酉申為髙而申艮為申震/之一倍以申艮與酉申相
乘折半得乙申艮三角積/故與酉申震戊長方積等
比酉申戌戊斜尖長方積
僅多申震戌一小勾股積
則借乙申艮三角積為與
乙甲坎勾股積相等可也
[001-85b]
又以方為斜截丁辛弧為
[001-86a]
四十五度乙辛與乙丁等
辛巽為四十五度之正弦
辛離為四十五度之餘弦
依乙戊小徑截乙辛線於
坤依乙甲兩心差截乙辛
線於兑與辛巽平行作坤
亢兑氐二線與辛離平行
作坤房兑尾二線所成正
[001-86b]
方各為前圖正方積之一
半則於離辛巽乙正方形
内減房坤亢乙正方形餘
離辛巽亢坤房磬折形積
亦與乙尾兑氐正方積等
乙兑氐勾股積亦與離辛
坤房斜尖長方積等而辛
箕倍撱圓差乘辛離餘弦
折半之乙辛箕三角積原
[001-86b]
與離辛壬房長方積等辛/壬
[001-87a]
為四十五度之撱圓差辛/箕為倍差與辛離餘弦相
乗折半得乙辛箕積故/與離辛壬房長方積等比
離辛坤房斜尖長方積僅
多辛壬坤一小勾股積則
借乙辛箕三角積為與乙
兑氐勾股積相等亦可也
由此推之逐度之正弦餘
弦所成之勾股雖非正方
[001-87b]
而斜弦不改則各數比例
皆同試自與丙丑平行之
乙癸線所截之癸㸃作癸
未正弦癸斗餘弦又依乙
戊小徑截乙癸線於牛作
牛女牛虚二線又依甲乙
兩心差截乙癸線於水作
水火水金二線皆相平行
則於斗癸未乙長方形内
[001-87b]
減去女牛虚乙長方形餘
[001-88a]
斗癸未虚牛女磬折形積
亦與金水火乙長方積等
乙水火勾股積亦與斗癸
牛女斜尖長方積等而癸
午倍撱圓差乗癸斗餘弦
與乙/未等折半之乙癸午三角
積原與斗癸子女長方積
等癸子為撱圓差癸午為/倍差與癸斗餘弦相乗
[001-88b]
折半得乙癸午積故與/斗癸子女長方積等比
斗癸牛女斜尖長方積僅
多癸牛子一小勾股積則
借乙癸午積為亦與乙水
火勾股積等而甲乙土勾
股與乙水火勾股為相等
形同用一乙角土角與火/角同為直角而甲乙與
乙水等故三邊/及面積皆相等比甲乙巳
積僅多甲巳土一小弧矢
[001-88b]
積其差只在微纎之間故
[001-89a]
謂甲乙巳積與乙癸午積
相等也此法所得實行較
前法多百分秒之二十四
盖乙卯丁積比乙壬丁積
多乙卯壬積實與甲乙土
積等而比甲丑丁積僅多
甲乙巳積則是甲丑丁積
比乙壬丁四十五度積為
[001-89b]
稍大故所得實行丑甲丁
角亦稍大計其所大之數
適與甲巳土弧矢積度相
去不逺至於以乙癸午三
角積為與斗癸牛女斜尖
長方積等其數微多多癸/牛子
勾股/積以癸午為倍撱圓差
其數微少然其多少之差
約足相抵可不計也
[001-89b]
又如太陽平行距最卑後
[001-90a]
九十度求實行若干度分
先從本天心設丁乙戊角
九十度則乙戊丁分撱圓
面積亦為九十度次與乙
戊平行作丙癸線自甲至
癸作甲癸線則丙角與戊
乙丁角等而甲癸丁分撱
圓面積即為九十度與乙
[001-90b]
戊丁積等九十度無撱/圓差觧見後是
為平行癸甲丁角即為實
行乃將丙癸線引長至子
使癸子與甲癸等則丙子
為二千萬又自甲至子作
甲子線成甲丙子三角形
求得子角五十八分五秒
小餘/五五倍之得一度五十六
分一十一秒小餘/一○即甲丙
[001-90b]
癸形之癸角度與丙角九
[001-91a]
十度相加得九十一度五
十六分一十一秒小餘/一○為
癸甲丁角度即平行距最
卑後九十度時之實行度
也盖乙戊丁為撱圓四分
之一其積為九十度戊乙
丁角亦九十度積度與角/度同為一
線故無/撱圓差丙角既與乙角等
[001-91b]
甲癸丁積又與乙戊丁積
等甲癸丁積比乙戊丁積/多一丑癸戊形少一甲
乙丑形而甲乙丑積與丑/癸寅積等是丑癸戊形比
甲乙丑形僅多癸戊寅一/小弧矢積故謂丑癸戊積
與甲乙丑積等而甲癸丁/積亦謂與乙戊丁積等
故即以平行積度為丙角
而求甲角為實行度也此
法所得實行較前法多百
分秒之六十七盖甲癸丁
[001-91b]
積比乙戊丁積多癸戊寅
[001-92a]
弧矢積九十度稍大故實
行亦稍大又丙角至九十
度則弧矢之癸寅半弦與
甲乙兩心差相等是為最
長積亦最大故所差最多
過此則所差又漸少矣
又如太陽平行距最卑後
一百二十度求實行若干
[001-92b]
度分先從本天心設丁乙
癸角一百二十度則乙子
丁分撱圓面積亦為一百
二十度次将丁乙癸角減
丑乙寅撱圓差角九十度/以外小
一撱圓差/角故減則癸乙已外角
大一撱圓差角以撱圓小
半徑九九九八五七一小/餘
八/五為一率大半徑一千萬
[001-92b]
為二率所設癸乙已外角
[001-93a]
六十度之正切一七三二
○五○八為三率求得四
率一七三二二九八一小/餘
九/八為己乙寅外角之正切
檢表得六十度○分一十
二秒小餘/七六即己乙寅外角
度與一百八十度相減餘
一百一十九度五十九分
[001-93b]
四十七秒小餘/二四即寅乙丁
内角度次與乙寅平行作
丙卯線自甲作甲卯線則
丙角與寅乙丁角等甲卯
丁積為分撱圓一百二十
度之面積與乙子丁積等
是為平行卯甲丁角即為
實行乃将丙卯線引長至
辰使卯辰與甲卯等則丙
[001-93b]
辰為二千萬又自甲至辰
[001-94a]
作甲辰線成甲丙辰三角
形求得辰角四十九分五
十三秒小餘/四六倍之得一度
三十九分四十六秒小餘/九二
即甲丙卯形之卯角度與
丙内角一百一十九度五
十九分四十七秒小餘/二四相
加得一百二十一度三十
[001-94b]
九分三十四秒小餘/一六為卯
甲丁角度即平行距最卑
後一百二十度時之實行
度也盖與丙卯平行之乙
寅線截本天於巳所截之
乙巳丁積比甲卯丁積小
一卯己午形與甲乙未形
等乙巳丁積比甲卯丁積/少一卯己酉形多一甲
乙酉形而甲乙酉形與卯/午酉形等以多補少仍少
[001-94b]
一卯巳午形又将乙己線/引長至未使酉未與酉巳
[001-95a]
等而酉甲原與酉卯等卯/午原與甲乙等故作甲未
弧則卯巳午積即/與甲乙未積等此甲乙
未形之積與寅申倍撱圓
差乘乙戌餘弦折半之乙
寅申三角形積等寅丑癸/子皆撱
圓差而癸子微小於寅丑/丑申又微小於癸子然為
數無多故謂寅申為倍差/與乙戌餘弦相乘折半得
積與甲乙亥勾股積等比/甲乙未積僅小甲未亥一
[001-95b]
小弧矢積故借甲乙未/積為與乙寅申積等亦
即與乙子巳積等與前/法同夫
乙巳丁積比乙子丁小一
乙子巳積比甲卯丁積小
一甲乙未積甲乙未積既
與乙子巳積等則甲卯丁
積必與乙子丁積等而乙
子丁為分撱圓一百二十
度之面積癸乙丁角為一
[001-95b]
百二十度之角寅乙丁角
[001-96a]
比癸乙丁角原小一撱圓
差角卯丙丁角又原與寅
乙丁角等故於平行一百
二十度内減一撱圓差角
為丙角其甲卯線所截撱
圓積即與平行度相等而
求得甲角為實行度也此
法所得實行較之前法多
[001-96b]
百分秒之四十一盖乙巳
丁積比乙子丁積少乙子
己積僅與甲乙亥積等而
比甲卯丁積則少甲乙未
積是甲卯丁積比乙子丁
一百二十度積為稍大故
所得實行卯甲丁角亦稍
大然所差最大者不過半
秒有竒不為不密而法最
[001-96b]
為簡便故日躔求實行用
[001-97a]
此法也
[001-98a]
求均數
均數者盈縮差也最卑前後兩象限為行盈最髙前
後兩象限為行縮然盈縮差自最卑最髙起算最髙
前一象限雖行縮而實行仍大於平行故最卑後半
周皆為加差最卑前一象限雖行盈而實行仍小於
平行故最髙後半周皆為減差上編言之詳矣今求
盈縮差用前借角求角之法與不同心天之法畧同
但多一撱圓差耳故先以平行求得對倍兩心差之
[001-98b]
角又以平行求得撱圓差角與對倍兩心差之角相
加減而得均數加減之法具詳於左
如圖甲為地心乙為本天
心甲乙為兩心差甲丙為
倍差丁戊己庚為本天辛
壬癸子為黄道以行度言
之太陽在最卑前後當子
辛辛壬兩象限其本天平
行丑甲寅丁面積未及半
[001-98b]
周而以黄道度計之巳見
[001-99a]
自子行至壬故為行盈太
陽在最髙前後當壬癸癸
子兩象限其本天平行寅
甲丑已面積巳過半周而
以黄道度計之止見自壬
行至子故為行縮以盈縮
差言之太陽在最卑丁是
為初宫初度當黄道之辛
[001-99b]
甲丁辛成一直線無盈縮
差太陽在最髙已是為六
宫初度當黄道之癸甲癸
己成一直線亦無盈縮差
而自最卑後行丁寅戊巳
半周實行皆大於平行如
平行至寅所截甲寅丁平
行積度畧與寅丙丁角度
等爭一撱圓差/角故謂畧等自地心甲
[001-99b]
視之巳當黄道之壬壬甲
[001-100a]
辛角必大於寅丙丁角又
如平行至戊所截之甲戊
丁平行積度畧與戊丙丁
角度等自地心甲視之己
當黄道之卯卯甲辛角必
大於戊丙丁角故皆為加
差自最髙後行已庚丑丁
半周實行皆小於平行如
[001-100b]
平行至庚所截甲庚已平
行積度畧與庚丙己角度
等自地心甲視之方當黄
道之辰辰甲癸角必小於
庚丙己角又如平行至丑
所截甲丑巳平行積度畧
與丑丙巳角度等自地心
甲視之方當黄道之子子
甲癸角必小於丑丙已角
[001-100b]
故皆為減差此盈縮之理
[001-101a]
與不同心天之理同至求
盈縮差之法當先以平行
積度加減撱圓差角九十/度以
内大一撱圓差角則加九/十度以外小一撱圓差角
則減正九十度/無差角解見前為所設之
丙角而求對倍差之角與
所設之丙角相加得實行
以平行與實行相減乃為
[001-101b]
均數解見前借/角求角法然其數竒
零不便立算故先以平行
求得對倍差之角而後加
減撱圓差角為尤便也如
設太陽在己甲己丁分撱
圓面積為平行距最卑後
六十度知己丙甲角度比
所設之甲己丁平行積度
大一撱圓差角則於己丙
[001-101b]
甲角内減未丙午撱圓差
[001-102a]
角餘午丙甲角必為六十
度而與甲巳丁平行積度
相等故先設午丙甲角為
六十度用甲丙午三角形
求得對甲丙倍差之午角
一度四十一分二十九秒
與平行午丙甲角相加則
得午甲丁角然太陽原在
[001-102b]
已當黄道之申實行申甲
辛角即辛/申弧比午甲丁角尚
大一巳甲午角故又求得
未丙午撱圓差角一十三
秒與巳甲午角等巳甲午/角與未
丙午角同當巳午弧而甲/午線短於丙午則角畧大
然所差甚微/故為相等與午角相加
九十度以内大一/撱圓差角故加得一度
四十一分四十二秒是為
[001-102b]
均數為加差以加於平行
[001-103a]
而得實行也若太陽在酉
當黄道之戌甲酉巳分撱
圓面積爲平行距最高後
一百二十度而距最卑前
六十度則對甲丙倍差之
亥角與午角等乾丙亥撱
圓差角亦與未丙午角等
但其均數爲減差以減於
[001-103b]
平行而得實行也
如設太陽在亢甲亢丁分
撱圓面積爲平行距最卑
後一百二十度知亢丙甲
角度比所設之甲亢丁平
行積度小一撱圓差角則
於亢丙甲角加房丙氐撱
圓差角得氐丙甲角必為
一百二十度而與甲亢丁
[001-103b]
平行積度相等故先設氐
[001-104a]
丙甲角為一百二十度用
甲丙氐三角形求得對甲
丙倍差之氐角一度三十
九分四十七秒與平行氐
丙甲角相加則得氐甲丁
角然太陽原在亢當黄道
之尾實行尾甲辛角即辛/尾弧
比氐甲丁角尚小一氐甲
[001-104b]
亢角故又求得房丙氐撱
圓差角一十三秒與氐甲
亢角等氐甲亢角與房丙/氐角同當亢氐弧
而甲氐線長於丙氐則角/畧小然所差甚㣲故為相
等/與氐角相減九十度以/外小一撱
圓差角/故減餘一度三十九分
三十四秒是為均數為加
差以加於平行而得實行
也若太陽在斗當黄道之
[001-104b]
牛甲斗己分撱圓面積為
[001-105a]
平行距最高後六十度則
對甲丙倍差之女角與氐
角等女丙虛撱圓差角亦
與房丙氐角等但其均數
為減差以減於平行而得
實行也用此法求得最卑
後半周之加差即得最高
後半周之減差列爲表此
[001-105b]
法與以丙爲心作不同心
天之法畧同但多一撱圓
差又平圓之半徑爲一千
萬撱圓則自甲丙兩心出
線合於圓界共爲二千萬
耳而太陽距地高卑之差
止及兩心差之半與均輪
之法不謀而合故撱圓之
法正所以合不同心天與
[001-105b]
本輪均輪而一之也
[001-106a]
[001-106b]
御製厯象考成後編卷一